Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazwam dziedziną funkcji f i oznaczam D f, zaś Y przeciwdziedziną i oznaczam. Zbiorem wartości funkcji f nazwam zbiór f (D f ) := { f (): X}. Element dziedzin nazwam argumentami funkcji, zaś element zbioru wartości wartościami funkcji. D f Uwagi metodologiczne. ) Stosujem zapis f : X Y i cztam: f jest funkcją ze zbioru X do zbioru Y. Powiem, że dwie funkcje są równe, gd mają te same dziedzin i dla każdego argumentu z dziedzin przjmują tą samą wartość. Funkcję można zdefiniować poprzez wzór, tabelę, wkres, graf, zbiór par uporządkowanch bądź też opis słown. ) Równość dwóch funkcji można także rozumieć nieco inaczej, mianowicie wmagając dodatkowo równości przeciwdziedzin. Przkład. (i) Funkcje f, g: R R, zdefiniowane wzorami f () := (+) oraz g() := ++ są równe. (ii) Funkcje f, g: R R, zdefiniowane wzorami f () := oraz g() := nie są równe. (iii) Funkcje sin: R R oraz sin: R [, ] są równe bądź różne, w zależności od rozumienia pojęcia równości funkcji patrz uwagi powżej. Przkład. Przporządkowanie każdemu wielomianowi jego wartości w zerze jest odwzorowaniem ze zbioru wielomianów w zbiór liczb rzeczwistch. Przkład 3. Na powierzchni sfer wbieram wielki okrąg i wpisujem w niego prostokąt. Następnie tworzm ostrosłup o podstawie prostokąta, brakując wierzchołek obierając na powierzchni sfer. Każdemu wcześniej ustalonemu prostokątowi przpisujem objętość tak otrzmanego ostrosłupa. Tak zdefiniowane przporządkowanie ze zbioru prostokątów wpisanch w okrąg w zbiór liczb dodatnich nie jest funkcją. Przkład 4. Zbiór par uporządkowanch {(3, 5), (7, ), (8, 3), (8, 7), ( 3 54, 0)} nie definiuje funkcji. Przkład 5. Sposob definiowania funkcji. (i) wzór: f () := + sin 3, (ii) tabela: f () 5 4 8 5,5 3 3 54 0
(iii) wkres: (iv) graf: 5 3 6 4 F D B E C A (v) zbiór par uporządkowanch: {(, 5), (4, 8), (5, 3), ( 3 54, 0)}, (vi) opis słown: każdemu wielokątowi na płaszczźnie przporządkowujem jego obwód odwzorowanie to jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wielokątów płaszczzn, zaś przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczwistch. Uwaga. Gd dziedzina nie jest wraźnie określona, mam zawsze na mśli dziedzinę naturalną, tj. największ zbiór, na którm wartość funkcji ma sens matematczn. Oczwiście zakładam tutaj, że znam już przeciwdziedzinę. Definicja. Funkcja liniowa (afiniczna), to odwzorowanie f : R R, dane wzorem f () :=
a + b, a, b R. Parametr a nazwam współcznnikiem kierunkowm, zaś b wrazem wolnm. b α Uwaga. Wkresem funkcji liniowej jest prosta, nachlona do osi OX pod kątem α [0, π) spełniającm równanie tg α = a. Zauważm, że funkcja liniowa jest jednoznacznie określona przez współcznnik kierunkow i wraz woln. Do tego potrzeba i wstarcza znajomość współrzędnch dwóch punktów, które należą do wkresu funkcji liniowej. Prostą można przedstawić na wiele sposobów. Oprócz postaci kierunkowej, użtej w definicji, wmienim jeszcze postać ogólną A + B + C = 0, A, B, C R, prz czm zakładam, że bądź A, bądź B nie jest zerem. Gd B = 0, to równanie A + C = 0 przedstawia prostą, która nie jest wkresem żadnej funkcji zmiennej, ale jest wkresem funkcji liniowej zmiennej. Definicja 3. Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratow), to odwzorowanie f : R R, dane wzorem f () := a + b + c, a, b, c R, a 0. Jest to postać ogólna. Wkres trójmianu nazwam parabolą. Poniższe rsunki przedstawiają możliwe położenia wkresu funkcji kwadratowej. > 0 a > 0 > 0 a < 0 W = 0 a > 0 W W 3
