Document: Exercise-05-manual /1/ : page 1 of 16. KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA
|
|
- Grażyna Staniszewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 1 of 16 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA!"#$%&'()* +, -.!(/0"!* "% 1 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Optymalizacja konstrukcji kratownicowej Celem ćwiczenia jest wyznaczenie minimum ciężaru kratownicy czteroelementowej z wykorzystaniem modułu obliczeniowego Optimization Tool programu Matlab. W toku ćwiczenia studenci zapoznają się również z wybranymi zagadnieniami metody elementów skończonych, w szczególności z metodyką modelowania prętów prostych. Wybrany sposób analizy konstrukcji posłuży do wyznaczenia przemieszczeń węzłów optymalizowanej kratownicy. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Jednym z istotniejszych zagadnień w formułowaniu problemów optymalizacyjnych jest wyrażenie funkcji celu i ograniczeń rozwiązywanego zadania w postaci jawnych zależności od przyjętych zmiennych decyzyjnych. Dla wielu układów, nawet stosunkowo prostych, zagadnienie to jest dość złożone i czasochłonne. W przypadku bardziej skomplikowanych konstrukcji wyznaczenie zamkniętych wzorów(funkcji) jest często wręcz niemożliwe; zadania tego typu muszą być rozwiązywane przybliżonymi metodami numerycznymi np. metodą elementów brzegowych lub elementów skończonych w połączeniu z analizą wrażliwości konstrukcji np. za pomocą różnic skończonych. Pewne możliwości w zakresie formułowania wspomnianych zależności funkcyjnych daje zastosowanie metody przemieszczeń i wywodzącej się z niej metody elementów skończonych. W metodzie tej punktem wyjścia do rozwiązania zadania jest zapisanie macierzy sztywności całej analizowanej kon- strona1z16
2 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 2 of 16 strukcji. Macierz ta powstaje na podstawie macierzy sztywności poszczególnych elementów składowych układu. W dalszej kolejności formułuje się równanie równowagi badanego układu. Rozwiązaniem tego równania są przemieszczenia punktów węzłowych konstrukcji Rozwiązanie kratownicy z wykorzystaniem metody elementów skończonych Równowaga pręta w lokalnym układzie współrzędnych Rozważmy dowolny prosty pręt o stałym przekroju poprzecznym, wykonany ze sprężystego, jednorodnego materiału izotropowego patrz rysunek 1. Końce elementu stanowią punkty węzłowe 1 i 2, w których przyłożono siły skupionef 1 if 2 skierowanewzdłużosi12=oxukładuwspółrzędnych związanego z prętem. Zakładamy, że na element nie działają żadne inne siły zewnętrzne i pręt pozostaje w stanie spoczynku. y A 1 u 2 1 u 2 F 1 F 2 l Rysunek 1. Siły i przemieszczenia węzłowe pręta prostego W wyniku działających obciążeń węzły 1 i 2 doznają przemieszczeń wzdłużosipręta odpowiedniou 1 iu 2.Jeśliprętjestbryłąsztywną,to przemieszczeniatesąjednakoweu 1 =u 2,wprzypadkuzaśukładuodkształcalnegou 1 u 2.Statycznerównanierównowagiprzyjmujepostać i=2 i=1 F ix =F 1 +F 2 =0. (1) W wyniku działania obciążeń zewnętrznych pręt odkształca się w kierunku osiowym o niewielki odcinek l x l=u 2 u 1, (2) strona2z16
