METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody przemieszczeń, wyznaczyć siły w prętach oraz naszkicować postać deformacji. Zastosować trzy różne przekroje prętów. IPET 18 RO 51/5 a IPET 14 RO 51/5 IPET 18 RO 51/5 IPET 14 RO 51/5 IPET 14 IPET 14 P1=5 kn P2=2 kn,8,8 P3=3 kn 1,3 1,3 1,3 α = arctg,8 1,3 = 31,675 Opracowanie powinno zawierać: 1. Schematy konstrukcji z numeracją prętów i węzłów, lokalnymi układami współrzędnych, układem globalnym, stopniami swobody konstrukcji oraz zestawienie danych o konstrukcji. 2. Wydruk obliczeń konstrukcji macierzową metodą przemieszczeń. 3. Rezultaty analizy: tabela z wartościami sił i ręcznie przygotowany rysunek zdeformowanej postaci kratownicy. 4. Wydruki z programu Robot (schemat konstrukcji z numeracją węzłów i prętów, tabele: przemieszczenia węzłów i siły wewnętrzne). Uwaga: Na sprawdzenie stanu zaawansowania należy przynieść schemat dyskretnego modelu konstrukcji (rysunek odręczny lub wydruk) i wydruki obliczeń komputerowych. 1 S t r o n a
1. DYSKRETNY MODEL KONSTRUKCJI 1.1. Schematy konstrukcji Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Y 2 1 4 8 2 P1=5 kn,8 7 5 9 3 3 6 7 P2=2 kn 6 1 4,8 X 1 5 P3=3 kn 1,3 1,3 1,3 Rys. 1. Podział konstrukcji na węzły i pręty, globalny układ współrzędnych. Y 4 3 y1 8 7 x1 2 1 y7 x7 4 x8 y8 8 2 y2 x2 y3 14 13 y6 x6 6 7 5 6 y9 12 5 x9 11 x3 9 3 3 6 y5 x1 x5 y1 1 y4 x4 4 7 2 1 1 9 X 1 5 Rys. 2. Lokalne układy współrzędnych prętów, układ stopni swobody konstrukcji. 2 S t r o n a
1.2. Zestawienie danych o konstrukcji Tab. 1. Współrzędne węzłów (takie jak w programie ROBOT) Węzeł Współrzędna X [m Współrzędna Y [m 1,, 2, 1,6 3 1,3,8 4 1,3 1,6 5 2,6, 6 2,6,8 7 3,9,8 Tab. 2. Topologia konstrukcji i informacje o prętach (takie jak w programie ROBOT) Pręt Węzeł początkowy Węzeł końcowy Przekrój l i [cm A i [cm 2 1 2 4 IPET 18 13 12, 2 4 6 IPET 18 152,6434 12, 3 6 7 IPET 14 13 8,21 4 5 7 IPET 14 152,6434 8,21 5 3 5 IPET 14 152,6434 8,21 6 1 3 IPET 14 152,6434 8,21 7 2 3 RO 51x5 152,6434 7,23 8 3 4 RO 51x5 8 7,23 9 3 6 RO 51x5 13 7,23 1 5 6 RO 51x5 8 7,23 Moduł Younga dla kształtowników stalowych (taki jak w programie ROBOT): E = 25 Pa 3 S t r o n a
2. LOBALNA MACIERZ SZTYWNOŚCI KONSTRUKCJI K K = A T K A A gdzie A macierz alokacji A T transponowana macierz alokacji K A agregowana macierz sztywności konstrukcji 2.1. Macierz alokacji A Macierz alokacji A zawiera informację, któremu stopniowi swobody konstrukcji odpowiada dane, globalne przemieszczenie końca pręta. Przykładowo, w przypadku pręta nr 4 wiemy, że: V 47=14 y4 x4 4 7 U47=13 V 45=1 a U45=9 5 Rys. 3. Zgodność globalnych przemieszczeń końców pręta z przemieszczeniami węzłów na kierunku stopni swobody konstrukcji. Powyższe informacje można też zapisać w formie tablicy (Tab. 3) uzyskując w ten sposób część macierzy alokacji dotyczącą pręta czwartego. Sposób postępowania w przypadku pozostałych prętów jest analogiczny. Tab. 3. Fragment macierzy alokacji dotycząca pręta czwartego zapisany w formie tabeli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 U 45 1 V 45 1 U 47 1 V 47 1 4 S t r o n a
Cała macierz alokacji ma wymiar 4 x 14 (sumaryczna liczba globalnych przemieszczeń końców prętów x liczba stopni swobody konstrukcji) i przyjmuje postać: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 A = U 12 V 12 U 14 V 14 U 24 V 24 U 26 V 26 U 36 V 36 U 37 V 37 U 45 V 45 U 47 V 47 U 53 V 53 U 55 V 55 U 61 V 61 U 63 V 63 U 72 V 72 U 73 V 73 U 83 V 83 U 84 V 84 U 93 V 93 U 96 V 96 U 15 V 15 U 16 V 16 [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 S t r o n a