= 0 a < 0 < 0 a > 0 < 0 a < 0 W W W (i) wróżnik trójmianu: := b 4ac; (ii) gd 0, to możem obliczć pierwiastki trójmianu: =, = b a ; gd = 0, to pierwiastki są równe (mówim wted o pierwiastku podwójnm), tzn. = = b a ; (iii) postać kanoniczna: f () = a ( + b a) 4a ; (iv) postać ilocznowa (dla 0): f () = a( )( ); (v) wierzchołek paraboli: W := ( b a, 4a). Twierdzenie. Gd wróżnik trójmianu kwadratowego a + b + c, a 0 jest nieujemn, to pierwiastki, tegoż trójmianu cznią zadość tzw. wzorom Viete a: + = b a, = c a. Definicja 4. Niech f : X Z, X, Z R będzie funkcją. Powiem, że f jest: (i) rosnąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () < f (); (ii) malejąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () > f (); (iii) niemalejąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () f (); (iv) nierosnąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () f (); (v) różnowartościowa (injektwna), gd równość wartości pociąga równość argumentów, tzn., X: f () = f () = ; (vi) na (surjektwna), gd zbiór wartości jest całą przeciwdziedziną, tzn. f (D f ) = D f ; (vii) bijektwna, gd jest jednocześnie injekcją i surjekcją; (viii) okresowa, gd istnieje taka dodatnia liczba T > 0 (zwana okresem funkcji), że (i) parzsta, gd () nieparzsta, gd b a X: + T X f ( + T) = f (); X: X: X f ( ) = f (); X f ( ) = f (). Uwagi metodologiczne. ) Własności monotoniczności możem zdefiniować, zmieniając zswrot nierówności na przeciwn, zarówno pomiędz argumentami, jak i wartościami funkcji. W istocie chodzi o to, że dla funkcji rosnącej zwrot nierówności jest taki sam dla argumentów i odpowiednich wartości funkcji, zaś dla funkcji malejącej zwrot nierówności są przeciwne. 4
) Korzstając z prawa transpozcji możem różnowartościowość zdefiniować odwrotnie, tzn., X: f () f (). 3) Funkcję spełniającą którś z czterech pierwszch warunków nazwam monotoniczną. 4) Funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Jeżeli wśród nich istnieje najmniejsz, to nazwam go okresem podstawowm. 5) Monotoniczność zwkle badam następująco: wbieram dwie dowolne liczb < z dziedzin i sprawdzam znak różnic f () f (). 6) Gd f jest bijekcją, to istnieje taka funkcja g: D D f f, że f g = id D oraz g f = id D f. f Funkcję g nazwam odwrotną do f i oznaczam f. Przkład 6. Funkcja stała jest okresowa i każda liczba dodatnia jest jej okresem. Tak więc funkcje stałe nie mają okresu podstawowego. Definicja 5. (i) Niech a, b > 0, a. Powiem, że R jest logartmem o podstawie a z liczb b, jeżeli b = a. Piszem wówczas = log a b. (ii) Funkcją wkładniczą nazwam odwzorowanie R a (0, + ), gdzie a > 0, a. (iii) Funkcją logartmiczną nazwam odwzorowanie (0, + ) log a, gdzie a > 0, a. Uwaga 3. Często stosuje się następującą smbolikę: log = log 0 logartm dziesiętn, lg = log, ln = log e logartm naturaln. W ostatnim przpadku e, 7. W literaturze anglojęzcznej logartm naturaln oznaczam smbolem log. Twierdzenie. Niech a, b,, > 0, a, b, k N. Prawdziwe są następujące własności logartmu: () log a () = log a + log a logartm ilocznu, () log a = log a log a logartm ilorazu, (3) log a k = k log a logartm potęgi, (4) log b = log a log a b zmiana podstaw logartmu, (5) a log a =. Uwaga 4. Własność (3) jest prawdziwa dla dowolnej liczb rzeczwistej k. Odwrotnością funkcji a jest funkcja log a, zaś odwrotnością funkcji log a jest funkcja a. Przkład 7. Zastosowanie funkcji wkładniczch i logartmicznch. Tempo rozmnażania się bakterii opisuje równanie N(t) = n 0 a t, gdzie t oznacza czas, n 0 liczbę bakterii w chwili początkowej, N(t) liczbę bakterii w chwili t, zaś a > jest parametrem, określanm empircznie. Czas rozpadu substancji radioaktwnch określa równanie (t) = 0 e kt, gdzie t oznacza czas, 0 masę substancji w chwili początkowej, (t) masę w chwili t, zaś k jest parametrem, określanm empircznie. 5
