1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Transkrypt

1 Płaskie układy tarcz sztywnych naliza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być konstrukcją budowlaną. Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest to uogólnienie znanej z kursu fizyki bryły sztywnej czyli ciała, którego odkształcanie w warunkach danego zagadnienia jest zaniedbywalnie małe a odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami bryły sztywnej jest stała niezależnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie wyobrazić jako bardzo cienką, płaską bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem na nią działającym znajdują się na jednej płaszczyźnie. Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje mierzone w rzeczywistych konstrukcjach są bardzo małe w porównaniu z jej wymiarami. Można więc przyjąć, że analizujemy konstrukcję niezdeformowaną czyli tak zwaną konfigurację pierwotną konstrukcji. Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia. Następnym bardzo ważnym pojęciem przy analizie kinematycznej jest stopień swobody. Jest to niezależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba określa nam liczbę stopni swobody tarczy sztywnej. by znać dokładne położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie wystarczy znać położenie dowolnego odcinka B. Położenie tego odcinka może być opisane za pomocą dwóch współrzędnych punktu (x i y) i kąta α, który jest kątem nachylenia odcinka B. Przedstawia to rysunek 1.1. Można więc stwierdzić, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Y B x α y X Rys Stopnie swobody tarczy sztywnej na płaszczyźnie Od konstrukcji budowlanej wymagamy aby nie była ona mechanizmem i pozostała nieruchoma pod wpływem obciążenia. by tak było należy odebrać jej wszystkie stopnie swobody. Robi się to przymocowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów. Tarczą podporową w przypadku rzeczywistych konstrukcji jest na przykład podłoże gruntowe. Pierwszym rodzajem więzu jest pręt podporowy. Został on przedstawiony na rysunku 1.2 a i b. Schemat pręta podporowego przedstawia rysunek 1.2 c. Jak widać na rysunku 1.2 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie punktu). Tarczę sztywną podpartą prętem podporowym przedstawia rysunek 1.3. Do opisu położenia tarczy sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry (kąty α oraz β). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody. Drugim rodzajem więzu jest przegub. Przedstawia go rysunek 1.4. Tarcza sztywna ma możliwość obrotu względem takiego przegubu.

2 2 Przegub przedstawiony na rysunku 1.4 nazywa się przegubem rzeczywistym. Do opisu położenia tarczy sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr (kąt nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Przedstawia to rysunek 1.5. Tarcza sztywna utraciła więc dwa stopnie swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej dwa stopnie swobody. a) b) c) Rys Pręt podporowy β α Rys Stopnie swobody tarczy sztywnej popartej prętem podporowym a) b) c) Rys Przegub α Rys Stopnień swobody tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym Przegub może być także utworzony z dwóch prętów podporowych. Mówimy wtedy o przegubie fikcyjnym. Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to rysunek 1.6. Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do siebie równoległe. Wtedy przegub fikcyjny znajduje się w nieskończoności i taki przegub nazywa się przegubem niewłaściwym. Tarczę sztywną podpartą dwoma równoległymi prętami podporowymi przedstawia rysunek 1.7 a. Rysunek 1.7 b przedstawia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku prostopadłym do kierunku obu prętów podporowych.

3 3 Rys Przegub fikcyjny a) b) Rys Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym w nieskończoności Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem. Przegub taki nazywa się przegubem wielokrotnym. Rysunek 1.8 a przedstawia trzy tarcze sztywne połączone przegubem wielokrotnym. a) b) II II I I III III Rys Przegub wielokrotny Jak widać przegub wielokrotny łączący trzy tarcze sztywne odpowiada czterem prętom podporowym. Ogólnie jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on 2 t 1 (1.1) prętom podporowym. Pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Jeżeli tych tarcz będzie t to będą one posiadały 3 t (1.2) stopni swobody. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności układu tarcz sztywnych jest zależność 3 t p, (1.3)

