INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4

Transkrypt

1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Zastosowanie optymalizacji topologicznej w projektowaniu konstrukcji. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest określenie topologii konstrukcji za pomocą ewolucyjnych narzędzi optymalizacji. PODSTAWY TEORETYCZNE W zagadnieniach mechaniki i budowy maszyn procesowi optymalizacji mogą być poddawane proste układy zawierające pojedyncze część (np. pręt, rama, oś, wał, belka, płyta, itp.) lub złożone układy (zbiór części, podzespół urządzenia lub kompletna maszyna). Konstrukcję opisuje się za pomocą parametrów, które charakteryzują jej topologię (liczbę i rodzaj elementów), geometrię (wymiary elementów, przełożenia par kinematycznych, itp.), wykorzystywane materiały (właściwości fizyczne, chemiczne, wytrzymałościowe, itp.), zapotrzebowanie energetyczne (moc, sprawność, zużycie paliwa, itp.) oraz wiele innych cech. Część tych parametrów jest przyjmowana przed procesem projektowania. Pozostałe, zwane zmiennymi decyzyjnymi określane są w procesie optymalizacji. Proces optymalizacji topologicznej w mechanice konstrukcji polega na określeniu rozkładu materiału (rozkładu komórek, elementów) w projektowanym obszarze, który umożliwi uzyskanie minimalnej lub maksymalnej wartości przyjętej funkcji celu. Na rysunkach 1 oraz 2 przedstawiono przykładowe projektowane obszary oraz rozwiązania optymalne. Przykład numer 1 przedstawia proces optymalizacji topologicznej kratownicy płaskiej. W projektowanym obszarze zdefiniowane są stałe położenia węzłów oraz gęsta kratownica zwana konstrukcją bazową (Rys.1a). Optymalizacja topologiczna ma za zadanie określić optymalną konfigurację kratownicy (tj. ilość i położenie prętów), która umożliwi minimalizację objętości układu przy uwzględnieniu ograniczeń naprężeniowych (Rys.2b). Przykład numer 2 przedstawia optymalizację topologiczną kształtowania struktury ciągłej. W projektowanym obszarze znajduje się przyjęta początkowa objętość (w zagadnieniach 2D powierzchnia), która została zdyskretyzowana (Rys.2a). Przyjęcie siatki umożliwia przeprowadzenie analizy z wykorzystaniem metody elementów skończonych (MES). 1

2 Wykonując optymalizację topologiczną, której celem jest minimalizacja energii odkształceń sprężystych konstrukcji otrzymano optymalny rozkład materiału (Rys.2b). Najważniejsze programy służące do przeprowadzania analiz z zakresu wytrzymałości materiałów posiadają moduły wykonujące optymalizację topologiczną struktur. Na przykład oprogramowanie Abaqus zawiera Abaqus Topology Optimization Module (ATOM), który pozwala inżynierowi na określenie optymalnej topologii pojedynczej części lub złożeń konstrukcji. a) b) Rysunek 1. Przykładowa konstrukcja bazowa płaskiej kratownicy a) oraz rozwiązanie optymalne przy minimalizacji jej objętości b). a) b) Rysunek 2. Przykładowy projektowany obszar z naniesioną siatką elementów skończonych a) oraz optymalny rozkład materiału otrzymany z procesu optymalizacji topologicznej b). W ostatniej dekadzie wzrosło zainteresowanie konstruktorów ewolucyjnymi metodami kształtowania struktur. Wynika to z fakty, że algorytmy te są uniwersalne oraz łatwe do zaimplementowania w różnych językach programowania. Algorytmy ewolucyjne są inspirowane anologiami biologicznymi, wzorowane na ewolucji naturalnej a głównym ich zastosowaniem jest optymalizacja i modelowanie różnych struktur. Jedną z takich metod, opracowaną w latach 90 ubiegłego wieku, jest Evolutionary Structural Optimization, w 2