2.2. Agregowana macierz sztywności konstrukcji W macierzy tej na głównej przekątnej ustawiane są globalne macierze sztywności poszczególnych prętów, pozostałe elementy to macierze zerowe o wymiarze 4 x 4: K A = k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 [ k 1 lobalne macierze sztywności poszczególnych prętów oblicza się ze wzoru: k i = λ T i k L i λ i gdzie: λ i macierz cosinusów kierunkowych i tego pręta λ T i transponowana macierz cosinusów kierunkowych i tego pręta k L i lokalne macierze sztywności prętów i tego pręta 2.2.1. Macierze cosinusów kierunkowych λ i Macierze cosinusów kierunkowych określają położenie osi lokalnego układu danego pręta, względem układu globalnego. Jej wymiar zależy od liczby stopni swobody w węzłach danego pręta. Pręt ramy posiada 2 węzły po 3 stopnie swobody (dwie możliwości przesuwów wzajemnie prostopadłych oraz możliwość obrotu) macierz 6x6. λ i = cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy 1 cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy [ 1 6 S t r o n a
Pręt kratownicy posiada 2 węzły przegubowe po 2 stopnie swobody (dwie możliwości przesuwów wzajemnie prostopadłych ) macierz 4x4. λ i = cos γ xx cos γ xy cos γ yx cos γ yy cos γ xx cos γ xy [ cos γ yx cos γ yy Przykładowe wyznaczenie kątów dla pręta 4 y4 x4 4 7 a 5 Rys. 4. Lokalny układ współrzędnych pręta nr 4. Rys. 5. Położenie osi lokalnego układu danego pręta względem układu globalnego. α = arctg,8 1,3 = 31,675 γ xx = 36 α = 36 31,675 = 328,3925 γ xy = 9 α = 9 31,675 = 58,3925 γ yx = 27 α = 27 31,675 = 238,3925 γ yy = 36 α = 36 31,675 = 328,3925 7 S t r o n a
Macierze cosinusów kierunkowych dla poszczególnych prętów Pręt nr 1 Pręt nr 9 Pręt nr 8 Pręt nr 7 Pręt nr 6 Pręt nr 5 Pręt nr 4 Pręt nr 3 Pręt nr 2 Pręt nr 1 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 328,3925 γ xy = 58,3925 γ yx = 238,3925 γ yy = 328,3925 γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = 328,3925 γ xy = 58,3925 γ yx = 238,3925 γ yy = 328,3925 γ xx = 31,675 γ xy = 121,675 γ yx = 31,675 γ yy = 31,675 γ xx = 27 γ xy = γ yx = 18 γ yy = 27 γ xx = γ xy = 9 γ yx = 27 γ yy = γ xx = 27 γ xy = γ yx = 18 γ yy = 27 1 1 λ 1 = [ 1 1,8517,5241,5241,8517 λ 2 = [,8517,5241,5241,8517 1 1 λ 3 = [ 1 1,8517,5241,5241,8517 λ 4 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 5 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 6 = [,8517,5241,5241,8517,8517,5241,5241,8517 λ 7 = [,8517,5241,5241,8517 1 1 λ 8 = [ 1 1 1 1 λ 9 = [ 1 1 1 1 λ 1 = [ 1 1 8 S t r o n a
2.2.2. Lokalne macierze sztywności prętów Kratownice płaskie posiadają po dwa stopnie swobody w każdym węźle. W układzie lokalnym pręta występują tylko siły normalne N, natomiast siły tnące T równe są zeru, zatem lokalna macierz sztywności i-tego elementu kratownicy płaskiej obliczana jest według wzoru v2 EA EA l l k L i = EA EA l l [ v1 u1 Rys. 6. Stopnie swobody elementu w układzie lokalnym. u2 Pręt nr 1 Pręt nr 2 Pręt nr 3 Pręt nr 4, 5, 6 Pręt nr 7 Pręt nr 8, 1 Pręt nr 9 25 12 25 12 = 1892,31 = 1892,31 13 13 k L 1 = 25 12 25 12 = 1892,31 = 1892,31 13 13 [ 1611,6 1611,6 k L 2 = [ 1611,6 1611,6 1294,65 1294,65 k L 3 = [ 1294,65 1294,65 112,6 112,6 k L 4 = k L 5 = k L 6 = [ 112,6 112,6 97,99 97,99 k L 7 = [ 97,99 97,99 1852,69 1852,69 k L 8 = k L 1 = [ 1852,69 1852,69 114,12 114,12 k L 9 = [ 114,12 114,12 9 S t r o n a