4 4 w której t oznacza liczbę tarcz natomiast p oznacza liczbę stopni swobody odbieranych przez więzy. Nierówność (1.3) oznacza, że liczba stopni swobody odbieranych przez więzy jest większa lub równa liczbie stopni swobody wszystkich tarcz sztywnych stanowiących układ tarcz sztywnych. Układy, w których zastosowano większą niż minimalna liczba więzów nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi statycznie niewyznaczalnymi. Układy tego typu nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania równowagi. Układy, w których zastosowano minimalną liczbę więzów nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi. Spełniają one warunek 3 t= p. (1.4) Układy tarcz sztywnych, które nie spełniają warunku (1.3) nazywa się układami geometrycznie zmiennymi. Równanie (1.4) jest warunkiem koniecznym ale niewystarczającym geometrycznej niezmienności. Możliwe są układy, które spełniają równanie (1.4) jednak będące układami geometrycznie zmiennymi. Układ tarcz sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Dopiero spełnienie warunku koniecznego oraz warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności stanowi o tym, że układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny. Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej trzema prętami podporowymi warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, że kierunki wszystkich trzech prętów podporowych nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Rysunek 1.9 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną natomiast rysunek 1.9 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną. a) b) Rys Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym i prętem podporowym warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, aby przegub rzeczywisty nie znajdował się na kierunku pręta podporowego. Rysunek 1.10 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną natomiast rysunek 1.10 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną. Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ trzech tarcz (z których jedna może być tarczą podporową) połączonych między sobą przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym). Układ taki nazywamy układem trójprzegubowym. Dla takiego układu tarcz sztywnych warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest fakt, że trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej. Rysunek 1.11 przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne natomiast rysunek 1.12 przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne. Korzystając z trzech powyższych warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności można udowodnić, geometryczną niezmienność większości przypadków układów tarcz sztywnych. nalizę kinematyczną zaczyna się od tej tarczy sztywnej lub układu trójprzegubowego, które spełniają jeden z powyższych warunków dostatecznych. Taką tarczę lub układ trójprzegubowy można więc teraz uznać jako

5 5 tarczę podporową dla pozostałych tarcz sztywnych. nalizę pozostałych tarcz sztywnych przeprowadza się podobnie jak na początku analizy kinematycznej. Istnieją układy tarcz sztywnych, dla których nie da się udowodnić geometrycznej niezmienności w sposób opisany powyżej. Dla takich układów analizę kinematyczną przeprowadza się metodą nazywaną planem biegunów (metoda ta nie będzie tutaj rozpatrywana) lub przy wykorzystaniu równań równowagi, co zostanie opisane w dalszej części. a) b) Rys Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna B B C C B C Rys Geometrycznie niezmienne układy trójprzegubowe C B C B B C Rys Geometrycznie zmienne układy trójprzegubowe

6 Układy prętowe Podstawowym elementem konstrukcyjnym jest pręt. Pręt powstaje wtedy, gdy po linii regularnej B przemieszcza się środek ciężkości figury płaskiej (jeżeli wykonamy figurę z cienkiej blachy i podeprzemy go dokładnie w środku ciężkości na szpilce to będzie on leżał stabilnie) w taki sposób aby płaszczyzna figury była zawsze prostopadła do linii B. Kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona materiałem tworzy pręt. Przedstawia to rysunek Figurę tworzącą pręt nazywamy przekrojem pręta natomiast linię B nazywamy osią pręta. Z przekrojem pręta będzie związany układ współrzędnych XYZ. Początek tego układu znajduje się w środku ciężkości przekroju (punkt ). Oś X jest styczna do osi pręta. Położenie pozostałych osi przedstawia rysunek Przykłady rzeczywistych prętów znajdują się na rysunkach 1.15 i B Rys Pręt BB Y=Y0 X Z=Z0 Rys Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta Rys Pręt Jeżeli przekrój pręta jest stały to pręt jest prętem pryzmatycznym. Większość rzeczywistych prętów jest właśnie prętami pryzmatycznymi. Modelem matematycznym pręta jest jest jego oś. Przedstawia to rysunek W zagadnieniach przedstawionych w niniejszym rozdziale osie wszystkich prętów będą znajdowały się na jednej płaszczyźnie. Na potrzeby analizy kinematycznej płaskich układów prętowych możemy pręt traktować jako bardzo wydłużoną tarczę sztywną. Przedstawia to rysunek 1.18.

