2. Charakterystyki geometryczne przekroju
|
|
- Mateusz Kucharski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi przekroju. Służą one na przykład do wyznaczenia naprężeń w prętach poddanych działaniu siły osiowej, momentu zginającego, siły tnącej oraz momentu skręcającego. Rysunek.1 przedstawia dowolny przekrój pręta wraz ze związanym z nim układem współrzędnych YZ. Elementarne pole powierzchni d posiada współrzędne y oraz z. Y z d y Z Rys..1. Przekrój pręta. Pierwszą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest pole powierzchni. Definicja tej wielkości ma postać d. (.1) Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Pole powierzchni jest zawsze większe od zera. Drugą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment statyczny. Definicje momentu statycznego względem osi Y S Y oraz względem osi Z S Z mają postać S Y z d, S Z (.) y d. (.) Jednostką momentu statycznego jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Moment statyczny może przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
2 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Trzecią wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment bezwładności. Definicje momentów bezwładności względem osi Y I Y oraz względem osi Z I Z (są to tak zwane osiowe momenty bezwładności) mają postać I Y z d, I Z (.4) y d. (.5) Oprócz osiowych momentów bezwładności istnieje jeszcze moment dewiacyjny. Jego definicja ma postać I YZ y z d. (.6) Jednostką momentu bezwładności jest m 4. W budownictwie najczęściej używa się cm 4. Osiowe momenty bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi. Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe. Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego układu wynosi zero. Przedstawia to rysunek.. Y Oś symetrii d d z y -y Rys... Przekrój pręta z jedną osią symetrii. Z Oś środkowa jest to oś, względem której moment statyczny wynosi zero. Środek ciężkości jest to punkt przecięcia dwóch dowolnych osi środkowych. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
3 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Chcąc wyznaczyć współrzędne y C, z C środka ciężkości SC obieramy dowolny układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Y d z 0 z C SC Z z y 0 y C y Rys... Wyznaczenie środka ciężkości przekroju. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie osi środkowych wynoszą y 0 = y y C, (.7) z 0 =z z C. (.8) Momenty statyczne względem osi oraz wynoszą (y C oraz z C traktujemy jako stałą) S Y0 S Z0 z 0 d z z c d y 0 d y y c d z d z C d, (.9) y d y C d. (.10) Wzory.9 i.10 po przekształceniu i uwzględnieniu faktu, że moment statyczny względem osi środkowej wynosi zero będą miały postać S Y0 =S Y z C =0, (.11) S Z0 =S Z y C =0. (.1) Ostatecznie współrzędne środka ciężkości wynoszą W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
4 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 z C = S Y, (.1) y C = S Z. (.14) Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości y i i z i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów z C = S i z i Y = i=1 n i i=1 n, (.15) y C = S i y i Z = i=1 n i i=1 n. (.16) Oczywiście jeżeli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości musi znajdować się na niej. W przekroju posiadającym dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.. Momenty bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych Załóżmy, że znane są momenty bezwładności w układzie osi środkowych. Poszukujemy momentów bezwładności w dowolnym układzie YZ. Współrzędne środka ciężkości przekroju w układzie YZ wynoszą y P oraz z P. Przedstawia to rysunek.4. Moment bezwładności względem osi Y zgodnie z definicją wyrażoną przez wzór (.4) wynosi I Y Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie wzór.17 będzie miał postać z d z 0 z P d. (.17) I Y z 0 z 0 z P z P d. (.18) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
5 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.18 będzie miał postać (z P traktujemy jako stałą) I Y z 0 d z P z 0 d z P d. (.19) Y d z 0 z P SC Z z y 0 y P y Rys..4. Wyznaczenie momentów bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych.. Interpretując poszczególne całki otrzymano I Y =I Y0 z P S Y0 z P. (.0) Ponieważ oś jest osią środkową więc moment statyczny względem tej osi S Y0 wynosi zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Y będzie miał postać I Y =I Y0 z P. (.1) nalogicznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Z będzie miał postać I Z =I Z0 y P, (.) W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego wykorzystano definicję według wzoru (.6). I YZ y z d y 0 y P z 0 z P d. (.) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
