MATEMATYKA. Skrypt dla studentów kierunków przyrodniczych

MATEMATYKA Skrypt dla studentów kierunków przyrodniczych Małgorzata Graczyk Poznań, 015 Wydawnictwo Rafał Zieliński

i Recenzent: prof. dr hab. Bronisław Ceranka Małgorzata Graczyk c ISBN 978-83-940663-0-7 Wydawnictwo Rafał Zieliński ul. Lukrecjowa 14/

ii 6064 Plewiska

Spis treści Od autora 5 Ci agi, szeregi 7 Funkcja jednej zmiennej i jej własności 5 Granica funkcji, asymptoty, ci agłość 45 Pochodna funkcji 59 Pochodna funkcji: zastosowania 73 Reguła de l Hospitala 95 Całki nieoznaczone 119 Całki z funkcji wymiernych 131 Całki oznaczone 145 Podstawowe równania różniczkowe 167 Przykładowe zestawy na kolokwia 183 Bibliografia 187 iii

iv SPIS TREŚCI

Od autora W dzisiejszych czasach coraz wiȩcej osób zaczyna dbać o dobr a kondycjȩ i pracuje nad swoim ciałem. Ludzie kupuj a różnorakie sprzȩty lub karnety na siłowniȩ i w trudzie d aż a do idealnego wygl adu. W tym całym zabieganiu zapominaj a o najważniejszym i najszlachetniejszym "miȩśniu- o mózgu. Oto masz przed sob a ciȩżarek o wadze 756KB, który choć nie aż tak wielki, czȩsto używany przyniesie zadowalaj ace efekty. Nie zapominaj o regularnym powtarzaniu wszystkich ćwiczeń. Nie martw siȩ, drogi Czytelniku, nie nabawisz siȩ zakwasów od tego rodzaju wysiłku. Zbiór zadań zawiera materiały pomocne w opanowaniu problematyki omawianej na ćwiczeniach z matematyki na poziomie podstawowym A1. Zadania zostały przygotowane z myśl a o studentach Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu. Z tego powodu zawarte zostały zadania pomagaj ace w opanowaniu zagadnień omawianych na zajȩciach, ale również przykładowe zestawy zadań, które pojawiaj a siȩ na kolokwiach, co pozwala zapoznać siȩ z rodzajami i stopniem trudności zadań. Materiał zawarty w tej ksi ażce obejmuje zagadnienia analizy matematycznej: ci agi, szeregi, funkcjȩ i jej własności, v

vi SPIS TREŚCI pochodn a funkcji i niektóre jej zastosowania. Kolejne tematy to całki nieoznaczone i oznaczone oraz ich zastosowanie. Ostatnim elementem s a podstawowe typy równań różniczkowych. Omówione zostały przykładowe zadania. Oprócz tego, każdy rozdział zawiera odpowiedzi do wszystkich zadań. Mam nadziejȩ, że dowcipy i powiedzonka o matematyce umil a rozwi azywanie zadań. Uprzejmie proszȩ o przekazywanie uwag na adres: points015@gmail.com. Życzȩ Państwu miłej lektury. :) Temu, kto nie zna matematyki, trudno spostrzec głȩbokie piȩkno przyrody. R. Feynman

Rozdział 1: Ci agi, szeregi vii

viii ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI Przykład 1. Podaj wzór na wyraz ogólny ci agu o elementach a 1 = 1, a = 1, a 3 =, a 4 = 6, a 5 = 4, a 6 = 10,... Rozwi azanie: Zauważmy, że a 1 = ( 1) 1, a = ( 1), a 3 = ( 1) 3, a 4 = ( 1) 4 3, a 5 = ( 1) 5 3 4, a 6 = ( 1) 5 3 4 5,..., czyli a n = ( 1) n (n 1)! Zadanie 1. Naszkicuj wykres ci agu i podaj wzór na jego wyraz ogólny, o ile to jest możliwe. a) ci agu liczb parzystych, b) ci agu odwrotności liczb nieparzystych, c) ci agu stałego o wyrazach równych -4, d) ci agu kwadratów kolejnych liczb naturalnych, e) ci agu o elementach, 9, 0, 35,...,, f) ci agu o wyrazach 1 3, 3, 3 3,..., g) ci agu odwrotności kolejnych potȩg trójki, h) ci agu kolejnych potȩg liczby 1, i) ci agu o elementach, 5, 10, 17, 6, 37,...,

ix j) ci agu o elementach 3, 9, 7, 81, 43,..., k) ci agu kolejnych liczb pierwszych, l) ci agu o elementach 4, 5, 0, 35,..., m) ci agu o elementach 1, 4, 3 8, 4 16,..., n) ci agu o elementach 1, 3 4, 5 6,, o) ci agu o elementach równych odwrotnościom kwadratów kolejnych liczb nieparzystych, p) ci agu pierwiastków z liczb naturalnych, r) ci agu o elementach, które s a pierwiastkami równania sin x = 0 w przedziale [0, ), s) ci agu o elementach, które s a pierwiastkami równania cos x = 1 w przedziale [0, ), t) ci agu odwrotności kolejnych potȩg liczby 7, u) ci agu odwrotności kolejnych liczb naturalnych. Przykład. Oblicz sześć pierwszych wyrazów ci agu o wyrazie ogólnym a n = n sin ( ) nπ 4. Rozwi azanie:

x ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI Podstawiaj ac za n kolejne liczby naturalne otrzymujemy: a 1 = sin π 4 = =, a = 4 sin π = 4 1 = 4, a 3 = 8 sin 3π 4 = 8 = 4, a 4 = 16 sin π = 16 0 = 0, a 5 = 3 sin 5π 4 ( = 3 ) = 16, a 6 = 64 sin 6π 4 = 64 ( 1) = 64. Zadanie. Wyznacz wyrazy od pierwszego do szóstego ci agów o podanych wyrazach ogólnych a) a n = 1 n +1, b n = 1 n+1, b) a n = ( 1 ) n, bn = ( 1)n n, c) a n = sin( (n 1)π ), b n = n 1, d) a n = n 1 + 3, b n = 1 e) a n = 3 n 1 + 1, b n = 1 ( n n + 8 ), ( n + n + ). Przykład 3. Podaj, które wyrazy ci agu {a n } o wyrazie ogólnym a n = 8n+19 n 1 ln(n+1) s a nieujemne. Rozwi azanie: Wyrazy ci agu s a nieujemne, gdy a n 0. St ad 8n+19 n 1 ln(n+1) 0. Dla n 1 wyrażenie w mianowniku jest zawsze do-

datnie, zatem 8n + 19 n 1. Podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy n + 8n + 0 0. Ostatecznie, n {1,,..., 10}. xi Zadanie 3. Podaj, które wyrazy ci agu o podanym wyrazie ogólnym maj a określon a własność a) wyrazy s a dodatnie, jeżeli a n = ( 1) n, b) wyrazy s a równe zero, jeżeli a n = n 4n+1 n +1, c) wyrazy s a równe zero, jeżeli a n = n (n 3), d) wyrazy s a nieujemne, jeżeli a n = 50 + 5n n, e) wyrazy s a ujemne, jeżeli a n = n 5n 10, f) wyrazy s a ujemne, jeżeli a n = 3n + 10n + 8, g) wyrazy s a równe zero, jeżeli a n = n + n+4 n +n+, h) wyrazy s a równe zero, jeżeli a n = n n n +1+1, i) wyrazy s a niedodatnie, jeżeli a n = ( 1) n ln n, j) wyrazy s a niedodatnie, jeżeli a n = n+4 n n +1.

xii ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI Monotoniczność ci agu Ci ag jest rosn acy, gdy dla każdego n N mamy a n+1 a n > 0. Przykład 4. Dla jakiego parametru p ci ag {a n } wyrazie ogólnym a n = 3 ln(n + 1) 4 jest rosn acy? Rozwi azanie: Aby sprawdzić czy dany ci ag jest rosn acy musimy obliczyć a n+1 = 3 ln(n + ) 4. Nastȩpnie a n+1 a n = 3 ln(n + ) 4 3 ln(n + 1) + 4. Korzystaj ac z własności logarytmów a n+1 a n = n+ 3 ln n+1 > 0. Funkcja logarytmiczna przyjmuje wartości dodatnie, jeżeli liczba logarytmowana jest wiȩksza od jedynki, czyli n+ n+1 > 1. Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego n N. Zatem a n+1 a n > 0 i ci ag jest rosn acy. Zadanie 4. Dla jakiego parametru p ci agu (a n ) ma określon a własność a) jest rosn acy, jeżeli a n = np + 1, b) jest stały, jeżeli a n = n p, c) malej acy, jeżeli a n = n np, d) jest rosn acy, jeżeli a n = pn n+1,

xiii e) jest arytmetyczny, jeżeli a n = 6n + p, f) jest arytmetyczny, jeżeli a n = n 5+p 3, g) arytmetyczny, jeżeli a n = p(n + 1), h) Suma trzech liczb tworz acych ci ag arytmetyczny jest równa 4, a suma kwadratów tych liczb jest równa 10. Wyznacz ten ci ag. i) Dla jakiej wartości parametru p liczby x + x, x + x 1, 5x + 8 tworz a ci ag arytmetyczny? j) Liczby x, y, z tworz a ci ag geometryczny, zaś liczby x 1, y +5, z +9 tworz a ci ag arytmetyczny. Wyznacz te liczby, jeżeli x + y + +z = 1. Przykład 5. Oblicz granicȩ ci agu o wyrazie ogólnym a n = n +5n n +n 7n. Rozwi azanie: lim a n + 5n n n n = n lim + n 7n Przekształcamy to wyrażenie korzystaj ac z podstawowego wzoru algebry elementarnej a b = a b a+b. Mnoż ac licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie, które znajduje siȩ w liczniku ze znakiem "+ótrzymujemy

