Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
|
|
|
- Mariusz Czech
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
2 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
3 Wprowadzenie Wyobraźmy sobie szklankę świeŝo zaparzonej herbaty postawioną w duŝym pomieszczeniu o temperaturze 20 o C. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
4 Wprowadzenie cd. Dalej temperatura w pomieszczeniu będzie nazywana temperaturą otoczenia. W początkowej chwili pomiary temperatury dają wyniki: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 100 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
5 Wprowadzenie cd. Wraz z upływem czasu herbata stygnie oddaje ciepło; z drugiej strony pomieszczenie jest tak duŝe, Ŝe nie obserwujemy zmiany jego temperatury. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
6 Wprowadzenie cd. Pomiary temperatury herbaty wykonywane po upływie 10 minut dają wyniki: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 60 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
7 Wprowadzenie cd. Po upływie 20 minut: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 40 o C Po upływie 30 minut: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 30 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
8 Zestawienie wyników temperatura otoczenia = 20 o C czas (min.) temp. napoju ( o C) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8
9 Wykres wyników Otrzymane wyniki moŝna przedstawić w postaci graficznej na wykresie. temp. napoju (st. C) czas (min.) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9
10 Wprowadzenie cd. czas temperatura napoju wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego czasu Taki zapis oznacza, Ŝe liczbie wyraŝającej czas przyporządkowana jest liczba wyraŝająca temperaturę. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 10
11 Inne przykłady student grupa językowa wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego studenta komitet wyborczy wybieramy dowolnie liczba głosów uzyskanych w wyborach odczytujemy dla wybranego komitetu A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 11
12 Uogólnienie x y wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 12
13 Oznaczenia i terminologia Zapis: x y czytamy: wielkości oznaczonej symbolem x przyporządkowana jest wielkość oznaczona symbolem y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 13
14 Uwaga W ogólności symbole x, y mogą przyjmować wartości liczbowe (np.: czas, temperatura, liczba uzyskanych głosów) lub nieliczbowe (np.: nazwisko studenta, grupa językowa, komitet wyborczy), jednak w tym kursie x, y zawsze będą liczbami rzeczywistymi. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 14
15 Terminologia cd. W zapisie: x y Liczby x, y nazywane są teŝ zmiennymi: x zmienna niezaleŝna y zmienna zaleŝna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 15
16 Oznaczenia i terminologia cd. Zapis: f : x y lub: x f y oznacza: przyporządkowanie nazwane literą f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 16
17 Przykład X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y Między elementami zbiorów X, Y określamy przyporządkowanie oznaczone literą g: liczbie x ze zbioru X przyporządkowana jest liczba y ze zbioru Y o 4 większa od x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 17
18 Przykład cd. Sposób wyznaczania liczby y dla wybranej liczby x moŝna zapisać wzorem: g : x y = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 18
19 Uogólnienie Gdy sposób wyznaczania liczby y dla wybranej liczby x określa przyporządkowanie nazwane literą g, to moŝna zapisać g : x y = g( x) Oznaczenie g(x) czytamy: g od x. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 19
20 Przykład cd. Przyporządkowanie g w przykładzie określone było wzorem g : x y = x + 4 Zatem y = g( x) = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 20
21 Terminologia cd. Zapis: g : X Y oznacza: g przyporządkowuje elementom zbioru X elementy zbioru Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 21
22 Przedstawienie przyporządkowania Przyporządkowanie moŝna przedstawić na wiele sposobów: opis słowny wzór tabela wykres graf A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22
23 Przedstawienie g - słowne X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y g: liczbie x ze zbioru X przyporządkowuje liczbę y ze zbioru Y o 4 większą od x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23
24 Przedstawienie g - wzór X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Wzór: y = x + 4 lub g( x) = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24
25 Przedstawienie g - tabela X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Tabela: x y = g(x) W górnym wierszu tabeli zapisujemy elementy zbioru X, a w dolnym zbioru Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25
