Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Transkrypt

1 Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem z dzieleniem je±li ma przynajmniej dwa elementy (czyli 0 ) i ka»dy niezerowy jego element jest odwracalny. Ciaªem nazywamy przemienny pier±cie«z dzieleniem. Stwierdzenie. Niech P b dzie dziedzin caªkowito±ci. dowolnych a, b, c P (i) je±li a b = 0 to a = 0 lub b = 0, (ii) je±li ab = ac i a 0 to b = c. Wtedy dla Dowód. (i) wynika wprost z denicji dziedziny. (ii) Je±li ab = ac to a(b c) = ab ac = 0 i z punktu (i) wynika,»e b c = 0, wi c b = c. Twierdzenie. Sko«czona dziedzina caªkowito±ci jest ciaªem. Dowód. Niech p, p 2,..., p n b d wszystkimi elementami zbioru P i niech a b dzie niezerowym elementem pier±cienia P. Wtedy ap = {ap, ap 2,..., ap n P. Zbiory ap i P s równoliczne bo je±li nie to dla ró»nych i, j mieliby±my ap i = ap j, a wi c na podstawie Stwierdzenia (i) mamy p i = p j, co jest niemo»liwe. Zatem ap = P. Teraz poka»emy,»e P musi mie jedynk. Z równo±ci ap = P wynika,»e istnieje element e taki,»e ae = ea = a. Poka»emy,»e e musi by elementem neutralnym mno»enia. Niech b b dzie innym niezerowym elementem pier±cienia P. Dla niego te» istnieje f taki,»e bf = fb = b. Policzmy abe = aeb = ab = abf. St d ab(e f) = 0 i poniewa» ab 0 to e f = 0, wi c e = f. To oznacza,»e e jest elementem neutralnym. Z równo±ci ap = P wynika te»,»e istnieje element a taki,»e aa = a a = e, wi c a jest elementem odwracalnym. Zatem ka»dy niezerowy element pier±cienia P jest odwracalny, wi c P jest ciaªem. Niech G b dzie dowoln grup i niech a, b nale» do G. Powiemy,»e a jest sprz»one z b je±li istnieje c G takie,»e a = c bc. Relacja sprz»ono±ci jest relacj równowa»no±ci. Klasy równowa»no±ci tej relacji b dziemy nazywa klasami sprz»ono±ci. Centralizatorem elementu a nazywamy zbiór C(a) = {b G : ab = ba.

2 2 Centralizator elementu a jest podgrup grupy G. Zgodnie z Twierdzeniem Lagrange'a zachodzi wzór G = C(a) [G : C(a)], gdzie [G : C(a)] jest indeksem C(a) w G i jest równe ilo±ci ró»nych warstw bc(a). Stwierdzenie 2. Ilo± elementów sprz»onych z a jest równa indek- Je±li G jest sko«czona to ilo± elementów sowi centralizatora C(a). sprz»onych z a jest równa G C(a). Dowód. Oznaczamy przez a G klas sprz»ono±ci elementu a, a przez G/C(a) zbiór warstw prawostronnych wzgl dem podgrupy C(a). Zde- niujmy odwzorowanie ϕ : a G G/C(a), ϕ(b ab) = bc(a). Ta funkcja jest oczywi±cie suriekcj. Poka»emy,»e jest ona równie» iniekcj. Je±li ϕ(b ab ) = ϕ(b 2 ab 2 ) to C(a)b = C(a)b 2 i wtedy mamy b b 2 C(a). St d otrzymujemy b b 2 a = ab b 2 i b ab = b 2 ab 2. Czyli ϕ jest ró»nowarto±ciowa. Poniewa» ϕ jest suriekcj i iniekcj, wi c jest bijekcj. Zatem zbiory a G i G/C(a) s równoliczne, a to trzeba byªo pokaza. Druga cz ± stwierdzenia wynika z pierwszej i Twierdzenia Lagrange'a. Twierdzenie 2. Je±li P jest sko«czonym pier±cieniem z jedynk takim,»e dla pewnej liczby pierwszej p pier±cie«p ma podpier±cie«f izomorczny z ciaªem Z p, gdzie p jest liczb pierwsz i nale»y do F to liczba elementów pier±cienia P jest pot g liczby p. Dowód. Podpier±cie«F b dziemy uto»samia z Z p. Pier±cie«P mo-»emy traktowa jako przestrze«liniow nad Z p (z oczywistym dodawaniem wektorów i mno»eniem skalarów z Z p przez wektory z P ). Poniewa» P jest sko«czony to jego wymiar jako przestrzeni liniowej te» jest sko«czony i równy powiedzmy n. Wtedy istniej wektory p,..., p n takie,»e dla ka»dego p P istnieje dokªadnie jeden ci g skalarów α,..., α n taki,»e p = α p.. + α n p n. Wtedy odwzorowanie ϑ : P Zp n, dane wzorem ϑ(p) = (α,..., α n ) jest izomorzmem przestrzeni liniowych. A to oznacza,»e P ma p n elementów. Wniosek. Je±li F jest ciaªem sko«czonym to liczba jego elementów jest równa pot dze liczby pewnej pierwszej p. Dowód. Wystarczy pokaza,»e F zawiera pewne ciaªo Z p i skorzysta z Twierdzenia 2. We¹my zbiór P = {, +,...,. Šatwo wida,»e P jest podpier±cieniem pier±cienia F. Dodatkowo poniewa» F jest zbiorem sko«czonym to P te», wi c istniej liczby k < l takie,»e = k. St d = 0. Je±li n jest najmniejsz liczb tak, l l k

