Rachuek rawopoobieństwa MA8 Wyział Matematyki, Matematyka Stosowaa rzykłay 8. Róże rozaje zbieżości ciągów zmieych losowych. rawa wielkich liczb. Twierzeia graicze. rzykłay 8. : zbieżości ciągów zmieych losowych (a Niech Ω = [0, ], F - borelowskie pozbiory Ω, -prawopoobieństwo geometrycze. Defiiujemy X (ω =, gy 0 ω < 0, gy, ω. okaż, że X z pr. X, gzie (X = 0 =. rzy ustaloym ω (0, ] la ω mamy X (ω = 0 0. oieważ (ω : lim X (ω = 0 = (0, ] =, z pr. mamy X X, gzie (X = 0 =. Uwaga: oieważ X (0 =, więc ciąg te ie jest zbieży puktowo. (b Rozważmy ciąg (X taki, że (X = 0 = = (X =. L okaż, że X X oraz la owolego r > 0 X r X, gzie (X = 0 =. Dla owolego ɛ > 0 mamy ( X 0 ɛ = (X = = Zatem X X, gzie (X = 0 =. Dla owolego r > 0 mamy EX r = 0 + r = L Zatem X r X, gzie (X = 0 =. 0. 0. (c Niech Ω = [0, ], F-pozbiory borelowskie Ω, -prawopoobieństwo geometrycze. Defiiujemy 0, gy 0 ω X (ω =, 2+, gy < ω. 2+ okaż, że X X, gzie X taka, że (X = 0 = (X = = 0.5. 0, gy x 0, Mamy F (x = (X < x = (X = 0 =, gy 0 < x, 2+, gy x >. Zatem la każego x mamy F (x F (x, gzie F (x = 0, gy x 0, 0.5, gy 0 < x,, gy x >, jest ystrybuatą zmieej losowej X takiej, że (X = 0 = (X = = 0.5. Otrzymujemy więc, że X X.
2 Uwaga: X możemy zefiiować a róże sposoby, p. 0, gy 0 ω 0.5, X =, gy 0.5 < ω. albo albo jeszcze iaczej. X =, gy 0 ω 0.5, 0, gy 0.5 < ω. ( Niech (X = = (X = = 0.5 oraz iech X + = X. okaż, że X X, gzie X ma taki rozkła jak X, ale ciąg te ie jest zbieży z prawopoobieństwem ai stochastyczie. 0, gy x, Mamy la każego x F (x = F (x = 0.5, gy < x,, gy x >. Zatem X X, gzie X ma taki rozkła jak X. F (x. Ciąg (X ie jest zbieży z prawopoobieństwem, bo przy ustaloym ω ciąg X (ω albo ma postać ( albo ( +, a są to ciągi rozbieże. Ciąg (X ie jest też zbieży stochastyczie. Dowó (ie wprost: Załóżmy, że X X. Graica X musi mieć rozkła taki jak X. Wtey la ɛ < 2 mamy a = ( X X ɛ = (X =, X = + (X =, X = oraz a + = ( X + X ɛ = (X + =, X = + (X + =, X = = = (X =, X = + (X =, X = = a. Ciąg a spełia rówaie rekurecyje a + = a. Zatem, o ile ma graicę, to graicę rówą 0.5. W kosekwecji, ( X X ɛ ie może zbiegać o 0, co sprzecze jest z założeiem. (e Niech zmiea losowa Y ma rozkła oissoa (a la pewego a > 0, a. Zefiiujmy X = Y a a. Jaka jest graica weług rozkłau ciągu (X? Mamy ϕ Y (t = e a(eit, a stą ϕ X (t = Ee it(y a/ a = e a(eit/ a it a. a (e it/ a it a = a + it + ( 2 ( it + o it = a 2 a a a = 2 t2 + o ( a a 2 t2. Stą ϕ X (t ϕ(t = e 2 t2. Graica ϕ(t jest ciągła w 0 i jest to fukcja charakterystycza zmieej losowej X o rozkłazie ormalym N (0,. Z twierzeia Lévy ego otrzymujemy zatem, że X X, gzie X ma rozkła ormaly N (0,.
