ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

Transkrypt

1 I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności z wykresu dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartości ekstremalne oraz argumenty dla których wartość funkcji jest dodatnia (ujemna) 4. Przesuniecie wartości funkcji, wyznaczanie wzoru funkcji y = f( p) + q. 5. Przekształcanie wykresów funkcji przez symetrię. II. III. Funkcja liniowa. 1. Funkcja liniowa i jej wykres. 2. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. 3. Równanie kierunkowe i ogólne prostej. 4. Geometryczna interpretacja układów równań liniowych. 5. Wzajemne położenie dwóch prostych. 6. Warunek równoległości i prostopadłości prostych. Funkcja kwadratowa. 1. Funkcja kwadratowa i jej własności. 2. Postać kanoniczna, iloczynowa i ogólna wyznaczanie poszczególnych postaci funkcji kwadratowej. 3. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. 4. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu własności. 5. Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej w przedziale. 6. Równania kwadratowe. 7. Nierówności kwadratowe. 8. Równania prowadzące do równań kwadratowych równania wymierne. 9. Zadania z treścią prowadzące do równań kwadratowych.

2 Naturalnie, że zdasz. I. FUNKCJE. Zad1. Oblicz f( 3), f(2), f(1,5), f( 3), jeżeli: f() = 2 + 4; f() = 6 + 5; f() = ; f() = Zad2. Sporządź tabelkę dla funkcji a) f() = + 5 dla ε{ 3, 2, 1, 0, 1 }, b) f() = 1 dla ε{0, 1, 2, 3}, 2+3 c) f() = 2 +1 dla ε{0, 1,2,3}. Zad3.Wyznacz dziedzinę funkcji a) f() = 2 4 3, b) f() = 3 + 5, c) f() = , d) f() = 3+6 e) f() = 4 8, f) f() = , g) f() = 1 +, h) f() = 4, i) f() = 4, j) f() = 3, k) f() = ( 1)(+2) Zad4. Wyznacz zbiór wartości funkcji a) f() = dla ε{ 2, 0, 3}, b) f() = 2 dla ε{ 2, 1, 3}, c) f() = 3 1 dla ε{1, 4, 9}., Zad5. Dana jest funkcja y = f() oraz jej zbiór wartości. Wyznacz dziedzinę tej funkcji a) f() = dla ε{ 3, 0, 4}, b) f() = 9 dla ε{ 3, 3, 9}, c) f() = dla ε{ 1, 2, 0, 3}. Zad6. Wyznacz miejsca zerowe funkcji w podanej dziedzinie a) f() = 3 9, D = R, b) f() = 4 12, D = N, c) f() = 0,5 1,5, ε(1,6, d) f() = 5( 3)(2 + 6) dla ε( 1,5), e) f() = +6, ustal dziedzinę.

3 Zad7. Na podstawie wykresu określ: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty dla których wartość funkcji jest dodatnia(ujemna), wartości ekstremalne Zad8. Mając wykres funkcji y = f(), narysuj wykresy funkcji a) y = f( + 3), b) y = f( 2), c) y = f() + 3, d) y = f( + 4) 1. Zad9.Na jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy funkcji a) y = i y = 2 + 3, b) y = 2 2 i y = 2 2 3, c) y = 1 i y = 1 +3.

4 II. FUNKCJA LINIOWA. Zad1. Narysuj wykres funkcji i opisz jej własności a) y = 2 + 1, b) y = 2 + 6, c) y = Zad2. Dany jest wykres funkcji liniowej, podaj jej wzór Zad3. Dla jakich wartości m funkcja f() jest rosnąca, malejąca oraz stała a) f() = (m 2) + 4, b) f() = ( 2m + 4) m, c) f() = (2 1 m 7) + 5 1, d) f() = ( 3m 6). 3 7 Zad4. Wyznacz miejsca zerowe funkcji a) f() = 5 6, b) f() = 0, , c) f() = Zad5. Dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie ( ujemne, niedodatnie, nieujemne ) a) f() = 3 5, b) f() = 1,2 12, c) f() = Zad6. Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy ( prostopadły ) do wykresu funkcji y = f() i przechodzący przez punkt P a) f() = 0,5 4, P(0, 1), b) f() = 0,2 + 2, P(5,2), c) f() = , P(1, 1 3 ).

