Semestr letni 2014/15

Transkrypt

1 Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa pod Grunwaldem? W 1582 roku nast piªa zmiana kalendarza, tj. bezpo±rednio po 4 pa¹dziernika nast piªa data 15 pa¹dziernika, przy czym kolejno± dni tygodnia zostaªa zachowana. Oznacza to»e je±li 4 pa¹dziernika 1582 roku byªa ±roda, to 15 pa¹dziernika byª w czwartek. Przed zmian kalendarza ka»dy rok podzielny przez 4 byª przest pny. Po reformie, lata 1700 i 1900 nie byªy przest pne. 4. Zjazd gnie¹nie«ski odbyª si w niedziel pomi dzy 10. a 16. kwietnia roku Jaka byªa data zjazdu gnie¹nie«skiego? 5. Mówimy,»e liczba caªkowita s a jest dzielnikiem dokªadnym liczby t (s a t), je±li s a t, ale s a+1 t (a N. Udowodnij lub obal twierdzenie: p α a i p α b, to p α a + b dla dowolnych liczb caªkowitych a oraz b i liczby pierwszej p. 6. Udowodnij lub obal twierdzenie: Je»eli p α a oraz p β b, to p α+β ab. Mo»na tu skorzysta z faktu p s oraz p t p st Dla dowolnej liczby pierwszej p. 7. Niech n b dzie dodatni liczba nieparzyst. Udowodnij,»e istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio± mi dzy wszystkimi dzielnikami liczby n wi kszymi lub równymi n i wszystkimi parami liczb caªkowitych nieujemnych (s, t) takimi,»e n = s 2 t Ile dzielników ma liczba 945? Wypisz je oraz odpowiadaj ce im sposoby przedstawienia liczby 945 w postaci ró»nicy dwóch kwadratów liczb nieujemnych. 9. Udowodnij twierdzenie o podzielno±ci dla wielomanów, tj. poka»»e dla dowolnych wielomianów w(x) oraz v(x) 0 o wspóªczynnikach z pewnego ciaªa K, istniej wielomiany q(x) 0 oraz r(x), takie»e w(x) = q(x)v(x) + r(x) przy czym stopie«r(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu q(x). 10. Poka»,»e wykªadnik pot gi liczby pierwszej p, która jest dzielnikiem dokªadnym n!, jest równa [ ] [ ] [ ] n n n p p 2 p 3 Zauwa»,»e suma ta jest w istocie sko«czona. Znajd¹ pot gi liczb 2 i 5, które s dzielnikami dokªadnymi liczby 100!. 11. Dla ka»dej z nast puj cych par liczb znajd¹ ich NWD i przedstaw go w postaci kombinacji liniowej tych liczb. (a) 26, 19 (b) 187, 34 (c) 841, 190 (d) 2613, Dla ka»dej z nast puj cych par wielomianów nad zbiorem R znajd¹ ich NWD i przedstaw go w postaci kombinacji liniowej tych liczb. (a) x 2, x + 3 (b) x 3 x 2 + 2, x 2 1 (c) x 2 + 1, x 2 1 (d) 2x 3, x.

