Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci Alina Semrau-Giªka Uniwerstet Technoloiczno-Przrodnicz 30 stcznia 209 Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwam odwzorowanie, które ka»demu elementowi ze zbioru X przporz dkowuje dokªadnie jeden element ze zbioru Y. Funkcj tak oznaczam : X Y, = (), nazwam arumentem unkcji, warto±ci unkcji, X dziedzin unkcji oznaczan D, a Y przeciwdziedzin unkcji. Podana denicja unkcji nie jest ormaln, matematczn denicj. Jest to denicja szkolna, ªatwa do zrozumienia. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /24 : R R, () = 2 unkcja, która ka»dej liczbie rzeczwistej przporz dkowuje jej kwadrat. : R R R, (, 2 ) = 2 unkcja, która ka»dej parze liczb rzeczwistch przporz dkowuje ich iloczn. Czas t pokonania przez pojazd droi o ustalonej dªuo±ci s jest unkcj pr dko±ci teo pojazdu, d» Mo»na te» to zapisa t(v) = s v. t = s v. Dziedzina ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/24 Je»eli dziedzina unkcji nie jest dokªadnie wskazana, to nale» przj,»e jest ni zbiór wszstkich liczb, dla którch wzór okre±laj c unkcj ma sens. Zbiór ten nazwam dziedzin naturaln. () = Zaªo»enie: 0 D = (, ) () = 2 Zaªo»enie: 0 2 0 D = [0, 4) (4, + ) Wkres ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/24 Wkresem unkcji nazwam zbiór wszstkich punktów o wspóªrzednch (, ()), dzie jest elementem dziedzin unkcji. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/24 Jak maj c wkres stwierdzi,»e przedstawia on unkcj? () = 3 () = 2-0 () -4-2 Tu lepiej nie rsowa tabelki, bo to mo»e prowadzi do bª dów. Je±li ju», to dla wielu punktów. unkcja to nie jest unkcja Wkres unkcji ma tlko jeden punkt wspóln z dowoln lini pionow poprowadzon przez punkt dziedzin. Zbiór warto±ci ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/24 Przeciwdziedzina a zbiór warto±ci Zbiorem warto±ci unkcji nazwam zbiór tch wszstkich Y, które s warto±ciami unkcji dla pewneo X. Zbiór ten b dziem oznacza (X ) lub ZW. : [0, 2π] R, () = sin () 2 2 0 2 Zbiór warto±ci unkcji mo»em odczta z wkresu rzutuj c o na o± O. [ ZW = 3 ] 2, 2 () π 2 π 3π 2 2π Przeciwdziedzina to R, a zbiór warto±ci to [, ]. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 0/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /24
Przeksztaªcanie wkresów unkcji Przeksztaªcanie wkresów () = ( + a), a > 0 Przeksztaªcanie wkresów Jak otrzma wkres unkcji przeksztaªcaj c wkres unkcji? Mam wkres unkcji () = 2. Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( + ) 2? Wkres unkcji przesuwam o a w lewo. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/24 Przeksztaªcanie wkresów () = ( a), a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/24 Przeksztaªcanie wkresów () = () + a, a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2 +? Wkres unkcji przesuwam o a w prawo. Wkres unkcji przesuwam o a w ór. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/24 Przeksztaªcanie wkresów () = () a, a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2? () = () ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( 2 )? Wkres unkcji przesuwam o a w dóª. Wkres unkcji odbijam smetrcznie wzl dem osi O. () = ( ) ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = ( ) 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? () = () ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2? Wkres unkcji odbijam smetrcznie wzl dem osi O. Cz ± wkresu unkcji znajduj c si pod osi O odbijam smetrcznie wzl dem tej osi, pozostaª cz ± zostawiam bez zmian. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/24