6 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 6 Po rozwinięciu wyrażeń w nawiasach wzór. będzie miał postać I YZ y 0 z 0 y 0 z P z 0 y P y P z P d. (.4) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.4 będzie miał postać (y P oraz z P taktujemy jako stałe) I YZ y 0 z 0 d z P Interpretując poszczególne całki otrzymano y 0 d y P z 0 d y P z P d. (.5) I YZ =I Y0Z0 z P S Z0 y P S Y0 y P z P. (.6) Ponieważ osie oraz są osiami środkowymi więc momenty statyczne względem tych osi S Y0 oraz S Z0 wynoszą zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I YZ będzie miał postać I YZ =I Y0Z0 y P z P. (.7) Wzory.1,. oraz.7 noszą nazwę wzorów Steinera i są podstawowymi wzorami służącymi do obliczania momentów bezwładności dowolnego przekroju względem dowolnego układu współrzędnych.. Momenty bezwładności przy obrocie układu współrzędnych Zakładamy, że znamy momenty bezwładności w układzie YZ. Szukamy momentów bezwładności w układzie Y`Z` obróconym o kąt a. Dodatni kąt jest zgodny z obrotem osi Y w kierunku osi Z. Przedstawia to rysunek.5. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie Y`Z` opisują wzory transformacyjne, które mają znaną postać y '= y cos z sin, (.8) z '= y sin z cos. (.9) Korzystając z definicji momentu bezwładności względem osi Y` otrzymano I Y ' z ' d y sin z cos d. (.0) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
7 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 7 Y y` a z` z Y` d y Z Z` Rys..5. Przekrój z obróconym układem współrzędnych Y`Z`. Rozwijając wyrażenie w nawiasie wzór (.0) będzie miał postać I Y ' y sin y z sin cos z cos d. (.1) Ponieważ sinus i cosinus kąta a są stałe możemy wyciągnąć je przed znak całki. Zapisując całkę sumy jako sumę całek wzór (.1) przybierze postać I Y ' =sin y d sin cos y z d cos z d. (.) Interpretując poszczególne całki wzór (.) będzie miał postać I Y ' =sin I Z sin cos I YZ cos I Y. (.) Wprowadzając funkcje kąta a, które mają postać sin = 1 1 cos, (.4) cos = 1 1 cos, (.5) sin cos =sin, (.6) otrzymano ostateczną postać wzoru transformacyjnego. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
8 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 8 I Y ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin. (.7) Postępując analogicznie otrzymano następujące wzory transformacyjne I Z ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin, (.8) I Y ' Z ' = I Y I Z sin I YZ cos. (.9).4 Główne momenty bezwładności Istnieje pewien wyróżniony układ współrzędnych, w którym osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacyjny znika. Taki układ nazywamy układem głównych osi bezwładności, a momenty osiowe w tym układzie głównymi momentami bezwładności. Kąt, który określa położenie głównych osi bezwładności wyznacza się ze wzoru tg gl = I YZ I Y I Z. (.40) Wstawiając wartość kąta a gl do wzorów transformacyjnych (.7) i (.8) otrzymamy wzory na obliczenie momentów głównych w postaci I Ygl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin, gl (.41) I Zgl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin. gl (.4) Główne momenty możemy uporządkować tak aby I I =max{ I Ygl I Zgl, (.4) I II =min{ I Ygl I Zgl. (.44) Momenty I I oraz I II można wyznaczyć także z następujących wzorów ( można je wykorzystać do sprawdzenia obliczeń głównych momentów bezwładności) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
9 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9 I I = I I Y Z I I Y Z, I YZ (.45) I I = I I Y Z I I Y Z. I (.46) YZ.5 Niezmienniki Niezmiennikiem nazywamy taką wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy obrocie układu współrzędnych. W przypadku charakterystyk geometrycznych mamy dwie takie wielkości. Pierwszy niezmiennik ma postać sumy momentów osiowych. Wynosi on odpowiednio w dowolnym układzie współrzędnych i w układzie osi głównych J 1 =I Y I Z =I Ygl I Zgl. (.47) Drugi niezmiennik w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych wynosi (moment dewiacyjny w układzie osi głównych równa się zero) J =I Y I Z I YZ =I Ygl I Zgl. (.48).6 Momenty bezwładności prostokąta Jako przykład zostanie wyznaczony moment bezwładności względem osi przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h. Oczywiście środek ciężkości znajduje się w środku wysokości i szerokości prostokąta. Przedstawia to rysunek.6. b b h d z 0 dz 0 h h b Rys..6. Przekrój prostokątny. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
10 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 10 Elementarne pole d wynosi d=b dz 0. (.49) Moment bezwładności względem osi zgodnie z definicją będzie wynosił I Y0 h z 0 d z 0 b dz 0 =b z 0 dz. 0 (.50) h h h Ostatecznie wartość momentu bezwładności będzie miał wartość I Y0 =b [ z h 0 =b ] [ h h 4 4] h = b h 1. (.51) nalogicznie moment bezwładności względem osi będzie wynosił I Z0 = h b 1. (.5) Ogólnie osiowe momenty bezwładności prostokąta względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 1. (.5) Ponieważ osie oraz są osiami symetrii to moment dewiacyjny prostokąta będzie wynosił zero..7 Momenty bezwładności innych figur Położenie środka ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych b i h przedstawia rysunek.7. Momenty osiowe bezwładności trójkąta prostokątnego wynoszą I Y0 = b h 6, (.54) I Z0 = h b 6. (.54) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
11 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 11 h h h b b b Rys..7. Przekrój w formie trójkąta prostokątnego. Ogólnie osiowe momenty bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 6. (.56) Osie i nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc moment dewiacyjny będzie różny od zera. Jego wartość bezwzględną oblicza się ze wzoru I Y0Z0 = b h 7. (.57) h h h b b b Rys..8. Trójkąt prostokątny z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach ujemnych. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