xiv ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI lim n lim n lim n lim n ( n + 5n n + n ) ( n + 5n + n + n ) 7n ( n + 5n + n + n ) = n + 5n (n + 3n) 7n ( n + 5n + n + n ) = n + 3n 7n ( n + 5n + n + n ) = n + 3 7 ( n + 5n + n + n ) Stopień wyrażenia w mianowniku jest równy 1, zatem licznik i mianownik dzielimy przez n pamiȩtaj ac o tym, że, aby podzielić pierwiastek kwadratowy przez n, należy wyrażenie podpierwiastkowe podzielić przez n. 1 7 lim n 1 7 lim n ( n n n + 3 n n + 5 n n + 1 + 3 n + 5 n + 1 +. n n n + n n ) = Ponieważ lim = 0, wiȩc otrzymujemy ostatecznie n n + 5n n lim + n 1 1 = n 7n 7( + 1) =. 7 n 1

xv Zadanie 5. Oblicz granicȩ ci agu o wyrazie ogólnym a) a n = n + 1 n, b) a n = n+1 n, c) a n = n + 3n + 1 n 3, d) a n = 3n3 +7n 1 n+, e) a n = (n 3)(1 n ) n(n ), f) a n = n +7 3n 9, g) a n = n + n 1 3n, h) a n = 3n +7 4n 3 +5n 1, i) a n = ( n)(n +1) (7n+1)(n+), j) a n = 3n +4 1 n 1, k) a n = n + n, l) a n = 5n+1 5n +, m) a n = n 3n + 1 n + 1, n) a n = n+1 n3 +1, o) a n = n 4n+1 n +1 3n, p) a n = ( ) n 3n n+1, r) a n = ( 1 5 n ) n, s) an = ( ) n+3 0,5n n 1, t) a n = ( 1 11 ) 7n 3n, u) an = ( ) 1+3n n 3n+. Przykład 6. Wyznacz sumȩ szeregu 4 7 + 8 1 + 16 63 +... Rozwi azanie: Zauważmy, że podany szereg jest to suma wyrazów, które tworz a ci ag geometryczny o wyrazie pierwszym równym a 1 = 4 7 oraz ilorazie q = 3. Warunkiem

xvi ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI zbieżności takiego szeregu jest, aby q < 1. Tutaj q = 3 < 1, wiȩc możemy zastosować wzór S = a 1 1 q. Czyli S = 4 7 = 1 1 7. 3 Zadanie 6. Zbadaj, czy szereg jest zbieżny. Jeśli tak, to znajdź jego sumȩ. a) 15 + 5 + 5 3 + 5 9 +..., b) 0, + 0, 0 + 0, 00 +..., c) + 3 + 9 +..., d) 9 + 3 3 + 3 + 3 +..., e) 6π + π + 3 π +..., f) 1 + 1 3 + 1 9 + 1 7 +..., g) 1 5 + 1 15 + 1 45 +..., h) 3 + 3 4 + 4 5 +..., i) 1 + 3 3 + 1 3 + 3 9 +..., j) 5 + 15 + 45 4 +...

xvii Zbieżność szeregów Przy badaniu zbieżności szeregu korzystamy z wniosków wynikaj acego z kryterium d Alemberta zbieżności szeregów: Jeżeli w szeregu n=1 a n o wyrazach dodatnich a n+1 lim < 1, to szereg ten jest zbieżny. n a n Jeżeli w szeregu n=1 a n o wyrazach dodatnich a n+1 lim > 1, to szereg ten jest rozbieżny. n a n Jeżeli w szeregu n=1 a n o wyrazach dodatnich a n+1 = 1, to przypadek jest w atpliwy i należy lim n a n stosować inne kryteria. Przykład 7. Zbadaj, czy podany szereg n=1 (3n)! n n jest zbieżny. Rozwi azanie: W celu zbadania zbieżności podanego szeregu korzystamy z wniosków wynikaj acych z kryterium d Alemberta zbieżności szeregów. Po podstawieniu otrzymujemy a n+1 lim = n a n lim n (3n + 3)! (n + 1) n+1 n n (3n)! =

xviii ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI (3n)!(3n + 1)(3n + )3(n + 1)n n lim n (n + 1) n (n + 1)(3n)! 3 lim n (3n + 1)(3n + ) 3 lim n (3n + 1)(3n + ) Ponieważ lim n ( n n + 1 ( n + 1 n ) n = ) n = ( ) n + 1 an = e a, a 0, wiȩc n 3 e lim n (9n + 9n + ) =. Czyli szereg jest rozbieżny.

xix Zadanie 7. Zbadaj zbieżność podanych szeregów. a) n=1 n! n+3, b) n=1 n 5 4 n, c) n=1 (3n)! n, d) n=1 n! n n, e) g) i) n=1 n 4 7 n, f) n=1 3 n n!, n=1 99 n n!, h) ( ) 3 n n=1 n, n=1 ( n ) n, j) n=1 (3n + 1) n 3, k) ( ) n=1 n n 4 n+1, l) ( ) n=1 n+3 n n 3 +1, m) n=1 ( n+3 n 7 ) 5n ( ) n, n) n=1 n+3 3 3n+7, o) n=1 ( n 5 3n+7 ) 4n ( ) n, p) n=1 3n+ 4 n+7, r) n=1 n 13 13 n 17 n, s) n=1 n 30 5 n 30 n, t) n=1 ( 5 9 ) n+, u) n=1 ( 7 5 ) n+1. Przykład 8. Jak a wartość liczbow a przedstawia ułamek, (43)? Rozwi azanie: Przedstawiamy dany ułamek w postaci sumy, (43) = + (0, 43 + 0, 0043 + 0, 000043 +...) Wyrażenie w nawiasie jest szeregiem geometrycznym

xx ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI ni=1 43 100 o wyrazie pierwszym a n 1 = 43 100 i ilorazie q = 1 100. Ze wzoru na sumȩ szeregu geometrycznego S = ni=1 a n = a 1 1 q otrzymujemy, że sum a tego szeregu jest 0,43 1 0,01 = 43 99 = 43 99. St ad, (43) = + 43 99 = 43 99. Zadanie 8. Jak a wartość liczbow a przedstawiaj a poniższe ułamki? a) 0, (37), b) 0, (33), c), (16), d) 3, (43), e), 3(97), f) 4, 5(38), g) 0, 3(99), h) 0, 5(314), i), 47(33), j) 8, 59(47).

xxi Odpowiedzi Zadanie 1. a) a n = n, b) a n = 1 n 1, c) a n = 4, d) a n = n, e) a n = (n + 1)(n 1), f) a n = n 3, g) a n = 1 3, h) n a n = ( 1) n, i) a n = n +, j) a n = ( 1) n+1 3 n, k), 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., l) a n =?, m) a n = n, n) n a n = n 1 n, o) a n = 1 (n 1), p) a n = n, r) a n = nπ, s) a n = 3nπ, t) a n = 1 7 n, u) a n = 1 n. Zadanie. a) a 1 = 1 3, a = 1 5, a 3 = 1 9, a 4 = 1 17, a 5 = 1 33, a 6 = 1 65, b 1 = 1 3, b = 1 5, b 3 = 1 7, b 4 = 1 9, b 5 = 1 11, b 6 = 1 13, b) a 1 = 1, a = 1 4, a 3 = 1 8, a 4 = 1 16, a 5 = 1 3, a 6 = 1 64, b 1 = 1, b = 1 4, b 3 = 1 6, b 4 = 1 8, b 5 = 1 10, b 6 = 1 1, c) a 1 = 0, a = 1, a 3 = 0, a 4 = 1, a 5 = 0, a 6 = 1, b 1 = 0, b = 1, b 3 =, b 4 = 3, b 5 = 4, b 6 = 5, d) a 1 = 4, a = 5, a 3 = 7, a 4 = 11, a 5 = 19, a 6 = 35, b 1 = 4, b = 5, b 3 = 7, b 4 = 10, b 5 = 14, b 6 = 19,

xxii ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI e) a 1 =, a = 4, a 3 = 10, a 4 = 8, a 5 = 8, a 6 = 44, b 1 =, b = 4, b 3 = 7, b 4 = 11, b 5 = 16, b 6 =. Zadanie 3. a) wyrazy parzyste, b) brak rozwi azań, c) wyraz a 3, d) wyrazy a 1 a 10, e) wyrazy a 1 a 6, f) brak rozwi azań, g) wyraz a, h) wyraz a, i) wyrazy nieparzyste, j) wyrazy a 1 i a. Zadanie 4. a) p > 0, b) p = 1, c) p > n + 1, d) p > 0, e) p R, f) p R, g) p > 0, h) p { 9, 1, }, i), j). Zadanie 5. a) 0, b), c) 3, d), e), f) 3 3, g) 0, h) 0, i), j) 3, k) 0, l) 5, m) 3, n) 0, o) 0, p) e 3, r) e 10, s) e, t) e 77, u). Zadanie 6. a) 1, b) 9, c) szereg rozbieżny, d) 9(3+ 3), e) 9π, f) 3, g) 3 10, h) szereg rozbieżny, i) 3+ 3, j) szereg rozbieżny. Zadanie 7. Szeregi zbieżne: b, d, e, f, g, h, i, l, m, n, r, s, t. Szeregi rozbieżne: a, c, j, k, o, p, u. Zadanie 8. a) 37 99, b) 1 3, c) 16 99 i) 71 150, j) 85888 9900., d) 343 99, e) 197 495, f) 4533 990 1648 5309, g) 4995, h) 9990,

xxiii :) Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej. Albert Einstein

xxiv ROZDZIAŁ 1: CIA GI, SZEREGI

Rozdział : Funkcja jednej zmiennej i jej własności xxv

xxvi ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI Przykład 1. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji y = 5 x x+4 + ln(x 3) x + 7 x 4. Rozwi azanie: 1) Pierwszy składnik sumy jest określony wtedy, gdy wyrażenie pod pierwiastkim jest nieujemne oraz mianownik jest różny od zera, tzn. gdy 5 x x+4 0 i x + 4 0. Czyli (5 x)(x + 4) 0 i x + 4 0, co implikuje x ( 4, 5]. ) Drugi składnik sumy jest określony, gdy mianownik jest różny od zera, gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne oraz gdy liczba logarytmowana jest dodatnia, tzn. gdy x 0, x > 0 oraz x 3 > 0. Po rozwi azaniu nierówności otrzymujemy, że x (3, ). 3) Trzeci składnik sumy jest określony, gdy mianownik jest różny od zera, tzn. gdy x 4 0, czyli gdy x 4. Uwzglȩdniaj ac wszystkie warunki mamy x (3, 4) (4, 5].

