Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych. Element dwuwymiarowy liniowy : rama 2D

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych. Element dwuwymiarowy liniowy : rama 2D"

Transkrypt

1 Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych Element dwuwymiarowy liniowy : rama D Jest to element dwuwymiarowy o róŝnych współrzędnych lokalnych i globalnych węzłów niezbędne są transformacje układów współrzędnych. Jego sztywność zdefiniowana jest pośrednio, za pomocą momentu bezwładności I, pola przekroju A, długości oraz modułu Younga E. Transformacje wyraŝone są za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta nachylenia elementu w stosunku do osi x globalnego układu współrzędnych, mierzonego w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Element ma dwa węzły definiujące jego końce. KaŜdy węzeł ma dwa stopnie swobody. y element j węzeł i węzeł Θ x Jeśli kaŝdy węzeł moŝe przemieścić się w kierunku osi x i y oraz obrócić się (ma trzy stopnie swobody), to macierz sztywności elementu zdefiniowanego dwoma węzłami (a więc sześcioma stopniami swobody) zapisuje się jako macierz 6x6 (kaŝdy wymiar macierzy to liczba stopni swobody całego elementu): E K = I Ac + s I A cs s I Ac + s I A cs s I A cs I As + c c I A cs I As + c c s c 4I s c I I Ac + s I A cs s I Ac + s I A cs s I A cs I As + c c I A cs I As + c c s c I s c 4I gdzie: c = cos(θ), s = sin(θ). Jeśli w całym układzie wielu połączonych ze sobą elementów wystąpi n węzłów, to macierz sztywności będzie miała wymiar nxn. W dalszym ciągu obowiązuje ogólny układ równań liniowych metody: [K]{u} = {f} gdzie: [K] macierz sztywności, {u} wektor przemieszczeń węzłów, {f} wektor sił działających w węzłach. Jak w poprzednich lekcjach, jeśli znamy sztywność elementu oraz

2 przemieszczenia węzłów moŝemy wyliczyć działające siły, a jeśli znamy siły, to po rozwiązaniu układu równań moŝemy wyliczyć przemieszczenia. Siły w węzłach kaŝdego elementu wyznacza się z następującego związku: f = k R u, { } [ ][ ]{ } gdzie {u} jest 6-elementowym wektorem kolumnowym, zawierającym przemieszczenia i rotacje węzłów definiujących dany element (w kolejności: u x, u y, φ, u x, u y, φ ), a macierze [ k ] i [R] zdefiniowane są następująco: [ k] EA = EA EI 6EI EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI [ R ] = c s s c c s s c Jeśli w schemacie statycznym wystąpi konieczność uwzględnienia nachylonej podpory, to globalna macierz sztywności musi zostać zmodyfikowana w następujący sposób: T K = TKT, gdzie T jest macierzą transformacji o wymiarach takich, jak K (patrz niŝej: funkcja NachylonaPodporaElementRamowyD). x α x Funkcje realizujące obliczenia MES na elementach ramowych D w Matlabie (naleŝy je przepisać w osobnych plikach M-File, nadając im nazwy takie, jakie mają zawarte w nich funkcje): poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: DlugoscKatElementRamowyD.m function [, Th]= DlugoscKatElementRamowyD(x,y,x,y) %funkcja wyznacza dlugosc i kat nachylenia elementu ramowego D na podstawie %wspolrzednych jego wezlow (kat w stopniach) = sqrt((x-x)*(x-x) + (y-y)*(y-y)); Th = atan((y-y)/(x-x))*8/pi;