Krzwa uczenia się, wrażająca intenswność przswajanej wiedz wraz z upłwem czasu, wraża się wzorem = c ce kt, gdzie t oznacza czas, zaś c, k są pewnmi dodatnimi stałmi. Wiele zjawisk ekonomicznch, przrodniczch (w szczególności modele wzrostu) jest bardzo dobrze opiswanch przez tzw. krzwą logistczną postaci = a + be kt, gdzie a, b, k są pewnmi parametrami wznaczanmi empircznie. W naukach chemicznch ph substancji wznacza się ze wzoru ph = log[h + ], gdzie [H + ] oznacaz ilość jonów wodoru w substancji, wrażoną w molach na litr. Zadania obowiązkowe Zadanie. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g() := +. Wskazówka: Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch wzór funkcji ma sens matematczn. Przekształć wkres, ab znaleźć zbiór wartości. Szkic rozwiązania. Szukając dziedzin, musim wkluczć miejsca zerowe mianownika. Tak więc D g = R \ { }. Ab znaleźć zbiór wartości, musim rozwiązać równanie + = z niewiadomą. Dostajem =, co ma sens dokładnie wted, gd. Tm samm g(d g ) = R \ {}. Odpowiedź: D g = R \ { }, g(d g ) = R \ {}. Uwaga 5. Można też zauważć, że g() = + i zbiór wartości odcztać z wkresu. Zadanie. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (, ) i równoległej do OX/OY. Która z nich jest wkresem funkcji? Wskazówka: Jakie inne punkt znajdują się na tch prostch? Odpowiedź: OX: =, OY: =. Uwaga 6. Pierwsza z tch prostch jest wkresem funkcji zmiennej, danej wzorem f () :=, zaś druga zmiennej, danej wzorem g() :=. Zadanie 3. Znajdź wartość parametru m R, dla której iloczn pierwiastków równania m + m 4m + = 0 jest najmniejsz. Wskazówka: Pamiętaj, że wróżnik nie może bć ujemn. Użj wzorów Viete a. Szkic rozwiązania. Zakładając, że 0 i korzstając ze wzorów Viete a minimalizujem wrażenie m 4m +, czli wznaczam wierzchołek tejże paraboli. Odpowiedź: m =. Zadanie 4. Dan jest trójmian 3 7. Nie wznaczając jego pierwiastków, oblicz: 6
+,, 3 + 3, +. Wskazówka: Sprawdź, że wróżnik jest dodatni i użj wzorów Viete a. Szkic rozwiązania. Wkorzstam wzor Viete a (bo 0). Po pierwsze, dzięki nim wiem, że jeden pierwiastek jest dodatni a drugi ujemn. + = ( + ) = 37 4 ; 65 = = = a ; 3 + 3 = 3 3 = ( )( + + ) = 3 65 ; 8 + = + ( ) = 6 49. Odpowiedź: + = 37 4 ; = 65 ; 3 + 3 = 3 65 8 ; + = 6 49. Zadanie 5. Zbadaj monotoniczność funkcji f () :=. Wskazówka: Wbierz dwa różne argument, i sprawdź znak wrażenia f () f (). Szkic rozwiązania. Mam D f = R \ {0}. To sugeruje, żeb badać monotoniczność przedziałami. Istotnie, weźm dwie niezerowe liczb <. Wted f () f () =. Dzięki założeniu licznik jest dodatni, natomiast znak mianownika zależ od znaku argumentów (tutaj ingeruje brak zera w dziedzinie). Gd argument są tch samch znaków, to mianownik jest dodatni. Tak więc na każdm z przedziałów (, 0) oraz (0, + ) funkcja f jest malejąca (powiem malejąca przedziałami). Żeb przekonać się cz jest malejąca w całej dziedzinie, wstarcz wziąć jedną liczbę dodatnią i drugą ujemną. I wted łatwo przekonam się, że f nie jest malejąca w całej dziedzinie. Zadanie 6. Pokaż, że każdą funkcję f : R R można jednoznacznie rozłożć na sumę funkcji parzstej i nieparzstej. Wskazówka: Zbadaj f ()+ f ( ). Uwaga 7. Mam tu bardzo prost przkład zadania, którego rozwiązanie polega na wkazaniu istnienia jakiegoś obiektu/rozkładu oraz jego jedności. Zwkle naturalnm jest rozpocząć od istnienia a następnie wkazać jego jedność. Tm razem jednak zrobim odwrotnie, jako że dowodzenie jedności podpowie nam, jak pokazać istnienie żądanego rozkładu. Szkic rozwiązania. Jedność. Przpuśćm, że f = g + h dla pewnej funkcji parzstej g oraz nieparzstej h. Wted dla dowolnego R mam f () = g() + h() oraz f ( ) = g( ) + h( ) = g() h(). Dodając a następnie odejmując stronami powższe dwa równania otrzmam g() = f () + f ( ), h() = 7 f () f ( ).