xxvii Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji a) y = x 5 x, b) y = x3 5x +6x 6 x, c) y = x x 15 ln(6 x) + 6 x+7, d) y = 4 x+ 1+x x+, e) y = x + 4 + x, f) y = 9 x 5 x 3 4x +3x, g) y = 1 lg(1 x) + x +, h) y = lg ( 5x x 4 i) y = x 1 + 1 x + x + 1, j) y = log 3 x, k) y = ln x ln x +, l) y = 4x x +x 1, m) y = 5 x+ 4+x x +x 3, n) y = 1 x 3 13 x 3 7, o) y = 1 lg(3 x) + x + 4 + 3 x + 5, p) y = ln (16 x ) 4 x 1, r) y = ln( x +3x+10) x 6 + 3 x 3, s) y = 4x x, t) y = 4 x x+ 4 ln(3 x) x+1, u) y = x 169. ), Przykład. Obliczyć wartość funkcji f(x) = x4 + x 1 dla x = 3. dla x = 3 i Rozwi azanie: W miejsce x wstawiamy liczby 3 oraz 3 otrzymuj ac f( 3) = ( 3)4 + ( 3) 1 = 83 8 oraz f(3) = 34 + 3 1 = 83 8.

xxviii ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI Zadanie. Obliczyć wartość funkcji w podanym punkcie a) f(x) = x+1 x +1, f(0), f( ), f ( 0, 5), f(0, 5) b) f(x) = x 3, f( ), f(), f ( 3 5 ), f(0), c) f(x) = 3(x ) 4 + 5, f(), f(0), d) f(x) = x 3, f( 3), f(0), e) f(x) = x 5x 4, f( 4), f( 5 4 ), f(5 4 ), f(4), f) f(x) = x 4 + 3x + 1, f( a), f(a), f(0, 5a), g) f(x) = x 3, f(x+h) f(x h) h, h) f(x) = 4x x, f(a + 1) f(a 1). i) f(x) = sin x, f ( ) ( ) ( ) π, f π 4, f 3π j) f(x) = cos x x+, f(0), f(π). Przykład 3. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x) = x 3. Rozwi azanie: Dziedzin a funkcji f(x) = x s a wszystkie liczby rzeczywiste, natomiast zbiorem wartości s a wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie. Wykres funkcji f(x) = x 3 powstaje z przesuniȩcia wykresu funkcji f(x) = x o

xxix wektor a = [0, 3]. Dziedzina funkcji nie zmienia siȩ, natomiast zbiorem wartości jest ( 3, ). Zadanie 3. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji a) y = 4 x 5, b) y = 3x 7, c) y = x + 3, d) y = x, e) y = 1 x +3, f) y = 4 5x, g) y = 5x + 17x 33, h) y = x + x 3, i) y = sinx, j) y = sinx, k) y = sinx, l) y = sinx +, m) y = 7 x, n) y = 7 x, o) y = 7 x, p) y = 7 x + 3, r) xy = 5, s) y = 1 x + 1, t) y = x 4, u) y = x. Przykład 4. Wyznaczyć punkty przeciȩcia wykresu funkcji f(x) = x +1 3x+11 x+5 z osiami układu współrzȩdnych. Rozwi azanie: Zauważmy, że dla każdego x R wartość wyrażenia

xxx ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI x + 1 jest dodatnia. St ad funkcja jest określona, gdy 3x + 11 > 0 oraz gdy x + 5 0. Dziedzin a funkcji jest zatem zbiór ( 11 3, ). Jeżeli wykres funkcji przecina oś ox, to wtedy rzȩdna tego punktu jest równa zero. St ad x +1 3x+11 x+5 = 0. Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero. Zatem x + 1 3x + 11 = 0. To implikuje, że x + 1 = 3x + 11. Podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy x +1 = 3x+11. Korzystaj ac z określenia wartości bezwzglȩdnej mamy x + 1 = 3x + 11 lub x + 1 = (3x + 11). Po przeniesieniu na jedn a stronȩ x 3x 1 = 0 lub x + 3x + 1 + 1 = 0. Pierwiastkami pierwszego równania s a x = oraz x = 5. Oba te pierwiastki należ a do dziedziny funkcji. Wyróżnik drugiego równania kwadratowego jest mniejszy od zera, czyli równanie to nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zatem punkty przeciȩcia wykresu funkcji f(x) = x +1 3x+11 x+5 z osi a ox to (, 0) oraz (5, 0). Jeżeli wykres funkcji przecina oś oy, to wtedy odciȩta tego punktu jest równa zero. Podstawiamy x = 0 do wzoru funkcji i otrzymujemy f(0) =. Czyli wykres funkcji pzrecina oś oy w punkcie (0, ).

xxxi Zadanie 4. Wyznaczyć punkty przeciȩcia wykresu funkcji z osiami układu współrzȩdnych a) y = x x x +1+1, b) y = x+4 x x +3, c) y = 5(7 x)(x + 5), d) y = x+6 x x x+4, e) y = 1 x +3, f) y = 4 5x, g) y = x +, h) y = 1 x 4x, i) y = x+ x 3x+, j) y = x x +x+5, k) y = x 1 3 1 x, l) y = 3 x 1 x, m) y = 5 x 4 5x, n) y = x 7 1x 5x+, o) y = 7 x +3x 5, p) y = x, r) y = x +1 5x+7 x +x+5, s) y = x 3x +, t) 1 x = 1 y, u) y = x +30 1 11x 3x 3 5x 7x+3.

xxxii ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI Funkcja różnowartościowa Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli dla każdej pary x 1, x należ acej do dziedziny, takich że x 1 x odpowiednie wartości funkcji spełniaj a relacjȩ f(x 1 ) f(x ). Przykład 5. Czy funkcja y = x 10x + 1 jest różnowartościowa w przedziale (1, 8)? Rozwi azanie: W celu rozwi azania zadania przyjmijmy, że x 1 x. Obliczamy f(x 1 ) f(x ) = x 1 10x 1 + 1 x + 10x 1 = (x 1 x )(x 1 + x ) 10(x 1 x ) = (x 1 x )(x 1 + x 10) = 0. St ad f(x 1 ) = f(x ) wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 = x lub x 1 + x 10 = 0. Pierwszy warunek nie może być spełniony. Zatem sprawdzamy, czy x = 10 x 1 dla x 1, x (1, 8). Weźmy x 1 = 3, wtedy x = 7. Obie wartości x 1 oraz x należ a do dziedziny i równocześnie f(x 1 ) = f(x ). Czyli funkcja y = x 10x + 1 nie jest różnowartościowa w przedziale (1, 8).

xxxiii Zadanie 5. Czy podane funkcje s a różnowartościowe w podanych przedziałach? Uzasadnij swoj a odpowiedź. a) y = x+ x+4 x, (, ), b) y = x 5, (5, ), c) y = x + 3x + 3, (, 0), d) y = x, [0, ), e) y = x + x 3, ( 7, 7), f) y = 3x x +1, [ 1, ), g) y = x + 7, (, ), h) y = x, [ 5, 5), i) y = (x ), [ 1, 5), j) y = 9 x +1, [0, ), k) y = x +, (, ), l) y = x, [0, ), m) y = x +, ( 11, 0, 73), n) y = x, [ 8, 13), o) y = x + 3, (, 0), p) y = x + 3, [0, ), r) y = (x ), [, ), s) y = 9 x +1, [ 5, 5), t) y = 6x + x + 35, (, 1), u) y = x x +1, [0, ). Parzystość funkcji Jeżeli dla każdego x D, x D oraz f( x) = f(x), to funkcja jest parzysta. Jeżeli dla każdego x D, jeżeli x D oraz f( x) = f(x), to funkcja jest nieparzysta.

xxxiv ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI Przykład 6. Czy funkcja y = x 5 + 4x 3x + 3 jest parzysta, czy jest nieparzysta? Rozwi azanie: Aby wyznaczyć czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta obliczamy odpowiednie wartości. Mamy zatem f(x) = x 5 + 4x 3x + 3. f( x) = ( x) 5 + 4( x) 3( x) + 3 f( x) = x 5 + 4x + 3x + 3 f(x). Czyli funkcja nie jest parzysta. St ad f( x) = x 5 + 4x + 3x + 3. f(x) = ( x 5 + 4x 3x + 3) = x 5 4x + 3x 3 f( x). Zatem funkcja nie jest nieparzysta.