3 if Th< Th = 8 + Th; end poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: SztywnoscElementRamowyD.m function y = SztywnoscElementRamowyD(E,A,I,,theta) %funkcja tworzy macierz sztywnosci dla pojedynczego elementu ramowego D %kat theta podajemy w stopniach %wymiar wyniku : 6x6 x = theta*pi/8; c = cos(x); s = sin(x); w = A*c*c + *I*s*s / ( * ); w = A*s*s + *I*c*c / ( * ); w = ( A - *I / ( * )) * c*s; w4 = 6*I*s/; w5 = 6*I*c/; y = E/*[w w -w4 -w -w -w4; w w w5 -w -w w5; -w4 w5 4*I w4 -w5 *I; -w -w w4 w w w4; -w -w -w5 w w -w5; -w4 w5 *I w4 -w5 4*I]; poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: ZlozSztywnoscRamD.m function y = ZlozSztywnoscRamD(K,k,i,j) %funkcja sklada w jedna macierz sztywnosci K wszystkie elementy ramowe D %w zadaniu laczac wszystkie sztywnosci pojedynczych elementow %UWAGA! Funkcja moze byc wywolana po wczesniejszym uruchomieniu %funkcji SztywnoscElementRamowyD! %skladanie (6 składników macierzy kaŝdego elementu) K(*i-,*i-) = K(*i-,*i-) + k(,); K(*i-,*i-) = K(*i-,*i-) + k(,); K(*i-,*i) = K(*i-,*i) + k(,); K(*i-,*j-) = K(*i-,*j-) + k(,4); K(*i-,*j-) = K(*i-,*j-) + k(,5); K(*i-,*j) = K(*i-,*j) + k(,6); K(*i-,*i-) = K(*i-,*i-) + k(,); K(*i-,*i-) = K(*i-,*i-) + k(,); K(*i-,*i) = K(*i-,*i) + k(,); K(*i-,*j-) = K(*i-,*j-) + k(,4); K(*i-,*j-) = K(*i-,*j-) + k(,5); K(*i-,*j) = K(*i-,*j) + k(,6); K(*i,*i-) = K(*i,*i-) + k(,); K(*i,*i-) = K(*i,*i-) + k(,); K(*i,*i) = K(*i,*i) + k(,); K(*i,*j-) = K(*i,*j-) + k(,4); K(*i,*j-) = K(*i,*j-) + k(,5); K(*i,*j) = K(*i,*j) + k(,6); K(*j-,*i-) = K(*j-,*i-) + k(4,); K(*j-,*i-) = K(*j-,*i-) + k(4,); K(*j-,*i) = K(*j-,*i) + k(4,); K(*j-,*j-) = K(*j-,*j-) + k(4,4); K(*j-,*j-) = K(*j-,*j-) + k(4,5); K(*j-,*j) = K(*j-,*j) + k(4,6); K(*j-,*i-) = K(*j-,*i-) + k(5,); K(*j-,*i-) = K(*j-,*i-) + k(5,); K(*j-,*i) = K(*j-,*i) + k(5,); K(*j-,*j-) = K(*j-,*j-) + k(5,4); K(*j-,*j-) = K(*j-,*j-) + k(5,5);

4 K(*j-,*j) = K(*j-,*j) + k(5,6); K(*j,*i-) = K(*j,*i-) + k(6,); K(*j,*i-) = K(*j,*i-)+ k(6,); K(*j,*i) = K(*j,*i) + k(6,); K(*j,*j-) = K(*j,*j-) + k(6,4); K(*j,*j-) = K(*j,*j-) + k(6,5); K(*j,*j) = K(*j,*j) + k(6,6); %i wynik zwracany przez funkcje y = K; poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: SilyElementRamowyD.m function y = SilyElementRamowyD(E,A,I,,theta,u) %funkcja wylicza sily wezlowe na podstawie znanych przemieszczen u, %geometrii elementu oraz E x = theta*pi/8; c = cos(x); s = sin(x); w = E*A/; w = *E*I/(**); w = 6*E*I/(*); w4 = 4*E*I/; w5 = *E*I/; kk = [w -w ; w w -w w; w w4 -w w5; -w w ; -w -w w -w; w w5 -w w4]; R = [c s ; -s c ; ; c s ; -s c ; ]; y = kk*r*u; poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: WykresNRamaD.m function y = WykresNRamaD(f,) %funkcja rysuje wykres sił normalnych %(pierwszy i czwarty składnik wektora {f}) x = [; ]; z = [-f(); f(4)]; hold on; title('wykres sil normalnych'); plot(x,z); y = [; ]; plot(x,y,'k'); poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: WykresTRamaD.m function y = WykresTRamaD(f,) %funkcja rysuje wykres sił tnacych %(drugi i piaty składnik wektora {f}) x = [; ]; z = [f(); -f(5)]; hold on; title('wykres sil tnacych'); plot(x,z); y = [; ]; plot(x,y,'k');