3 skrócie ESO. Objętość optymalizowanej sprężystej struktury jest dyskretyzowana, podzielona na N elementów, inaczej komórek. Do struktury przykłada się siły oraz ustala punkty, w których narzucone są więzy (np. zamocowanie w podporach przegubowych). W kolejnych krokach procedury obliczeniowej (iteracjach) przeprowadza się analizy z wykorzystaniem metody elementów skończonych oraz usuwa zbędny materiał według przyjętych kryteriów. W cyklu obliczeniowym wielkości charakteryzujące poszczególne komórki są na bieżąco uaktualniane na podstawie informacji pochodzących z poprzedniej i obecnej iteracji zarówno dla danej komórki jak i jej sąsiadów. Czynności te są powtarzane, aż uzyska się satysfakcjonujące wyniki. Badania nad Evolutionary Structural Optimization spowodowały powstanie kolejnych metod: AESO, BESO, XESO. W wykonywanym ćwiczeniu wykorzystywana będzie metoda BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization). Podstawową cechą, która odróżnia ten algorytm od metody ESO jest możliwość zarówno usuwania jak i dodawania (możliwość ponownego uwzględnienia komórki po jej wcześniejszym odrzuceniu) materiału w kolejnych iteracjach w zależności od przyjętego kryterium optymalizacji. Celem przeprowadzanej podczas zajęć laboratoryjnych optymalizacji topologicznej jest określenie najlepszego rozkładu jednorodnego izotropowego materiału w projektowanym obszarze. Podczas realizacja procesu za pomocą algorytmu BESO wykorzystywano kryterium minimalizacji całkowitej energii odkształceń sprężystych E S. Przyjęta funkcja celu Q ma postać Q( X ) = ES (1) Wektor zmiennych decyzyjnych zdefiniowano jako X=[x 1, x 2,, x N ], gdzie N- liczba wszystkich elementów struktury. Energia odkształcenia sprężystego E S jest to energia potencjalna nagromadzona w ciele sprężystym przy odkształcaniu wywołanym obciążeniem. Całkowitą energia odkształceń równa jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne, określana jest z równania macierzowego 1 T 1 T E s = F U = U KU (2) 2 2 gdzie: K globalna macierz sztywności, U wektor przemieszczeń, F wektor wymuszenia, obciążenia struktury. W procesie optymalizacji uwzględniono następujące ograniczenia: objętościowe N i i 0 (3) i= 1 V ( X ) = V x V gdzie: V(X) zadana, pożądana objętość struktury optymalnej (końcowej topologii), V 0 objętość początkowa, projektowanego obszaru V i objętość pojedynczego elementu. 3

4 równania równowagi statycznej KU = F (4) Na podstawie równania (4) określane są przemieszczenia struktury za pomocą metody elementów skończonych. wartości zmiennych decyzyjnych X=[x 1, x 2,, x N ], gdzie x i - to zmienna przyjmująca wartości: 0 brak elementu w strukturze, 1 obecność elementu w strukturze. Należy podkreślić, że w praktyce zmienna x i przyjmowana przez algorytm BESO dla komórki usuwanej ze struktury zamiast zero ma bardzo małą wartość, na przykład: W trakcie symulacji numerycznych materiał usuwany jest z miejsc słabo wytężonych, wypełnione pozostają tylko obszary, gdzie jest on niezbędny do zapewnienia możliwości przenoszenia obciążeń. W końcowym etapie procesu otrzymywana jest nowa topologia składająca się z komórek wypełnionych materiałem oraz pustych. Najczęściej interpretacja graficzna otrzymanego rozkładu przedstawiana jest w postaci na przykład niebieskich i czarnych pól wypełniających projektowany obszar części (Rys.2b). Optymalny rozkład materiału opisany będzie przez odpowiednio zidentyfikowany zapis wektora zmiennych decyzyjnych X, którego wyrazy mogą przyjmować wartości: 0 lub 1. Podsumowując, algorytm BESO pozwala na otrzymanie optymalnej topologii o zadanej objętości. Podczas procesu optymalizacji zmniejszana jest masa konstrukcji (objętość), jednocześnie komórki struktury muszą przenosić coraz to większe obciążenia. Ważne jest, aby prędkość degradacji konstrukcji nie była zbyt duża. Zbyt szybka degradacja struktury może prowadzić do rozbieżności algorytmu. W rezultacie algorytm może generować błędy, których skutkiem będzie nieprawidłowe działanie programu. PRZEBIEG ĆWICZENIA W trakcie wykonywania ćwiczenia laboratoryjnego przeprowadzona zostanie optymalizacja topologiczna części w przestrzeni 2D. Prowadzący zajęcia przekaże każdemu zespołowi laboratoryjnemu główne wytyczne odnośnie projektowanych konstrukcji. Członkowie zespołów muszą wykonać następujące czynności: 1. Opisać projektowany obiekt: przyjąć rodzaj materiału (E, ν, ρ), zdefiniować początkowy rozmiar powierzchni części (a, b), przeprowadzić dyskretyzację części, określając rozmiar komórki Δx i ilość elementów N. Zalecane jest, aby stosunki a do Δx i b do Δx były liczbami całkowitymi oraz liczba elementów N była większa niż określić rodzaj podpór oraz punkty, w których element zostanie zamocowany, określić rodzaj obciążenia i punkt jego przyłożenia. 4

