Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Transkrypt

1 Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009

2 Motywacje Dla dowolnej hierarchii (w sensie szybko±ci wzrostu) funkcji rekurencyjnych mo»emy, metod przek tniow, zdeniowa w arytmetyce now, jeszcze szybciej rosn c, funkcj rekurencyjn. Dla funkcji elementarnych 2 2 2n }nrazy, Dla funkcji pierwotnie rekurencyjnych funkcja Ackermanna.

3 Motywacje Dla dowolnej hierarchii (w sensie szybko±ci wzrostu) funkcji rekurencyjnych mo»emy, metod przek tniow, zdeniowa w arytmetyce now, jeszcze szybciej rosn c, funkcj rekurencyjn. Dla funkcji elementarnych 2 2 2n }nrazy, Dla funkcji pierwotnie rekurencyjnych funkcja Ackermanna. Twierdzenie Wainera ogranicza mo»liwo± wyboru funkcji interesuj nas jedynie dowodliwie caªkowite w PA. Ka»d z takich funkcji rekurencyjnych dominuje pewna funkcja z hierarchii Hardy'ego.

4 Motywacje Dla dowolnej hierarchii (w sensie szybko±ci wzrostu) funkcji rekurencyjnych mo»emy, metod przek tniow, zdeniowa w arytmetyce now, jeszcze szybciej rosn c, funkcj rekurencyjn. Dla funkcji elementarnych 2 2 2n }nrazy, Dla funkcji pierwotnie rekurencyjnych funkcja Ackermanna. Twierdzenie Wainera ogranicza mo»liwo± wyboru funkcji interesuj nas jedynie dowodliwie caªkowite w PA. Ka»d z takich funkcji rekurencyjnych dominuje pewna funkcja z hierarchii Hardy'ego. Szukamy funkcji najwolniej rosn cych deniowalnych w modelach sko«czonych. f (n) = m df N n+1 ϕ(max, m) (jako odwrotno±ci funkcji szybko rosn cych).

5 Motywacje Dla dowolnej hierarchii (w sensie szybko±ci wzrostu) funkcji rekurencyjnych mo»emy, metod przek tniow, zdeniowa w arytmetyce now, jeszcze szybciej rosn c, funkcj rekurencyjn. Dla funkcji elementarnych 2 2 2n }nrazy, Dla funkcji pierwotnie rekurencyjnych funkcja Ackermanna. Twierdzenie Wainera ogranicza mo»liwo± wyboru funkcji interesuj nas jedynie dowodliwie caªkowite w PA. Ka»d z takich funkcji rekurencyjnych dominuje pewna funkcja z hierarchii Hardy'ego. Szukamy funkcji najwolniej rosn cych deniowalnych w modelach sko«czonych. f (n) = m df N n+1 ϕ(max, m) (jako odwrotno±ci funkcji szybko rosn cych). Chcemy znale¹ odpowiednik twierdzenia Wainera w sko«czonych modelach, by móc zbudowa hierarchi funkcji szybko (wolno) rosn cych deniowalnych w modelach sko«czonych.

6 Podstawowe denicje Posta normalna Cantora Dowoln liczb porz dkow λ < ε 0 mo»na zapisa w nast puj cej postaci: λ = ω λ 1 + ω λ ω λm, gdzie λ > λ 1 λ 2 λ m 0. {λ}(n) Niech λ < ε 0 oraz n ω. λ = β + ω λm. β + ω λm 1 n {λ}(n) = β + ω {λm}(n) gdy λ m jest nast pnikiem, gdy λ m graniczna.

7 Podstawowe denicje Ci g Hardy'ego H 0 (x) = x, H α+1 = H α (x + 1), H λ (x) = H {λ}(x) (x), dla λ granicznej. Przykªady H n (x) = x + n, H ω (x) = 2x, H ω 2 (x) = 4x, H ω n (x) = 2 n x, H ω α n(x) = H (n) ω α (x).

8 Sformuªowanie twierdzenia Wainera Twierdzenie Wainera Niech f ω ω b dzie funkcj rekurencyjn i niech F (x, y) b dzie Σ 1 -formuª reprezentuj c f. Je»eli PA x!yf (x, y), to istniej α < ε 0 oraz n 0 ω takie,»e dla dowolnego x n 0 zachodzi f (x) H α (x).

9 Poj cia pomocnicze Aproksymacje sko«czonych funkcji Niech f ω ω b dzie funckj cz ±ciow o sko«czonej dziedzinie i niech S ω. Mówimy,»e S jest aproksymacj f, je»eli: x S {max S} y < x 2(y domf f (y) < x + f (y) max S) A k n(s) Niech S b dzie zbiorem sko«czonym. Przez A k n(s) oznaczamy nast puj c wªasno± : f 1 S 1 S f 2 S 2 S 1... f n S n S n 1 ( n S i jest aproksymacj f i cards n > k) i=1 ω k n, I (a, b) Przez ω k n oznaczamy {ω n+1}(k), Przez I (a, b) oznaczamy kod zbioru {x a x b}.