Istnienie. f () = f () + f ( ) + f () f ( ) i pierwsz składnik powższej sum jest funkcją parzstą, zaś drugi nieparzstą. Zadanie 7. Omów monotoniczność, różnowartościowość oraz parzstość funkcji o poniższch wkresach: a) b) c) 8
Odpowiedź: a) niemalejąca, nieróżnowartościowa, ani parzsta, ani nieparzsta. Odpowiedź: b) rosnąca, różnowartościowa, nieparzsta. Odpowiedź: c) przedziałami rosnąca, nieróżnowartościowa, ani parzsta, ani nieparzsta. Zadanie 8. Narsuj wkres funkcji wkładniczej i logartmicznej oraz omów ich monotoniczność. Zadanie 9. Uprość wrażenie log 5 log 3 Wskazówka: Zmien podstawę logartmu. Szkic rozwiązania. Odpowiedź: 5 3. log 5 log log 3 3 = log 3 log = log 5 3 log log 3 5 log 3 log = 5. Zadanie 0. Która z liczb jest większa? (i) log cz log 5, (ii) log 7 cz log 7. Odpowiedź: (i) log < log 5, (ii) log 7 > log 7. Zadania dodatkowe Zadanie. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, określonej wzorem f () := []. Wskazówka: Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch wzór funkcji ma sens matematczn. Funkcja zwraca część całkowitą argumentu. Co to mówi o zbiorze wartości? Szkic rozwiązania. Jako że wznaczanie części całkowitej ma sens dla każdej liczb rzeczwistej, zatem dziedziną jest cała prosta rzeczwista, tzn. D f = R. Na moc definicji części całkowitej 9
zbiór wartości jest podzbiorem Z. Jednakże każda liczba całkowita jest częścią całkowitą siebie samej, zatem f (D f ) = Z. Odpowiedź: D f = R, f (D f ) = Z. Uwaga 8. Przpomnijm, że smbol [] oznacza część całkowitą liczb rzeczwistej, tzn. [] jest największą liczbą całkowitą, nieprzekraczającą. W treści zadania pojawił się jednocześnie smbole f oraz f (). To dobra okazja, ab omówić różnicę pomiędz nimi. A także wspomnieć o zapisie anonimowm, tzn. np. +. Zadanie. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór liczb całkowitch ujemnch na zbiór liczb całkowitch dodatnich. Wskazówka: Co to oznacza graficznie? Odpowiedź: =. Zadanie 3. Podaj równanie prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnch oraz punkt (3, ). Wskazówka: Rozwiąż odpowiedni układ równań. Szkic rozwiązania. Oznaczm = a + b. Musim rozwiązać układ równań 0 = a 0 + b = a 3 + b. Odpowiedź: a = 3, b = 0. Zadanie 4. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór wielokrotności liczb 3 na zbiór wielokrotności liczb 4. Wskazówka: Co to oznacza graficznie? Odpowiedź: = 4 3. Zadanie 5. O funkcji liniowej f wiem, że f () = 3, f (4) = 3. Wznacz f (0). Wskazówka: Funkcja przechodzi przez dwa punkt (jakie?). Rozwiąż odpowiedni układ równań. Szkic rozwiązania. Przez dwa punkt przechodzi dokładnie jedna prosta, rozwiązując więc odpowiedni układ równań (liniowch) otrzmujem wzór f () = 5 + 3. Tak więc f (0) = 53. Możem też zastosować prostszą metodę. Skoro wzrost argumentu o dwie jednostki (z do 4) spowodował wzrost wartości o 0 jednostek (od 3 do 3), to znacz, że wzrost argumentu o jednostkę daje wzrost wartości o 5. Tm samm wzrost o 8 jednostek (z do 0) daje wzrost wartości o 8 5 = 40 jednostek. Tm samm f (0) = f () + 40 = 53. Odpowiedź: f (0) = 53. Zadanie 6. Student dojeżdża na uczelnię autobusem a wraca pieszo. Poniższ wkres przedstawia, w jakiej odległości od domu student się znajduje, gd już wbierze się na uczelnię. Analizując wkres odpowiedz na następujące ptania: (i) ile godzin student spędza na uczelni? (ii) w jakiej odległości od domu znajduje się uczelnia? (iii) z jaką prędkością jedzie autobus? (iv) z jaką prędkością student wraca do domu? 0