3 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 3 of 16 Odkształcenie względne pręta można zapisać na podstawie definicji ε=ε x = u 2 u 1. (3) l Wobec przyjętych założeń o liniowości rozważanego układu powstałe odkształcenia i naprężenia spełniają prawo Hookea σ=eε, (4) gdzie E jest modułem Younga materiału pręta. Wartości naprężeń w punktach węzłowych A i B można określić na podstawie definicji: węzeł1: σ= F 1 A węzeł2: σ= F 2 A ściskanie(siła skierowana do węzła), rozciąganie, gdzie A jest polem przekroju poprzecznego pręta(rysunek 1). Wstawiając zależności(2),(3) oraz(4) do równania(5) otrzymujemy warunek równowagi F 1 = σa = EεA = EA (u 2 u 1 )= EA u 1 EA u 2 ; l l l F 2 =σa =EεA = EA (u 2 u 1 )= EA u 1 + EA u 2. l l l Zależności(6) stanowią układ dwu równań liniowych z dwoma niewiadomymi(u 1 iu 2 ),którymożnazapisaćwpostacimacierzowej { } F1 = EA [ ] { } 1 1 u2 F=K u, (7) F 2 l 1 1 u 1 gdziekjestkwadratową,symetryczną 1 idodatniookreślonąmacierząsztywności elementu prętowego w lokalnym układzie współrzędnych(tj. układzie związanym z tym prętem), F wektorem działających sił, zaś u wektorem przemieszczeń punktów końcowych. 1 WaruneksymetriimacierzyKwynikabezpośredniozzasadywzajemnościprzemieszczeń Maxwell a tj. odpowiedź układu mierzona w punkcie j na wymuszenie przyłożone w punkcie i, jest identyczna z odpowiedzią w punkcie i na identyczne wymuszenie działającewpunkciej (5) (6) strona3z16
4 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 4 of Równowaga pręta w globalnym układzie odniesienia Przedstawione powyżej rozważania pozwoliły na znalezienie relacji pomiędzy działającymi siłami zewnętrznymi a przemieszczeniami końców pręta (7) w lokalnym układzie współrzędnych, tj. układzie związanym z rozważanym prętem. W przypadku analizowania konstrukcji składającej się z większej liczby elementów i znajdujących się w różnych położeniach zachodzi konieczność przedstawienia powyższej zależności w jednym, wspólnym układzie współrzędnych(tzw. układzie globalnym). Przejście z układu lokalnego do układu globalnego jest realizowane za pomocą macierzy transformacji. W celu określenia zależności transformacyjnych rozważmy analizowany w poprzednim paragrafie pręt w nowym położeniu, określonym kątem skierowanym θ zawartym między osią Ox obranego prostokątnego układu współrzędnych a osią Ox pręta patrz rysunek 2. Układ współrzędnych xoy nazwiemyglobalnymukłademodniesienia. 2 y F 1 θ 1 y v 1 u 1 u 1 θ F 2 v 2 u 2 x Rysunek 2. Pręt z siłami i przemieszczeniami węzłowymi w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych Rozważając rzuty prostokątne przemieszczeń węzłów 1 i 2 na osie globalnego układu współrzędnych można wyprowadzić zależność 2 u =Θ u, (8) 2 Dlaodróżnieniawielkościlokalnychi globalnychprzyjmujemyzasadę,żewielkości odnoszące się do globalnego układu współrzędnych będą wyróżnione dodatkowym nadkreśleniem. u 2 x strona4z16
5 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 5 of 16 gdzie macierz Θ jest opisana zależnością cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 Θ= 0 0 cosθ sinθ. (9) 0 0 sinθ cosθ Jest to macierz transformacji przemieszczeń elementu prętowego z układu globalnego do układu lokalnego(istotny w dalszych obliczeniach jest zwrot kątaθ patrzrysunek2). Występujący w zależności(8) wektor u zawiera przemieszczenia węzłów 1 i2prętawjegolokalnymukładzieodniesienia(xoy) tj.u={u 1,0,u 2,0}, zaś wektor u zawiera przemieszczenia tych samych punktów w układzie globalnym(xoy) tj.u={u 1,v 1,u 2,v 2 } patrztakżerysunek2. Analogiczna do równania(8) zależność obowiązuje dla sił węzłowych F=Θ F, (10) gdziewektorfzawierarzutyprostokątnesiłf 1 if 2 naosieukładu(xoy) tj.f={f 1x,F 1y,F 2x,F 2y }. Zapisany w lokalnym układzie warunek równowagi(7) może być zatem przekształcony do postaci obowiązującej w globalnym układzie współrzędnych. Wykonując niezbędne podstawienia otrzymujemy F=K u gdzie K=Θ K Θ. (11) Występującą w powyższym wzorze macierz K nazywamy macierzą sztywnościelementuprętowegowglobalnymukładziewspółrzędnych,indeks() oznacza transpozycję macierzy(tj. wzajemną zamianę wierszy i kolumn). Wykorzystując zależności(7) oraz(9) ostatecznie uzyskuje się cos 2 θ sinθcosθ cos 2 θ sinθcosθ K= EA sinθcosθ sin 2 θ sinθcosθ sin 2 θ l cos 2 θ sinθcosθ cos 2 θ sinθcosθ. (12) sinθcosθ sin 2 θ sinθcosθ sin 2 θ Uogólniona macierz sztywności konstrukcji Wyprowadzona w poprzednim paragrafie macierz sztywności elementu prętowego K wiąże zależnością matematyczną(11) przemieszczenia jego końców strona5z16