5 Zad7. Dla jakich wartości m wykresy funkcji są równoległe ( prostopadłe ) a) f() = (m 1) 7 i g() = 3 + 2, b) f() = 3(m 2) + 11 i g() = Zad8. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych a) y = 3 9, b) 2 y 2 = 0, c) 4y 4 = 0. Zad9. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty a) ( 2, 4) i ( -5, 4), b) ( 2, 1 ) i ( 3, - 1) 2 Zad10. Sprawdź, czy dane punkty są współliniowe: A( 2,0 ) B( 1,2 ) C( 4,8 ). Zad11. Dla jakich wartości m punkt A leży na prostej l a) l: y = i A(m, 3m) b) l: y = 7 1 i A(m + 1, 13). Zad12. Rozwiąż układ metodą algebraiczną i graficzną + y = 4 4 y = 2 + 3y = 3 a) {, b) {, c) {2 2 + y = = y = 2. III. FUNKCJA KWADRATOWA. Zad1. Dla jakich wartości a do wykresu funkcji y = f() należy punkt P? a) y = 3 2, P(1, a 2), b) y = 1 2 2, P( 2,3a + 1), c) y = 2, P(a + 1,6a + 5). Zad2. Sprowadź do postaci kanonicznej a) y = , b) y = , c) y = 3( + 4)( 1). Zad3. Sprowadź do postaci ogólnej a) y = 2( + 3) 2 4, b) y = 4( 2) 2 + 1, c) y = 3( + 4)( 2). Zad4. Podaj zbiór wartości funkcji, przedziały monotoniczności oraz równanie osi symetrii wykresu a) y = 3( 5) 2 + 2, b) y = ( + 3) 2, c) y = 0,2( 2) 2 3, d) y =

6 Zad5. Napisz wzór funkcji, której wykresem jest parabola o wierzchołku W( -3, 2) i przystająca do wykresu funkcji a) y = 5 2 b) y = -4 2 Zad6. Naszkicuj wykres funkcji y = f() i podaj jej własności ( min. 7 własności) a) y = b) y = b) y = przedstaw podane funkcje w postaci iloczynowej ( jeżeli istnieje) Zad7. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji w podanym przedziale a) f() = ε< 2; 5>, ε< -4; 0>, ε< -2; 1>, b) f() = ε< 0; 5>, ε< 3; 5>, ε< 2; ). Zad8. Oblicz największy iloczyn takich dwóch liczb, których suma wynosi 22. Zad9. Liczbę 30 rozłóż na sumę takich dwóch składników, których suma kwadratów jest najmniejsza. Zad10. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu, którego obwód wynosi 100. Zad11. Wykresem funkcji kwadratowej y = 0,5 2 +b + c jest parabola o wierzchołku W( - 4, -1). Wyznacz b i c. Zad12. Rozwiąż równania: a) = 0, b) = 0, c) = 0, d) = 0, e) -3( + 4)( 5) = 0, f) = 0, g) (3 2) 2 = 8( + 1) Zad13. Rozwiąż nierówność a) > 0, b) , c) -0, , d). 2 > 9, e) > 0, f) , g) < 0. Zad15. Rozwiąż równania wymierne, ustalając wcześniej dziedziną a) 5 +4 = 1, b) = 1 4, c) 1 2 = 3, d) =, e) = 0,

7 f) +3 = 3 g) 1, = 2. Zad14. Mając wykres funkcji, wyznacz jej wzór w postaci y = a 2 + b + c Zad16. Samochód przejechał 8km drogą polną, z prędkością v, a następnie 32 km szosą, z prędkością v + 60km/h. Oblicz v, jeżeli każdy odcinek drogi przebył w takim samym czasie. Odp: 4h Zad17. Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby każdego dnia czytał o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę. Odp: 15 dni Zad18. Rowerzysta wyruszył na 90-kilometrową wycieczkę. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 1km/h mniejszą, czas jego jazdy wydłużyłby się o 3 godziny. Ile wynosiła prędkość rowerzysty i po jakim czasie dojechał do celu? Odp: 6km/h, po 15h Zad19. Napełnianie basenu wodą wypływającą z dwóch kranów trwa 4 godziny. Jeżeli napełnianie miałoby się odbywać za pomocą jednego kranu, to przy wykorzystaniu mniejszego trwałoby o 6 godzin dłużej niż przy użyciu większego. Jak długo trzeba napełniać basen wodą z większego kranu? Odp: 6h