12 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Znak momentu dewiacyjnego ustala się na podstawie położenia trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych. Na rysunku.8 została zaznaczona większa część przekroju trójkąta. Część ta znajduje się w ćwiartkach, w których wyrażenie y 0z 0d jest ujemne (będą to tak zwane ćwiartki ujemne) więc moment dewiacyjny trójkąta ma wartość ujemną. W przypadku innego usytuowania trójkąta w układzie współrzędnych znak momentu dewiacyjnego należy ustalić w zależności od położenia większej części przekroju. W przypadku przekroju kołowego o promieniu R środek ciężkości znajduje się oczywiście w środku koła. Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą I Y0 =I Z0 = R4 4. (.58) Moment dewiacyjny przekroju kołowego wynosi oczywiście zero. R Rys..9. Przekrój kołowy..10. W przypadku przekroju będącego połową koła położenie środka ciężkości zostało pokazane na rysunku Oś symetrii R 4 R Rys..10. Przekrój będący połową koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
13 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 I Y0 = R4 =0,1098 R 4, (.59) I Z0 = R4 =0,97 R 4. (.60) 8 Moment dewiacyjny wynosi oczywiście zero. Położenie środka ciężkości w przekroju będącego ćwiartką koła o promieniu R przedstawione zostało na rysunku.11. R 4 R 4 R Rys..11. Przekrój będący ćwiartką koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą I Y0 =I Z0 =0,05488 R 4. (.61) Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego wynosi I Y0Z0 =0,01647 R 4. (.6) 4 R 4 R Rys..1. Przekrój będący ćwiartką koła z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach dodatnich. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
14 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 14 Znak momentu dewiacyjnego ustala się podobnie jak dla przekroju trójkątnego. Większą część przekroju przedstawia rysunek.1. W tym przypadku większa część przekroju znajduje się w ćwiartkach dodatnich więc moment dewiacyjny będzie dodatni..8 Przekroje walcowane Osobną grupę prętów stanowią pręty wykonane z kształtowników walcowanych. Charakterystyki tego typu przekrojów znajdują się w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych. Istnieje wiele rodzajów tego typu przekrojów. Poniżej zostaną przedstawione podstawowe typy. 1. Dwuteownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.1. Rys..1. Przekrój dwuteowy. Poziome elementy nazywamy półkami natomiast pionowy element nazywany jest środnikiem..połówka dwuteownika. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.14..ceownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek Kątownik równoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.16. Dla grubości półki,0 mm odczytąc należy wartości górne a dla 4,0 mm dolne. 5.Kątownik nierównoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.17. Dla grubości półki 5,0 mm odczytując należy wartości górne a dla 6,0 mm dolne. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
15 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 15 Rys..14. Połówka dwuteownika. Rys..15. Przekrój ceowy. Rys..16. Kątownik równoramienny. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
16 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 16 Rys..17. Kątownik nierównoramienny..9 Momenty bezwładności w klasycznym układzie XY W wielu podręcznikach charakterystyki geometryczne są wyznaczone w układzie XY, który został przedstawiony na rysunku.18. Y d y X x Rys..18. Przekrój w klasycznym układzie współrzędnych XY. Definicje momentu statycznego względem osi X i Y mają postać S X y d, (.6) S Y x d. (.64) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
17 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 17 Definicje momentu bezwładności mają postać I X y d, I Y x d, (.65) (.66) I YZ x y d. (.67) Położenie środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S Y, (.68) y C = S X. Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości x i i y i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S i x i Y = i=1 n i i=1 n, (.69) y C = S i y i X = i=1 n i i=1 n. (.70) Twierdzenie Steinera będzie miało postać I X =I X0 y P, (.71) I Y =I Y0 x P, (.7) I XY =I X0Y0 x P y P. (.7) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
18 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 18 We wzorach (.71), (.7) i (.7) I X0, I Y0 i I X0Y0 oznaczają momenty względem osi środkowych, x P i y P oznaczają współrzędne środka ciężkości w układzie XY. Wzory transformacyjne będą miały postać I X ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, I Y ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, (.74) (.75) I X ' Y ' = I X I Y sin I XY cos. (.76) Kąt nachylenia osi głównych oblicza się ze wzoru tg gl = I XY I X I Y. (.77) Wartości głównych momentów bezwładności oblicza sięze wzorów I Xgl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin, gl (.78) I Ygl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin. gl (.79) Do sprawdzenia obliczeń można zastosować następujące wzory I I = I I X Y I I X Y, I XY (.80) I I = I I X Y I I X Y. I (.81) XY Wartości niezmienników w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych będą wynosiły J 1 =I X I Y =I Xgl I Ygl (.8) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
