Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Transkrypt

1 Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r.

2 Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj kwadratow.

3 Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj kwadratow. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

4 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie:

5 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac

6 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

7 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a

8 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a gdy = 0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe x 0 = b 2a

9 Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a gdy = 0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe x 0 = b 2a gdy < 0, to funkcja nie posiada rzeczywistych miejsc zerowych.

10 Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a paraboli s wspóªrz dnymi wierzchoªka

11 Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a paraboli posta iloczynowa: s wspóªrz dnymi wierzchoªka

12 Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 )

13 Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) je±li = 0, to f (x) = a(x x 0 ) 2

14 Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) je±li = 0, to f (x) = a(x x 0 ) 2 je±li < 0, to posta iloczynowa nie istnieje

15 Troch teorii Wzory Viete'a: je»eli > 0, to x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a

16 Wierzchoªek paraboli o równaniu y = x 2 + 4x le»y na prostej o równaniu: y = x y = x y = 2x y = 4x

17 Wierzchoªek paraboli o równaniu y = x 2 + 4x le»y na prostej o równaniu: y = 2x

18 Wykresem funkcji f (x) = (6 2a)x 2 + 4x 8 jest parabola o ramionach skierowanych w dóª gdy: a (, 3 2) a (, 0) a ( 3 2, ) a (3 2, )

19 Wykresem funkcji f (x) = (6 2a)x 2 + 4x 8 jest parabola o ramionach skierowanych w dóª gdy: a (3 2, )

20 Wierzchoªek paraboli y = 2x 2 + bx + 1 le»y poni»ej osi OX dla: b (, 2 2) (2 2, + ) b (, 2) (2, ) b ( 2, 2) b (1, 2)

21 Wierzchoªek paraboli y = 2x 2 + bx + 1 le»y poni»ej osi OX dla: b (, 2 2) (2 2, + )

22 Wska» nierówno±, któr speªnia ka»da liczba rzeczywista: 6x 2 + x + 1 > 0 1x 2 1x + 1 > x 2 3x x 2 100x

23 Wska» nierówno±, któr speªnia ka»da liczba rzeczywista: 6x 2 + x + 1 > 0

24 Nierówno± (3x + 1) 2 + (x 2) 2 < 5 jest speªniona przez pewn liczb : caªkowit nieujemn caªkowit ujemn niewymiern nieujemn wymiern ujemn

25 Nierówno± (3x + 1) 2 + (x 2) 2 < 5 jest speªniona przez pewn liczb : wymiern ujemn

26 Pole trójk ta prostok tnego jest równe 30 cm 2. Jedna przyprostok tna jest o 7 cm dªu»sza od drugiej. Przeciwprostok tna tego trójk ta ma dªugo± : 8 cm 10 cm 13 cm 15 cm

27 Pole trójk ta prostok tnego jest równe 30 cm 2. Jedna przyprostok tna jest o 7 cm dªu»sza od drugiej. Przeciwprostok tna tego trójk ta ma dªugo± : 13 cm

28 Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f (x) = (2x + 1)(x 2) w przedziale 2, 2.

29 Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f (x) = (2x + 1)(x 2) w przedziale 2, 2. Odpowied¹: min= 25 8, max=12

30 Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których równanie x 2 + mx + 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest wi ksza od 2m 2 13.

31 Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których równanie x 2 + mx + 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest wi ksza od 2m Odpowied¹: m ( 3, 2 2) (2 2, 3)

32 Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: gdzie a R oraz n N ax n

33 Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: ax n gdzie a R oraz n N Wielomanem nazywamy sko«czon sum jednomianów, tzn. W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie a n,..., a 1, a 0 R oraz n N

34 Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: ax n gdzie a R oraz n N Wielomanem nazywamy sko«czon sum jednomianów, tzn. W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie a n,..., a 1, a 0 R oraz n N Stopie«wielomianu warto± najwy»szej pot gi przy x

35 Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego,

36 Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0,

37 Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0, Wielomian W dzielimy przez wielomian Q. Otrzymujemy wtedy: W (x) = P(x) Q(x) + R(x) gdzie wielomian P jest wynikiem dzielenia, a wielomain R jest reszt. Dodatkowo reszta R jest stopnia mniejszego ni» dzielna Q.

38 Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0, Wielomian W dzielimy przez wielomian Q. Otrzymujemy wtedy: W (x) = P(x) Q(x) + R(x) gdzie wielomian P jest wynikiem dzielenia, a wielomain R jest reszt. Dodatkowo reszta R jest stopnia mniejszego ni» dzielna Q. Twierdzemnie Bezout. Wielomian W dzieli si przez wielomian (x a) wtedy i tylko wtedy gdy W (a) = 0.