6 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 6 of 16 u wzdłuż osi xoy z przyłożonymi obciążeniami zewnętrznymi F wyrażonymi w globalnym układzie współrzędnych. W zadaniu analizy układu wieloprętowego w podobny sposób można zapisać macierz sztywności oraz warunek równowagi całej konstrukcji. Celem zilustrowania sposobu wyprowadzenia takiego równania równowagi rozważmy kratownicę trójelementową przedstawioną na rysunku 3. u 2 A y α u 1 2 F 1 u 4 γ B β Rysunek 3. Przykładowa konstrukcja 3-elementowa oraz przyjęte oznaczenia przemieszczeń węzłów Na podstawie zależności(12) można zapisać macierze sztywności poszczególnych prętów kratownicy w globalnym układzie współrzędnych stosującpodstawieniazaθdlaposzczególnychprętów:θ 1 =0,θ 2 =αiθ 3 = β. Stąd otrzymujemy K 1 =Θ 1 K 1 Θ 1 = EA l K 2 =Θ 2 K 2 Θ 2 = = EA cos 2 α sinαcosα cos 2 α sinαcosα sinαcosα sin 2 α sinαcosα sin 2 α cos 2 α sinαcosα cos 2 α sinαcosα sinαcosα sin 2 α sinαcosα sin 2 α u 3 3 u 6 C u 5 x (13) strona6z16
7 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 7 of 16 K 3 =Θ 3 K 3 Θ 3 = cos 2 β sinβcosβ cos 2 β sinβcosβ = EA 3 sinβcosβ sin 2 β sinβcosβ sin 2 β cos 2 β sinβcosβ cos 2 β sinβcosβ sinβcosβ sin 2 β sinβcosβ sin 2 β Wpowyższychzależnościachwprowadzonododatkowocyfry( )oznaczeń kolumn i wierszy, odpowiadające numeracji poszczególnych przemieszczeń u 1...u 6 węzłówa,b,ickonstrukcjiwg.kolejnościprzyjętejnarycinie3. Wobec powyższego można zapisać równania równowagi dla każdego z elementów wyrażone w globalnym układzie współrzędnych element 1: element 2: element 3: { } =K1 { }, F1 F 2 F 5 F 6 u 1 u 2 u 5 u 6 { } =K2 { }, F1 F 2 F 3 F 4 u 1 u 2 u 3 u 4 { } =K3 { }, F3 F 4 F 5 F 6 u 3 u 4 u 5 u (14) gdzieposzczególnewyrazyf i sąskładowymisiłprzyłożonychwkolejnych węzłach i działającymi wzdłuż kierunków przemieszczeń Zapisane powyżej równania można połączyć w jedną całość, formułując równanie równowagi całej konstrukcji(15) zbliżone w swej postaci do zależności(11) obowiązującej dla pojedynczego elementu. Występująca w(15) macierz kwadratowa nosi nazwę uogólnionej macierzy sztywności konstrukcji. Powstaje ona przez wstawienie indywidualnych składników macierzy sztywnościposzczególnychelementówk i,i=1,2,3(patrz(13))wodpowiednie komórki macierzy K. Miejsce wstawienia określa numer wiersza i kolumny wynikający z numeracji stopni swobody poszczególnych węzłów konstrukcji tak, jak zaznaczono na rysunku 3 i w zależnościach(13). Należy zaznaczyć, że zapisane w(15) równanie równowagi konstrukcji nie ma jednoznacznego rozwiązania. Wynika to bezpośrednio z faktu, że strona7z16
8 strona8z16 F 1 F 2 F 3 =E F 4 F 5 F A 1 l 1 + A 2 c 2 α A 2 sαcα A 2 c 2 α A 2 sαcα A 1 l A 2 s 2 α A 2 sαcα A 2 s 2 u 1 α u 2 A 2 c 2 α+ A 3 c 2 β A 2 sαcα A 3 sβcβ A 3 c 2 β A 3 sβcβ 3 u 3 (15) A 2 s 2 α+ A 3 s 2 A β 3 sβcβ A 3 s 2 β u 4 4 A 1 l 1 + A 3 c 2 β A u 3 sβcβ 5 5 u 6 A 3 SYMETRIA s 2 β 6 Dlauproszczeniazapisuprzyjętododatkoweoznaczeniasα=sinα,cα=cosα,sβ=sinβorazcβ=cosβ. Document: Exercise-05-manual /1/ : page 8 of 16