s 5 7 7 3 3 4 t Odpowiedź: (i) 5 godz. 40 min., (ii) 5 km, (iii) 5 km/h, 5 km/h. Zadanie 7. Przedskutuj liczbę rozwiązań równania 6 + 5 = m w zależności od wartości parametru m R. Wskazówka: Zbadaj znak wróżnika. Szkic rozwiązania. Badam liczbę pierwiastków trójmianu = 6 + 5 m. = 6 + 4m. Metoda graficzna. 3 5-4 Odpowiedź: Dwa rozw. dla m > 4, jedno rozw. dla m = 4, zero rozw. dla m < 4. Zadanie 8. Pokaż, że dla dowolnch liczb rzeczwistch a, b, c wielomian W() := ( a)( b) + ( b)( c) + ( a)( c)
ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Wskazówka: W, to trójmian kwadratow jego wróżnik musi bć nieujemn. Potraktuj ten wróżnik, jako trójmian kwadratow względem jednego z parametrów. Szkic rozwiązania. Wielomian W, to w istocie trójmian kwadratow W() = 3 (a + b + c) + ab + bc + ac. Chcem, ab 0 = 4(a (b + c)a + b + c bc) =: f (a). Ale f też jest trójmianem i zauważm, że wróżnik a tego trójmianu jest niedodatni. Mam bowiem a = (b + c) 4 ( (b + c) 3bc ) = 3 ( (b + c) 4bc ) = 3(b c) 0. Tm samm W ma co najmniej jeden pierwiastek. Zadanie 9. Cz istnieje takie p R, że równanie + p + p = 0 ma dwa pierwiastki, spełniające warunek: ( + )( + ) =? Wskazówka: Sprawdź, kied wróżnik jest nieujemn i użj wzorów Viete a. Szkic rozwiązania. Po przekształceniach i zastosowaniu wzorów Viete a mam = ( + )( + ) = ( + ) + = p + p p = p =. Nasze równanie ma dwa rozwiązania dokładnie wted, gd = p 4p 0. Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest zbiór p R \ (0, 4). Odpowiedź: p =. Zadanie 0. Zbadaj monotoniczność funkcji f () := +. Wskazówka: Znajdź dziedzinę a potem dla dwóch różnch argmentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. Szkic rozwiązania. Po pierwsze, D f = R \ { }. Weźm dowolne < D f. Wted f () f () = ( + )( + ). Ze względu na brak w dziedzinie, podzielim rozumowanie na dwa przpadki. Niech najpierw < <. Wted f () f () > 0, zatem f jest malejąca. Podobnie dla < < funkcja też jest malejąca. Dla < < 0 dostajem f ( ) f (0) < 0, zatem f nie jest malejąca w całej dziedzinie. Odpowiedź: Rozważana funkcja jest malejąca przedziałami na (, ) oraz (, + ). Zadanie. Wznacz zbiór wartości funkcji f : R R, danej wzorem f () := cz jest ona różnowartościowa. +. Sprawdź,
Wskazówka: Jak się sprawdza różnowartościowość? Dla jakich równanie f () = ma rozwiązanie? Szkic rozwiązania. Załóżm, że f () = f (). Po przekształceniach daje to ( )( ) = 0. Tm samm f (a) = f (a ) dla każdego a 0. Zatem f nie jest różnowartościowa. Zbiór wartości naszej funkcji, to zbiór tch R, dla którch równanie f () = ma rozwiązanie. Musim więc sprawdzić, kied równanie + = ma rozwiązanie. Po przekształceniach dostajem + = 0. Powższe równanie ma rozwiązanie, gd wróżnik tego trójmianu jest nieujemn, a tak jest dla [, ]. Odpowiedź: f nie jest injekcją oraz f (R) = [, ]. Zadanie. Funkcja f : R R dana jest wzorem + +, dla f () :=, dla =. Cz f jest injekcją/surjekcją? Gd f jest bijekcją, znajdź f. Wskazówka: Co oznaczają własności, o które ptam? Szkic rozwiązania. (i) Injektwność. Jeżeli f () = f (), to albo obie wartości wnoszą i wted oba argument wnoszą -, albo + + = + + dla,. Po elementarnch przekształceniach dostajem =. Tak więc f jest różnowartościowa. (ii) Surjektwność. Jeżeli =, to f ( ) =. Jeżeli, to rozwiązujem równanie + + =. Otrzmujem =. Zatem f jest surjekcją. (iii) Bijektwność. Powższe podpunkt pokazują, że istnieje funkcja odwrotna f i f, dla () =, dla =. Odpowiedź: Funkcja f jest bijekcją i f, dla () =, dla =. Zadanie 3. Zbadaj parzstość poniższch funkcji: 3