7 7 Rys Pręt B Rzeczywisty obiekt B Model matematyczny Rys Model matematyczny pręta Model matematyczny Tarcza sztywna Rys Pręt jako tarcza sztywna W przypadku płaskich układów prętowych więzy odbierające prętowi stopnie swobody nazywane są podporami. Mamy kilka ich rodzajów. Pierwszym z nich jest podpora przegubowo-przesuwna, odpowiadająca jednemu prętowi podporowemu. Odbiera ona więc jeden stopień swobody. Podporę taką przedstawia rysunek Podporę przegubowo-przesuwną w rzeczywistych konstrukcjach budowlanych przedstawiają rysunki od 1.20 do Drugim rodzajem podpory jest podpora przegubowo-nieprzesuwna, odpowiadająca dwóm nierównoległym prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek Podporę przegubowo-nieprzesuwną w rzeczywistych konstrukcjach budowlanych przedstawiają rysunki od 1.28 do 1.30.

8 8 Rys Podpora przegubowo-przesuwna Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

9 9 Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu) Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu) Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu) Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

10 10 Rys Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu) Rys Podpora przegubowo-nieprzesuwna Rys Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna Rys Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

11 11 Rys Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna (trasa PST w Poznaniu) Trzecim rodzajem podpory jest przegub, łączący ze sobą dwa pręty i odpowiadający przegubowi rzeczywistemu. Odbiera on więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek Przegub w rzeczywistej konstrukcji budowlanej przedstawia rysunek Rys Przegub Rys Przegub w rzeczywistej konstrukcji prętowej Czwartym rodzajem podpory jest podpora teleskopowa, która odpowiada dwóm równoległym do siebie prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek Rys Podpora teleskopowa

12 12 Czwartym rodzajem podpory jest utwierdzenie, które odpowiada trzem prętom podporowym, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Odbiera ono więc trzy stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek Rysunek 1.35 przedstawia rzeczywisty pręt, do którego przymocowana jest prostokątna blacha z otworami na śruby fundamentowe. Śruby te łączą pręt z betonowym blokiem fundamentowym w kształcie prostopadłościanu, który traktujemy jako tarczę sztywną dla tego pręta. Za pomocą tych czterech śrub zrealizowane jest utwierdzenie. Utwierdzenie takie jest przedstawione na rysunku 1.36 i Rys Utwierdzenie Rys Rzeczywiste utwierdzenie Rys Rzeczywiste utwierdzenie Rys Rzeczywiste utwierdzenie

13 Kratownice płaskie Kratownicą płaską nazywamy układ prętów prostych leżących na jednej płaszczyźnie, które są połączone między sobą przegubami. Przeguby nazywa się węzłami kratownicy. Kratownica następnie jest podparta do podłoża za pomocą podpór przegubowo-przesuwnej i przegubowo-nieprzesuwnej. Rysunek 1.38 przedstawia przykładową kratownicę Rys Kratownica Poszczególne pręty kratownicy mają swoje charakterystyczne nazwy. Opierając się na oznaczeniach prętów przedstawionych na rysunku 1.38 pręty kratownicy możemy podzielić na: pręty pasa dolnego od numeru 1 do 4 pręty pasa górnego od numeru 5 do 8 słupki od numeru 9 do 13 krzyżulce od numeru 14 do 17. Rysunki od 1.39 do 1.42 przedstawiają rzeczywiste kratownice wraz z zaznaczonymi modelami matematycznymi tych kratownic. Rys Rzeczywista kratownica W modelu matematycznym przyjmujemy, że węzeł kratownicy jest przegubem. Jednak w rzeczywistych obiektach najczęściej nie da się wykonstruować przegubu. Rzeczywiste węzły kratownic przedstawiają rysunki od 1.43 do Kratownica może być częścią innej konstrukcji. Na rysunkach 1.47 i 1.48 przedstawione są kratownice będące pomostem mostu wiszącego.