9 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 9 of 16 macierz sztywności całej konstrukcji, podobnie jak macierz sztywności każdego z elementów, jest macierzą osobliwą(tzn. det K = 0). Jednoznaczne rozwiązanie układu można uzyskać dopiero po uwzględnieniu warunków brzegowych zadania. Z ilustracji 3 wynika, że na konstrukcję nałożone są więzy w postaci podporystałejwpunkcieaorazpodporyruchomejwpunkciec.azatempunkt A ma odebrane wszystkie stopnie swobody, punktowi C natomiast została odebrana możliwość przemieszczania się w kierunku pionowym. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami odebrane stopnie swobody odpowiadają zerowym przesunięciomu 1 =u 2 =u 6 =0.Azatemzmacierzysztywnościkonstrukcji K(15) można wykreślić wiersze oraz kolumny o numerach jeden, dwa i sześć. PowstaławtensposóbnowamacierzK ks reprezentujezachowanierozważanego ustroju i jest nazywana szczególną macierzą sztywności konstrukcji A 2 c 2 α+ A 3 c 2 β A 2 sαcα A 3 sβcβ A 3 c 2 β A 2 K ks =E s 2 α+ A 3 s 2 A β 3 sβcβ, (16) A 1 SYMETRIA l 1 + A 3 c 2 β a równanie równowagi całego układu(15), po uwzględnieniu działających obciążeń, przyjmuje poniższą postać: F 2 Fsinγ c 2 α+ F 3 c 2 β F 2 sαcα F 3 sβcβ F 3 c 2 β u 3 F 2 F cosγ =E s 2 α+ F 3 s 2 F β 3 sβcβ u 4 (17) 0 F 1 SYMETRIA l 1 + F 3 c 2 β u 5 Rozwiązując powyższy układ liniowych równań algebraicznych można określićwartościskładowychpionowychipoziomychu i przemieszczeńwęzłów kratownicy. Tak określone wielkości mogą zostać wykorzystane do dalszych obliczeń, np. do sformułowania ograniczeń przemieszczeniowych w zadaniach optymalizycjnych. strona9z16
10 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 10 of PRZEBIEG ĆWICZENIA Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu zadanie do rozwiązania. Będzie to zadanie optymalizacji kratownicy płaskiej, czteroelementowej, statycznie wyznaczalnej Sformułowanie algebraiczne zadania optymalizacji W pierwszej kolejności wykonujący ćwiczenie winni wyznaczyć siły wewnętrzne we wszystkich prętach kratownicy. Następnie, bazując na zależnościach (12), należy sformułować i zapisać macierze sztywności poszczególnych prętów projektowanej kratownicy(lub wybrane jej wyrazy, podane przez prowadzącego). Otrzymane wyniki obliczeń skonsultować z prowadzącym. W dalszej kolejności, korzystając z programu Matlab, należy rozwiązać równanie równowagi konstrukcji(patrz przykład i zależność(17)) wyznaczając przemieszczenia węzła(węzłów) wymagane do warunków ograniczeń rozwiązywanego zadania optymalizacyjnego. W tym celu należy: uruchomić program Matlab, a następnie w linii poleceń systemu wybrać folder roboczy C:\Users\kms\Desktop\Optymalizacja\Cwiczenie5, w głównym oknie programu, tzw. Command Window, otworzyć plik displacement wpisując polecenie edit displacement, w otwartym oknie edytora zdefiniować wyrazy globalnej macierzy sztywnościk ks kratownicy patrzzależność(16);zapisaćwprowadzonezmiany wybierając polecenie File Save, uruchomić obliczenia poleceniem run displacement lub ew. wybierając z pasku skrótów przycisk z zieloną strzałką. Wyniki obliczeń wyświetlane są w głównym oknie programu Mathlab(tj. oknie Command Window), postępując zgodnie z wytycznymi aplikacji pojawiającymi się na ekranie odczytać wartości sił węzłowych i wartości składowych przemieszczeń; zanotować uzyskane wyniki, zamknąć okno edytora. Uzyskane wyniki obliczeń skonsultować z prowadzącym. W dalszej części ćwiczenia należy ostatecznie sformułować zadanie optymalizacji poprzez określenie zmiennych decyzyjnych, funkcji celu oraz funkcji ograniczeń. Proponowaną postać zadania skonsultować z prowadzącym. strona10z16