39 Wielomian W (x) = (2 x)(2 + x)(4 + x 2 ) jest równy wielomianowi: (4 x 2 ) 2 + 8x 2 (4 + x 2 ) 2 2x 4 (4 x 2 ) 2 + 8x 2 + 2x 4 (4 x 2 ) 2 8x 2 2x 4

40 Wielomian W (x) = (2 x)(2 + x)(4 + x 2 ) jest równy wielomianowi: (4 x 2 ) 2 8x 2 2x 4

41 Ile pierwiastków b d cych liczbami nieujemnymi ma wielomian 1 2 x 3 8x = 0?

42 Ile pierwiastków b d cych liczbami nieujemnymi ma wielomian 1 2 x 3 8x = 0? 2

43 Ile pierwiastków równania x 3 = 1 2 x nale»y do przedziaªu 1 2, 1 2?

44 Ile pierwiastków równania x 3 = 1 2 x nale»y do przedziaªu 1 2, 1 2? 1

45 Wielomianem, który dla x > 3 2 2x 3 jest: 8x x x 3 12x x 27 8x 3 36x x 27 opisujeobj to± sze±cianu o kraw dzi

46 Wielomianem, który dla x > 3 2 2x 3 jest: opisujeobj to± sze±cianu o kraw dzi 8x 3 36x x 27

47 Rozwi» równanie: x 3 7x 2 4x + 28 = 0

48 Rozwi» równanie: x 3 7x 2 4x + 28 = 0 Odpowied¹: 2,-2,7

49 Reszta z dzielenia wielomianu W przez x 3 jest równa 14, a reszta z dzielenia W przez x + 2 wynosi 4. Oblicz reszt z dzielenia W przez x 2 x 6.

50 Reszta z dzielenia wielomianu W przez x 3 jest równa 14, a reszta z dzielenia W przez x + 2 wynosi 4. Oblicz reszt z dzielenia W przez x 2 x 6. Odpowied¹: 2x + 8

51 Wyznacz warto±ci parametru m R, dla których równaie (m + 1)x 4 (m + 1)x 2 + 4m = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki.

52 Wyznacz warto±ci parametru m R, dla których równaie (m + 1)x 4 (m + 1)x 2 + 4m = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki. Odpowied¹: m (0, 1 15 )

53 Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0

54 Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola

55 Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty:

56 Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty: pionow x = d c

57 Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty: pionow x = d c poziom y = a c

58 Je±li do wykresu funkcji f (x) = a x nale»y punkt ( 2, 9), to liczba 3 punktów o obu wspóªrz dnych caªkowitych, które nale» do wykresu tej funkcji, jest równa:

59 Je±li do wykresu funkcji f (x) = a x nale»y punkt ( 2, 9), to liczba 3 punktów o obu wspóªrz dnych caªkowitych, które nale» do wykresu tej funkcji, jest równa: 8

60 Liczba 2 jest pierwiastkiem równania: x 5 = x+1 x 4 x x+1 x = x+3 x+1 x x 1 = x 2x 1 x+2 2x+1 = 2 x+1

61 Liczba 2 jest pierwiastkiem równania: x 5 = x+1 x 4 x

62 Mianownik uªamka jest o 3 wi kszy od jego licznika. Gdyby licznik i mianownik tego uªamka zmniejszy o 2, to uªamek ten byªby równy 0,5. Suma licznika i mianownika tego uªamka jest równa:

63 Mianownik uªamka jest o 3 wi kszy od jego licznika. Gdyby licznik i mianownik tego uªamka zmniejszy o 2, to uªamek ten byªby równy 0,5. Suma licznika i mianownika tego uªamka jest równa: 13

64 Samochód przejechaª 8 km drog plon z pr dko±ci v, a nast pnie 32 km szos, z pr dko±ci v + 60 km/h. Oblicz v, je»eli ka»dy odcienk drogi przebyª w takim samym czasie.

65 Samochód przejechaª 8 km drog plon z pr dko±ci v, a nast pnie 32 km szos, z pr dko±ci v + 60 km/h. Oblicz v, je»eli ka»dy odcienk drogi przebyª w takim samym czasie. Odpowied¹: 20 km/h

66 W dwóch hotelach wybudowano prostok tne baseny. Besen w pierwszym hotelu ma powierzchni 240 m 2. Besen w drugim hotelu ma powierzchni 350 m 2 i jest o 5 m dªu»szy i o 2 m szerszy ni» basen w pierwszym hotelu. Oblicz wymiary obu basenów..

67 W dwóch hotelach wybudowano prostok tne baseny. Besen w pierwszym hotelu ma powierzchni 240 m 2. Besen w drugim hotelu ma powierzchni 350 m 2 i jest o 5 m dªu»szy i o 2 m szerszy ni» basen w pierwszym hotelu. Oblicz wymiary obu basenów.. Odpowied¹: 30 8 i 35 10, lub i 25 14

68 Znajd¹ zbiór A B : A = {x R: x + 10 x < 3} B = {x R: x x 2 x 4 8x}