5 poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: WykresMRamaD.m function y = WykresMRamaD(f,) %funkcja rysuje wykres momentów zginajacych %(trzeci i szosty składnik wektora {f}) x = [; ]; z = [-f(); f(6)]; hold on; title('wykres momentow zginajacych'); plot(x,z); y = [; ]; plot(x,y,'k'); poniŝszą funkcję zapisujemy w pliku: NachylonaPodporaElementRamowyD.m function y = NachylonaPodporaElementRamowyD(T,alpha,i) %funkcja wyznacza macierz transformacji na podstawie kąta nachylenia podpory %alpha i numeru węzła (kat w stopniach) x = alpha*pi/8; T(*i-,*i-) = cos(x); T(*i-,*i-) = sin(x); T(*i-,*i) = ; T(*i-,*i-) = -sin(x); T(*i-,*i-) = cos(x); T(*i-,*i) = ; T(*i,*i-) = ; T(*i,*i-) = ; T(*i,*i) = ; %i wynik y = T; Przykład nr. Dla podanego układu elementów wykonanych z materiału o znanym module E = GPa, polu przekroju A =.m i momencie bezwładności I = 5* -5 m 4, obciąŝonego jak na rysunku poniŝej, wyznaczyć następujące niewiadome:. macierz sztywności układu. przemieszczenia i rotacje węzłów nr i. reakcje w węzłach nr i 4 4. siły wewnętrzne w kaŝdym elemencie kn knm m 4m 4

6 Rozwiązanie: Krok dyskretyzacja zadania Zadanie jest juŝ podzielone na elementy i węzły : - element nr zdefiniowany jest węzłami nr i= i j= - element nr zdefiniowany jest węzłami nr i= i j= - element nr zdefiniowany jest węzłami nr i= i j=4 W węzłach nr i 4 są podpory: utwierdzenie. Krok utworzenie macierzy sztywności dla kaŝdego elementu Wprowadzamy zmienne globalne, które przechowują dane materiałowe i geometryczne naszego zadania: współrzędne węzłów x, y, x, y, x, y, x4, y4, E, A,, theta,, theta,, theta (UWAGA! W celu poprawienia przejrzystości wyświetlanych wyników: >>format short) >>x= >>y= >>x= >>y= >>x=4 >>y= >>x4=4 >>y4= >>E=e6 >>A=. >>I=5e-5; >>= >>theta=9 >>=4 >>theta= >>= >>theta=7 Mamy trzy elementy, zatem tworzymy trzy macierze sztywności : k, k i k komendami: >>k=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,,theta) >>k=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,,theta) >>k=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,,theta) Krok składanie macierzy sztywności elementów w jedną globalną macierz dla całego układu PoniewaŜ w układzie mamy 4 węzły, więc globalna macierz sztywności będzie miała wymiar x. Macierz K naleŝy przed składaniem wyzerować, co wykonujemy komendą: >>K=zeros(,) PoniewaŜ mamy trzy elementy, to funkcję ZlozSztywnoscRamD trzeba wywołać trzy razy niezaleŝnie dla kaŝdego elementu, podając jako parametry globalną macierz K (która jest wynikiem), macierz elementu k (k, k, a potem k) i numery węzłów definiujące dany element (najpierw i, potem i i na końcu i 4): >>K=ZlozSztywnoscRamD(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscRamD(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscRamD(K,k,,4) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawią się sumowane sztywności poszczególnych elementów (PROSZĘ KONTROOWAĆ ZMIANIAJĄCE SIĘ WARTOŚCI!).