xxxv Zadanie 6. Czy podane funkcje s a parzyste, czy s a nieparzyste? Uzasadnij swoj a odpowiedź. a) y = x x+3 x +, b) y = x +1, c) y = x + 3, d) y = x, e) y = x 3 + 5x 7, f) y = 3 x + 3 x, g) y = 3x 4 5x 3 + 1, h) y = 3 x, i) y = sin x, j) y = cos x, k) y = 3 ( x x ), l) y = x + x, m) y = x, n) y = 5 1+x, o) y = x x, p) y = x 1+x, r) y = (x + 1) 3, s) y = x 3 + 1, t) y = 4x + x 6, u) y = 4x + x 6 + x. Przykład 7. Wyznaczyć funkcjȩ odwrotn a do funkcji f(x) = ln(x ) + 3. Rozwi azanie: Możemy wyznaczyć funkcjȩ odwrotn a do danej funkcji, gdy jest ona różnowartościowa. Zatem ze zwi azku y = f(x) należy wyznaczyć zwi azek x = g(y).

xxxvi ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI Funkcja f(x) = ln(x ) + 3 jest różnowartościowa, a st ad y = ln(x ) + 3. Wyznaczamy x. ln(x ) = y 3. Z definicji logarytmu e y 3 = x. Dodajemy obustronnie i mamy x = e y 3 +. Po zamianie oznaczeń y = e x 3 +. Zadanie 7. Wyznaczyć funkcjȩ odwrotn a do danej w podanych przedziałach a) f(x) = x, x [, 5], b) f(x) = 3x, x R, c) f(x) = 1 5x, x (, 4], d) f(x) = x +, x [4, ), e) f(x) = 1 x, x (0, ), f) f(x) = 3 1 x, x (1, ), g) f(x) = x 3, x [0, 100], h) f(x) = 3 x + 1, x [ 4, 8], i) f(x) = ln x, x R j) f(x) = 3 x, x R,

xxxvii k) f(x) = 4 log x, x [8, 51], l) f(x) = ln x + 7, x R, m) f(x) = 1 10 x +3, x (, ), n) f(x) = 11 1 e x, x [, 5], o) f(x) = x 3 + 6x + 1x + 5, x R, p) f(x) = x 3 7, x [ 33, 15], r) f(x) = x 3 + 3, x [ 9, 0], s) f(x) = + 10 x, x [1, ), t) f(x) = x 3 + 6x 1x + 9, x [ 5, 10], u) f(x) = 3 e x, x [, ]. Przykład 8. Dla podanych funkcji f(x) = x 4, g(x) = x 7, h(x) = sin x wykonaj złożenia. Rozwi azanie: f(g(x)) = f(x 7) = (x 7) 4, f(h(x)) = f(sin x) = sin 4 x,

xxxviii ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI g(f(x)) = g(x 4 ) = x 4 7, g(h(x)) = g(sin x) = sin x 7, h(f(x)) = h(x 4 ) = sin x 4, h(g(x)) = h(x 7) = sin(x 7), f(f(x)) = f(x 4 ) = x 16, g(g(x)) = g(x 7) = x 14, h(h(x)) = h(sin x) = sin(sin x), f(g(h(x))) = f(sin x 7) = (sin x 7) 4, f(h(g(x))) = f(sin(x 7)) = sin 4 (x 7), g(f(h(x))) = g(sin 4 x) = sin 4 x 7, g(h(f(x))) = g(sin x 4 ) = sin x 4 7, h(f(g(x))) = h((x 7) 4 ) = sin(x 7) 4, h(g(f(x))) = h(x 4 7) = sin(x 4 7).

xxxix Zadanie 8. Dla podanych funkcji wykonaj złożenia f(f(x)), g(f(x)), f(g(x)), g(g(x)). a) f(x) = x 4 x, g(x) = ln x, b) f(x) = 4 + 3 x, g(x) = cos x, c) f(x) = x, g(x) = x 3, d) f(x) = x 3, g(x) = sin x, e) f(x) = 3 x, g(x) = cos x, f) f(x) = x, g(x) = 3x, g) f(x) = x, g(x) = x 3 x + 1, h) f(x) = ln x, g(x) = x. i) f(x) = tgx, g(x) = x, j) f(x) = log x, g(x) =, k) f(x) = e x, g(x) = x + 1, l) f(x) = log x, g(x) = x + 7, m) f(x) = x 3, g(x) = 3x + 5x 7,

xl ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI n) f(x) = x 5 x, g(x) = x + 11, o) f(x) = 1 x, g(x) = cos x, p) f(x) = 4 x, g(x) = tgx, r) f(x) = log 3 x, g(x) = x + 7, s) f(x) = sin x, g(x) = tgx, t) f(x) = 3 x 4, g(x) = x, u) f(x) = x, g(x) = x x.

xli Odpowiedzi Zadanie 1. a) x (, 5], b) x (, ) (, 6), c) x (, 7) ( 7, 3] (5, 6), d) x (, ], e) x [ 4, 0], f) x (, 9]/{0, 1, 3}, g) x [, 1), h) x [1, 4], i) x {1}, j) x (0, ), k) x (0, ), l) x R/{ 3, 5, 3}, m) x [ 4, 5]/{ 3, 1}, n) x R/{3}, o) x [ 4, 3)/{}, p) x ( 4, 4)/{0}, r) funkcja nie jest określona, s) x [0, 4], t) x (, 3)/{ 1}, u) x R/{ 13, 13}. Zadanie. a) f(0) = 1, f( ) = 3 5, f( 1 ) = 0, f(1 ) = 1, 6, b) f( ) = 16, f() = 16, f( 3 5) = 10, f(0) = 0, c) f() = 5, f(0) = 43, d) f( 3) = 6, e) f( 4) = 3, f( 5 4 ) = 15 4, f(5 4 ) i f(4) funkcja nie jest określona, f) f( a) = a 4 + 3a + 1, f(a) = a 4 + 3a + 1, f( a ) = a 4 8 + 3a 4 + 1, g) (x+h)3 (x h) 3 h = 6x + h, h) f(a + 1) f(a 1) = 8 4a, i) f( π ) = 1, f(π 4 ) =, f(3π ) = 1, j) f(0) = 1, f(π) = +π. Zadanie 3. a) Z w = (, )/{0}, b) Z w = (, )/{0}, c) Z w = [0, ), d) Z w = [, ), e) Z w = (0, 1 3 ], f) Z w = [0, ), g) Z w = (, 18, 55], h) Z w = [ 13 4, ), i) Z w = [ 1, 1], j) Z w = [ 1, 1], k) Z w = [ ], l) Z w = [1, 3], m) Z w = [0, ),

xlii ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI n) Z w = [0, ), o) Z w = [0, ), p) Z w = (3, ), r) Z w = R/{0}, s) Z w = R/{1}, t) Z w = [ 4, ), u) Z w = [, ). Zadanie 4. a) ( 1, 0), (, 0), (0, 1), b) ( 1+ 17, 0), (0, 3 3 ), c) ( 1, 0), (6, 0), (0, 1 7 5 ), d) (3, 0), (0, 6 ), e) (0, 1 3 ), f) (0, 0), g) (0, 1), h) funkcja nie przecina osi, i) (, 0), (0, ), j) (4, 0), (0, 5 ), k) (1, 0), l) funkcja nie przecina osi, m) funkcja nie przecina osi, n) (7, 0), (0, 7 ), o) (0, 7 5 ), p) (0, 0), r) ( 1, 0), (6, 0), (0, 1 7 5 ), s) (1, 0), (, 0), (0, 1 4 ), t) (0, 0), u) ( 11 5, 0), ( 11+ 5, 0), (0, 30 1 3 ). Zadanie 5. Funkcje różnowartościowe: a, b, m, o, p, r, t. Funkcje, które nie s a różnowartościowe: c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, n, s, u. Zadanie 6. Funkcje parzyste: a, d, f, j, k, l, m, n, t. Funkcje nieparzyste: e, i, p. Funkcje, które nie s a parzyste i nie s a nieparzyste: b, c, g, h, o, r, s, u. Zadanie 7. a) g(y) = y, b) g(y) = 1 3 y, c) g(y) = 1 5 (1 y), d) g(y) = y, e) g(y) = 1 y, f) g(y) = y 3 y, g) g(y) = y 3, h) g(y) = 3 y3 1, i) g(y) = e y, j) g(y) = ln y ln 3,

xliii k) g(y) = 10 4 y, l) g(y) = e y 7, m) g(y) = lg 1 3y y, n) g(y) = ln y 11 y, o) g(y) = 3 y + 3, p) g(y) = ln(y 3), r) g(y) = 3 y 3, s) g(y) = lg(y ), t) g(y) = 3 y 1 +, u) g(y) = ln(y 3). Zadanie 8. a) f(f(x)) = (x 4 x ) ((x 4 x ) ), g(f(x)) = ln(x 4 x ), f(g(x)) = ln 4 x ln x, g(g(x)) = ln(ln x), b) f(f(x)) = 4 + 3 4+3x, g(f(x)) = cos(4 + 3 x ), f(g(x)) = 4 + 3 cos x, g(g(x)) = cos(cos x), c) f(f(x)) = x 4, 1 g(f(x)) = x 3, f(g(x)) = x 3, g(g(x)) = x x3, d) f(f(x)) = x 9, g(f(x)) = sin x 3, f(g(x)) = sin 3 x, g(g(x)) = sin(sin x), e) f(f(x)) = 7 x, g(f(x)) = cos 3 x, f(g(x)) = 3 cos x, g(g(x)) = cos(cos x), f) f(f(x)) = x, g(f(x)) = 1x, f(g(x)) = 3x, g(g(x)) = 7x 4, g) f(f(x)) = 4 x, g(f(x)) = 8 x x+1 + 1, f(g(x)) = x3 x+1, g(g(x)) = x 9 +6x 7 3x 6 +1x 5 1x 4 +13x 3 1x + 10x, h) f(f(x)) = ln(ln x), g(f(x)) = ln x, f(g(x)) = ln(x), g(g(x)) = 4x, i) f(f(x)) = tg(tgx), g(f(x)) = tgx, f(g(x)) = tg x, g(g(x)) = x 4, 1 j) f(f(x)) = log(log x), g(f(x)) = log 4 x, f(g(x)) = log x 4, g(g(x)) = x 16, k) f(f(x)) = e ex, g(f(x)) = e x + 1, f(g(x)) = e x +1, g(g(x)) = x 4 + x +,