10 Sformuªowanie lematu 1 Lemat 1 Niech a, b ω, a > 0. Je»eli H ω k n (a) < b, to: N A k n[i N (a, b)]

11 Uogólnienie ci gów Hardy'ego Denicja Niech S ω. Dla x S deniujemy: H S 0 (x) = x H S 1 (x) = x + H S α+1 (x) = H S α(h S 1 (x)), dla α < ε 0 H S λ (x) = H S {λ}(x) (x), dla λ < ε 0 granicznej. Lewa strona okre±lona jest tam, gdzie prawa strona jest okre±lona. Wielko± zbioru Powiemy,»e zbiór S jest wielko±ci α je»eli S oraz H S α(min S) = max S.

12 Uwagi pomocnicze Uwaga 1 Niech S 1 S 2 b d takie,»e S 1 jest przedziaªem w S 2, czyli S 1 = S 2 [a, b]. Wtedy H S 1 α = H S 2 α S 1, dla α < ε 0. = Hα ω [a, b] = H α [a, b]. H [a,b] α Uwaga 2 Niech S b dzie zbiorem wielko±ci ω α+1, f funkcj o sko«czonej dziedzinie. Zaªó»my,»e min S = a 0 > 0. Wtedy istnieje a S oraz S S takie,» min S = a, S jest wielko±ci ω α oraz x < a 0 2(x domf f (x) < a f (x) max S )

13 Uwagi pomocnicze 2 Uwaga 2 Niech S b dzie zbiorem wielko±ci ω α+1, f funkcj o sko«czonej dziedzinie. Zaªó»my,»e min S = a 0 > 0. Wtedy istnieje a S oraz S S takie,» min S = a, S jest wielko±ci ω α oraz x < a 0 2(x domf f (x) < a f (x) max S ) Dowód: Niech S ω wielko±ci ω α+1, min S > 0. Oznaczmy a 0 = min S, b 0 = max S. Mamy H S ω α+1 (a 0 ) = b 0. Zatem H S ω α a 0 (a 0 ) = b 0. Lewa strona równa si (H S ω α)(a 0) (a 0 ) a 0 -krotnej iteracji funkcji H S ω α. Niech a k = (H S ω α)(k) (a 0 ), dla k = 0,..., a 0. Mamy a 0 < a 1 < < a a0 b 0, poniewa» a 0 > 0, ω α > 0.

14 Dowód uwagi 2 ci g dalszy Zauwa»my,»e obraz przedziaªu [0, a 0 3] przy f ma co najwy»ej a 0 2 elementy. Dla j 1 w±ród przedziaªów [a j, a j+1 ) jest zatem taki, który nie zawiera warto±ci f (x) dla x < a 0 2. Niech b dzie to [a j0, a j0 +1). Niech a = a j0, S = S [a j0, a j0 +1]. Mamy Hω S α(a j 0 ) = Hω S α(a j 0 ) = a j0 +1. Na mocy uwagi 1 wielko± S wynosi ω α. Je»eli x < a 0 2 i x domf, to f (x) / [a j0, a j0 +1), wi c f (x) < a j0 lub f (x) a j0 +1 = max S. Zatem a i S speªniaj» dane warunki.

15 Kluczowa uwaga Uwaga 3 Je»eli S jest zbiorem wielko±ci ω α, min S > 0 oraz f jest funkcj o sko«czonej dziedzinie, to istnieje S S taki,»e S ma wielko± α, S jest aproksymacj dla f oraz min S = min S. Dowód: Stosujemy indukcj wzgl dem α. Krok bazowy: Niech α = 0 i S wielko±ci ω α = 1. Ustalmy funkcj f o ko«czonej dziedznie. Wtedy S = {a 0, a 1 } oraz S = {a 0 } jest aproksymacj dla f.

16 Dowód uwagi 3 ci g dalszy Krok niegraniczny: Zaªó»my,»e S jest wielko±ci ω α+1 i f funkcja o sko«czonej dziedzinie. Niech a 1 S i S S otrzymane z uwagi 2, czyli S wielko±ci ω α, min S = a 1 oraz x < a 1 2(x domf f (x) < a f (x) max S ). Na mocy zaªo»enia indukcyjnego mamy S S wielko±ci α taki,»e min S = min S = a 1 oraz S jest aproksymacj dla f. Poka»emy,»e {a 0 } S jest szukan aproksymacj dla f mocy α + 1, gdzie a 0 = min S.

17 Dowód uwagi 3 ci g dalszy Mamy min({a 0 } S ) = a 0 = min S. Zaªó»my,»e S = {a 1,... a n }, wtedy mamy: H {a 0} S α+1 (a 0 ) = H {a 0} S α (H {a 0} S 1 (a 0 )) = H {a 0 S } α (a 1 ) = Hα S (a 1 ) = a n. Wi c {a 0 } S jest wielko±ci α + 1. Niech teraz a {a 0 } S, a < max({a 0 } S ), x < a 2. Je±li a = a j, dla j 1, to f (x) < a j+1 lub f (x) max S. Je»eli a = a 0, to f (x) < a 1 lub f (x) max S. wi c {a 0 } S jest szukan aproksymacj f.