(i) f () := sin cos, (ii) g() := sin + cos. Wskazówka: Co oznacza parzstość? Szkic rozwiązania. Łatwo zauważć, że f jest funkcją nieparzstą, zaś g ( π 3, g ( ) π 3 = + 3 Odpowiedź: (i) nieparzsta, (ii) ani parzsta, ani nieparzsta. 3 ) = + 3, g ( π 3 ) = Zadanie 4. Pokaż, że iloczn dwóch funkcji tej samej parzstości jest funkcją parzstą, zaś przeciwnej parzstości funkcją nieparzstą. Szkic rozwiązania. Gd f, g są nieparzste, to ( f g)( ) = f ( )g( ) = f ()g() = ( f g)(). Podobnie w pozostałch przpadkach. Uwaga 9. Bardzo łatwo pokazać, że gd spośród n funkcji o zadanej parzstości chociaż jedna jest parzsta, to ich złożenie również. Gd zaś wszstkie są nieparzste, to ich złożenie również. Zadanie 5. Pokaż, że jedną funkcją f : R R jednocześnie parzstą i nieparzstą jest f 0. Wskazówka: Definicje obu pojęć prowadzą do dwóch równań. Szkic rozwiązania. Chcem, ab jednocześnie (dla wszstkich R) f ( ) = f () oraz f ( ) = f (). To daje f () = f () i ostatecznie f () = 0 dla każdego R. Zadanie 6. Zbadaj okresowość funkcji, Q χ Q () := 0, Q. Odpowiedź: Każda liczba wmierna jest okresem rozważanej funkcji. Nie ma okresu podstawowego. Zadanie 7. Zbadaj okresowość poniższch funkcji i znajdź (o ile istnieje) okres podstawow T: (i) sin 3, (ii) sin + tg, (iii) sin a + cos b, a, b Z. Uwaga 0. Rozwiązanie powższch zadań wmaga pewnej wiedz o funkcjach trgonometrcznch (i ich ciągłości), którą to wiedzą studenci (prznajmniej formalnie) nie muszą dsponować. Z drugiej stron funkcje te najlepiej nadają się do zadań dotczącch okresowości funkcji. Za najmniej złe rozstrzgnięcie uznajem powołać się na potrzebną wiedzę i rozwiązać zadanie. Szkic rozwiązania. Rozwiążem przkład drugi. Po pierwsze, okresem podstawowm funkcji sin jest π, zaś funkcji tg π. Tm samm π jest okresem rozważanej funkcji. Załóżm teraz, że dla pewnego t (0, π) zachodzi: R: sin( + t) + tg( + t) = sin + tg. Korzstając z zależności tg = sin cos i dokonując odpowiednich przekształceń otrzmujem (sin sin( + t))(cos cos( + t) + ) = 0. 4
Ciągłość rozważanch funkcji daje R: cos cos( + t) = lub R: sin = sin( + t). Ale dla = t lew warunek prowadzi do równości cos t =, czli jest nieprawdziw. Tm samm zachodzi warunek praw i t staje się okresem funkcji sin. Ale t < π i znowu mam sprzeczność. Ostatecznie π jest okresem podstawowm rozważanej funkcji. Odpowiedź: (i) T = 3 π, (ii) T = π, (iii) T = π NWD( a, b ). Zadanie 8. Oblicz log ab a b, jeżeli wiadomo, że log a b =. Wskazówka: ab =..., a b =...? Szkic rozwiązania. Z założenia wnika, że b = a, zatem ab = a, zaś a b = a 3. Stąd log ab a b = log a a 3 4 = 3. Zadanie 9. Cz funkcje f () := log oraz g() := log log( ) mają te same dziedzin? Wskazówka: Dla jakich argumentów funkcja log jest zdefiniowana? Szkic rozwiązania. D f : > 0 (, 0) (, + ). D g : > 0 > 0 (, + ). Odpowiedź: Nie. Zadanie 30. Pokaż, że funkcja f () := ln ( + + ) jest nieparzsta. Wskazówka: Pokaż, że dziedzina jest zbiorem smetrcznm względem 0. Potem przekształć ( + + ). Szkic rozwiązania. Po pierwsze, D f = R. Po drugie, f ( ) = ln ( + ) = ln ( + + ) = f (). Zadanie 3. Uprość wrażenia: (i) (( ) ), (ii) [ ], (iii) log 6 log 9. Odpowiedź: (i) (( ) ) =, (ii) [ ] =, (iii) log 6 log 9 =. Zadanie 3. Uporządkuj od najmniejszej do największej liczb, Odpowiedź: < < <. 5,,.