2.2.3. lobalna macierz sztywności poszczególnych prętów k i V 2 U2 Wyrażenie globalnej macierzy sztywności danego pręta w układzie globalnym polega na transformacji jego lokalnej macierzy sztywności do układu globalnego za pomocą macierzy cosinusów kierunkowych, zgodnie z formułą: k i = λ i T k i L λ i V 1 U1 Rys. 7. Stopnie swobody elementu w układzie globalnym. Pręt nr 1 1892,31 1892,31 k 1 = k L 1 = [ 1892,31 1892,31 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych Pręt nr 2 1168,93 719,34 1168,93 719,34 k 719,34 442,67 719,34 442,67 2 = [ 1168,93 719,34 1168,93 719,34 719,34 442,67 719,34 442,67 Pręt nr 3 1294,65 1294,65 k 3 = k L 3 = [ 1294,65 1294,65 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych Pręt nr 4, 6 Pręt nr 5 Pręt nr 7 Pręt nr 8, 1 799,74,15 799,74,15 k 4 = k,15 32,86,15 32,86 6 = [ 799,74,15 799,74,15,15 32,86,15 32,86 799,74,15 799,74,15 k,15 32,86,15 32,86 5 = [ 799,74,15 799,74,15,15 32,86,15 32,86 74,28 433,4 74,28 433,4 k 433,4 266,71 433,4 266,71 7 = [ 74,28 433,4 74,28 433,4 433,4 266,71 433,4 266,71 k 8 = k 1852,69 1852,69 1 = [ 1852,69 1852,69 Pręt nr 9 114,12 114,12 k 9 = k L 9 = [ 114,12 114,12 układ lokalny pręta pokrywa się z globalnym układem współrzędnych 1 S t r o n a
11 S t r o n a 2.2.4. Utworzenie agregowanej macierzy sztywności konstrukcji K A = [ 1892 1892 1892 1892 1169 719 1169 719 719 443 719 443 1169 719 1169 719 719 443 719 443 1295 1295 1295 1295 8 8 33 33 8 8 33 33 8 8 33 33 8 8 33 33 8 8 33 33 8 8 33 33 74 433 74 433 433 267 433 267 74 433 74 433 433 267 433 267 1853 1853 1853 1853 114 114 114 114 1853 1853 1853 1853
2.3. Utworzenie globalnej macierzy sztywności konstrukcji lobalna macierz sztywności konstrukcji obliczana jest według wzoru: K = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 [ K = A T K A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 799,742,149 799,742,149,149 32,861,149 32,861 2596,587 433,43 74,279 433,43 1892,38 433,43 266,79 433,43 266,79 799,742,149 74,279 433,43 3443,879 433,43 799,742,149 114,115,149 32,861 433,43 266,79 433,43 2725,119 1852,688,149 32,861 1892,38 361,236 719,341 1168,928 719,341 1852,688 719,341 2295,359 719,341 442,671 799,742,149 1599,484 799,742,149,149 32,861 2458,49 1852,688,149 32,861 114,115 1168,928 719,341 363,698 719,341 1294,654 719,341 442,671 1852,688 719,341 2295,359 799,742,149 1294,654 294,396,149,149 32,861,149 32,861 2.4. Nałożenie warunków brzegowych na globalną macierz sztywności konstrukcji W węźle nr 1 oraz 2 znajduje się podpora przegubowo nieprzesuwna, co znaczy że węzeł ten nie przemieści się ani w poziomie, ani w pionie. W węźle nr 4 znajduje się podpora przegubowo przesuwna z możliwością przesuwu w poziomie, co znaczy że węzeł ten nie przemieści się w pionie. 2 1 4 3 8 7 2 1 4 6 5 12 11 14 13 3 6 5 1 9 7 Rys. 8. Układ stopni swobody konstrukcji. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 K = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 [ 1 1 1 1 3443,879 433,43 799,742,149 114,115 433,43 2725,119,149 32,861 361,236 1168,928 719,341 1 799,742,149 1599,484 799,742,149,149 32,861 2458,49 1852,688,149 32,861 114,115 1168,928 363,698 719,341 1294,654 719,341 1852,688 719,341 2295,359 799,742,149 1294,654 294,396,149,149 32,861,149 32,861 12 S t r o n a