5 Sporządzić cztery wstępne konfiguracje projektowanego obiektu. Wykonać rysunki przedstawiające schematy projektowanego obiektu, na przykład tak jak przedstawiono to na rysunku 3. Rysunek 3. Wstępne konfiguracje projektowanego obiektu. 2. W udostępnionym oprogramowaniu wykonać model projektowanego obszaru. Uruchomienie aplikacji wymaga: Wykorzystując skrót na pulpicie uruchomić program MATLAB, Ustawić ścieżkę katalogu roboczego w postaci: C:\Users\kms\Desktop\Optymalizacja\Cwiczenie4 W Command Window wpisać poniższe polecenie uruchamiające aplikację i zatwierdzić (kliknąć Enter) Optymalizacja W nowym oknie (rysunek 4) : - zdefiniować początkową geometrię konstrukcji (wprowadzone dane zatwierdzamy przyciskiem Wczytaj nową geometrię ), - wprowadzić wymagany udział objętościowy struktury pierwotnej, jaki powinna posiadać struktura optymalna oraz uruchomić proces optymalizacji przyciskiem Wykonaj optymalizację, - proces optymalizacji wykonywany jest automatycznie. Na bieżąco można obserwować topologię oraz wartości udziału objętościowego i funkcji celu dla poszczególnych iteracji. W dolnej części okna będzie pojawiała się informacja o statusie procesu: Start optymalizacji, Koniec optymalizacji. 3. Przeprowadzić optymalizację topologiczną struktury. Narysować szkice rozwiązania optymalnego (Okno aplikacji może zostać zapisane do pliku graficznego poprzez zakładkę File i opcję Save as). Czynności powtórzyć dla wszystkich przyjętych konfiguracji wstępnych. 4. Przeprowadzić analizę wpływu rozmieszczenia podpór oraz obciążenia na kształt otrzymanego rozwiązania. 5

6 Rysunek 4. Widok okna wykorzystywanej aplikacji. 6

7 OPRACOWANIE WYNIKÓW Po przeprowadzeniu obliczeń numerycznych należy zapisać w tabeli wszystkie informacje niezbędne do wykonania sprawozdania z zajęć laboratoryjnych. Tab. 1 Tabele danych i wyników pomiarów Charakterystyka projektowanego obszaru Rodzaj materiału Moduł Younga Liczba Poissona Gęstość Szerokość obszaru Wysokość obszaru Numer wariantu Warianty optymalizacji topologicznej Podpora 1 Podpora2 Obciążenie Schemat rozwiązania optymalnego 1 x-.. N-. x- y-. Składowe siły: F x -.. F y - 2 x-.. N-. x- y-. Składowe siły: F x -.. F y - 3 x-.. N-. x- y-. Składowe siły: F x -.. F y - 4 x-.. N-... x- y-. Składowe siły: F x -.. F y - 7

8 SPRAWOZDANIE Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną. 2. Cel ćwiczenia. 3. Schematy badanych układów. 4. Tabelę pomiarów i wyników. 5. Szkice rozwiązań optymalnych. 6. Wnioski. 8