14 14 Rys Rzeczywista kratownica Rys Rzeczywista kratownica Rys Rzeczywista kratownica Rys Rzeczywisty węzeł kratownicy

15 15 Rys Rzeczywisty węzeł kratownicy Rys Rzeczywisty węzeł kratownicy Rys Rzeczywisty węzeł kratownicy Oprócz kratownic płaskich spotykane są kratownice przestrzenne, które składają się z kilku kratownic płaskich leżących na różnych płaszczyznach. Kratownice takie przedstawiają rysunki od 1.49, 1.50 i Dotychczas przedstawione kratownice wykonane były ze stali. Jednak nie jest to jedyny materiał, z którego wykonuje się kratownice. Rysunek 1.52 przedstawia kratownicę wykonaną z żelbetu, który składa się z betonu z zatopionymi wewnątrz prętami stalowymi. Kratownica może być także wykonana z drewna. Kratownice tego typu są przedstawione na rysunku 1.53.

16 16 Rys Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego Rys Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego (Golden Gate Bridge) Rys Kratownice przestrzenne naliza kinematyczna kratownic przebiega w nieco inny sposób niż w przypadku innych typów konstrukcji prętowych. Rysunek 1.54 przedstawia dowolny punkt, który reprezentuje nam węzeł kratownicy w płaskim układzie współrzędnych. Jak widać do opisu jego położenia potrzebujemy dwóch parametrów, którymi są współrzędne x i y. Możemy więc stwierdzić, że punkt posiada dwa stopnie swobody.

17 17 Rys Kratownice przestrzenne Rys Kratownice przestrzenne Rys Kratownica żelbetowa Jeżeli dana kratownica składa się z w węzłów to posiadają one 2 w (1.5) stopni swobody.

18 18 Rys Kratownice drewniane Y x y X Rys Stopnie swobody punktu na płaszczyźnie Wszystkie stopnie swobody muszą zostać odebrane węzłom przez pręty kratownicy oraz podpory. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności będzie więc warunek 2 w p r, (1.6) w którym w oznacza liczbę węzłów kratownicy, p oznacza liczbę prętów kratownicy natomiast r oznacza liczbę stopni swobody odbieranych przez podpory. Kratownice, w których pręty oraz podpory odbierają więcej stopni swobody niż posiadają je węzły nazywa się kratownicami geometrycznie niezmiennymi statycznie niewyznaczalnymi. Układy tego typu nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania równowagi. Układy, w których pręty oraz podpory odbierają dokładnie tyle stopni swobody ile posiadają ich węzły nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi. Spełniają one warunek 2 w= p r. (1.7) Kratownice, które nie spełniają warunku (1.6) nazywamy kratownicami geometrycznie zmiennymi. Nie mogą one być konstrukcjami budowlanymi. Podobnie jak w przypadku płaskiego układu tarcz sztywnych kratownice muszą oprócz warunku koniecznego spełnić także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Kratownica pokazana na rysunku 1.55 jest geometrycznie niezmienna, ponieważ nie można zmienić położenia dowolnego węzła bez zmiany długości prętów kratownicy. Stanowi ona więc tarczę sztywną. Dokładając do niej następny węzeł za pomocą dwóch prętów, jak to jest przedstawione na rysunku 1.56, kratownica taka pozostaje nadal geometrycznie niezmienna. Ogólnie możemy więc powiedzieć, że kratownica składająca się z trójkątów jest tarczą sztywną. Kratownicę taką nazywamy kratownicą o strukturze prostej. Jeżeli więc mamy do

19 19 czynienia z kratownicą o strukturze prostej to w analizie kinematycznej możemy ją traktować jako tarczę sztywną i dalej będziemy mogli stosować do niej warunki dostateczne geometrycznej niezmienności jak dla płaskiego układu tarcz sztywnych. 2 1 = Rys Kratownica będąca tarczą sztywną = 5 3 Rys Kratownica będąca tarczą sztywną Rysunek 1.57 przedstawia kratownicę o strukturze prostej traktowaną w analizie kinematycznej jako tarczę sztywną podpartą trzema prętami podporowymi = Rys Kratownica będąca tarczą sztywną podpartą trzema prętami podporowymi 1.4. Belki Belką nazywamy układ prętowy, który składa się z prętów leżących na jednej prostej. Podporami belek są wszystkie przedstawione wcześniej typy podpór.