3 rzykła 8.2 : prawa wielkich liczb Rozważmy ciąg (X iezależych zmieych losowych, przy czym X ma rozkła ormaly N (m = a, σ = 4 /4, gzie a (0,. okaż, że ciąg te spełia SWL i MWL. EX = a, D 2 X = /2, a z iezależości D2 (X +... + X 2 = 2 Mamy i z twierzeia o 3 ciągach D2 (S SWL. oato (skoro D 2 X = = 2 2 mamy D 2 X 2 = 0 D2 (S 2 = ( 2 +... +. 2 = 2 2 0. Zatem z twierzeia Markowa baay ciąg spełia 2 2 = 2 = < (p = 3/2 >. 3/2 Zatem z twierzeia Kołmogorowa baay ciąg spełia MWL. rzykłay 8.3 : twierzeie e Moivre a-laplace a (a Ustalmy ɛ = δ = 0.05. Chcemy wyzaczyć, la którego mamy Rozwiązaie: ( S p > ɛ < δ. ( Metoa a postawie ierówości Czebyszewa prowazi o wiosku, że waruek ( jest p( p spełioy, gy >. δɛ 2 Dla p = 0.5, ɛ = 0.05 i δ = 0.05 otrzymujemy > 0.52 0.05 3 > 2000. Na postawie twierzeia e Moivre a-laplace a, la p = 0.5, ɛ = 0.05, δ = 0.05, otrzymujemy, że la spełieia waruku ( wystarczy, aby 2( Φ(0. + < 0.05. (2 Możemy oszacować, la których waruek (2 bęzie spełioy, w astępujący sposób: 2( Φ(0. < 0.0 Φ(0. > 0.995 0. > 2.576 (z tablic > 25.76 2 = 663.5776. Dla > 663 mamy 0.039 0.04. Zatem, gy > 663, to 2( Φ(0. + < 0.0 + 0.04 = 0.05, a w kosekwecji zachozi (.
4 (b W pewym towarzystwie ubezpieczeiowym jest ubezpieczoych 0000 samochoów. Każy z właścicieli płaci roczą skłakę 30 zł za samochó. Śreio 6 a 000 samochoów ulega uszkozeiu w ciągu roku. Właścicielowi uszkozoego pojazu towarzystwo wypłaca 2500 zł. Na postawie tw. Moivre a Laplace a oszacuj, jakie jest prawopoobieństwo, że w ciągu roku zysk przekroczy 25000 zł. Oszacuj też błą przybliżeia. Rozwiązaie: Moel: schemat Beroulliego, sukces to uszkozeie samochou, p = 0.006 (6 a 000 samochoów S to liczba sukcesów w próbach, czyli liczba uszkozeń ubezpieczoych samochoów, = 0000 = 0 4 Wpłata o towarzystwa ubezpieczeiowego wyosi 30 = 3 0 5 zł. Wypłata to 2500 S zł. Zysk towarzystwa to Z = 3 0 5 2500 S. Zysk przekroczy 25000 zł Z > 25000 S < 70. Mamy zatem oszacować (S < 70, przy czym = 0 4 jest ość uże, by użyć przybliżeia a postawie tw. Moivre a-laplace a. Otrzymujemy ( (S < 70 Φ 70 0.5 04 0.006 = Φ ( 9.5 0 4 0.006 ( 0.006 59.64 Φ(.23 = 0.8907 z tablic staarowego rozkłau ormalego. Błą przybliżeia ie przekracza 0.5(0.0062 +( 0.006 2 0 4 0.006 ( 0.006 0.0640 Op. rawopoobieństwo, że w ciągu roku zysk przekroczy 25000 zł, wyosi 0.8907 ± 0.0640. Uwaga: Wyik okłay otrzymay w Matlabie komeą biocf(69,0000,0.006 to 0.8889 rzykłay 8.4 : cetrale twierzeie graicze Lieberga-Lévy ego (a ewa kostrukcja skłaa się ze 00 jeakowych elemetów. Na postawie CTG Lieberga Lévy ego oszacuj prawopoobieństwo, że całkowita masa tej kostrukcji ie przekroczy 333 kg, jeśli rozkła masy elemetów, z których jest złożoa, ma wartość oczekiwaą 3.3 kg i ochyleie staarowe 0. kg. Rozwiązaie: Ozaczmy przez X k masę elemetu r k w kg, k =, 2,..., 00. Zakłaamy, że X, X 2,..., X 00 są iezależymi zmieymi losowymi. Z treści zaaia mają oe jeakowy rozkła, przy czym m = EX k = 3.3; a σ = D 2 X k = 0.. Masa całej kostrukcji to S = X k la = 00. Mamy oszacować (S 333. k= oieważ wariacja D 2 X k = σ 2 jest skończoa i większa o 0, a = 00 wystarczająco uże, możemy skorzystać z CTG Lieberga Lévy ego. Otrzymujemy ( = S m σ 3 Φ(3.00 = 0.9987 333 00 3.3 0. 00 (S 333 = ( S m σ a postawie tablic staarowego rozkłau ormalego. Op. rawopoobieństwo, że całkowita masa tej kostrukcji ie przekroczy 333 kg, to w przybliżeiu 0.9987.
