i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

Transkrypt

1 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl fulmanp.pdf 5 kwietnia 2017

2 Table of contents 1 Algebra Boole'a 2 Bramki 3 Liczby dwójkowe 4 Sumator 1-bitowy

3 Algebra Boole'a Denicja Niech b dzie dana szóstka uporz dkowana T = (B, AND, OR, NOT, 0, 1), gdzie B pewien zbiór, AND ( ) oraz OR (+) dwa binarne operatory (dziaªania) okre±lone na elementach zbioru B, NOT (linia nad symbolem, jak np. x) unarny operator (dziaªanie) okre±lone na elementach zbioru B, 0, 1 dwa wyró»nione elementy ze zbioru B.

4 Algebra Boole'a Denicja Dla dowolnych elementów a, b oraz c nale» cych do B okre±lamy nast puj cy zbiór aksjomatów A a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c ª czno± a + b = b + a a b = b a przemienno± a + (a b) = a a (a + b) = a pochªanianie a + 0 = a a 1 = a identyczno± a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) rozdzielno± a + a = 1 a a = 0 dopeªnienie

5 Algebra Boole'a Konsekwencje twierdzenia Z podanych powy»ej aksomatów mo»na wyprowadzi wiele ró»nych twierdze«, z których jednym z najpowszechniej u»ywanych s prawa De Morgana x + y = x y x y = x + y

6 Algebra Boole'a Dwuelementowa algebra Boole'a Z informatycznego punktu widzenia istotna dla nas jest najprostsza algebra Boole'a, tzn. tak, w której zbiót B jest dwuelementowy a wi c skªada si tylko z elementów 0 i 1. Na podstawie podanych wcze±niej aksjomatów mo»na wyprowadzi zbiór reguª charakteryzuj cych operacje AND, OR oraz NOT. Zwykle reguªy te zapisujemy w postaci tzw. tabel prawdy a b AND(a, b) OR(a, b) NOT(a)

7 Algebra Boole'a Dlaczego to nas interesuje? Algebra Boole'a ma zastosowania w logice, gdzie 0 mo»emy interpretowa jako FAŠSZ (FALSE), 1 za± jako PRAWD (TRUE). Dwuprzedmiotowa algebra Boole'a jest równie» wykorzystywana do projektowania obwodów w elektrotechnice. W takim przypadku 0 i 1 reprezentuj dwa ró»ne stany jednego bitu w obwodzie cyfrowym, zazwyczaj wysokie i niskie napi cie. Obwody s opisywane przez wyra»enia zawieraj ce zmienne, a dwa takie wyra»enia s równe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich warto±ci zmiennych, odpowiednie obwody generuj takie same sygnaªy wyj±ciowe. Ponadto, ka»dy mo»liwy zwi zek pomi dzy wej±ciem a wyj±ciem mo»e by modelowany przez odpowiednie wyra»enie boolowskie. To sprawia,»e algebra Boole'a jest idealnym narz dziem, które mo»emy wykorzysta podczas projektowania obwodów logicznych.

8 Bramki Cho funkcje logiczne AND, OR, NOT uwa»ane s za podstawowe, to w praktyce w informatyce wykorzystuje si tak»e, a cz sto przede wszystkim, inne tj. NAND, NOR, XOR. W elektronice powy»sze funkcje logiczne implementowane s za pomoc bramek Maj c okre±lony schemta logiczny (sposób poª czenia bramek ze sob ) bez trudu mo»na okre±li stan wyj± ukªadu w odpowiedzi na okre±lon kombinacj sygnaªow wej±ciowych.

9 Bramki Zwi zek wej±cia z wyj±ciem Przyjrzyjmy si jak reaguje ukªad nazywany komparatorem

10 Liczby dwójkowe

11 bit przeniesienia ===== ===== ===== ====== Dodawanie liczb dwójkowych

12 Dodawanie liczb dwójkowych troch praktyki bit przeniesienia ===== ===== ===== ====== ================== =========

13 Sumator 1-bitowy Ukªad realizuj cy dodawanie dwóch cyfr dwójkowych na jednej pozycji w liczbie dwójkowej. c in x y value c out

14 Sumator 1-bitowy Model dziaªania

15 Sumator 1-bitowy Schemat

16 Sumator 1-bitowy Symulacja

17 Sumator 1-bitowy Realny ukªad