11 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 11 of Zdefiniowanie problemu w programie Matlab Do wyznaczenia optimum sformułowanego problemu zostanie wykorzystany algorytm iteracyjny fmincon, służący do rozwiązywania nieliniowych zadań optymalizacji z ograniczeniami. Algorytm ten jest częścią modułu Optimization Toolbox programu Matlab. Dane do obliczeń w tym module należy wprowadzić w postaci dwu plików tj. pliku zawierającego funkcję celu oraz pliku definiującego nieliniowe ograniczenia nierównościowe i równościowe rozwiązywanego zadania. Pozostałe parametry algorytmu są zadawane bezpośrednio w oknie modułu Optimization Toolbox Funkcja celu Funkcja celu zostanie zdefiniowana w pliku o nazwie bar4truss. W tym celu należy: wybraćzgłównegomenuprogramumatlabikonęnewscript(ctrl+n) lub w oknie poleceń wpisać komendę edit bar4truss. Otwarte zostanie okno edytora programu MATLAB, podać definicję funkcji celu według poniższego schematu: function f = bar4truss(x) f = 2*x(1)+ (x(2))^2; gdzie wpis w pierwszej linii jest nagłówkiem funkcji(powinien być identyczny z podanym), natomiast wpis w drugiej linii jest wzorem określającym funkcję celu odpowiadającą warunkom rozwiązywanego zadania (powyżej podano jedynie definicję przykładową), zapisać plik wybierając polecenie File Save. Jeśli we wcześniejszym etapiewybranoikonęnewscripttoprogrampoprosiopodanienazwypliku. 3 Nowy plik o nazwie bar4truss.m pojawi się po lewej stronie głównego okna programu, na liście z zawartością bieżącego folderu, zamknąć okno edytora Ograniczenia nieliniowe Utworzyćplikzawierającyograniczenianieliniowe. 4 SkładniaprogramuMatlabwymusza,abypliktenzawierałograniczeniezapisanew formieg(x) 3 NienależyzmieniaćnazwplikówsugerowanychprzezprogramMatlabininiejsząinstrukcję. 4 Ograniczenialiniowesąwpisywanewinnymoknieprogramu strona11z16
12 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 12 of Ponadto plik ten musi zawierać ograniczenia równościowe h(x) = 0. Jeśli w rozwiązywanym zadaniu ograniczenia tego typu nie występują, to konieczne jest pozostawienie pustego argumentu w ich definicji. W celu utworzenia pliku ograniczeń należy: wybraćzgłównegomenuprogramumatlabikonęnewscript(ctrl+n) lub w oknie poleceń wpisać komendę edit bar4constraints, ponownie otwarte zostanie okno edytora, w którym należy podać definicję funkcji ograniczeń według poniższego schematu w oknie głównym programu wpisać polecenie edit bar4constraints. Otwarte zostanie okno edytora programu MATLAB, wpisać ograniczenia zadania; strukturę pliku przedstawiono poniżej: function [g,h]= bar4constraints(x) g(1)= 1/x(1) + x (2)^2-5; g(2)= x(1) + x (2)*x(3) - 5; g(3)= 100/x(4) - 5; g(4)= 1/x(1) -1; h=[]; pause(0.1) gdzie podobnie jak wcześniej wpis w pierwszej linii jest nagłówkiem funkcji(powinien być identyczny z podanym), natomiast wpisy w liniach 2-6 są przykładowymi zależnościami określającymi funkcje nieliniowych ograniczeń nieliniowych; dwie ostatnie linie pliku pozostawić bez zmian, zapisać plik wybierając polecenie File Save. Plik bar4constraints.m pojawi się po lewej stronie głównego okna programu, na liście z zawartością bieżącego folderu, zamknąć okno edytora Konfiguracja algorytmu iteracyjnego poszukiwania rozwiązań Uruchomić moduł optymalizacyjnego wpisując w oknie głównym programu polecenie optimtool. W wyświetlonym oknie należy: w linii Solver wybrać opcję fmincon- Constrained nonlinear minimization. Ten typ algorytmu służy do rozwiązywania zagadnień nieliniowych z ograniczeniami(jak łatwo zauważyć w sformułowanym zadaniu ograniczenie przemieszczeniowe jest nieliniową funkcją zmiennych decyzyjnych), w linii Algorithm wybrać opcję Active set, strona12z16