2 Wst p do arytmetyki modularnej zadania cd. 13. Dla zbioru liczb naturalnych poka»,»e nast puj cy algorytm znajduje d = NWD(a, b) w sko«czenie wielu krokach. 1 0 Je±li obie liczby a i b s parzyste, to przyjmujemy d = 2d, gdzie d = NWD(a/2, b/2). 2 0 Je»eli dokªadnie jedna z liczb a i b (powiedzmy a) jest parzysta, przyjmujemy d = d, gdzie d = NWD(a/2, b). 3 0 Je±li obie liczby s nieparzyste i ró»ne (na przykªad a > b), to przyjmujemy d = d, gdzie d = NWD(a b, b). 4 0 Powtarzamy kroki 1 0, 2 0, 3 0 a» dostaniemy a = b. Wtedy mamy d = a. 14. Wykorzystaj algorytm z poprzedniego zadania do znalezienia (2613, 2171) w systemie dwójkowym, tj. znajd¹ (( ) 2, ( ) 2 ). 15. Poka»,»e równanie 119x + 105y = 33 nie ma rozwi zania w zbiorze liczb caªkowitych. 16. Znajd¹ wszystkie rozwi zania równania 65x + 39y = Znajd¹ wszystkie rozwi zania równania 10x + 11y + 12z = Wyka»,»e ka»dy podzbiór liczb caªkowitych, który zawiera liczby 2 i 3 oraz sum i ró»nic dwóch liczb w nim zawartych, zawiera ka»d liczb caªkowit. 19. Poka»,»e je±li (x 0, y 0, z 0 ) jest rozwi zaniem równania x 2 + y 2 + z 2 = xyz, to 3 jest dzielnikiem x 0, y 0 i z Poka»,»e liczba 2047 nie jest pierwsza, natomiast jest. 21. Poka»,»e równanie x 2 + y = z 2 ma niesko«czenie wiele rozwi za«w liczbach caªkowitych. Wskazówka. Pobaw si z (2n 2 + 1) Znajd¹ najmniejsz liczb m, tak»e równanie 11x + 29y = m ma dokªadnie jedno rozwi zanie w zbiorze N N. 23. Znajd¹ najmniejsz liczb m, tak»e równanie 7x + 31y = m ma dokªadnie dwa rozwi zania w liczbach naturalnych.

3 Wst p do arytmetyki modularnej zadania 24. Diofantus byª przez 1 1 swego»ycia dzieckiem. Przez byª mªodzie«cem, a przez 6 12 nast pn 1 byª kawalerem. Pi lat po zawarciu zwi zku maª»e«skiego urodziª si syn, który 7 zmarª 4 lata przed ±mierci ojca osi gaj c w chwili ±mierci poªow lat, które prze»yª ojciec. Ile lat prze»yª Diofantus? 25. Na przyj ciu dla 41 osób byli obecni m»czy¹ni, kobiety i dzieci. Rachunek za przyj cie wyniósª 40 su. Ka»dy z m»czyzn zapªaciª 4 su, ka»da z kobiet 3 su, a ka»de z dzieci 1 su. Ile byªo m»czyzn, kobiet i dzieci na przyj ciu? Zaszyfruj LATYFUNDIUM kluczem RA oraz META, gdzie f(n) = n + k mod BA l, l = 2 lub, odpowiednio, l = (346) 8 zapisz w systemie o podstawie Wyprowad¹ cech podzielno±ci przez d, gdzie d jest dzielnikiem b + 1 w systemie o podstawie b. 29. Poka»,»e je±li p > 3 jest liczb pierwsz, to 24 p Jak cyfr mo»e si ko«czy iloczyn dwóch kolejnych dodatnich liczb nieparzystych w systemie o podstawie 12? Uzasadnij odpowied¹. 31. Jak cyfr mo»e si ko«czy iloczyn dwóch kolejnych dodatnich liczb nieparzystych w systemie o podstawie 11? Uzasadnij odpowied¹. 32. Poka»,»e dla dowolnej liczby b 2 i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej n > 1, liczba b n + 1 nie jest liczb pierwsz. 33. Udowodnij,»e je±li 2 n 1 jest liczb pierwsz, to n jest liczb pierwsz, a je±li 2 n + 1 jest liczb pierwsz, to n jest pot g dwójki. 34. Uzasadnij,»e istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych postaci 6k Zaªó»my,»e f(x) = a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0. Poka»,»e je±li a 0 ±1, to istnieje taka liczba caªkowita x,»e f(x) jest liczb zªo»on. 36. Zaªó»my,»e f(x) = a n x n + + a 1 x + 1, a n 0. Poka»,»e istnieje taka liczba caªkowita x,»e f(x) jest liczb zªo»on. Wskazówka. Je»eli f(a) = b dla pewnych a, b Z, poka»»e f(a + b) jest wielokrotno±ci liczby b. 37. Michaªowi cz sto zdarza si myli mno»enie i dzielenie oraz odejmowanie i dodawanie. Mimo to, dziaªania wykonuje poprawnie. Cz sto jednak wynik jest bª dny. Pewnego dnia, nauczycielka poleciªa Michaªowi pomno»y dwie liczby naturalne i od wyniku odj 60. Chocia» jak zwykle mu si pomieszaªo, to jednak ostateczny wynik byª prawidªowy. Ile to byªo? Podaj wszystkie mo»liwe odpowiedzi. 38. Oblicz ostatni cyfr liczby Poka»,»e je±li p jest liczb pierwsz oraz x 2 y 2 (mod p), to x y (mod p) lub x y (mod p). 40. Poka»,»e (mod 341). 41. Jaka jest 14 od ko«ca cyfra w 78!? Odpowied¹ uzasadnij. 42. Znajd¹ liczb n, która daje reszt 17 przy dzieleniu przez 29 oraz reszt 37 przy dzieleniu przez 78.