7 Krok 4 uwzględnienie warunków brzegowych Układ równań [K]{u}={f} moŝna rozpisać w postać: ux Fx uy Fy φ M ux Fx uy Fy φ M K * = ux Fx uy Fy φ M u4x F4x u4y F4y φ4 M4 Warunkami brzegowymi w naszym zadaniu są: - przemieszczenia i rotacja węzła nr są niemoŝliwe podpora: ux =, uy = i φ = - przemieszczenia i rotacja węzła nr 4 są niemoŝliwe podpora: u4x =, u4y = i φ4 = - w węźle nr jest obciąŝenie działające w kierunku x : Fx = -. - w węźle nr jest obciąŝenie momentem : M =. Po uwzględnieniu powyŝszych wiadomych, układ równań przyjmuje postać: Fx Fy M ux uy φ K * = ux uy φ F4x F4y M4 nie znamy zatem przemieszczeń i rotacji węzłów i oraz reakcji w węzłach i 4 (podpory). Krok 5 rozwiązanie równań Układ równań moŝna rozwiązać po kawałku, wykreślając pierwsze trzy i ostatnie trzy wiersze i kolumny odpowiadające zerowym przemieszczeniom węzłów (zostaje wnętrze K: od 4. do 9. wiersza i od 4. do 9. kolumny). W Matlabie realizujemy to poleceniami: - przepisanie wyrazów z K do k: >>k=k(4:9,4:9)

8 - stworzenie wektora wyrazów wolnych (prawej strony równania) ze znanymi obciąŝeniami: >>f=[- ; ; ; ; ; ] - wyznaczenie nieznanych przemieszczeń eliminacją Gaussa: >>u=k\f W wyniku otrzymujemy: ux = -.8m, uy = -.m, φ =.8rad, ux = -.8m, uy = -.m, φ =.4rad Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) Mając przemieszczenia wszystkich węzłów, moŝemy obliczyć reakcje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wektor (dodajemy do wyników zerowe przemieszczenia i rotacje węzłów nr i 4): >>U=[ ; ; ; u ; ; ; ] a potem wyliczmy siły: >>F=K*U otrzymamy reakcje: fx = F() =.897kN; fy = F() = kN, M = F() = -.5kNm, f4x = F() = 7.8kN; f4y = F() = kN, M4 = F() = kNm. Siły w elementach wyznaczymy dzięki funkcji SilyElementRamowyD(E,A,I,,theta,u), której parametrami są: moduł spręŝystości E, pole przekroju A, moment bezwładności I, długości, i, kąty nachylenia theta, theta i theta oraz przemieszczenia węzłów definiujących dany element (czyli parami trójek: ux, uy i φ oraz ux, uy i φ, potem ux, uy i φ oraz ux, uy i φ i na końcu ux, uy i φ oraz u4x, u4y i φ4): najpierw przygotujemy pary przemieszczeń i rotacji dla kaŝdego elementu: >>u=[u() ; U() ; U() ; U(4) ; U(5) ; U(6)] >>u=[u(4) ; U(5) ; U(6) ; U(7) ; U(8) ; U(9)] >>u=[u(7) ; U(8) ; U(9) ; U() ; U() ; U()] a potem wyznaczymy siły: >>f=silyelementramowyd(e,a,i,,theta,u) >>f=silyelementramowyd(e,a,i,,theta,u) >>f=silyelementramowyd(e,a,i,,theta,u) Wyniki najlepiej przedstawić w postaci graficznej. Realizujemy to komendami: Dla elementu nr (po kaŝdej komendzie sprawdzamy wykres, po czym zamykamy go) >>WykresNRamaD(f,) >>WykresTRamaD(f,) >>WykresMRamaD(f,) dla elementu nr >>WykresNRamaD(f,) >>WykresTRamaD(f,) >>WykresMRamaD(f,)

9 i dla elementu nr >>WykresNRamaD(f,) >>WykresTRamaD(f,) >>WykresMRamaD(f,) Rysunki poniŝej przedstawiają siły wewnętrzne dla elementu nr. Proszę przerysować do zeszytu wszystkie wykresy, składając poszczególne przebiegi T, N i M we wszystkich elementach w wykresy dla całego układu. Wykres sil tnacych Wykres sil normalnych Wykres momentow zginajacych Przykład nr. Dla danego układu elementów o A=.4m, E=GPa i I = -6 m 4 wyznaczyć:. macierz sztywności układu. przemieszczenia i rotację węzła nr. reakcje w węzłach nr i 4. siły wewnętrzne w kaŝdym elemencie m 8kN/m m 4m