3 »e = 0 to n musi by liczb pierwsz. Gdyby tak nie byªo i n n = mk to mieliby±my = ( )( ) = 0, n=mk m k i poniewa» w ciele nie ma dzielników zera to = 0 lub m = 0, a to przeczy minimalno±ci liczby n. Zatem n = p k jest pierwsza. W takim razie P ma dokªadnie p elementów i mo»na pokaza,»e funkcja f : P Z p, f( ) = l jest izomorzmem. l Wi c F posiada podpier±cie«izomorczny z Z p. Wniosek 2. Je±li sko«czony pier±cie«z jedynk P zawiera jako podpier±cie«ciaªo q-elementowe (z t sam jedynk ) to P = q n dla pewnego n. Dowód. Dowód jest powtórzeniem dowodu Twierdzenia 2. W zbiorze liczb zespolonych rozpatrujemy wielomian f(x) = x n. Ten wielomian ma dokªadnie n pierwiastków, które nazywamy pierwiastkami stopnia n z jedynki. Sam wielomian x n jest nazywany zwykle wielomianem podziaªu koªa. Wszystkie pierwiastki stopnia n z jedynki maj posta : z k = cos 2kπ n 2kπ + i sin, k = 0,,..., n. n Je±li oznaczymy ε = cos 2π + i sin 2π to mo»emy zauwa»y,»e z n n k = ε k. Mówimy,»e z jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedynki je±li z n = i z k dla 0 < k < n. Na przykªad i jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia 4 z jedynki, a nie jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia 4 (tylko stopnia 2). Do± ªatwo jest zauwa»y,»e ε k jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n dokªadnie wtedy gdy k i n s wzgl dnie pierwsze. Mo»na st d wywnioskowa,»e wielomian x n ma dokªadnie ϕ(n) pierwiastków stopnia n z jedynki. Rozpatrzmy wielomian () F n (x) = (x ε k ), NWD(k,n)= czyli wielomian którego wszystkimi pierwiastkami s pierwiastki pierwotne stopnia n z jedynki. Stwierdzenie 3. Wielomian F n (x) ma caªkowite wspóªczynniki. Dowód. Dowód mo»na znale¹ w [] na stronie 79. 3