xliv ROZDZIAŁ : FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ I JEJ WŁASNOŚCI l) f(f(x)) = log (log x), g(f(x)) = log x + 7, f(g(x)) = log (x + 7), g(g(x)) = x + 14, m) f(f(x)) = x 6, g(f(x)) = 3x 13x + 5, f(g(x)) = 3x +5x 10, g(g(x)) = 7x 4 +90x 3 36x 185x+105, n) f(f(x)) = x 5 +5x +10x 19 +5x 13 x 7 x 4, g(f(x)) = x 5 x + 11, f(g(x)) = (x + 11) (x 3 + 33x + 363x + 1330), g(g(x)) = x +, o) f(f(x)) = x, g(f(x)) = cos 1 x, f(g(x)) = 1 cos x, g(g(x)) = cos(cos x), p) f(f(x)) = 56 x, g(f(x)) = tg4 x, f(g(x)) = 4 tgx, g(g(x)) = tg(tgx), r) f(f(x)) = log 3 (log 3 x), g(f(x)) = log 3 x+7, f(g(x)) = log 3 (x + 7), g(g(x)) = 8x 4 + 56x + 105, s) f(f(x)) = sin(sin x), g(f(x)) = tg(sin x), f(g(x)) = sin(tgx), g(g(x)) = tg(tgx), t) f(f(x)) = 3 3 3 x 4 4, g(f(x)) = x 4, f(g(x)) = 3 x 4, g(g(x)) = x 4, u) f(f(x)) = x, g(f(x)) = ( x) x, f(g(x)) = x x, g(g(x)) = x 4 x 3 + x. :) Matematycy s a jak Francuzi: cokolwiek im siȩ powie, od razu przekładaj a to na swój własny jȩzyk i wówczas staje siȩ to czymś zupełnie innym. Johann Wolfgang Goethe

Rozdział 3: Granica funkcji, asymptoty, ci agłość xlv

xlvi ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ Przykład 1. Wyznaczyć granicȩ funkcji lim x Rozwi azanie: ( x + 3 lim x x ( x + 3 lim x x Zauważmy, że ( x + 3 lim x x że lim x = 0. Ponadto ( x + 3 x 1 lim x lim x x 1 + 1 x 3 ) x+3 = ) x lim x ( x + 3 x ( x + 3 ) 3 x ) x+3. ) 3 ( = x lim 1 3 ) 3 = 1 wobec faktu, x ) x ( = x lim 1 + 3 x x x = lim 1 + 1 x 3 ) x = x 3 3 x Wyrażenie w nawiasie jest równe liczbie e, wiȩc cała granica wynosi e. 3 ( ) x + 3 x+3 Ostatecznie x lim = 1 e 3 = e 3. x x

xlvii Zadanie 1. Wyznaczyć granice funkcji a) x(x + x 3) lim x 1 x 1 c) 16 x x 16 x lim x 0 4x, b) lim x 0 x + 4, x, d) lim x 3 x + 1 x 3, x 3 5x + 6x 1 1 e) x lim, f) lim x 3 7 x 0 x 5, x(x ( 3x + 5) 1 g) x lim, h) lim x 11 x 0 x 1 ), x ( 5 5 i) lim, j) lim x 3 5 + 3x 11 x 1 + x) x, ( k) x lim 1 + x) 3 3x, l) x lim x 3 m) x lim, n) lim x(x 4)(9 x) x ( o) x lim x 3 ) 3x + x 5, p) x lim r) lim x x4 4 + x3 7, s) lim x ( x + 1 x ( x + 3 x ) x, ) x, ( ) x + 1 x, x 1 ( ) 3x x, 3x + 1 ( x t) x lim x + 7 x), u) lim x 0 x 3 8.

xlviii ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ Asymptoty Funkcja może mieć asymptoty pionowe, poziome i ukośne. Asymptoty pionowe mog a istnieć w punktach, które nie należ a do dziedziny funkcji. Jeżeli x lim f(x) = b lub lim f(x) = b, to funkcja posiada asymptotȩ poziom a o równaniu y = x b. f(x) Jeżeli x lim x = a i lim (f(x) ax) = b, to prosta x y = ax + b jest asymptot a ukośn a. Zauważmy, że asymptotȩ poziom a możemy traktować jako szczególny pprzypadek asymptoty ukośnej (dla a = 0). Przykład. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = x3 +5x 7 4 x. Rozwi azanie: Dziedzin a funkcji jest (, ) (, ) (, ). Asymptoty pionowe mog a istnieć w punktach, które nie należ a do dziedziny funkcji. A zatem x 3 [ ] + 5x 7 33 lim = = x 4 x 0 x 3 [ ] + 5x 7 33 lim = = x + 4 x 0 +

xlix x 3 [ ] + 5x 7 19 lim = = x 4 x 0 + x 3 [ ] + 5x 7 19 lim = =, x + 4 x 0 gdzie symbole 0 oraz 0 + oznaczaj a liczbȩ blisk a zera odpowiednio ujemn a i dodatni a. Zatem proste x = i x = s a asymptotami pionowymi. Asymptota pozioma istnieje wtedy, gdy granica z funkcji w nieskończoności jest liczb a. Zatem liczymy x 3 + 5x 7 x3 lim = lim x + 5 x x 7 x x 4 x x x + 5 1 lim x 7 x x 4 x 1 lim x x 3 + 5x 7 x = x lim 4 x = lim x x + 5 1 lim x 7 x x 4 x 1 = lim x 4 x x x = 1 =. x3 x + 5 x x 7 x 4 x x x = x 1 =. Zatem asymptota pozioma nie istnieje. Aby wyznaczyć asymptotȩ ukośn a liczymy dwie granice x 3 + 5x 7 lim x lim x 1 4 x x = lim x x3 x + 5 x 3 x 7 3 x 3 4 x x x3 3 Czyli a =. x 3 x 3 + 5x 7 4x x 3 = = lim x + 5 1 x 7 x 3 4 1 x 1 =

l ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ lim x3 + 5x 7 + x x 4 x = x 3 + 5x 7 + x(4 x ) lim = x 4 x 13x 7 13 x x 7 lim = lim x x 4 x x = 4 x x x 13 1 x lim 7 x x 4 x 1 = 0 1 = 0. St ad b = 0, co implikuje, że prosta y = x jest asymptot a ukośn a.

li Zadanie. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji a) y = 4x +x 3 x, b) y = 5x 5x+6 x 6, c) y = x + 1 x + 3, d) y = x3 x x, e) y = x 49 x 3, f) y = 3x3 5 x +x, g) y = x 11 x+3, h) y = x3 +9 x 9, i) y = x 1+x, j) y = 4x +x 5 8 x, k) y = x +x+1 1 x, l) y = x(3x 1) x x+15, m) y = 3x3 1 x, n) y = x 16 x 9, o) y = 3 x x+5, p) y = x3 7 x, r) y = 5 x + x 5, s) y = x + x, t) y = x 3 + 3x 13x 15, u) y = (x 3x+1)(x ) x +1.

lii ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ Ci agłość funkcji Funkcja jest ci agła w punkcie x 0 jeżeli lim x x 0 f(x) = lim x x + 0 f(x) = f(x 0 ) Przykład 3. Zbadać jej ci agłość funkcji f(x) = sin x x dla x < 0 e x + 1 dla 0 x < 3 dla x = (x ) dla x > Rozwi azanie: Każda z funkcji wchodz acych w skład rozważanej funkcji f(x) jest ci agła w przedziale jej określoności. Nieci agłość może wyst apić tylko w punktach wyznaczaj acych końce przedziałów, czyli gdy x = 0 lub x =. Zatem liczymy sin x lim f(x) = lim x 0 x 0 x wzoru lim x 0 sin x x = 1. lim f(x) = lim + 1) =, x 0 + x 0 +(ex f(0) = e 0 + 1 =. = lim x 0 sin x x Czyli w punkcie x 0 = 0 funkcja jest ci agła. lim f(x) = lim + 1) = e +. x x (ex =, wobec

liii lim f(x) = lim x + x +(x ) = 0 f() = 3. Czyli w punkcie x 0 = funkcja nie jest ci agła. Rysunek 1: Wykres funkcji z przykładu 3.

liv ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ Zadanie 3. Narysować wykres podanej funkcji i zbadać jej ci agłość a) f(x) = 0, x < 0 x, 0 x < 1 x + 4x, 1 x < 3 4 x, x 3 b) f(x) = x, x < 0 0, x = 0 1, x > 0, c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = g) f(x) = (x + 1), x 1 x+, x > 1, x + 3, x 0 (x ), x > 0, 0, 5x, x 1, x >, 1 x, x < 1 log x, x 1, (x + ), x < 0 x + 3, x 0, h) f(x) = x 3, x < 0 0, x = 0 3 x > 0,

lv i) f(x) = 3x 1, x > 1 3 0, x = 1 3 x 1, x < 1 3, j) f(x) = x, x >, x = (x ), x <, k) f(x) = l) f(x) = x, x < 0, x = 0 x, x > 0 x x, x 0 0, x = 0,, m) f(x) =, x < 1, x = 1 1, x > 1, n) f(x) = o) f(x) = x 4, x 1, x >, ln x, x 1 x + 1, x > 1, p) f(x) = 0, x < 3 9 x, x 3 1, x > 3, r) f(x) = s) f(x) = (x 1), x < 1 x = 1 x 1, x > 1 (x 5), x > 5, x = 5 x + 5, x < 5,,

lvi ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ t) f(x) = ln(x 3), x > 3, x = 3 x 9, x < 3, u) f(x) = x, x >, x. Odpowiedzi Zadanie 1. a), b) 1 8, c) 1 3, d), e), f), g), h), i) 5 5 14 11, j) e, k) e 9, l) e, m) 0, n) e, 3 o) 3 3, p), r), s) e, t), u) 1 4. Zadanie. a) x =, y = 4x + 9, b) x = 6, y = 5x + 5, c) x = 0, y = x + 3, d) x = 1, x =, y = x +, e) x = 4, x = 4, y = 1, f) x =, x = 1, y = 3x 3, g) x = 3, y = x 6, h) x = 3, x = 3, y = x, i) y = 1, j) x = 8, y = 4x + 31, k) x = 1, y = 1 x 3 4, l) x = 5, x = 3, y = 6x + 1, m) x = 0, y = 3x, n) x = 3, x = 3, y = 1, o) x = 5, y = 3, p) x = 0, y = x, r) x = 0, y = 1 5x, s) x = 0, y = x, t) brak asymptot, u) y = 1 x 5.