13 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 13 of 16 w linii Objective function wpisać@bar4truss(nazwa pliku zawierającego funkcję celu poprzedzona znakiem at ), wliniistartpointwpisać[ ];podaneliczbysądobrane dowolnie i oznaczają wartości początkowe zmiennych decyzyjnych, które są przyjmowane jako startowe do algorytmu optymalizacyjnego. Oczywiście liczba podanych wartości musi odpowiadać liczbie zmiennych decyzyjnych zadania, polaa,b,aeq,beq,lower,uppersłużądodefiniowanialiniowychograniczeńnierównościowych.wpolulowerwpisać[0000] sątodolne, Rysunek 4. Okno modułu optymalizacyjnego Optimization Tool programu Matlab strona13z16
14 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 14 of 16 dopuszczalne wartości zmiennych decyzyjnych. Pole Upper, jak i pozostałe pozostawić puste, w linii Nonlinear constraint function wpisać nazwę pliku zawierającego nieliniowe ograniczenia nierównościowe tj.@bar4constraints(poprzedzoną znakiem at ), w części Options prawa strona okna modułu optimtool odnaleźć zakładkę Plot functions, w której zaznaczyć opcje Current point, Max constraint oraz Function value. Ponadto w zakładce Display to command window wybrać opcje final with detailed message, Prawidłowo wypełnione okno powinno wyglądać jak na rysunku Rozwiązanie zadania Uruchomić obliczenia naciskając przycisk Run. Jeśli nie popełniono żadnych błędów, powinno pojawić się nowe okno Optimization PlotFcnc. W oknie tym powinny pojawiać się aktualne wartości zmiennych decyzyjnych w kolejnych krokach iteracyjnych, bieżąca wartość funkcji celu a także stopień naruszenia przyjętych ograniczeń zadania przez bieżące rozwiązanie(nieoptymalne), po zakończeniu procesu optymalizacji odczytać z obszaru Run solver and view results okna Optimization Tool wartości optymalne zmiennych decyzyjnych oraz wartość funkcji celu. Dane te, a także szereg innych, dodatkowych parametrów, są podawane także w głównym oknie Command window programu Matlab, powtórzyć obliczenia optymalizacyjne dla różnych punktów startowych algorytmu optymalizacyjnego. Wykonać kilka symulacji celem sprawdzenia, czy wybór punktu początkowego algorytmu ma wpływ na uzyskiwane rozwiązanie. Wyniki zanotować w Tabeli 2. Ocenić przebieg zmian wartości funkcji celu w kolejnych krokach iteracyjnych, a także zmian wartości funkcji ograniczeń. 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW Opracowując wyniki ćwiczenia należy: strona14z16
15 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 15 of 16 Uzupełnić tabelę z wartościami sił prętowych Tabela 1. Tabela 1. Wartości sił w prętach rozważanej kratownicy Siła: N 1 N 2 N 3 N 4 [N] Zapisać równanie równowagi konstrukcji w postaci(17) oraz wyznaczone przez program Matlab zależności na składowe przemieszczeń węzłów kratownicy(paragraf 3.1). Uzupełnić tabelę z wartościami zmiennych decyzyjnych wyznaczonymi w trakcie kolejnych uruchomień algorytmu optymalizacyjnego dla różnych punktów startowych Tabela 2. Wydrukować wykresy przebiegu wartości funkcji celu oraz naruszenia funkcji ograniczeń w kolejnych krokach iteracyjnych dla jednego z analizowanych zestawów zmiennych startowych. Tabela 2. Wyznaczone rozwiązanie zadania optymalizacyjnego dla różnych wartości zmiennych startowych obliczeń Lp. Wartościstartowe[mm 2 ] Wartościkońcowe[mm 2 ] f(x ) x 01 x 02 x 03 x 04 x 1 x 2 x 3 x 4 [kg] SPRAWOZDANIE Sprawozdanie z realizacji ćwiczenia powinno zawierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną grupy wykonującej. 2. Cel ćwiczenia. 3. Schemat analizowanej kratownicy. 4. Tabelę wyznaczonych wartości sił prętowych. strona15z16