10 Rozwiązanie: Krok dyskretyzacja zadania Układ jest juŝ zdyskretyzowany. elementami i. węzłami : - element nr zdefiniowany jest węzłami nr i= i j= - element nr zdefiniowany jest węzłami nr i= i j= Krok utworzenie macierzy sztywności dla kaŝdego elementu Tworzymy zmienne globalne. Dla nachylonych elementów wyliczamy ich długości i kąty nachylenia: >>x= >>y= >>x= >>y= >>x=6 >>y= >>E=e6 >>A=.4 >>[, theta]=dlugosckatelementramowyd(x,y,x,y) >>=4 >>theta= Mamy dwa elementy, zatem tworzymy dwie macierze sztywności : k i k komendami: >>k=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,,theta) >>k=sztywnoscelementramowyd(e,a,i,,theta) Krok składanie macierzy sztywności elementów w jedną globalną macierz dla całego układu PoniewaŜ w układzie mamy węzły, więc globalna macierz sztywności będzie miała wymiar 9x9. Macierz K naleŝy przed składaniem wyzerować, co wykonujemy komendą: >>K=zeros(9,9) PoniewaŜ mamy dwa elementy, to funkcję ZlozSztywnoscRamD trzeba wywołać dwa razy niezaleŝnie dla kaŝdego elementu, podając jako parametry globalną macierz K (która jest wynikiem), macierz elementu k i numery węzłów definiujące dany element: >>K=ZlozSztywnoscRamD(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscRamD(K,k,,) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawią się sumowane sztywności poszczególnych elementów. (UWAGA! Proszę obserwować wartości K po kaŝdej komendzie!) Krok 4 uwzględnienie warunków brzegowych W węzłach nr i są podpory utwierdzenia, zatem: ux = uy = φ = ux = uy = φ = PoniewaŜ w układzie znajduje się obciąŝenie równomiernie rozłoŝone, naleŝy je zamienić na równowaŝne obciąŝenie węzłowe wg formuły:

11 { } = =.6667kNm 6kN.6667kNm 6kN q q q q p Zatem obciąŝenie w węźle nr wyniesie: Fx =, Fy = -6kN, M = kNm. Układ równań [K]{u}={f} moŝna rozpisać w postać: = φ φ φ M Fy Fx M Fy Fx M Fy Fx uy ux uy ux uy ux * K Po uwzględnieniu powyŝszych wiadomych, układ równań przyjmuje postać: = φ M Fy Fx M Fy Fx uy ux * K nie znamy zatem. wartości wektora {u} i 6. wartości składowych reakcji. 6kN 8kN/m 6kN.6667kNm.6667kNm

12 Krok 5 rozwiązanie równań Układ równań rozwiąŝemy po kawałku, wykreślając wiersze i kolumny o numerach - i 7-9 w K (dla zerowych wartości {u}), zostawiając resztę dla nieznanych składowych {u}. Realizujemy to komendą: >>k=k(4:6,4:6) Tak jak w poprzednim przykładzie, wektor f ze znanymi siłami utworzymy komendą: >>f=[ ; -6 ; ] a następnie wyliczymy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=k\f Otrzymamy w wyniku: ux = -.m, uy = -.m, φ = -.5rad Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) Mając przemieszczenia wszystkich węzłów, moŝemy obliczyć reakcje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wektor (dodajemy do wyników poprzednio pominięte zerowe wartości u): >>U=[ ; ; ; u ; ; ; ] a potem wyliczmy siły: >>F=K*U Składowe wektora {u} przypadające na kaŝdy element wyznaczymy komendami: >>u=[u() ; U() ; U() ; U(4) ; U(5) ; U(6)] >>u=[u(4) ; U(5) ; U(6) ; U(7) ; U(8) ; U(9)] UWAGA! Wyliczenie sił wewnętrznych i opracowanie wykresów proszę zrealizować samodzielnie. Zadanie nr. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Dla układu jak na rysunku poniŝej, mając dane: E=GPa, A=.4m, I=4* -6 m 4 wyznaczyć:. macierz sztywności układu. przemieszczenia i rotację węzłów nr i. reakcje w węzłach nr i 4. siły wewnętrzne wraz z ich wykresami w kaŝdym elemencie 4m 5kNm kn 4m