lvii Zadanie 3. Funkcje ci agłe: a, d, f, g. Funkcje nieci agłe: b, c, e, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, u. :) Matematycy s a ekscentryczni z najlepszego z możliwych powodów - z definicji. John Bowers

lviii ROZDZIAŁ 3: GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIA GŁOŚĆ

Rozdział 4: Pochodna funkcji lix

lx ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI Pochodna funkcji Pochodn a funkcji nazywamy granicȩ, do której d aży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej x, gdy przyrost zmiennej niezależnej d aży do zera, czyli granicȩ y lim x 0 x = lim f(x + x) f(x) x 0 x Podstawowe wzory na pochodne (c) = 0, gdzie c = const, (x n ) = nx n 1, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tgx) = 1 cos x, cos x 0, (ctgx) = 1, sin x 0, sin x (arcsinx) = 1 1 x, 1 < x < 1, π < arcsinx < π, (arccosx) = 1 1 x, 1 < x < 1, 0 < arccosx < π, (arctgx) = 1 1+x, π < arctgx < π,

lxi (arcctgx) = 1 1+x, 0 < arcctgx < π, (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, a > 0, (ln x) = 1 x, x > 0, (log a x) = 1 x ln a =, a > 0, a 1, x > 0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x) + f(x)g (x) ( ) f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x), g(x) 0, (f(g(x))) = f (g(x)) g (x). Przykład 1. Obliczyć pochodn a funkcji f(x) = x + 3 5 korzystaj ac z definicji. Rozwi azanie: Z określenia pochodnej funkcji f(x + x) f(x) lim = x 0 x x + x + 3 5 x + 3 + 5 lim x 0 lim x 0 lim x 0 = ( x ) ( ) x + x + 3 x + 3 x + x + 3 + x + 3 x ( x + x + 3 x + 3 ) = x x ( x + x + 3 x + 3 ) =

lxii ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI lim x 0 1 x + x + 3 x + 3 = 1 x + 3. Zadanie 1. Obliczyć pochodn a funkcji korzystaj ac z definicji a) y = x, b) y = x 3, c) y = x, d) y = 1 x, e) y = 1 x, f) y = 1 x, g) y = x + 3x, h) y = x +, i) y = x + 5, j) y = x + x, k) y = 3 x, l) y = x + 4, m) y = x 3 + 5x, n) y = 1 x+1, o) y = 1 x +3, p) y = 1 x +x, r) y = x + 1 x, s) y = x + x, t) y = x + 1 x, u) y = x + 1 x.

lxiii korzy- Przykład. Obliczyć pochodn a funkcji f(x) = x +3 ln x 5 x 3 4 staj ac z podstawowych wzorów. Rozwi azanie: W pierwszym kroku korzystamy ze wzoru na pochodn a ilorazu dwóch funkcji f (x) = (x +3 ln x 5) (x 3 4) ( x +3 ln x 5)(x 3 4) (x 3 4). Korzystaj ac z podstawowych wzorów zauważmy, że ( x ) = x ln, (ln x) = 1 x, ( x 3 4 ) = 6x i st ad otrzymujemy f (x) = (x ln + 1 x )(x3 4) ( x +3 ln x 5)6x (x 3 4).

lxiv ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI Zadanie. Obliczyć pochodn a funkcji korzystaj ac z podstawowych wzorów a) y = 5x 3 9x + 4x 4, b) y = (x 1) 3, c) y = 5 x + 4 3 x 9, d) y = 1 x 5 x, e) y = 3 x 4 + 3 x 3 x + 11, f) y = x 3x+1 x+5, g) y = (1 + x )(x 3 + 3), h) y = 8e x, i) y = 8x4 x +4x 7 x +9, j) y = 5 ln x x, k) y = x 3 x + x 1, l) y = 3 3 x 3 4 x3, m) y = (5x 3x + 1)(x 3), n) y = (x + 1) cos x, o) y = 4tg x sin x, p) y = x e x, r) y = 3 x 5 x4, s) y = x sin x tg x, t) y = x 3 x, u) y = 3x 1 5 3 x+7.

lxv Przykład 3. Obliczyć pochodn a funkcji f(x) = 3 cos 3 x +5x 7 e x +6 + 11. Rozwi azanie: Na pocz atku zapiszmy funkcjȩ w innej postaci f(x) = ( ( )) 3 3 cos x +5x 7 e x +6 + 11. Korzystaj ac ze wzoru na pochodn a funkcji złożonej otrzymujemy: f (x) = 3 3 cos ( x +5x 7 e x +6 cos x +5x 7 e x +6 ) = 6 3 cos x +5x 7 e x +6 sin x +5x 7 e x +6 ( x ) +5x 7 e x +6 = 6 3 cos x +5x 7 sin x +5x 7 e x +6 e x +6 (x +5x 7) (e x +6) (x +5x 7)(e x +6) (e x +6) = 6 3 cos x +5x 7 e x +6 sin x +5x 7 (4x+5)(ex +6) (x +5x 7)e x e x +6 (e x +6).

lxvi ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI Zadanie 3. Obliczyć pochodn a funkcji złożonej a) y = 8e x, b) y = ( 1 4 + x) 4, c) y = (x 3) 11, d) y = sin x +, e) y = 4 sin 3 5x, f) y = x + sin x, g) y = 6 sin(x 7) + 3 cos x, h) y = 6 e 1 x, i) y = x e x, j) y = e sin x, k) y = x 9x+1 3 x, l) y = 1 3 3x, m) y = 3 3 cos x 3, n) y = sin 5x, o) y = e x + e x, p) y = (x + 3) cos 3x, r) y = ln(4x 3) 4x, s) y = x 1, t) y = 5 3x + 5 4x, u) y = ( x 3x + 4 ).

lxvii Zadanie 4. Obliczyć pochodn a funkcji 4.1) y = 8 3 x x 3, 4.) y = 1 x 5 x + 3, 4.3) y = (x 3 3x 1) 7, 4.4) y = ln(7x 1) x 4, 4.5) y = sin 3x cos x 7, 4.6) y = e3 sin x, 4.7) y = ( 5 x7 3x 3 x)(x ), 4.8) y = sin 4x cos x 7, 4.9) y = 6 cos 1 x, 4.10) y = ln(4x 3) 3, 4.11) y = 1 3 x 1+ 3 x, 4.1) y = 1 e x 1, 4.13) y = sin x+cos x sin x, 4.14) y = sin 4 x, 4.15) y = e cos x, 4.16) y = tg 4 x, 4.17) y = (3x + 1)ctg3x, 4.18) y = 3 ln 5 x, 4.19) y = x cos( x 5), 4.0) y = 3e x. 4.1) y = ln 1+sin x 1 sin x, 4.) y = ln(sin x), 1+x 4.3) y = ctg 1 x, 4.4) y = ln(6x +1) x 3 7, 4.5) y = sin(5x + 3) 3, 4.6) y = x e x,

lxviii ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI Zadanie 4. Obliczyć pochodn a funkcji 4.7) y = 5 cos x cos x, 4.8) y = ( 8 cos x 8 ) 4, 4.9) y = (x 3) 5 e x 3, 4.30) y = t t + 1, 4.31) y = ln(sin x), 4.3) y = x 3 3 x 7 5 x, 4.33) y = x 3 x 5 6 x 7 x, 4.34) y = tg(x 3) + 9, 4.35) y = sin 3 (x 7) 9, 4.36) y = cos x 3, 4.37) y = ln(ln x) x, 4.38) y = ln x x +1, 4.39) y = 4(3x sin x ) 3 + 9, 4.40) y = ( x) ln( x). 4.41) y = sin 3 (3x 3 + 1), 4.4) y = 3 cos 4 ( 3 x), 4.43) y = 4tg ( ) x 7 x, 4.44) y = ln(x ex ) 5x, 4.45) y = 5 sin ( x 5 x 3 ) 3, 4.46) y = x 3 sin 1 x x cos π, 4.47) y = ( e 3x ctgx ), 4.48) y = cos 3 x5 e x 7, 4.49) y = x3 cos x 3 x 1, 4.50) y = x sin x, 4.51) y = 3 x 7 ln(9 x), 4.5) y = 3 tg 3x+1 8x 5,