20 20 Jeżeli belka składa się z jednego tylko pręta to belkę taką nazywamy belką prostą. Istnieją dwa typy belek prostych. Pierwszym z nich jest belka swobodnie podparta. Przedstawia ją rysunek Podporami tej belki są podpora przegubowo-przesuwna i przegubowo-nieprzesuwna. Stanowią one układ trzech prętów podporowych. Dzięki ich liczbie spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Kierunki tych trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie, przez co spełniony jest także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. Rys Belka swobodnie podparta Drugim rodzajem belki prostej jest belka wspornikowa. Belka ta jest przedstawiona na rysunku Podporą tej belki jest utwierdzenie. Przez to belka ta jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. Rys Belka wspornikowa Jeżeli belka składa się z przynajmniej dwóch prętów to nazywamy ją belką złożoną. Rysunki od 1.60 do 1.63 przedstawiają przykłady belek złożonych. Do analizy kinematycznej belek stosujemy zasady jak dla płaskich układów tarcz sztywnych. Belki przedstawione na poniższych rysunkach są układami geometrycznie niezmiennymi i statycznie wyznaczalnymi. Rys Belka złożona Rys Belka złożona

21 21 Rys Belka złożona Rys Belka złożona Rysunki od 1.64 do 1.68 przedstawiają rzeczywiste belki swobodnie podparte. Rysunki 1.69 i 1.70 przedstawiają tak zwane belki ciągłe, które to są belkami statycznie niewyznaczalnanymi. Rys Rzeczywista belka swobodnie podparta Rys Rzeczywista belka swobodnie podparta 1.5. Ramy płaskie Ramą płaską nazywamy układ prętowy, w którym pręty nie leżą na jednej prostej. Poszczególne pręty ramy płaskiej mogą się łączyć między sobą za pomocą przegubów lub połączeń sztywnych. Połączenie sztywne to takie połączenie, które nie pozwala na obrót poszczególnych prętów ramy względem siebie wokół miejsca połączenia. Miejsce sztywnego połączenia prętów w ramie płaskiej nazywamy węzłem

22 22 ramy. Pionowe pręty w ramie płaskiej nazywamy słupami natomiast poziome pręty nazywamy ryglami. Jeżeli wszystkie pręty w ramie płaskiej są do siebie prostopadłe to taką ramę nazywamy ramą ortogonalną. Rysunek 1.71 przedstawia ramę ortogonalną z zaznaczonymi węzłami, słupami i ryglem. Rys Rzeczywista belka swobodnie podparta (Stonehenge) Rys Rzeczywista belka swobodnie podparta Rys Rzeczywista belka swobodnie podparta (trasa PST w Poznaniu) Rys Rzeczywista belka ciągła Rysunki od 1.72 do 1.75 przedstawiają przykładowe ramy płaskie. Do analizy kinematycznej ram płaskich stosujemy zasady jak dla płaskich układów tarcz sztywnych. Ramy płaskie przedstawione na poniższych rysunkach są układami geometrycznie niezmiennymi i statycznie wyznaczalnymi.

23 23 Rys Rzeczywista belka ciągła (trasa PST w Poznaniu) Węzeł Rygiel Słup Węzeł Słup Rys Ortogonalna rama płaska Rys Rama płaska Rys Rama płaska

24 24 Rys Rama płaska Rys Rama płaska Rzeczywiste ramy płaskie przedstawiają rysunki od 1.76 do Rysunki od 1.84 do 1.89 przedstawiają rzeczywiste węzły sztywne w ramach płaskich. Rys Rzeczywista rama płaska Rys Rzeczywista rama płaska

25 25 Rys Rzeczywista rama płaska Rys Rzeczywista rama płaska Rys Rzeczywista rama płaska Rys Rzeczywista rama płaska

26 26 Rys Rzeczywista rama płaska Rys Rzeczywista rama płaska Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej

27 27 Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej Rys Sztywny węzeł ramy płaskiej