5 (b Czas oczekiwaia a tramwaj liii 4 jest zmieą losową o rozkłazie wykłaiczym o śreiej 5 miut. a A cozieie w i robocze ojeżża im o pracy. Oszacuj a postawie CTG Lieberga Lévy ego prawopoobieństwo, że pa A traci kwartalie (czyli w ciągu 65 kolejych i roboczych a czekaie a tramwaj liii 4 więcej iż 000 miut. Rozwiązaie: Ozaczmy przez X k czas oczekiwaia a tramwaj w iu o kolejym umerze k (w miutach, k =, 2,..., 65. Zakłaamy, że X, X 2,..., X 65 są iezależymi zmieymi losowymi. Z treści zaaia mają oe jeakowy rozkła wykłaiczy Exp(λ o śreiej m = EX k = 5 miut. oieważ la takiego rozkłau m = EX k = λ, a σ 2 = D 2 X k = λ 2 = m 2, więc mamy tu σ = 5. Czas stracoy kwartalie a ojazy to S = X k la = 65. Mamy oszacować (S > 000. oieważ wariacja D 2 X k = σ 2 jest skończoa i większa o 0, a = 65 wystarczająco uże, możemy skorzystać z CTG Lieberga Lévy ego. Otrzymujemy (S > 000 = ( ( S m σ > 000 65 5 5 65 = S m σ > 5 3 65 Φ ( 5 3 65 Φ(0.2 = 0.5832 = 0.468 z tablic staarowego rozkłau ormalego. Dla X o rozkłazie Exp(λ = /5 mamy E X m 3 = x 5 3 e x/5 x = 5 5 3 (2e 2. Zatem błą przybliżeia z ierówości Berry-Esseea ie przekracza 2e 3 2 0.5. 65 Op. rawopoobieństwo, że pa A traci kwartalie a czekaie a tramwaj liii 4 więcej iż 000 miut, to w przybliżeiu 0.468 ± 0.5. Uwaga: oieważ X k ma rozkła wykłaiczy, moża pokazać, że S ma rozkła gamma G(λ,. Stą wyik okłay 0.4027 otrzymamy w Matlabie komeą -gamcf(000,65,5. (c Na ulicy stoi sprzeawca gazet. Załóżmy, że każy z mijających go przechoiów kupuje gazetę z jeakowym prawopoobieństwem. Śrei czas sprzeaży 000 gazet jest rówy 4 goziy i z prawopoobieństwem 0.95 zawiera się w przeziale o 3 o 5 gozi. Oszacuj a postawie CTG Lieberga Lévy ego, ile maksymalie gazet może zamówić sprzeawca, aby z prawopoobieństwem 0.99 ie pozostała mu żaa po 6 goziach? Rozwiązaie: Ozaczmy przez T i czas o sprzeaży (i -szej o sprzeaży i-tej gazety (w goziach, i =, 2,...,. Załóżmy, że T, T 2,..., T są iezależymi zmieymi losowymi o takim samym rozkłazie, przy czym skończoe są ET i = m i D 2 T i = σ 2 > 0. Wtey z CTG Lieberga Lévy ego S = T i ma asymptotyczie rozkła ormaly N (m, σ. Z treści zaaia 000m = ES 000 = 4. Mamy zatem m = 0.004. i= k= 0
6 oato (3 S 000 ( 5 = 0.95, a poieważ 3 4 (3 S 000 5 = σ 000 S m σ 5 4 σ 000 ( ( ( 0 0 0 Φ Φ = 2Φ, 00σ 00σ 00σ otrzymujemy 2Φ ( ( 0 0 = 0.95 Φ 00σ 00σ 0 00σ =.96 0 σ = 96 = 0.975 (z tablic rozkłau ormalego Szukamy takiego, aby (S 6 0.99 (3 Z CTG Lieberga-Lévy ego mamy (S 6 = S m σ 6 0.004 ( 0 96(6 0.004 Φ. 0 Jeżeli Φ 96 to uzajemy, że ierówość (3 jest spełioa. ( 96(6 0.004 0 0.99; (4 Z tablic staarowego rozkłau ormalego