Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Transkrypt

1 Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015

2 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x b, c y d} to oraz P P f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy = b a d c [ d c [ b a ] f (x, y)dy dx ] f (x, y)dx dy Caªki wyst puj ce po prawych stronach powy»szych równo±ci nazywamy caªkami iterowanymi

3 Caªka iterowana z funkcji jednorodnej Twierdzenie Je»eli f jest funkcj postaci f (x, y) = g(x)h(y) gdzie funkcje g i h s caªkowalne odpowiednio na przedziaªach < a, b > i < c, d > to <a,b> <c,d> ( b f (x, y)dxdy = a ) ( d ) g(x)dx f (y)dy. c

4 Denicja caªki podwójnej po dowolnym obszarze ograniczonym. Denicja Niech f b dzie okre±lona i ograniczona na obszarze ograniczonym D R 2 oraz niech P b dzie dowolnym prostok tem, takim»e D P. Okre±lmy funkcj { f f (x, y), (x, y) D (x, y) = 0, (x, y) P\D Niech funkcja f b dzie caªkowalna na prostok cie P. Caªk z funkcji f po obszrze D okreslamy nast puj cym wzorem: f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy D P

5 Denicja obszaru normalnego Denicja Obszar domkni ty D = {(x, y) : a x b, ϕ(x) y ψ(x)} gdzie funkcje ϕ(x) i ψ(x) s ci gªe na przedziale < a, b > nazywamy obszarem normalnym wzgl dem OX. Obszar domkni ty D = {(x, y) : c y d, α(y) x β(y)} gdzie funkcje α(y) i β(y) s ci gªe na przedziale < c, d > nazywamy obszarem normalnym wzgl dem OY.

6 Caªka podwójna po obszarze normalnym Twierdzenie Je»eli funkcja f jest ci gªa w obszarze domkni tym D = {(x, y) : a x b, ϕ(x) y ψ(x)} normalnym wzgl dem Ox, to [ b ] ψ(x) f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx D a ϕ(x) Je»eli funkcja f jest ci gªa w obszarze domkni tym D = {(x, y) : c y d, α(y) x β(y)} normalnym wzgl dem Oy, to [ d ] β(y) f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy I. Malinowska, Z. Šagodowski c Rachunek α(y) caªkowy funkcji wielu zmiennych

7 Denicja obszaru regularnego, caªka po obszarze regularnym Denicja Je»eli obszar D jest sum sko«czonej ilo±ci obszarów normalnych wzgl dem OX lub OY o rozª cznych wn trzach to obszar D nazywamy obszarem regularnym. Twierdzenie Je»eli D jest obszarem regularnym D = D 1 D 2... D n, a D 1, D 2,.., D n s obszarami normalnymi wzgl dem OX lub OY o rozª cznych wn trzach to dowolna funkcja f ci gªa w obszarze D jest caªkowalna oraz f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy. D D 1 D n

8 Przeksztaªcenie obszaru Denicja Niech i D b d obszarami odpowiednio na pªaszczyznach Ouv i Oxy. Przeksztaªceniem obszaru w obszra D nazywamy funkcj T : D okre±lon wzorem (x, y) = T (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)), gdzie (u, v). Obrazem zbioru przy przeksztaªceniu T nazywamy zbiór T ( ) = {(x, y) : x = φ(u, v), y = ψ(u, v), (u, v) }.

9 Wªasno±ci przeksztaªce«przeksztaªcenie T nazywamy: ci gªym - je»eli funkcje φ i ψ sa ci gªe na obszarze Ró»nowarto±ciowym - je»eli ró»nym punktom obszaru odpowiadaj ró»ne punkty jego obrazu D.

10 Twierdzenie Niech { x = φ(u, v) przeksztaªcenie T : odwzorowuje y = ψ(u, v) ró»nowarto±ciowo wn trze obszaru regularnego na wn trze obszaru regularnego D funkcje φ i ψ maj ci gªe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawieraj cym obszar funkcja f jest ci gªa na obszarze D jakobian przeksztaªcenia tj. J T = det jest ró»ny od zera wewn trz obszaru. Wtedy D f (x, y)dxdy = φ u ψ u φ (u, v) ψ (u, v) v v f (φ(u, v), ψ(u, v)) J T dudv. (u, v) (u, v)

11 Ukªad biegunowy Poªo»enie punktu P na pªaszczy¹nie mo»na opisa par liczb (ϕ, ϱ), gdzie: ϕ oznacza miar kata mi dzy dodatni cz ±ci osi Ox a promieniem wodz cym punktu P, 0 ϕ 2π ϱ oznacza odlegªo± punktu P od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych, 0 ϱ < Par liczb (ϕ, ϱ), nazywamy wspóªrz dnymi biegunowymi punktu pªaszczyzny. Wspóªrz dne kartezja«skie (x, y) punktu pªaszczyzny dane we wspóªrz dnych { biegunowych (ϕ, ϱ) okre±lone s wzorami: x = ϱ cos ϕ B : y = ϱ sin ϕ Jest to tzw przeksztaªcenie biegunowe.