18 Dowód uwagi 3 ci g dalszy Krok graniczny: Niech α graniczna i zaªó»my,»e dla β < α uwaga zachodzi. Niech S b dzie wielko±ci ω α, a 0 = min S i niech f ustalona. Wtedy S jest wielko±ci ω {α}(a 0) poniewa» max S = H S ω α(a 0) = H S ω {α}(a 0 ) (a 0 ). Z zaªo»enia indukcyjnego mamy S S wielko±ci {α}(a 0 ) taki,»e min S = a 0 i S jest aproksymacj f. Wtedy S jest wielko±ci α poniewa» H S α(a 0 ) = H S {α}(a 0 ) (a 0) = max S. Zatem S ma» dane wªasno±ci. Co ko«czy dowód.

19 Dowód Lematu 1 Niech a, b ω, a > 0. Je»eli H ω k n (a) < b, to: N A k n[i N (a, b)] Dowód: Zaªó»my,»e a > 0 i H ω k n (a) < b. Niech S = [a, H ω k n (a)] [a, b]. Wtedy S jest wielko±ci ω k n. Ustalmy f. Na mocy uwagi 1 mamy S S wielko±ci ωn 1 k, który jest aproksymacj dla f. Iteruj c t procedur n razy dostajemy: f 1 S 1 [a, b] f 2 S 2 S 1... f n S n S n 1 (( n S i jest aproksymacj f i ) i=1 ( n S i jest wielko±ci ω k n i (S n jest wielko±ci k)). i=1 Zatem A k n([a, b]).

20 Lemat 2 Lemat 2 Niech f i F b d jak w zaªo»eniu twierdzenia Wainera (f dowodliwie caªkowita w PA funkcja rekurencyjna, F Σ 1 formuªa reprezentuj ca j ). Zaªó»my,»e dla ka»dej pary n, k ω mamy: N x y[a k n(i (x, y)) F (x, y)]. Wtedy istnieje model M PA oraz a, b M takie,»e M N, M F [a, b] oraz dla dowolnych n, k ω M A k n[i M (a, b)]. Dowód: Ustalmy n, k ω. Mamy N x y(f (x, y) n,k n,k A k n (I (x, y)). Niech T nast puj ca teoria w j zyku PA {a, b}: Th(N ) {F (a, b)} {A k n(i (a, b)) n, k ω}. Poniewa» ka»dy sko«czony fragment teorii T ma model (< N ; a, b >, dla stosownie wybranych a, b ω), to równie» T ma model < M; a, b >. To ko«czy dowód.

21 Lemat 3 Lemat 3 Je»eli M PA, M N, a, b M, M przeliczalny oraz M A k n[i M (a, b)] dla wszystkich n, k ω, to istnieje odcinek I M taki,»e I PA, a I oraz b M I.

22 Szkic dowodu lematu 3 Denicja Niech M PA i niech I M odcinek w M. Mówimy,»e I jest mocny w M, je»eli dla ka»dej funkcji f M M deniowalnej w M istnieje e M I takie,»e dla x I zachodzi f (x) I lub f (x) e w modelu M. Szkic dowodu Pokazujemy,»e je»eli a, b M speªniaj zaªo»enia lematu, to istnieje I M mocny w M taki,»e a I oraz b M I. Nast pnie pokazujemy,»e je»eli odcinek jest mocny, to jest on uniwersum dla modelu PA i I M.

23 Dowód twierdzenia Wainera Dowód: Niech f dowodliwie rekurencyjna w PA funkcja rekurencyjna oraz F Σ 1 formuªa reprezentuj ca f. Przypu± my,»e dla n, k ω istnieje x ω takie,»e w modelu standardowym mamy x > 0 oraz f (x) > H ω k n (x). Z lematu 1 otrzymujemy N x y[a k n(i (x, y)) F (x, y)]. Na mocy lematu 2 otrzymujemy taki model M arytmetyki PA oraz a, b M,»e N M, M F (a, b) i dla dowolnych m, k ω M A k n[i M (a, b)]. Poniewa» M N zachodzi M x yf (x, y). Na mocy lematu 3 otrzymujemy odcinek I M taki,»e I PA, a I oraz b M I. Poniewa» PA x yf (x, y), to I yf [a/x]. Niech b I takie,»e I F (a, b ). Poniewa» F (x, y) jest Σ 1 -formuª i I M mamy równie» M F (a, b ). Ale M F (a, b) i b b poniewa» b / I i b I. Jednak z zaªo»enia o dowodliwej caªkowito±ci f mamy M x!yf (x, y). Sprzeczno±.

24 Zoa Adamowicz, Paweª Zbierski Logika Matematyczna. str

25 Dzi kuj za uwag