oczytujemy, że Φ(2.326 = 0.99. Zatem ierówość (4 jest spełioa, gy 96(6 0.004 0 2.326 76 0.784 2.326 0 76832 2 237258845 + 76832 (500 2 0, gzie jest liczbą aturalą miejszą lub rówą 500, 77. Opowieź: Maksymala liczba gazet, którą z prawopoobieństwem 0.99 ua się sprzeać w ciagu 6 gozi, to 77. rzykłay 8.5 : twierzeie oissoa, losowaie ze zwracaiem i bez zwracaia (a rzy masowych prześwietleiach małoobrazkowych prawopoobieństwo atrafieia a chorego a gruźlicę jest 0.0. Na postawie przybliżeia oissoa oszacuj prawopoobieństwo, że wśró 200 osób prześwietloych bęzie ie miej iż 3 chorych. Następie oszacuj to prawopoobieństwo a postawie tw. Moivre a Laplace a. Oszacuj błęy przybliżeń la obu meto i porówaj wyiki.
7 Rozwiązaie: Moel: schemat Beroulliego, sukces-pacjet jest chory, p = 0.0, S to liczba sukcesów w próbach, czyli liczba chorych wśró baaych osób, = 200. Mamy oszacować (S 3. = 200 50, p = 0.0 0. oraz p = 2 0, zatem uzasaioe jest skorzystaie z metoy przybliżeia oissoa. Otrzymujemy (S 3 = (S = 0 (S = (S = 2 p 0 p p 2 = = 0.353 0.2707 0.2707 = 0.3233; gzie p k oczytae z tablic rozkłau oissoa z λ = p = 200 0.0 = 2. Błą przybliżeia ie przekracza p 2 = 0.02 = 200 jest ość uże, więc możemy także użyć metoy przybliżeia a postawie tw. Moivre a-laplace a. Otrzymujemy ( (S 3 Φ 3 0.5 200 0.0 = Φ ( 0.5 200 0.0 ( 0.0.98 Φ(0.36 = = 0.6406 = 0.3594 z tablic staarowego rozkłau ormalego. Błą przybliżeia ie przekracza 0.5(0.02 +( 0.0 2 0.3483 200 0.0 ( 0.0 orówaie otrzymaych przybliżoych wartości prawopoobieństwa, że wśró 200 osób prześwietloych bęzie ie miej iż 3 chorych: z tw. oissoa z tw. Moivre a-laplace a 0.3233 ± 0.02 0.3594 ± 0.3483 Uwaga: Wyik okłay otrzymay w Matlabie komeą -biocf(2,200,0.0 to 0.3233 (b artia N = 250 sztuk towaru zawiera M = 8 sztuk waliwych. Wylosowao bez zwracaia = 0 sztuk. artię orzuca się, gy w próbce zajują się co ajmiej 2 sztuki waliwe. Zaleźć prawopoobieństwo, że partia zostaie przyjęta. Oszacuj to prawopoobieństwo a postawie przybliżeia rozkłaem Beroulliego i przybliżeia rozkłaem oissoa. orówaj wyiki. Rozwiązaie: X (b - to ilość sztuk waliwych w próbce. artia zostaie przyjęta, gy X (b < 2}. Ze wzorów okłaych otrzymujemy (X (b < 2 = (X (b = 0 + (X (b = = (8 0 ( 232 Obliczeie przybliżoe z rozkłau Beroulliego: (X (b < 2 ( ( 0 0 ( 0 ( ( 8 0 250 8 250 + 0 8 250 Obliczeie przybliżoe z rozkłau oissoa: 0 ( 250 0 + (8 ( 232 9 ( 250 0 0.8438. ( 9 8 250 0.842. (X (b < 2 e λ + λe λ =, 72e 0,72 0.8372, gzie parametr λ = 0 8 250 = 0.72 orówaie otrzymaych wartości (X (b < 2: wzory przybliżeie przybliżeie okłae z rozkłau Beroulliego z rozkłau oissoa 0.8438 0.842 0.8372