() = ( ) Przeksztaªcanie wkresów Skªadanie unkcji Budowanie nowch unkcji Skªadanie Mam wkres () = ( ) 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? Dane s unkcje : X U i : W Y oraz zbiór warto±ci unkcji zawiera si w dziedzinie unkcji, tzn. ZW D. Zªo»eniem unkcji i nazwam unkcj h : X Y oznaczan h = i okre±lon wzorem Cz ± wkresu unkcji znajduj c si po prawej stron osi O zostawiam niezmienion, ale jednocze- ±nie odbijam j równie» smetrcznie wzl dem tej osi na lew stron. h() = ( )() = ( ()). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 20/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/24 Budowanie nowch unkcji Skªadanie Budowanie nowch unkcji Skªadanie () = cos, () = 5 + 4 () = 3 +, () =, D = R, ZW = [, ], D = R, ZW = R D = R, ZW = R, D = R +, ZW = R + Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem ( )() = ( ()) = 5 cos + 4. Poniewa» ZW D, wi c zªo»enie nie istnieje. Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem ( )() = (()) = cos(5 + 4). ( )() = (()) = ( ) 3 + = +. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 22/24 Budowanie nowch unkcji Skªadanie ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 23/24 h() = 2 jest unkcj zªo»on Na kalkulatorze najpierw wliczam warto± 2, a potem pierwiastek z tej warto±ci. Zatem h() = ( ()), dzie () = 2, () =. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 24/24
Budowanie nowch unkcji Ró»nowarto±ciowo± unkcji Budowanie nowch unkcji Ró»nowarto±ciowo± unkcji : X Y jest ró»nowarto±ciowa, je±li ró»nm arumentom ze zbioru X przporzadkowuje ró»ne warto±ci w zbiorze Y, tzn., 2 X ( 2 ( ) ( 2 )). : X Y jest ró»nowarto±ciowa, je±li ró»nm arumentom ze zbioru X przporzadkowuje ró»ne warto±ci w zbiorze Y, tzn., 2 X ( ( ) = ( 2 ) = 2 ). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji Jak maj c wkres unkcji stwierdzi,»e jest ona ró»nowarto±ciowa? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji () = 2 () = sin jest ró»nowarto±ciowa nie jest ró»nowarto±ciowa Z wkresu unkcji mo»na ªatwo odczta, cz jest ona ró»nowarto±ciowa, cz nie. jest ró»nowarto±ciowa, je±li jej wkres z ka»d prost poziom ma co najw»ej jeden punkt wspóln. Funkcje () = 2 i () = sin nie s ró»nowarto±ciowe. na ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/35 Budowanie nowch unkcji ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/35 Budowanie nowch unkcji : R R, () = 2 : R R + {0}, () = 2 : X Y jest na, je±li ka»d element ze zbioru Y jest warto±ci unkcji dla pewneo ze zbioru X, tzn. Y X = (). Te unkcje maja identczn wkres, ale nie jest na, a jest! odwrotna ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/35 Budowanie nowch unkcji : X Y jest na, je±li jej przeciwdziedzina jest równa zbiorowi warto±ci. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/35 Budowanie nowch unkcji Funkcj odwrotna do unkcji : X Y nazwam tak unkcj : Y X,»e: dla ka»deo X ( ()) =, dla ka»deo Y (()) =. Funkcj odwrotn do oznaczam cz sto. Cz unkcja : [0, + ) [0, + ), () = jest unkcj odwrotn do unkcji : [0, + ) [0, + ), () = 2? ( ()) = 2 = =, bo [0, + ) (()) = ( ) 2 =. Zatem jest odwrotna do. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/35
Wkres Budowanie nowch unkcji Uwaa! Budowanie nowch unkcji, : [0, + ) [0, + ) () = 2, () = = Fakt Wkres unkcji powstaje przez odbicie wkresu unkcji smetrcznie wzl dem prostej o równaniu =. Nie ka»d unkcje mo»na odwróci, np. : R [0, + ), () = 2. () = 2 = to nie jest unkcja ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 0/35 Budowanie nowch unkcji Kied jest odwracalna? Jak znale¹? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /35 Budowanie nowch unkcji Twierdzenie jest odwracalna wted i tlko wted, d jest ró»nowarto±ciowa i na. Dana jest unkcja = (), która jest ró»nowarto±ciowa i na.. Zamieniam rolami zmienne i, otrzmuj c równanie = (). 2. Wznaczam z otrzmaneo równania. Otrzmane wra»enie to. Dziedzin unkcji jest zbiór warto±ci unkcji, a zbiorem warto±ci - dziedzina. : R R Ta unkcja jest ró»nowarto±ciowa i na. Jest wi c odwracalna. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/35 Budowanie nowch unkcji : R R, () = 3 + : R \ {2} R \ {}, () = + 2 Zatem = 3 + = 3 + 3 = = 3 3 : R R, () = 3 3 = + 2 = + 2 ( 2) = + 2 = + = 2 + ( ) = 2 + = 2 + Zatem : R \ {} R \ {2} () = 2 + Oraniczono± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± jest oraniczona: z doªu, je±li istnieje liczba rzeczwista m taka,»e warto±ci tej unkcji s wi ksze lub równe m, tzn. () = 2 () = 2 + 2 m R X m, z ór, je±li istnieje liczba rzeczwista M taka,»e warto±ci tej unkcji s mniejsze lub równe M, tzn. m R X M. Funkcje jest oraniczona z doªu np. przez m = 0, a unkcja - oraniczona z ór np. przez M = 2. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/35
Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± Parzsto± Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± h() = sin Funkcj nazwam parzst, je±li jej dziedzina X jest zbiorem smetrcznm wzl dem 0 i dla ka»deo X ( ) = (). h jest oraniczona z doªu np. przez m = i z ór np. przez M =. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± : R R, () = 2 jest parzsta, ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Uwaa Wkres unkcji parzstej jest smetrczn wzl dem osi OY. () = 2 ( ) = () ( 2) = (2) ( 3) = (3) itd. d» dla ka»deo R ( ) = ( ) 2 = 2 = (). Nieparzsto± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 20/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± : R R, () = 3 jest nieparzsta, () = 3 Funkcj nazwam nieparzst, je±li jej dziedzina X jest zbiorem smetrcznm wzl dem 0 i dla ka»deo X () = ( ) = ( ) = (). (2) = 8 ( 2) = 8 (3) = 27 ( 3) = 27 d» dla ka»deo R ( ) = ( ) 3 = 3 = (). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 22/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Uwaa Wkres unkcji parzstej jest smetrczn wzl dem punktu O = (0, 0). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 23/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Istniej unkcje, które nie s ani parzste, ani nieparzste, np. : R R, () = ( ) 2. () = 2 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 24/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 25/35
Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± Która z unkcji jest rosn ca? Która malej ca? Która nierosn ca? A która niemalej ca? rosn ca Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest rosn ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) < ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji rosn. jest rosn ca, je±li poruszaj c si w prawo wzdªu» jej wkresu idziem caª czas pod órk. niemalej ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 26/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± malej ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 27/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest niemalej ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji nie malej (rosn lub s staªe). jest malej ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) > ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji malej. Na wkresie idziem caª czas pod ór lub prosto. nierosn ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 28/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± Na wkresie idziem caª czas z órki. monotoniczna ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 29/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest nierosn ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji nie rosn (malej lub s staªe). jest monotnoniczna na przedziale I, je±li jest rosn ca, malej ca, nierosn ca lub niemalej ca na tm przedziale. Na wkresie idziem caª czas z órki lub prosto. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 30/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Specjalne wªasno±ci unkcji nazwam okresow, je±li istnieje taka liczba t 0,»e dla ka»deo D liczba + t D i zachodzi równo± Liczb t nazwam okresem unkcji. ( + t) = (). Je»eli liczba t jest okresem unkcji, to ka»da jej wielokrotno± jest tak»e okresem unkcji. Najmniejsz dodatni okres unkcji (je±li istnieje) nazwam okresem podstawowm lub zasadniczm. : Z {0,, 2, 3, 4}, (n) = n (mod 5) ka»dej liczbie caªkowitej przporz dkowuje jej reszt z dzielenia przez 5. (0) = 0 (5) = 0 (0) = 0 () = (6) = () = (2) = 2 (7) = 2 (2) = 2 (3) = 3 (8) = 3 (3) = 3 (4) = 4 (9) = 4 (4) = 4 jest okresowa o okresie 5. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 32/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 33/35
Specjalne wªasno±ci unkcji Specjalne wªasno±ci unkcji : R R, () = {}, {} cz ± uªamkowa liczb {} = [], dzie [] jest cz ±ci caªkowit liczb 2 () (0.5) = 0.5 (.6) = 0.6 (7) = 0 ( 0.25) = 0.75 ( 6.2) = 0.8 (.) = 0.9 jest okresowa o okresie. 4 3 2 0 2 3 4 Funkcje sinus i cosinus s okresowe o okresie 2π, a unkcje tanens i cotanens - o okresie π. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 34/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 35/35