13 Zadanie nr. Dla układu jak na rysunku poniŝej, mając dane: E=GPa, A=.m, I=9* -5 m 4 wyznaczyć:. macierz sztywności układu. przemieszczenia i rotacje węzłów nr i. reakcje w węzłach nr i 4 4. siły wewnętrzne i ich wykresy w kaŝdym elemencie 5kN/m kn m 4 m 5m m Zadanie nr. Dla układu jak na rysunku poniŝej, mając: E=7GPa, A=.m, I=9* -5 m 4 oraz k = 5kN/m dla elementu spręŝynowego, wyznaczyć:. macierz sztywności układu. przemieszczenia węzłów nr i 4. reakcje w węzłach nr - 4. siły wewnętrzne 5m m 4 kn 5m 6 5 m 5m

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element dwuwymiarowy liniowy : belka

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element dwuwymiarowy liniowy : belka etody komputerowe i obliczeniowe etoda Elementów Skoczonych Element dwuwymiarowy liniowy : belka Jest to element bardzo podobny do prta: współrzdne lokalne i globalne jego wzłów s takie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element dwuwymiarowy liniowy : prt 2D

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element dwuwymiarowy liniowy : prt 2D Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych Element dwuwymiarowy liniowy : prt 2D Jest to element dwuwymiarowy o rónych współrzdnych lokalnych i globalnych wzłów niezbdne s transformacje

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy liniowy : prt

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy liniowy : prt Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych Element jednowymiarowy liniowy : prt Jest to element bardzo podobny do spryny : współrzdne lokalne i globalne jego wzłów s takie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1

Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1 Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1 Wyznaczy wektor sił i przemieszcze wzłowych dla układu elementów przedstawionego na rysunku poniej (rysunek nie jest w skali!).

Bardziej szczegółowo

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił 1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna) PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie

Bardziej szczegółowo

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: 1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy. Wersja komputerowa

Stateczność ramy. Wersja komputerowa Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel

Bardziej szczegółowo

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ... 1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie stateczności ramy MES

Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek

Bardziej szczegółowo

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności: 7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić

Bardziej szczegółowo

Wprowadzanie zadanego układu do

Wprowadzanie zadanego układu do Wprowadzanie zadanego układu do programu ROBOT w celu rozwiązania MP 1. Ustawienie preferencji zadania WYMIARY Narzędzia -> Preferencje zadania SIŁY INNE MATERIAŁY Najpierw należy dodać, a potem kliknąć

Bardziej szczegółowo

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT Geometria i obciąŝenie Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT Przekroje 1. Wybór typu konstrukcji 2. Definicja domyślnego materiału Z menu górnego wybieramy NARZĘDZIA -> PREFERENCJE ZADANIA 1

Bardziej szczegółowo

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql

Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Zad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji:

Zad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji: Zad. Wznaczć rozkład sił wewnętrznch N, T, M, korzstając z komputerowej wersji metod przemieszczeń. schemat konstrukcji: ϕ 4, kn 4, 4, macierz transformacji (pręt nr): α = - ϕ = -, () 5 () () E=5GPa; I

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia

Bardziej szczegółowo

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też

Bardziej szczegółowo

Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje.

Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje. Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje. A B C E F P S assem() beam2d() beam2e() beam2s() coordxtr() eigen() eldia2() eldisp2() eldraw2() elflux2() eliso2() extract() flw2qe() flw2qs()

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

Obsługa programu Soldis

Obsługa programu Soldis Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów brzegowych

Metoda elementów brzegowych Metoda elementów brzegowych Tomasz Chwiej, Alina Mreńca-Kolasińska 9 listopada 8 Wstęp Rysunek : a) Geometria układu z zaznaczonymi: elementami brzegu (czerwony), węzłami (niebieski). b) Numeracja: elementów

Bardziej szczegółowo

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił

Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił Polecenie: Narysuj wykres sił wewnętrznych w ramie. Zadanie rozwiąż metodą sił. PkN MkNm EJ q kn/m EJ EJ Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3 ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z wykorzystaniem Metody Sił Temat zadania rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY

MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY Poszukiwanie znaczeń funkcji i skryptów funkcja help >> help % wypisuje linki do wszystkich plików pomocy >> help plot % wypisuje pomoc dotyczą funkcji plot Znaczenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ SOLDIS

WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ SOLDIS WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ SOLDIS W programie SOLDIS-PROJEKTANT przemieszczenia węzła odczytuje się na końcu odpowiednio wybranego pręta. Poniżej zostanie rozwiązane przykładowe zadanie, które również zostało