19 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 19 J =I X I Y I XY =I Xgl I Ygl (.8).10 Przykłady liczbowe.10.1 Przekrój blachownicowy - dwuteowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.19. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 1,0 8,0,0 9,0,0 Rys..19. Przekrój blachownicowy dwuteowy. Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia się obu osi symetrii. Przedstawia to rysunek.0. W celu wyznaczenia środka ciężkości przekrój został podzielony na trzy figury składowe. Wszystkie figury są prostokątami. Zostało to przedstawione na rysunku.1. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą y 01 =0,0 cm y 0 =0,0 cm y 0 =0,0 cm z 01 = 15,0 cm z 0 =0,0 cm z 0 = 15,0 cm. (.84) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
20 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 0 1,0 16,0,0 16,0 8,0 9,0,0 4,5 4,5 Rys..0. Położenie środka ciężkości przekroju dwuteowego.,0 1 1,0 15,0 = 15,0 8,0 =1 = = 9,0,0 Rys..1. Podział dwuteownika na figury składowe. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
21 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Momenty bezwładności względem osi oraz wynoszą 9,0,0 I Y0 = 15,0 9,0,0 1 1,0 8,0 0,0 1,0 8,0 1 9,0,0 15,0 9,0,0=9941 cm 4 1, (.85),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0 1,0 9,0 0,0 9,0,0=45, cm 4 1. (.86) Ze względu na to, że osie oraz są osiami symetrii przekroju dwuteowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Przekrój blachownicowy - teowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 9,0,0 1,0 8,0 Rys... Przekrój blachownicowy teowy. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
22 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi. W ten sposób znamy współrzędną y C środka ciężkości. Chcąc wyznaczyć współrzędną z C środka ciężkości został obrany układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Przekrój został podzielony na dwie figury składowe. Obie figury są prostokątami. Y 9,0 1,0,0 1 1,0 16,0 8,0 Z= =1 = Rys... Położenie środków ciężkości poszczególnych figur. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie YZ wynoszą y 1 =0,0 cm z 1 =1,0 cm y =0,0 cm z =16,0 cm. (.87) Współrzędna z C środka ciężkości wynosi z C = 9.0,0 1,0 8,0 1,0 16,0 =10,1 cm 9.0,0 8,0 1,0. (.88) Rysunek.4 przedstawia przekrój z zaznaczonym układem osi środkowych. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie wynoszą y 01 =0,0 cm z 01 = 9,1 cm y 0 =0,0 cm z 0 =5,87 cm. (.89) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
23 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9,0,0 1 9,1 5,87 8,0 1,0 =1 = Rys..4. Przekrój teowy z zaznaczonym układem osi środkowych. Momenty bezwładności w układzie wynoszą 9,0,0 I Y0 = 9,1 9,0,0 1 1,0 8,0 5,87 1,0 8,0=401 cm 4 1, (.90),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0=1,8 cm 4 1. (.91) Ze względu na to, że oś jest osią symetrii przekroju teowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Zastosowanie twierdzenia Steinera Dany jest moment bezwładności przekroju będącego ćwiartką koła względem osi Y 1. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Y. Przekrój został przedstawiony na rysunku.5. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
24 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 I 1 = R4 8 (.9) Y R 4 R Y 1 =Z 1 =Z Rys..5. Przekrój będący ćwiartką koła. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 =I Y0 z 1 (.9) Współrzędna z 1 środka ciężkości przekroju w układzie Y 1Z 1 wynosił z 1 = 4 R (.94) Ostatecznie moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 = R4 8 =I R Y0 4 R (.95) Moment bezwładności względem osi środkowej wynosi I Y0 = R4 (.96) Moment bezwładności względem osi Y wynosi (z jest współrzędną środka ciężkości przekroju w układzie Y Z ) I Y =I Y0 z = R 9 R4 R R (.97) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
25 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater
2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński. Wytrzymałość materiałów zbiór zadań
Wytrzymałość materiałów zbiór zadań 1. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta 1.1. Zadanie 1 Wyznaczyć położenie środka ciężkości prętów stalowych w elemencie żelbetowym przedstawionym na rysunku
Bardziej szczegółowoZadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności Strona :1
Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia : A [cm²] - pole powierzchni figury Xo [cm] - współrzędna
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowo9. Mimośrodowe działanie siły
9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Szkic projektu Strona:1
Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności 1. Szkic projektu * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia: A [cm²] - pole powierzchni figury
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółoworectan.co.uk 1. Szkic projektu Strona:1
Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności 1. Szkic projektu * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia: A [cm²] - pole powierzchni figury
Bardziej szczegółowoPRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU
PROGRAM PROP3 (06.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania charakterystyki geometryczno-wytrzymałościowej przekroju złożonego z kształtowników walcowanych oraz elementów o
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowoPODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK (4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania
SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...
Bardziej szczegółowoStożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.
1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych.
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoObliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów poprzecznych pręta
5 Oblizanie harakterystyk geometryznyh przekrojów poprzeznyh pręta Zadanie 5.. Wyznazyć główne entralne momenty bezwładnośi przekroju poprzeznego dwuteownika o wymiarah 9 6 m (rys. 5.. Rozpatrywany przekrój
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowo4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.
4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA. Poziom podstawowy
STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia
Bardziej szczegółowoWzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne klasa trzecia.
TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoREALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum
WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA
NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,
Bardziej szczegółowoUczeo spełnia wymagania poziomu koniecznego oraz umie: porównywać liczby zapisane w różny sposób, obliczyć potęgę o wykładniku całkowitym,
szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby do podanego rzędu, zapisywać i odczytywać liczby naturalne w systemie rzymskim, podać rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego, odczytać współrzędną punktu na osi
Bardziej szczegółowoI. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: I 80 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoDZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki
MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 2. System dziesiątkowy 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa Rozkład materiału i plan wynikowy I. FUNKCJE 1 1. Pojęcie funkcji zbiór i jego elementy pojęcie przyporządkowania pojęcie funkcji
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowowiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe
Ćwiczenie 15 ZGNANE UKOŚNE 15.1. Wprowadzenie Belką nazywamy element nośny konstrukcji, którego: - jeden wymiar (długość belki) jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego - obciążenie prostopadłe
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytywać informacje przedstawione w tabelach
Bardziej szczegółowoKryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum
1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych 1. Liczby naturalne 1. Cechy podzielności 1. Działania na liczbach naturalnych 1. Algorytmy działań pisemnych odczytywać informacje przedstawione w tabelach
Bardziej szczegółowoKonstrukcje metalowe Wykład III Geometria przekroju
Konstrukcje metalowe Wykład III Geometria przekroju Spis treści Podstawowe charakterystyki geometryczne #t / 3 Zaawansowane charakterystyki geometryczne #t / 27 Przykład obliczeniowy #t / 58 Zagadnienia
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoSPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM
LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Stopień celujący może otrzymać uczeń, który spełnia kryteria na stopień bardzo dobry oraz: posiada wiadomości i umiejętności znacznie wykraczające
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka
Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka TEMAT 5. Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego 6. Trójkąty o kątach 90º, 45º, 45º oraz 90º, 30º, 60º 1. Okrąg opisany na trójkącie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE
WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 3
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia przedmiotowe
1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoKlasa 3.Graniastosłupy.
Klasa 3.Graniastosłupy. 1. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami: a........................................................... b........................................................... c...........................................................
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
Bardziej szczegółowoPodstawy działań na wektorach - dodawanie
Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory
Bardziej szczegółowoSZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania
Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia uczeń: I. FUNKCJE 14
I. FUNKCJE 1 Podstawowe Ponadpodstawowe grupuje dane elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowa opisanych słownie lub za pomocą grafu
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoPodstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o
Bardziej szczegółowo