Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

Transkrypt

1 kolokwium2a-15grudnia Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych x= b a 2 t+b+a 2 przekształcaprzedział 1 t 1naprzedziała x b.niecht k będąpierwiastkami wielomianuczebyszewat n+1 (t)iniechx k = 1 2 (b a)t k+ 1 2 (b+a).uzasadnić,dlaczego ( b a max (x x 0)...(x x n ) =2 a x b 4 ) n+1. 3.Dowyznaczeniarozwiązaniarównania2 x 5x+2=0stosujemymetodęiteracyjną x i+1 = 2+2x i, x 0 =0. 5 Czy ten ciąg jest monotonicznie zbieżny do rozwiązania? Dlaczego? Zlokalizować graficznie rozwiążanie tego równania. 4. Porównać czas obliczania wartości wielomianu interpolacyjnego z wzoru Newtona i z wzoru Lagrange a. Zakładamy, że czasy mnożenia i dzielenia są pięć razy dłuższe od czasu dodawania i odejmowania.

2 kolokwium2b-15grudnia Danesąwartościcosxdlax=45 ix=60 : cos45 =1/ 2=0.7071, cos60 =1/2. (a) Wykorzystać te wartości do wyznaczenia wielomianu w(x) interpolującego funkcję cosxiocenić,zjakądokładnościąw(50 )przybliżawartośćcos50. (b) Czy dokładność tego przybliżenia zmieni się, jeśli zamiast funkcji cos(x) będziemyinterpolowaćfunkcjęcostπ?zatembędziemyprzybliżaćwartośćcos πza pomocąwartościwielomianuinterpolującegocostπprzyjmującegowwęzłacht 0 = 1/4,t 1 =1/3następującewartości Odpowiedź uzasadnić. cos 1 4 π=1/ 2=0.7071, cos 1 3 π=1/2. 2.Doobliczeniazerafunkcjif(x)=xe x stosujemymetodęnewtona.rozpatrzyćdwa sposobywyboruprzybliżeniapoczątkowegox 0 =2ix 0 =40.Jakzachowujesięmetoda Newtona dla tych przybliżeń początkowych? 3. Podać definicje naturalnej funkcji sklejanej stopnia 3. Jaką jej własność można uzanać za jej zaletę? 4. Niech g będzie odwzorowaniem zwężającym ze stała Lipschitza L i niech r będzie punktemstałymodwzorowaniag.niechx i+1 =g(x i ).Wiadomo,że Korzystają z nierówności x i+1 x i L i x 1 x 0. x i+j x j x i+j x i+j x j+1 x j, udowodnić, że Czy stąd wynika, że x i+j x j Lj 1 L x 1 x 0. r x i Li 1 L x 1 x 0? 2

3 kolokwium2c-15grudnia Niechwielomianw(x)interpolujefunkcjęf(x)=x n +a n 1 x n a 0 wwęzłach interpolacjibędącychpierwiastkamiwielomianuczebyszewat n (x)stopnian.podać wzórnaresztęinterpolacjif(x) w(x)wpunkciex [ 1,1],wykorzystującfakt,że węzły interpolacji są pierwiastkami wielomianu Czebyszewa. Czy tym wzorem może być któreś z poniższych wyrażeń: T n (x ), 2 (n 1), 2 (n 1) T n (x ). Odpowiedź zasadnić, cytując odpowiednie wzory lub twierdzenia. 2. Na czym polega interpolacja Hermite a? Czy istnieje wielomian w(x) spełniający następujące warunki: w( 1)=f( 1), w ( 1)=f ( 1), w (1)=f (1), w(2)=f(2)? 3. Podać przykład naturalnej funkcji sklejanej trzeciego stopnia i uzasadnić, dlaczego to jest naturalna funkcja sklejana. 4.Niechfunkcjaf(x)maprzeciwneznakinakońcachprzedzialu[a,b]iniechjejdruga pochodna nie zmienia znaku w przedziale[a, b]. Założenia te występują w pewnym twierdzeniu o zbieżności metody Newtona. Co jeszcze w tym twierdzeniu zakłada się, aby mieć gwarancję zbieżności metody Newtona do jednoznacznego zera funkcji f w przedziale[a,b]dladowolnegox 0 [a,b]?niechc>0,f(x)=x 2 c.niechkońce przedziału[a, b] spełniają warunki 1<a< c, b> 1 2 ( a+ c ). a Sprawdzić, czy funkcja f spełnia na przedziale[a, b] wszystkie założenia powyższego twierdzenia. 3