Zadanie 33. Ile cfr ma liczba 000? Wskazówka: Ile potęg 0 mieści się w rozważanej liczbie? Szkic rozwiązania. Mówiąc obrazowo, należ sprawdzić, ile potęg 0 mieści się w rozważanej liczbie. Dokładnie, jeżeli k oznacza liczbę cfr, to zachodzą nierówności 0 k 000 < 0 k. Tm samm k = [log 000 + ]. Ponieważ log 0, 3003, zatem k = 30. Odpowiedź: 000 ma 30 cfr. Zadania domowe Zadanie 34. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji h, określonej wzorem h() :=. Wskazówka: Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch wzór funkcji ma sens matematczn. Jaki znak ma h()? Odpowiedź: D h = (, 0], h(d h ) = [0, + ). Zadanie 35. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór liczb parzstch na zbiór liczb nieparzstch. Wskazówka: Co to oznacza graficznie? Odpowiedź: = +. Zadanie 36. Podaj wzór prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnch i nachlonej (do OX) pod kątem π 3 oraz 3 4 π. Wskazówka: Wznacz współcznnik kierunkow. Odpowiedź: π 3 : = 3, 3 4 π : =. Zadanie 37. Daną liczbę a R przedstaw, jako sumę dwóch takich liczb, że suma ich kwadratów jest najmniejsza. Wskazówka: Musisz znaleźć wierzchołek pewnego trójmianu kwadratowego. Odpowiedź: a = a + a. Zadanie 38. Wznacz współcznnik b R w równaniu + b 8 = 0 wiedząc, że jedno z rozwiązań jest kwadratem drugiego. Wskazówka: Wzor Viete a. Odpowiedź: b =. Zadanie 39. Zbadaj monotoniczność funkcji f () :=. Wskazówka: Wznacz dziedzinę. Potem dla dwóch różnch argumentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. Odpowiedź: Rosnąca na (, 0) i malejąca na (0, + ). +. Zadanie 40. Zbadaj monotoniczność funkcji f () := Wskazówka: Wznacz dziedzinę. Potem dla dwóch różnch argumentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. Odpowiedź: Malejąca na (, ) oraz (, + ), rosnąca na (, ). Nie jest malejąca na (, ) (, + ). 6
Zadanie 4. Wkaż, że funkcja +, dla f () :=, dla = jest swoją własną odwrotnością. Zadanie 4. Uprość wrażenie log 3 7 3. Odpowiedź: 3. Zadanie 43. Uprość wrażenia: (i) log 5 ( 9 log 3 5 ), (ii) 4 log 7, (iii) log 3 log 3 4. Wskazówka: Skorzstaj z własności logartmów. Odpowiedź: (i), (ii) 49, (iii). Zadanie 44. Uporządkuj od najmniejszej do największej liczb log 3, log 3, log9 8, log 3. Odpowiedź: log 3 < log 3 < log9 8 < log 3. Literatura ) J. Banaś, S. Wędrchowicz, Zbiór zadań z analiz matematcznej, WNT, Warszawa, 994. ) N. Dróbka, K. Szmański, Zbiór zadań z matematki dla kl. I i II szkół średnich, WSiP, Warszawa, 990. 3) N. Dróbka, K. Szmański, Matematka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań, WNT, Warszawa, 004. 4) Materiał na platformie OLAT. 7