4 Wst p do arytmetyki modularnej zadania cd. 43. Rozwi» nast puj ce kongruencje modulo odpowiednie liczby. 11x 28 (mod 37) 42x 90 (mod 156) 44. Przypu± my,»e n oraz m s nieparzyste i nie dziel si przez 3. Poka»,»e 24 n 2 m Przypu± my,»e liczba m jest albo pot g p α liczby pierwszej p > 2, albo podwojon pot g nieparzystej liczby pierwszej. Udowodnij,»e je±li x 2 1 (mod m), to albo x 1 (mod m) albo x 1 (mod m). 46. U»yj Maªego Twierdzenia Fermata do obliczenia (a) mod 19; (b) mod 217, 217 = Poka»,»e jest podzielne przez Poka»,»e je»eli n 2 (mod 4), to 9 n + 8 n jest podzielna przez Wyznacz wszystkie warto±ci n, dla których 3 n + 2 n jest podzielne przez Poka»,»e 6 n 3 n dla dowolnej liczby naturalnej n. Czy 4 n 4 n dla ka»dej liczby naturalnej n? 51. Poka»,»e 5 n 5 n dla dowolnej liczby naturalnej n. Nast pnie poka»,»e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi te» relacja 30 n 5 n. 52. Wyznacz najwi ksz liczb naturaln k, tak»e zachodzi relacja k n 6 n dla ka»dej liczby naturalnej n. 53. Poka»,»e 2730 n 13 n. 54. Poka»,»e je±li p > 3 jest liczb pierwsz, to ab p ba p jest podzielna przez 6p. 55. Poka»,»e istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych postaci 8k Poka»,»e dla ustalonego r 3 istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych postaci 2 r k Poka»,»e w zbiorze wszystkich liczb pierwszych istniej,,dziury dowolnej dªugo±ci, tj. poka»,»e dla dowolnej liczby n, istnieje liczba m, taka»e liczby m + 1, m + 2,..., m + n s zªo»one. 58. Poka»,»e nieparzystych warto±ci n zachodzi ϕ(2n) = ϕ(n). Natomiast, gdy n jest liczba parzyst, to ϕ(2n) = 2ϕ(n). 59. Znajd¹ wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = Poka»,»e a 84 1 (mod 2205) dla dowolnej liczby a wzgl dnie pierwszej z Znajd¹ wszystkie liczby trzycyfrowe (w systemie dziesi tnym), które daj reszt 4 przy dzieleniu przez 7, 9 oraz Czy istnieje liczba trzycyfrowa, która przy dzieleniu przez liczby 2, 3,..., 9 daje reszt o jeden mniejsz od dzielnika? 63. Rozwi» nast puj cy ukªad kongruencji x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) x 4 (mod 5) x 2 (mod 7)