4 3 8 7 6 5 12 11 14 13 Autor: mgr inż. Robert Cypryjański 3. LOBALNY WEKTOR OBCIĄŻENIA Q lobalny wektor obciążeń obliczyć można za pomocą wzoru Q = Q W + Q P gdzie: Q W - suma globalnego wektora obciążeń węzłowych Q P - suma globalnego wektora obciążeń prętowych sprowadzonych do węzłów. W przypadku obu wektorów obciążenia wyrażone są za pomocą składowych działających na kierunkach stopni swobody konstrukcji. Wszystkie obciążenia są przyłożone w węzłach, dlatego Q P =, a co za tym idzie P1=5 kn 2 1 1 9 P2=2 kn P3=3 kn Rys. 9. Układ stopni swobody konstrukcji. Rys. 1. Siły węzłowe. Q = Q W = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 3 2 14 [ 5 13 S t r o n a
4. PRZEMIESZCZENIA WĘZŁOWE Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń K = Q gdzie: K globalna macierz sztywności konstrukcji, wektor parametrów węzłowych (przemieszczeń, obrotów jeśli występują), Q wektor obciążeń zewnętrznych. Przemieszczenia węzłowe obliczane są przez przekształcenie powyższego układu równań. Otrzymane wartości przemieszczeń są w cm. = K 1 Q = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13,8982,2282,611,522,51438,13587,4766,8856 14 [ 1,38382 3= 4= 7=,611 8= 11=-,13587 12=-,4766 1= 2= 5=-,8982 6=,2282 9=-,522 1=-,51438 13=-,8856 14=-1,38382 Rys. 11. Deformacja kratownicy (przygotować ręczny rysunek). 14 S t r o n a
5. OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Wartości sił wewnętrznych w przekrojach przywęzłowych i tego pręta kratownicy obliczane są na podstawie wyznaczonych wartości przemieszczeń węzłów według wzoru: S i L = k i L i L Znaki sił wewnętrznych odnoszą się do zwrotów lokalnych stopni swobody elementu. Lokalne wektory przemieszczeń obliczane są zgodnie z zależnością i L = λ i i lobalne wektory przemieszczeń końców prętów i tworzy poprzez wybranie z globalnego wektora przemieszczeń wartości opisujących przemieszczeniu danego pręta. Pręt nr 7 Pręt nr 6 Pręt nr 5 Pręt nr 4 Pręt nr 3 Pręt nr 2 Pręt nr 1 3 113,75 4 1 = [ L 7,611 1 = [ S L,611 1 = [ 113,75 8 7,611,5119 133,563 8 2 = [ 11,13587 L,315 2 = [ S,1347 L 2 = [ 133,563 12,4766,47711 11,13587,13587 61,25 12,4766 3 = [ 13,8856 L,4766 3 = [ S,8856 L 3 = [ 61,25 14 1,38382 1,38382 9,522,71415 1,51438 4 = [ 13,8856 L,1645 4 = [ S,868 L 4 = [ 14 1,38382 1,13213 95,421 95,421 5,8982,8846 95,421 6,2282 5 = [ 9,522 L,2764 5 = [ S,17498 L 5 = [ 95,421 1,51438,71166 1 71,1571 2 6 = [ 5,8982 L 6 = [ S,6454 L 6 = [ 71,1571 6,2282,6651 3 4 7 = [ 5,8982 6,2282 7 L = [,8846,2764 S 7 L = [ 85,8894 85,8894 15 S t r o n a
Pręt nr 8 Pręt nr 9 Pręt nr 1 8 = 5 6 7 8 [,8982,2282 L,611 8 = [,2282,8982,611 42,2788 S L 8 = [ 42,2788 5,8982,8982 6,2282 9 = [ 11,13587 L,2282 9 = [ S,13587 L 9 = [ 12,4766,4766 52,5 52,5 9,522,51438 7, 1,51438 1 = [ 11,13587 L,522 1 = [ S,4766 L 1 = [ 7, 12,4766,13587 16 S t r o n a
6. WYDRUKI Z PRORAMU ROBOT Autor: mgr inż. Robert Cypryjański Rys. 12. Schemat konstrukcji z numeracją węzłów i prętów Tab. 4. Przemieszczenia węzłów Węzeł/Przypadek UX (cm) UZ (cm) 1/1,, 2/1,, 3/1 -,8982,2282 4/1,611, 5/1 -,522 -,51438 6/1 -,13587 -,4766 7/1 -,8856-1,38382 Tab. 5. Siły wewnętrzne Pręt/Węzeł/Przypadek FX (kn) 1/2/1-113,75 1/4/1-113,75 2/4/1-133,563 2/6/1-133,563 3/6/1-61,25 3/7/1-61,25 4/5/1 95,421 4/7/1 95,421 5/3/1 95,421 5/5/1 95,421 6/1/1 71,1571 6/3/1 71,1571 7/2/1 85,8894 7/3/1 85,8894 8/3/1 42,2788 8/4/1 42,2788 9/3/1 52,5 9/6/1 52,5 1/5/1-7, 1/6/1-7, 17 S t r o n a