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych w programie ADINA Obliczenia statycznie obciążonej belki Szczecin

Bardziej szczegółowo

ANALIZA RAMY PŁASKIEJ W SYSTEMIE ROBOT. Adam Wosatko

ANALIZA RAMY PŁASKIEJ W SYSTEMIE ROBOT. Adam Wosatko ANALIZA RAMY PŁASKIEJ W SYSTEMIE ROBOT Adam Wosatko v. 1.2, Marzec 2019 2 1. Definicja i typ zadania, początkowe ustawienia Definicja zadania. Zadanie przykładowe do rozwiązania za pomocą systemu obliczeniowego

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Matlab Składnia + podstawy programowania

Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Matrix Laboratory środowisko stworzone z myślą o osobach rozwiązujących problemy matematyczne, w których operuje się na danych stanowiących wielowymiarowe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH 7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-05-manual /1/ : page 1 of 16. KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA

Document: Exercise-05-manual /1/ : page 1 of 16. KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 1 of 16 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA!"#$%&'()* +, -.!(/0"!* "% 1 1. CEL ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy drewnianej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej siłą skupioną

Stateczność ramy drewnianej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej siłą skupioną Stateczność ray drewnianej o różnych przekrojach prętów, obciążonej siłą skupioną ORIGIN - Ustawienie sposobu nueracji wierszy i kolun acierzy E GPa - Moduł Younga drewna Wyiary przekrojów a 7c b 7c a

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:

Bardziej szczegółowo

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT 1. Wybór typu konstrukcji (poniższe okno dostępne po wybraniu ikony NOWE) 2. Ustawienie norm projektowych oraz domyślnego materiału Z menu górnego wybieramy

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)

Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów) Politechnika Łódzka Wydział Technologii Materiałowych i Wzornictwa Tekstyliów Katedra Materiałoznawstwa Towaroznawstwa i Metrologii Włókienniczej Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania

Bardziej szczegółowo

ORIGIN 1. E 10GPa - moduł Younga drewna. 700 kg m 3. g - ciężar właściwy drewna g m s 2. 6cm b2 6cm b3 5cm 12cm h2 10cm h3 8cm. b1 h1.

ORIGIN 1. E 10GPa - moduł Younga drewna. 700 kg m 3. g - ciężar właściwy drewna g m s 2. 6cm b2 6cm b3 5cm 12cm h2 10cm h3 8cm. b1 h1. Statyka kratownicy drewnianej o różnych przekrojach prętów, obciążonej siłai, wilgocią i ciężare własny ORIGIN - ustawienie sposobu nueracji wierszy i kolun acierzy E GPa - oduł Younga drewna αw. ρ - współczynnik

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach. Zestaw nr 1 Imię i nazwisko zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Razem punkty Zad.1 (5p.). Narysować wykresy linii wpływu sił wewnętrznych w przekrojach K i L oraz reakcji w podporze R. Zad.2 (5p.). Narysować i napisać

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka

Bardziej szczegółowo

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek Wprowadzenie nr 2* do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw w semestrze zimowym 2012/2013 1.Zakres

Bardziej szczegółowo

1. Obciążenie statyczne

1. Obciążenie statyczne . Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha

Bardziej szczegółowo

Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów)

Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania ADINA-AUI 8.9 (900 węzłów) Politechnika Łódzka Wydział Technologii Materiałowych i Wzornictwa Tekstyliów Katedra Materiałoznawstwa Towaroznawstwa i Metrologii Włókienniczej Analiza obciążeń baneru reklamowego za pomocą oprogramowania

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny

Bardziej szczegółowo

Własności materiału E=200e9 Pa v=0.3. Preprocessing. 1. Moduł Part moduł ten słuŝy do stworzenia części. Part Create

Własności materiału E=200e9 Pa v=0.3. Preprocessing. 1. Moduł Part moduł ten słuŝy do stworzenia części. Part Create Ćwiczenie 1. Kratownica płaska jednoosiowy stan napręŝeń Cel ćwiczenia: Wyznaczenie stanu napręŝeń w elementach kratownicy płaskiej pod wpływem obciąŝenia siłą skupioną. Własności materiału E=200e9 Pa

Bardziej szczegółowo