4 4 Stwierdzenie 4. Je±li f(x), g(x), h(x) s wielomianami o wspóªczynnikach caªkowitych i f(x) = g(x)h(x) to dla ka»dej liczby caªkowitej z mamy g(z) f(z). Stwierdzenie 5. Niech q, m, n b d liczbami caªkowitymi. Liczba q n dzieli q m wtedy i tylko wtedy gdy n m. Dowód. Je±li n m to dla pewnego k mamy m = nk i q m = q nk = (q n ) k = (q n )(q n(k ) + q n(k 2).. + q n + ), wi c q n dzieli q m. Zaªó»my teraz,»e q n dzieli q m i przypu± my,»e n m. Wtedy m = kn + r, gdzie 0 < r < n i mamy q m = q nk+r = q nk q r = (q nk )q r + q r. Jak pokazali±my powy»ej q n q nk i z zaªo»enia q n q m, wi c q n q r, co jest niemo»liwe bo q r < q n. Twierdzenie 3 (J. Wedderburn, 905). Ka»dy sko«czony pier±cie«z dzieleniem jest ciaªem. Dowód. Niech F b dzie sko«czonym pier±cieniem z dzieleniem. Oznaczamy przez Z(F ) zbiór elementów przemiennych ze wszystkimi elementami pier±cienia F, a wi c Z(F ) = {a F : x F ax = xa. Je±li a, b Z(F ) to dla ka»dego x F : () 0, Z(F ) (2) (a + b)x = ax + bx = xa + xb = x(a + b), (3) (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = a(ab), (4) ax = xa xa = a x. Warunki ()-(4) pokazuj,»e Z(F ) jest równie» pier±cieniem z dzieleniem. Z denicji wynika,»e jest równie» przemienny, wi c jest ciaªem. Z Wniosku wynika,»e istnieje liczba pierwsza p i liczba naturalna m takie,»e Z(F ) = p m =: q, a z Wniosku 2 wynika,»e F = q n dla pewnego n. Naszym celem jest pokaza,»e F = Z(F ) lub»e n =, bo wtedy F jest przemienny, a wi c jest ciaªem. Powiedzmy,»e tak nie jest czyli,»e F Z(F ). To znaczy istnieje a nale» cy do F \ Z(F ). Oznaczmy przez C(a) zbiór elementów przemiennych z a tj. C(a) = {b F : ab = ba. Oczywi±cie Z(F ) C(a), wi c C(a) = q da, gdzie d a jest pewn liczb naturaln zale»n od a. Gdyby d a = n to C(a) = F i a Z(F ) przeciwnie do zaªo»enia. Mamy wi c q a < n. Je±li F jest zbiorem niezerowych elementów pier±cienia F tj. grup multiplikatyw tego pier±cienia i Z (F ) = Z(F ) \ {0 oraz C (a) =

5 C(a) \ {0 to zgodnie ze Stwierdzeniem 2 mamy,»e ilo± elementów sprz»onych z a w F jest równa qn. Ze Stwierdzenia 5 wynika,»e q da q a n. St d wnioskujemy,»e n > 2. Rzeczywi±cie gdyby n = 2 to q a = lub q a = 2. Równo± q a = jest niemo»liwa, bo wtedy C(a) = Z(F ), ale a C(a) i a Z(F ). Jak wcze±niej zauwa»yli±my druga równo± te» jest niemo»liwa. Poniewa» F = Z (F ) + q n q da, gdzie suma przebiega po pewnej ilo±ci klas. To z kolei daje nam równo± : (2) q n = q + q n q da. Ze Stwierdzenia 5 wynika,»e d a n, wi c f(x) = x n x da 5 jest wielomianem. We¹my wielomian F n (x) dany wzorem (). Jego pierwiastkami s wszystkie pierwiastki pierwotne stopnia n z, a to oznacza,»e F n (x) x n. Podobnie ka»dy pierwiastek wielomianu F n (x) jest pierwiastkiem wielomianu x n i nie jest pierwiastkiem wielomianu x da (bo w przeciwnym przypadku nie byªby pierwiastkiem pierwotnym z ). Zatem ka»dy pierwiastek wielomianu F n (x) jest pierwiastkiem wielomianu f(x), czyli równie» F n (x) f(x). Wynik dzielenia f(x) musi F n(x) by wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych bo wyraz wolny wielomianu F n (x) jest równy. Korzystaj c ze Stwierdzenia 4 wnioskujemy,»e F n (q) q n oraz F n (q) q n. Z równo±ci (2) otrzymujemy, q da»e F n (q) q, czyli w szczególno±ci F n (q) F n (q) q = q Z drugiej strony F n (q) = (q ε k ) i mamy q ε k q NWD(k,n)= ε k = q, i poniewa» wielomian F n (x) ma ϕ(n) > czynników to F n (q) (q ) ϕ(n) > (q ) co daje nam sprzeczno± z wcze±niej otrzyman nierówno±ci przeciwn. Uwagi historyczne Twierdzenie Wederburna zostaªo po raz pierwszy opublikowane przez szkockiego matematyka Josepha Wedderburna w 905 roku. Potem okazaªo si,»e jego dowód nie byª poprawny (zawieraª drobne uchybienie). Pierwszy poprawny dowód podaª niedªugo po pojawieniu si pracy Wedderburna Leonard Eugene Dickson, który prawdopodobnie nie wiedziaª,»e oryginalny dowód jest niepoprawny. Dowód tu podany pochodzi od niemieckiego matematyka Ernsta Witta. Literatura [] Amdruszkiewicz R., Wykªad monograczny dla studentów V roku roku matematyki Uniwersytetu w Biaªymstoku,

6 6 randrusz/monv/algebramon.pdf [ogl dane ]