12 Zamiana zmiennych na wspóªrz dne biegunowe Twierdzenie Niech Wtedy obszar we wspóªrz dnych biegunowych b dzie regularny funkcja f b dzie ci gªa na obszarze D, który jest obrazem zbioru przy przeksztaªceniu biegunowym: D = B( ) f (x, y)dxdy = f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱdϱdϕ. D Uwaga Wspóªrz dne biegunowe stosujemy wtedy gdy obszar caªkowania jest ograniczony ªukami okr gu o ±rodku w pocz tku ukªadu oraz odcinkami prostych przechodz cymi przez pocz tek ukªadu

13 Zastosowanie caªki podwójnej w geometrii Pole obszaru regularnego D R 2 wyra»a si wzorem D = dxdy Obj to± bryªy poªo»onej nad obszarem regularnym D R 2 i ograniczonej z doªu i z góry odpowiednio wykresami (powierzchniami) funkcji ci gªych z = f (x, y) i z = g(x, y) wyra»a si wzorem V = [g(x, y) f (x, y)]dxdy D D

14 Zastosowanie caªki podwójnej w geometrii Pole pªata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y) gdzie (x, y) D wyra»a si wzorem: Σ = D 1 + ( ) f 2 ( ) f 2 + dxdy x y Funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze regularnym D.

15 Caªka iterowana potrójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostopadªo±cianie P = {(x, y, z) : a x b, c y d, e z f } to P f (x, y, z)dxdydz = b a [ d [ f c e ] ] f (x, y, z)dz dy dx, kolejno± caªkowania po prostopadªo±cianie mo»e by dowolna, np. P f (x, y, z)dxdydz = f e [ d [ b c a ] ] f (x, y, z)dx dy dz, Caªki wyst puj ce po prawych stronach powy»szych równo±ci nazywamy caªkami iterowanymi

16 Caªka potrójna na dowolnym obszarze ograniczonym. Denicja Niech f b dzie okre±lona i ograniczona na obszarze ograniczonym G R 3 oraz niech P b dzie dowolnym prostopadªo±cianem, takim»e G P. Okre±lmy funkcj { f f (x, y, z), (x, y, z) G (x, y, z) = 0, (x, y, z) P\G Niech funkcja f b dzie caªkowalna na prostopadªo±cianie P. Caªk z funkcji f po obszrze G okre±lamy nast puj cym wzorem: f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz G P

17 Caªka potrójna po obszarze normalnym Twierdzenie Je»eli funkcja f jest ci gªa w obszarze domkni tym G = {(x, y, z) : (x, y) D, h(x, y) z g(x, y)}, gdzie obszar D R 2 jest normalnym wzgl dem Ox lub Oy, to [ ] g(x,y) f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy. G D h(x,y)

18 Wspóªrz dne sferyczne Poªo»enie punktu P w R 3 mo»na jednoznacznie okre±li trójk liczb (ϱ, ϕ, θ) gdzie: ϱ oznacza odlegªo± punktu P od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych, 0 ϱ < ϕ oznacza miar k ta mi dzy rzutem prostok tnym wektora wodz cego na pªaszczyzn XOY a dodatni cz ±ci osi OX, 0 ϕ 2π θ oznacza miar kata mi dzy rzutem promienia wodz cego na pªaszczyzn XOY a promieniem wodz cym, π 2 θ π 2 Trójk liczb (ϱ, ϕ, θ) nazywamy wspóªrz dnymi sferycznymi w R 3. Wspóªrz dne kartezja«skie (x, y, z) punktu w R 3 dane we wspóªrz dnych sferycznych (ϱ, ϕ, θ) okre±lone s wzorami: x = ϱ cos θ cos ϕ B : y = ϱ cos θ sin ϕ z = ϱ sin θ Jest to tzw przeksztaªcenie I. Malinowska, Z. Šagodowski biegunowe Rachunek S. caªkowy funkcji wielu zmiennych

19 Zamiana zmiennych na wspóªrz dne sferyczne Twierdzenie Niech obszar we wspóªrz dnych sferycznych b dzie regularny funkcja f b dzie ci gªa na obszarze G, który jest obrazem zbioru przy przeksztaªceniu biegunowym: G = S( ) Wtedy G f (x, y, z)dxdydz = f (ϱ cos θ cos ϕ, ϱ cos θ sin ϕ, ϱ sin θ) ϱ 2 cos θdϱdϕdθ. Gdzie ϱ 2 cos θ jest moduªem jakobianu J S przeksztaªcenia S.