lxix Zadanie 4. Obliczyć pochodn a funkcji 4.53) y = 3 ln 8 x x 3 +4, 3e 5x+3 4.54) y = e x +e, x 4.55) y = sin ( (4x 3 7) + 1 ), 4.56) y = 3ctg x x+, 4.57) y = 3 cos (13 x 4 ) + x, 4.58) y = 3 x 8 sin 8x, 4.59) y = (sin (x 3 1) 4)(x 3 cos 5x), 4.60) y = 3e sin x. Odpowiedzi Zadanie 1. a) x, b) 3x, c) x x, d) 1 x, e) x x, f) x, g) x + 3, 3 h) x+ (x+), i) x x +5 x +5, j) (x+1) x +x 1 (x +x), k) 3, l) x+4 x (x+4), m) 3x + 6x, n) 1 (x+1), o) x (x +3), p) x+1 (x +x), r) x 1 x, s) x+ x x, t) (x4 1) x 3, u) 4x3 x x. Zadanie. a) 5x 3 18x + 4, b) 6(x 1), c) 5 x x + 4 3 x 3x, d) 1 4 x 3 + 4 5 x 7 5, e) 1x 5 9x 4 + x, f) x +10x 16 (x+5), g) 10x 4 +6x +6x, h) 8e x, i) 16x5 +88x 3 4x 4x+36 (x +9), j) 5 x ln e x, k) 6x x + 1, l) x 3 1 x 1 4, m) 30x 4x + 11, n) cos x (x + 1) sin x, o) 4 cos3 x cos x, p) xex (x + ), r) 1 3 x 5 3 4 5 x 1 5, s) sin x+x(cos x+1) sin x,

lxx ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI t) 7x 9, u) 9(5x 1 3 +7) 5x 3 (3x 1) 9(5x 1 3 +7). Zadanie 3. a) 16e x, b) 4( 1 4 + x)3, c) 11(x 3) 10, d) cos x, e) 30 sin 10x cos 5x, f) 4 cos x +, g) 4 cos(x 7) 6 sin x, h) x e 1 x, i) (e x 1), j) cos xe sin x, k) 9x +8x 7 x 9x+1 (3 x ), l) ( 3x) 4 3, m) 3 9 sin x 3, n) 10 sin 10x, o) ex e x, p) x cos 3x 3(x + 3) sin 3x, r) 4(4x 5) 4x 3, s) x x 1 x 1, t) 6 ln 5 5 3x + 0 ln 4x, u) 4(4x 3)(x 3x + 4) 3. Zadanie 4. 4.1) 8x 3 x (x ln 3 + 3), 4.) x 3 + 5x, 4.3) 1(x 1)(x 3 3x 1) 6, 4.4) (x 4) (7x 1) ln(7x 1) (7x 1)(x 4), 4.5) (3x cos 3x (cos x 7)+sin x sin 3x ) (cos x 7), 4.6) 1 cos xe 3 sin x, 4.7) (x )( 14 5 x 5 4x 1 3)(x 7 5 3x 3), 4 4.8) sin x sin 4x +4x cos 4x (cos x 7) (cos x 7), 4.9) 3x 1 3 sin x 1, 4 4.10) 4x 3, 4.11) 3x 3 (1+x 1 3 ), 4.1) ex (e x 1), sin x(cos x sin x) 4 cos x(sin x+cos x) 4.13), 4.14) 8x cos 4 4 sin x x, 4.15) sin x e cos x, 4.16) 1 4 x 3 4 cos x 1 4, ( 6x 4.17) sin 3x sin 6x (3x + 1) ) 3x, 4.18) 3 (x ), 4.19) 1 ( ) x 1 cos(x 1 5) x 1 (sin(x 1 ) 5), 4.0) 6xe x cos x, 4.1) (1 sin x), 4.) ctgx, 4.3) x(1 x ) 3 sin 1+x 1 x, 4.4) 3x (4(x 3 7) (6x +1) ln(6x +1)) (6x +1)(x 3 7), 4.5) 5 cos(5x+3), 4.6) x(1 e x ) x, 4.7) 9 sin x, 4.8) 4 8 sin x( 8 cos x 8) 3,

lxxi 4.9) 8x(x + 1)(x 3) 4 e x 3, 3t+ 4.30), 4.31) ctgx, 4.3) 87 4t 1 (t+1) 3 4 30 x 57 30, 4.33) 103 7 x 31 7, 4.34) cos (x + 3), 4.35) 3 sin(x 7) sin 4(x 7), 4.36) sin x 3 1 ln x ln ln x x 3, 4.37) x ln x, 4.38) x (ln x+1)+1, x(x +1) 3 4.39) 34(sin x+x cos x)(x sin x 1), 4.40) ln( x) 1, 4.41) 7 sin(3x 3 +1) sin (3x 3 +1), 4.4) 3 3 x 3 sin x 1 3 cos x 1 3, 4.43) 4tg x 7 x cos x 7 3x +7 x, 4.44) 5(x(1 ex ) (x e x ) ln(x e x )) 5x (x e x ), 4.45) 15(x 5) (x 3 15x +) ( x 3 ) 4 x 3 cos ( x 5 x 3 ) 3, 4.46) x 4 sin 1 x x(x +1) cos 1 x (x +1), 4.47) e3x (4 sin 4x), 4.48) ex (x 5 10x 4 3)+70x 4 sin x (e x 7) sin 3 x5 e x 7, 4.49) x ((x 3) cos x 3 3x 3 (x 1) sin x 3 ) (x 1), 4.50) x (sin x (x ) cos x ) 4.51) 3x 7 x 9 (ln 3(x 9) ln(9 x) + 1), 4.5) 3 3(8x 5) 3x+1 cos 8x 5, 4.53) 3x(x3 4x 8) (x 8)(x 3 +4), 4.54) 9e3 (e 7x +4e 4x ) (e x +e x ), 4.55) 48x (4x 3 7) cos((4x 3 7) + 1), 4.56) 4(x + ) ctg 4 x x x+ sin x+, 4.57) 4x 3 tg(13 x 4 ) cos (13 x 4 )+, 4.58) sin x, sin 8x 8(x 8) cos 8x 3(x 8)(sin 8x) 5 3 4.59) 3x (x 3 cos 5x) sin (x 3 1) + (3x + 10 sin 5x) (sin (x 3 1) 4), 4.60) 3 sin xe sin x., :) My - matematycy, nie jesteśmy normalnymi członkami społeczeństwa. My próbujemy zrozumieć to, czego normalni ludzie nie umiej a zrozumieć. Marek Bożejko

lxxii ROZDZIAŁ 4: POCHODNA FUNKCJI

Rozdział 5: Pochodna funkcji: zastosowania lxxiii

lxxiv ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Ekstremum funkcji Jeżeli pierwsza pochodna f (x) dla x < x 0 jest ujemna, dla x = x 0 jest równa zeru, a dla x > x 0 jest dodatnia, to funkcja y = f(x) osi aga minimum w punkcie (x 0, f(x 0 )). Jeżeli pierwsza pochodna f (x) dla x < x 0 jest dodatnia, dla x = x 0 jest równa zeru, a dla x > x 0 jest ujemna, to funkcja y = f(x) osi aga maksimum w punkcie (x 0, f(x 0 )). Monotoniczność funkcji Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosn aca. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malej aca. Przykład 1. Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = e 1 3 x3 x 15x+1 Rozwi azanie: Funkcja jest określona dla wszystkich x R. W dalszej kolejności liczymy pochodn a tej funkcji f (x) = e 1 3 x3 x 15x+1 (1 3 x3 x 15x + 1 ) = (x x 15)e 1 3 x3 x 15x+1.

lxxv Szukamy miejsc zerowych pochodnej rozwi azuj ac równanie (x x 15)e 1 3 x3 x 15x+1 = 0. Wartości wyrażenia e 1 3 x3 x 15x+1 s a dodatnie, a zatem należy rozwi azać równanie x x 15 = 0. Jego pierwiastkami s a x = 3 oraz x = 5. Otrzymujemy w ten sposób wszystkie wartości x, przy których funkcja może osi agać ekstremum. Zbadamy teraz znak pochodnej. Pochodna f (x) jest trójmianem kwadratowym i przyjmuje wartości dodatnie, gdy x ( 3) (5, ) oraz wartości ujemne, gdy x ( 3, 5). Obliczamy wartość funkcji dla x = 3 oraz x = 5 otrzymuj ac f( 3) = e 8, f(5) = e 17 3 = 3 e e. 58 St ad w punkcie ( 3, e 8) jest maksimum, a w punkcie 5, e ( 3 ) jest minimum funkcji. e 58 Badamy monotoniczność funkcji, czyli wyznaczamy przedziały, w których pierwsza pochodna przyjmuje wartości dodatnie oraz przedziały, w których pierwsza pochodna przyjmuje wartości ujemne. Zatem, gdy x ( 3) (5, ), to funkcja y = f(x) rośnie, gdy x ( 3, 5), to funkcja y = f(x) maleje.

lxxvi ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Zadanie 1. Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały monotoniczności funkcji a) y = x 4 6x + 1 4, b) y = 3 x + x 3, c) y = 4 x +1, d) y = x 9 x, e) y = x x x x+1 + 3, f) y = x 1, g) y = 4x x 1 + x + 7, 1 x h) y = x +4, i) y = 7 x 4 x 5, j) y = ex + e x, k) y = x e x, l) y = x x+3, m) y = xe 1 x, n) y = ln x x, o) y = +ln x 4x x, p) y = x +4, r) y = x x +, s) y = 3x ln x, t) y = e 1 1 x, u) y = e x x.