16 Document: Exercise-05-manual /1/ : page 16 of 16 Tabela3.Wyznaczonerozwiązanieoptymalnex kratownicyczteroelementowej Zmienna[mm 2 ] x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1,x 2,x 3,x 4 )[kg] 5. Równanie równowagi konstrukcji w postaci(17) oraz jego ostateczne rozwiązanie. 6. Sformułowanie zadania optymalizacji. 7. Zestawienie wyników końcowych według wzoru Tabeli Wykresy przebiegu wartości funkcji celu oraz naruszenia funkcji ograniczeń w kolejnych krokach iteracyjnych. 9. Wnioski końcowe. strona16z16
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1
L01 ---2014/10/17 ---10:52---page1---#1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Zastosowanie optymalizacji
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA Obliczenia kratownicy płaskiej Wykonał: dr
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA Obliczenia ramy płaskiej obciążonej siłą skupioną
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA Obliczenia statycznie obciążonej belki Szczecin
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoAnaliza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)
Politechnika Łódzka Wydział Technologii Materiałowych i Wzornictwa Tekstyliów Katedra Materiałoznawstwa Towaroznawstwa i Metrologii Włókienniczej Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie Z ACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoAnaliza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)
Politechnika Łódzka Wydział Technologii Materiałowych i Wzornictwa Tekstyliów Katedra Materiałoznawstwa Towaroznawstwa i Metrologii Włókienniczej Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zapoznanie z narzędziami optymalizacyjnymi w środowisku MATLAB
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Kratownice
ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja
Bardziej szczegółowoKatedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Przedmiot: Technologie transmisji bezprzewodowych Numer ćwiczenia: 1 Temat: Badanie dipola półfalowego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoKatedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
Bardziej szczegółowo//warunki początkowe m=500; T=30; c=0.4; t=linspace(0,t,m); y0=[-2.5;2.5];
4.3. Przykłady wykorzystania funkcji bibliotecznych 73 MATLAB % definiowanie funkcji function [dx]=vderpol(t,y) global c; dx=[y(2); c*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; SCILAB // definiowanie układu function [f]=vderpol(t,y,c)
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoMetoda Elementów Skończonych - Laboratorium
Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium Laboratorium 5 Podstawy ABAQUS/CAE Analiza koncentracji naprężenia na przykładzie rozciąganej płaskiej płyty z otworem. Główne cele ćwiczenia: 1. wykorzystanie
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoAnaliza obciążeń belki obustronnie podpartej za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)
Politechnika Łódzka Wydział Technologii Materiałowych i Wzornictwa Tekstyliów Katedra Materiałoznawstwa Towaroznawstwa i Metrologii Włókienniczej Analiza obciążeń belki obustronnie podpartej za pomocą
Bardziej szczegółowoBADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO
Ćwiczenie 3 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie położeń równowagi i określenie stanu równowagi prostego układu mechanicznego
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA UKŁADÓW MECHANCZNYCH Modelowanie fizyczne układu o jednym stopniu
