Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Transkrypt

1 Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n jest parzyste; g(n) = 3n + 1, w przeciwnym przypadku. g(n) = if (n jest parzyste) then n/2 else 3n + 1. Denicja implicite: h(n) = ım:n. (3 m n) (n < 3 (m + 1)) f : A ozcza,»e f jest funkcj z A do. (Ka»demu a A przypisane jest dokªadnie jedno f (a).) A lub A ozcza zbiór wszystkich funkcji z A do. f : A ozcza,»e f jest funkcj cz ±ciow z A do. (Niektórym a A przypisane s f (a).) Dziedzi funkcji Dom(f ) = {x A f (x) jest okre±lone} (Je±li f : A, to Dom(f ) = A.)

2 Równo± funkcji Funkcje Dla f, g : A, f = g wtedy i tylko wtedy, gdy x :A. f (x) = g(x); f g wtedy i tylko wtedy, gdy x :A. f (x) g(x). Zbiór warto±ci funkcji f : A to zbiór Rg(f ) = {y x A. f (x) = y} Je±li f : A, to Dom(f ) = A oraz Rg(f ). Wykres funkcji: W(f ) = { x, y f (x) = y} Obci cie funkcji f : A do podzbioru C A, to taka funkcja f C : C,»e f C (a) = f (a) dla a C. Funkcje o tym samym wykresie s równe. Wtedy Dom(f C ) = C. f : A wiczenie Funkcja ró»nowarto±ciowa (injekcja), ozn. f : A x, y A (x y f (x) f (y)) x, y A (f (x) = f (y) x = y) Funkcja (surjekcja), ozn. f : A y x A (f (x) = y) = Rg(f ) Funkcja ró»nowarto±ciowa i, to bijekcja (f : A ). Niech f : P(N) P(N) P(N) b dzie taka,»e f ( C, D ) = C D, dla dowolnych C, D N. Czy funkcja f jest ró»nowarto±ciowa? Odpowied¹: Nie, bo przykªad f ( {0}, {1} ) = = f ( {2}, {1} ). Czy funkcja f jest P(N)? Odpowied¹: Tak, bo dla dowolnego A P(N) mamy A = f ( A, A ).

3 wiczenie: Niech ϕ : P(A ) P(A), gdzie: ϕ( )(b) = {a A a, b }, dla dowolnego P(A ) i dowolnego b. Pokaza,»e ta funkcja jest ró»nowarto±ciowa. Rozwi zanie: Dla Σ ma zachodzi ϕ( ) ϕ(σ). Niech wi c Σ. Co to zczy? e istnieje para x, y le» ca do Σ, lub para x, y le» ca do Σ. Przypu± my,»e zachodzi pierwszy przypadek (drugi jest podobny). Mamy pokaza,»e ϕ( ) ϕ(σ). Co to zczy? Trzeba wskaza takie b,»eby ϕ( )(b) ϕ(σ)(b). Na to wystarczy wskaza takie a,»e a, b, ale a, b Σ. Wystarczy przyj b = y i a = x. wiczenie: Niech ϕ : P(A ) P(A), gdzie: ϕ( )(b) = {a A a, b }, dla dowolnego P(A ) i dowolnego b. Pokaza,»e ta funkcja jest P(A). Rozwi zanie: Ka»dy element zbioru P(A) ma by warto±ci funkcji ϕ. Elementy zbioru P(A) to funkcje z do P(A). Rozpatrzmy wi c dowoln funkcj F : P(A). Szukamy takiego zbioru,»e F = ϕ( ). Czyli takiego,»e F (b) = ϕ( )(b), dla dowolnego b. Iczej, F (b) = {a A a, b }. Nale»y wybra = { a, b a F (b)}. Wtedy: F (b) = {a A a F (b)} = {a A a, b }. Funkcja odwrot do f : A Wtedy f 1 (y) = ıx A. f (x) = y. f 1 (y) = x f (x) = y. to funkcja f 1 : A W szczególno±ci f 1 (y) jest okre±lone dla y Rg(f ), i przyjmuje wszystkie warto±ci w zbiorze Dom(f ): f 1 : Rg(f ) Dom(f ). Funkcja odwrot jest ró»nowarto±ciowa, bo je±li f 1 (y) = f 1 (z) = x, to y = f (x) = z. Ostatecznie: f 1 : Rg(f ) Dom(f ). f 1 : Rg(f ) Dom(f ) Wniosek: Je±li f : A, to f 1 : Rg(f ) A. (bo wtedy Dom(f ) = A) Je±li f jest bijekcj z A do to f 1 jest bijekcj z do A. (bo wtedy Rg(f ) = ).