lxxvii Przykład. Wyznaczyć wartość najwiȩksz a i najmniejsz a funkcji f(x) = sin x + cos x + 4 w podanym przedziale [0, π]. Rozwi azanie: Funkcja przyjmuje warość najwiȩksz a (najmniejsz a) na końcach przedziału lub w punkcie, który może być ekstremum. Zatem wyznaczamy punkty, w których może istnieć ekstremum funkcji. W tym celu liczymy pierwsz a pochodn a funkcji i otrzymujemy f (x) = cos x sin x. Po przyrównaniu do zera mamy x = k π 4 lub x = k π 4, gdzie k jest dowoln a różn a od zera liczb a całkowit a. x = π 4 należy do przedziału [0, π]. Obliczamy teraz wartości funkcji na końcach przedziału [0, π] oraz w punkcie π 4. St ad f(0) = 5, f(π) = 3, f ( ) π 4 = 4 +. Podsumowuj ac, porównujemy uzyskane wyniki. W przedziale [0, π] funkcja f(x) = sin x + cos x + 4 osi aga wartość najmniejsz a dla x = π i wynosi ona 3, natomiast wartość najwiȩksz a osi aga dla x = π 4 i jest ona równa 4 +.

lxxviii ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Zadanie. Wyznaczyć wartość najwiȩksz a i najmniejsz a funkcji w podanym przedziale a) y = 3x x + 5, [ 1, 4], b) y = x + 5x 3, [ 5, ], c) y = x x+, [0, 5], d) y = x 3 + 1, [0, ], e) y = x( x), [3, 5], f) y = 5 6x x 3, [ 3, 1], g) y = 3 x 3, [ 8, 7], h) y = x ln x, [1, e], i) y = 3x 10x + 7, [ 1, 3], j) y = x 4 5x + 4, [0, ], k) y = x + 4 x 3, [1, 6], l) y = x 1 x+1, [0, 1], m) y = x 4 x 1, [ 1, ], n) y = x ln x, [ 1 e, e],

lxxix o) y = 5 + 7x 5x 4, [ 1, 3], p) y = x ln x 5, [1, 3e], r) y = 3 x ln x, [ 1 10, e], s) y = x3 3 x+1, [0, 4], t) y = sin x x, [ π 3, π ] 6, u) y = x 1 x, [ 4, 1]. Punkty przegiȩcia wykresu funkcji Jeżeli druga pochodna f (x) dla x < x 0 jest ujemna, dla x = x 0 jest równa zeru, a dla x > x 0 jest dodatnia, co wyrażamy mówi ac: druga pochodna przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak z ujemnego na dodatni, to wykres funkcji y = f(x) ma punkt przegiȩcia w punkcie x = x 0. Jeżeli druga pochodna f (x) dla x < x 0 jest dodatnia, dla x = x 0 jest równa zeru, a dla x > x 0 jest ujemna, co wyrażamy mówi ac: druga pochodna przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak z dodatniego na ujemny, to wykres funkcji y = f(x) ma punkt przegiȩcia w punkcie x = x 0.

lxxx ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Wypukłość Jeżeli funkcja f(x) jest w pewnym przedziale dwukrotnie różniczkowalna, a jej druga pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości dodatnie, to funkcja f(x) jest w tym przedziale funkcj a wypukł a. Jeżeli funkcja f(x) jest w pewnym przedziale dwukrotnie różniczkowalna, a jej druga pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości ujemne, to funkcja f(x) jest w tym przedziale funkcj a wklȩsła. Przykład 3. Wyznaczyć punkty przegiȩcia oraz przedziały wypukłości i wklȩsłości funkcji f(x) = (x 1)e 1 x. Rozwi azanie: Funkcja jest określona dla x R/{0}. W celu wyznaczenia punktów przegiȩcia wykresu funkcji, liczymy drug a pochodn a funkcji korzystaj ac ze wzorów na pochodn a iloczynu i ilorazu dwóch funkcji: f (x) = e 1 x + (x 1)e 1 ( ) x 1 x = x x+1 x e x, 1 f (x) = f (x) = ( x x+1 x ) e 1 x + x x+1 x ( (x x+1) x (x x+1)(x ) x 4 f (x) = (x 1)x (x x+1)x x 4 ( e 1 x f (x) = (x 1)x (x x+1)x (x x+1) x 4 ) ) e 1 x + x x+1 x e 1 x + x x+1 x e 1 ( ) x 1 x e 1 x e 1 x ( 1 x) f (x) = x+1 x 4 e 1 x. Szukamy miejsc zerowych drugiej pochodnej rozwi azuj ac równanie x+1 x 4 e 1 x = 0. Funkcja g(x) = e 1 x przyj-

lxxxi muje wartości dodatnie, zatem równanie jest spełnione, gdy x+1 x 4 = 0, czyli gdy x = 1. Aby stwierdzić, czy punkt x = 1 jest punktem przegiȩcia należy zbadać znak drugiej pochodnej f (x) = x+1 x 4 e 1 x. Jak już nadmieniono, funkcja g(x) = e 1 x przyjmuje wartości dodatnie, zaś funkcja h(x) = x 4 przyjmuje w zbiorze R/{0} również wartości dodatnie, zatem druga pochodna jest dodatnia, gdy x (, 1) oraz ujemna, gdy x ( 1, 0) (0, ). W punkcie x 0 = 1 druga pochodna zmienia znak, czyli po obliczeniu f( 1) = e możemy powiedzieć,że punkt ) jest punktem przegiȩcia. ( 1, e Wypukłość funkcji: Gdy x (, 1), to funkcja f(x) = (x 1)e 1 x jest wypukła, gdy x ( 1, 0) (0, ), to funkcja f(x) = (x 1)e 1 x jest wklȩsła.

lxxxii ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Zadanie 3. Wyznaczyć punkty przegiȩcia oraz przedziały wypukłości i wklȩsłości funkcji a) y = 5 x x+3, b) y = 3x 1 x, c) y = x 3 15x + 3, d) y = x 4 6x + 5, e) y = x4 6 + x3 + x + x 1, f) y = x3 3 x 15x +, g) y = 4x 3 7x 30x +, h) y = x4 1 x3 3 + 3x + 5x 3, i) y = x4 + 7x3 + 36x + 6x + 5, j) y = x4 6 + x3 3 x + 6x 1, k) y = (ln x) ln x, l) y = xe x + 5, m) y = x ln x e,

lxxxiii n) y = exe x, o) y = 1 ln x + e, p) y = x + 1 x 3, r) y = e x 1, s) y = x 9 x, t) y = x 3 e x, u) y = 4 x x+. Równanie stycznej do wykresu funkcji Równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie (x 0, f(x 0 )) ma postać y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Przykład 4. Wyznaczyć nieznane współczynniki a, b, c, d tak, aby krzywa o równaniu y = ax3 +bx +c x d posiadała asymptotȩ ukośn a y = x + 3, asymptoty pionowe x = 4 i x = 4 oraz aby styczna do wykresu funkcji przechodziła przez punkt (1, 1). Napisać równanie tej stycznej. Rozwi azanie: Dziedzin a funkcji y = ax3 +bx +c x d jest zbiór

lxxxiv ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA R/{ d, d}. Proste x = 4 i x = 4 bȩd a asymptotami pionowymi funkcji, gdy d = 4 oraz d = 4, czyli gdy d = 16. W celu wyznaczenia asymptoty ukośnej o równaniu y = x + 3 liczymy dwie granice f(x) lim x x = lim ax 3 + bx + c ax 3 + bx + c = lim x x(x 16) x x 3 16x Po podzieleniu licznika i mianownika ułamka przez x 3 a + b otrzymujemy x lim x + c x 1 16 = a. Współczynnik kierunkowy prostej bȩd acej asymptot a ukośn a jest równy x, a co za tym idzie a =. W dalszej kolejności liczymy granicȩ lim (f(x) x) = lim x3 + bx + c x x x x = 16 x 3 + bx + c x 3 + 3x bx + 3x + c lim = lim x x 16 x. x 16 Po podzieleniu licznika i mianownika ułamka przez x b + 3 otrzymujemy x lim x + c x 1 16 = b. x Po porównaniu ze współczynnikiem przesuniȩcia prostej bȩd acej asymptot a ukośn a otrzymujemy, że b = 3. Aby móc narysować styczn a do wykresu funkcji y = ax3 +bx +c x d przechodz ac a przez punkt (1, 1), punkt ten musi należeć do wykresu funkcji. A zatem f(1) = 1 3 +3 1 +c 1 16 = 5+c 5+c 15. Czyli 15 = 1. St ad c = 10.

lxxxv Podsumowuj ac: szukana krzywa ma postać y = x3 +3x 10 x 16. W celu napisania równania stycznej do krzywej y = x3 +3x 10 x 16 w punkcie (1, 1) liczymy pochodn a funkcji korzystaj ac ze wzoru na pochodn a ilorazu dwóch funkcji f (x) = (x3 +3x 10) (x 16) (x 3 +3x 10)(x 16) (x 16) = (6x +6x)(x 16) (x 3 +3x 10)x) (x 16) = 6x 4 96x +6x 3 96x 4x 4 6x 3 0x (x 16) = x(x3 48x 38) (x 16). Nastȩpnie obliczamy f (1) = (1 48 38) (1 16) = 34 45. Ponieważ f(1) = 1, wiȩc równanie stycznej ma postać y = 1 + 34 45 (x 1), czyli y = 34 45 x 79 45.

lxxxvi ROZDZIAŁ 5: POCHODNA FUNKCJI: ZASTOSOWANIA Zadanie 4. Styczna do wykresu funkcji 4.1) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = sin x w punkcie x 0 = π 4. 4.) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = cos x w punkcie x 0 = π 4. 4.3) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = 3x x + 5 w punkcie x 0 = 4. 4.4) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = 5x 3 6x + x 4 w punkcie x 0 = 0. 4.5) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = x 3 prostopadłej do prostej x + y 7 = 0. 4.6) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = 8x 3 4x+1 prostopadłej do prostej x y 1 = 0. 4.7) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = 5x 6 równoległej do prostej x y 1 = 0. 4.8) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = x 3 9x + 1x + 1, 4.8.1) równoległej do osi ox, 4.8.) równoległej do prostej y = 1x 1, 4.8.3) prostopadłej do prostej y = 1 36 x + 1.