Bardziej szczegółowo1.1. Przykład projektowania konstrukcji prętowej z wykorzystaniem ekranów systemu ROBOT Millennium
ROBOT Millennium wersja 20.0 - Podręcznik użytkownika (PRZYKŁADY) strona: 3 1. PRZYKŁADY UWAGA: W poniższych przykładach została przyjęta następująca zasada oznaczania definicji początku i końca pręta
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Narzędzia optymalizacji w środowisku MATLAB Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoUruchomić programu AUI kliknięciem ikony znajdującej się na pulpicie. Zadanie rozwiązać za pomocą systemu ADINA.
Określić deformacje kratownicy (rys1) poddanej obciążeniu siłami F 1 =1MN i F 2 =0.2MN przyłożonymi do jej wierzchołków oraz siłą ciężkości. Kratownica składa się z prętów o przekroju 0.016 m 2 połączonych
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowoZ-ZIP2-303z Zagadnienia optymalizacji Problems of optimization
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/03 Z-ZIP-303z Zagadnienia optymalizacji Problems of optimization A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowomaj 2014 Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I
Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I Podstawy teorii optymalizacji Wykład 12 M. H. Ghaemi maj 2014 Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Ćwiczenie nr 2 Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji Analiza statyczna obciążonej kratownicy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ SOLDIS
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ SOLDIS W programie SOLDIS-PROJEKTANT przemieszczenia węzła odczytuje się na końcu odpowiednio wybranego pręta. Poniżej zostanie rozwiązane przykładowe zadanie, które również zostało
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowoSterowanie, uczenie i symulacja robotów przemysłowych Kawasaki
Ćwiczenie VIII LABORATORIUM MECHATRONIKI IEPiM Sterowanie, uczenie i symulacja robotów przemysłowych Kawasaki Zał.1 - Roboty przemysłowe i mobilne. Roboty Kawasaki - charakterystyka Zał.2 - Oprogramowanie
Bardziej szczegółowoNajprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowoPrzykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną
Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Ćwiczenie nr Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji Analiza statyczna obciążonej kratownicy
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoFLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę różnic skończonych. Metoda Różnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej każda pochodna w
Bardziej szczegółowoZasada prac przygotowanych
1 Ćwiczenie 20 Zasada prac przygotowanych 20.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym zastosowaniem zasady prac przygotowanych przy rozpatrywaniu równowagi układu o dwóch stopniach
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoObliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice
Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoAnaliza fundamentu na mikropalach
Przewodnik Inżyniera Nr 36 Aktualizacja: 09/2017 Analiza fundamentu na mikropalach Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_en_36.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie wykorzystania
Bardziej szczegółowowiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe
Ćwiczenie 15 ZGNANE UKOŚNE 15.1. Wprowadzenie Belką nazywamy element nośny konstrukcji, którego: - jeden wymiar (długość belki) jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego - obciążenie prostopadłe
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego.
Bardziej szczegółowo