4 Zªo»enie funkcji Niech f : A oraz g : C. Zªo»eniem funkcji f i g zywamy funkcj g f : A C okre±lon równiem (g f )(x) = g(f (x)). Zªo»enie funkcji Niech f : A oraz g : C. Zªo»eniem funkcji f i g zywamy funkcj g f : A C okre±lon równiem (g f )(x) = g(f (x)). Fakt 1) Je±li f : A, g : C i h : C D, to h (g f ) = (h g) f. 2) Je±li f : A, to f 1 f = id A oraz f f 1 = id. 3) Je±li f : A, to f id A = f = id f. Fakt 1) Je±li f : A oraz g : C to g f : A C. 2) Je±li f : A oraz g : C to g f : A C. Sumowanie funkcji Funkcje f, g s zgodne, gdy f (x) = g(x), dla dowolnego x Dom(f ) Dom(g). Je±li f i g s zgodne, to ma sens denicja { f (x), je±li x Dom(f ); h(x) = g(x), je±li x Dom(g). Funkcj t zywamy sum funkcji f i g. Obraz podzbioru C A przy przeksztaªceniu f : A A f f (C) C 3 f (C) = {f (a) a C}.

5 Obraz Niech f : A. Obraz zbioru C A przy przeksztaªceniu f to zbiór f (C) = {b a Dom(f ) (a C f (a) = b)}. Iczej: f (C) = {f (a) a C}. Inne ozczenia obrazu: f (C), f [C]. Przeciwobraz D przy przeksztaªceniu f : A A f 1 (D) f 3 D f 1 (D) = {a A a Dom(f ) f (a) D} Przeciwobraz wiczenie Niech f : P(N) P(N) P(N) b dzie taka,»e f ( C, D ) = C D, dla dowolnych C, D N. Przeciwobraz zbioru D przy f : A to zbiór: f 1 (D) = {a A a Dom(f ) f (a) D}. Uwaga: Ozczenie f 1 (D) mo»e by dwuzczne (?) Zle¹ przeciwobraz f 1 ({N}). Rozwi zanie: f 1 ({N}) = { C, D f ( C, D ) {N}} = { C, D C D = N} = { N, N }

6 wiczenie Produkt uogólniony Niech f : P(N) P(N) P(N) b dzie taka,»e f ( C, D ) = C D, dla dowolnych C, D N. Zle¹ obraz f (P(Parz) P(Parz)). Rodzi indeksowa {A t } t T podzbiorów D, to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Rozwi zanie: Niech L = f (P(Parz) P(Parz)). L = {f (C, D) C, D P(Parz) P(Parz)} = {C D C Parz D Parz} Produkt uogólniony rodziny indeksowanej {A t } t T podzbiorów D, to zbiór t T A t = {f :T D t T.f (t) A t } = P(Parz) f t T A t Dom(f ) = T t T. f (t) A t. Istotnie: Je±li C, D Parz, to C D Parz, zatem L P(Parz). Je±li E Parz, to E = E E, zatem P(Parz) L. Uwaga: Je±li A t = A, dla wszystkich t T, to t T A t = A T. wiczenie Zbiory t T A t t i t T A t t T t s takie same. Zbiory t T A t t i t T A t t T t niekoniecznie. Na przykªad dla T = N, A t = {0}, t = {1}, do pierwszego produktu le» wszystkie ci gi zerojedynkowe, do drugiego tylko ci gi staªe.