5 Wst p do arytmetyki modularnej zadania 64. Sprawd¹, czy poni»szy ukªad kongruencji ma rozwi zanie oraz (je±li tak) wska» najmniejsze dodatnie rozwi zanie. x 3 (mod 8) x 7 (mod 12) x 4 (mod 15) 65. W koszyku jest n jabªek. Je±li wyjmuje si je po 2,3,4,5 i 6 na raz, to w koszyku zostaje, odpowiednio, 1,2,3,4 i 5 jabªek. Je»eli wyjmujemy za ka»dym razem 7 jabªek, to w pewnym momencie kosz b dzie pusty. Zakªadaj c,»e w koszyku byªo wi cej ni» 200, ale mniej ni» 400 jabªek, znajd¹ liczb jabªek, które w nim byªy. 66. Trzech farmerów podzieliªo na trzy równe cz ±ci caªy ry», który zamierzali sprzeda. Nast pnie ka»dy z nich udaª si ze swoj cz ±ci na inny targ. Pierwszy poszedª na rynek, gdzie u»ywano 83funtowej wagi, drugi na rynek, gdzie u»ywano 110funtowej wagi, a trzeci na rynek gdzie u»ywano 135funtowej wagi. Ka»dy z farmerów sprzedaª tyle peªnych miar ry»u ile byªo mo»liwe, a po powrocie do domu okazaªo si,»e pierwszy przyniósª 32 funty ry»u, drugi 70 funtów, a trzeci 30. Ile byªo ry»u na pocz tku? 67. Znajd¹ wszystkie pary liczb caªkowitych (x, y), które speªniaj kongruencj 3x+7y 12 (mod 17). 68. Rozwi» kongruencj x 2 + 4x (mod 7 3 ). 69. Znajd¹ wszystkie liczby naturalne x, dla których ostatnie trzy cyfry liczby x 3 s takie same jak ostatnie trzy cyfry x. 70. Znajd¹ wszystkie rozwi zania ukªadu kongruencji 3x 1 (mod 5) 4x 6 (mod 14) 5x 11 (mod 3). 71. Znajd¹ wszystkie rozwi zania ukªadu kongruencji 4x 2 (mod 6) 3x 5 (mod 7) 2x 4 (mod 11). 72. Znajd¹ wszystkie rozwi zania ukªadu kongruencji x 2 1 (mod 3) x 2 4 (mod 5). 73. Rozwi» kongruencj x 2 + x (mod 121).

6 Wst p do arytmetyki modularnej zadania cd. 74. Poka»,»e je±li f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0, to k! f (k) (m) dla dowolnej liczby caªkowitej m. Tutaj f (k) (x) oznacza kt pochodn wielomianu f(x). 75. Znajd¹ wszystkie pierwiastki kongruencji x p 1 1 (mod p), gdzie p jest dowoln liczb pierwsz. 76. Poka»,»e 217 jest liczb pseudopierwsz przy podstawie 5. Czy jest to liczba Carmichaela? 77. Poka»,»e 1105 jest liczb pseudopierwsz przy podstawie 2 i 3. Czy jest to liczba Carmichaela? 78. Poka»,»e 341 nie jest liczb Carmichaela. 79. Poka»,»e ka»da zªo»ona liczba Fermata (tj. postaci 2 2k + 1) jest pseudopierwsza przy podstawie Tylko dla jednej z poni»szych liczb istnieje pierwiastek pierwotny modulo m. Dla której? m = 54 m = 682 m = 100 m = Znajd¹ wszystkie pierwiastki pierwotne modulo (a) 19; (b) 18; (c) Przypu± my,»e a ma rz d k modulo m. Ile elementów spo±ród 1, a, a 2,..., a k 1 ma rz d k? 83. Przypu± my,»e istnieje pierwiastek pierwotny modulo m. Poka»,»e kongruencja x 2 1 (mod m) ma dokªadnie dwa rozwi zania modulo m. 84. Przypu± my,»e g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo m. Dla jakich warto±ci a kongruencja x 2 a (mod m) ma rozwi zania. 85. Oblicz warto±ci nast puj cych logarytmów dyskretnych. (a) log 9 ( 1) modulo p, gdzie p jest dowoln liczb pierwsz wi ksz od 3, (b) log 2 35 modulo 37, (c) log modulo Poka»,»e dla dowolnych pierwiastków pierwotnych g, h oraz dowolnego elementu y Z n zachodzi log h y log h g log g y (mod ϕ(n)).