4 kolokwium2d-15grudnia Niechw(x)=2 9x+3x 2 +7x 2 (x 1)+5x 2 (x 1) 2 będziewielomianeminterpolującym Hermite azwęzłamipodwójnymi0,1orazwęzłempojedyńczym2dlafunkcjifowartościachf(0)=2,f(1)= 4,f(2)=44iwartościachpochodnejf (0)= 9,f (1)=4. Omówić algorytm wyznaczania powyższego wielomianu w(x). Dodając do wielomianu w(x) jeden składnik, utworzyć wielomian interpolacyjny u(x), który spełnia wszystkie powyższe warunki interpolacji i jeszcze jeden dodatkowy warunekinterpolacyjny:u(3)=f(3)=8. 2.CzysumaczęściowaszereguTaylorafunkcjif(x)wpunkciex 0 jestinterplującymfunkcję f wielomianem: (a) Hermite a (b) Lagrange a (c) nie jest to wielomian interpolujący? Zaznaczyć poprawne odpowiedzi i uzasadnić odpowiedź. 3.Chcemyobliczyćpierwiastektrzeciegostopniar= 3 17zdokładnością±10 7,rozwiązującrównaniex 3 17=0zapomocąmetodyNewtona.Ocenić,ileiteracjimusimy wykonać? Jak wybrać przybliżenie początkowe? 4.Niechg(x)=x/2+1/x.Zbadaćzbieżnośćciągux i+1 =g(x i ),x 0 =1,korzystającz twierdzenia o punkcie stałym. 4

5 kolokwium2e-15grudnia Podać definicję wielomianu+ interpolacyjnego Lagrange a i udowodnić, że jest on jednoznaczny. 2. Niech w(x) będzie wielomianem interpolującym funkcję sin x w węzłach interpolacji x 0 =a,x 1 =(a+b)/2ix 2 =b.oszacowaćresztyinterpolacjidla [a,b]=[0, π 6 ] [a,b]=[ π 6,π 2 ]. Jaki wniosek wynika z tego przykładu? 3.Podaćschematalgorytmuobliczaniawartościwielomianuinterpolacyjnegostopnia n podanego w postaci Newtona. Zakładamy, że ilorazy różnicowe, występujące we wzorze Newtona, są już wyznaczone i są zapamiętane w tablicy c. 4.Niechh(x)= 1+x 2.Dowyznaczeniazerapochodnejfunkcjih,czylidorozwiązania równaniah (x)=0stosujemymetodęnewtona.zbadaćzbieżnośćmetodynewtona dlaprzybliżeniapoczątkowegox 0 spełniającegowarunek x 0 <1orazdlaprzybliżenia początkowegospełniającegowarunek x 0 >1. 5

6 kolokwium2f-15grudnia Napisać schemat algorytmu wyznaczania ilorazów różnicowych, które występują we wzorzenewtonanawielomianinterpolacyjnylagrange azwęzłamiinterpolacjix 0,...,x n. 2.Udowodnić,żewielomianinterpolacyjnyLagrange aopartynawęzłachinterpolacjix 0 ix 1 przybliżafunkcjęfzbłędemnieprzekraczającym 1 8 (x 1 x 0 ) 2 M.Czemurównasię M?Niechh=x 1 x 0.Jakmałamusibyćodległośćhmiędzywęzłamiinterpolacji x 0 ix 1,abywielomianinterpolacyjnyprzybliżałfunkcjęf(x)=sinxzbłędemnie przekraczającym ? 3.Udowodnić,żemetodaobliczania rzapomocąwzoru marządrówny3. x i+1 = x i(x 2 i +3r) 3x 2 i +r 4. Sformułować twierdzenie o punkcie stałym. W którym z przedziałów funkcjag(x)= xjestzwężająca? [ 1 2, ), [1 8,1], [1 4,2], [0,1], [1 5,3 2 ] 6