26 Przedstawienie g - wykres X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Wykres: Punkty na wykresie mają takie współrzędne (x, y), Ŝe x jest liczbą ze zbioru X, a y jest wyznaczone ze wzoru y = g(x). y y = g (x) x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 26
27 Przedstawienie g - graf X g : { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y X Y g Graf: X 3 7 Y Graf to rysunek, na którym przyporządkowanie ilustrowane jest za pomocą strzałek. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27
28 Funkcja wprowadzenie Przyporządkowanie, które spełnia pewne warunki określone w definicji nazywamy funkcją. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28
29 Funkcja definicja Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie kaŝdemu x X dokładnie jednego y Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29
30 Funkcja terminologia Sformułowanie: funkcja f określona na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y... oznaczamy: f : X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 30
31 Ustalenie W tym kursie X, Y oznaczają zbiory liczbowe, podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. X R, Y R A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 31
32 Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f : X Y to do zbiorów X, Y stosujemy nazwy: X dziedzina funkcji f D, D f inne oznaczenia dziedziny funkcji f Y przeciwdziedzina funkcji f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 32
33 Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f f : X Y x y = f ( x) to do elementów zbiorów X, Y stosujemy nazwy: x argument funkcji f, x X, y = f (x) wartość funkcji f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33
34 Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f f : X Y x y = f ( x) to zbiór wszystkich wartości y = f (x) moŝe być podzbiorem właściwym zbioru Y: { y Y : istnieje x X takie, Ŝe y = f ( x) } = Y W Y W zbiór wartości funkcji, Y W Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34
35 Zapis: Funkcja terminologia cd. f : x y czytamy: funkcja f przyporządkowuje argumentowi x wartość y lub: funkcja f przyjmuje wartość y dla argumentu x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 35
36 Przykład 1 X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y, g( x) = x + 4 g X 3 7 Y { } dziedzina funkcji g: X = 1, 2, 3 argumenty funkcji g: 1, 2, 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36
37 Przykład 1 cd. g 1 5 X Y { } przeciwdziedzina funkcji g: Y = 5, 6, 7 wartości funkcji g: 5, 6, 7 zbiór wartości funkcji g: Y { } W = 5, 6, 7 = Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 37
38 Przykład 2 X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7, 8, 9 } = Y h : X Y, h( x) = x + 4 h X Y { } dziedzina h: X = 1, 2, 3 argumenty h: 1, 2, 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38
39 Przykład 2 cd. h X Y { } przeciwdziedzina h: Y = 5, 6, 7, 8, 9 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39
40 Przykład 2 cd. h X Y wartości h: 5, 6, 7 { } zbiór wartości h: = 5, 6, 7 Y W A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 40
41 Przykład 2 cd. h X Y Y W Y zbiór wartości przeciwdziedzina A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 41
42 Pytania... Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? Przypomnienie definicji: Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie kaŝdemu x X dokładnie jednego y Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42
43 Pytanie 1. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43
44 Odpowiedź 1. Nie jest to funkcja f : X Y. Bo nie kaŝdemu x X... f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44
45 Pytanie 2. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45
46 Odpowiedź 2. Tak, to jest funkcja f : X Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46
47 Pytanie 3. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47
48 Odpowiedź 3. Nie jest to funkcja f : X Y. Bo nie kaŝdemu x X, dokładnie jeden y Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48
49 Pytanie 4. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49
50 Odpowiedź 4. Tak, to jest funkcja f : X Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 50
51 Przykład 3 X = Y = { 1, 2, 3} { 5, 6, 7 } g : X Y y = g( x) = x + 4 wartości argumenty y y = g (x) x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 51
52 Wykres funkcji tworzenie wykresu czytanie z wykresu A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52
53 Tworzenie wykresu Wykres funkcji rysujemy w układzie współrzędnych kartezjańskich XOY. Układ to osie liczbowe - pozioma OX i pionowa OY. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53
54 Układ współrzędnych Y 1 O 1 X Mówimy: kartezjański układ współrzędnych lub prostokątny układ współrzędnych A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54
55 Nazwy osi układu Y y A (x, y) 1 O 1 x X OX OY - oś odciętych - oś rzędnych A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55
56 Punkt w układzie współrzędnych Y y A (x, y) 1 O 1 x X x współrzędna punktu A - odcięta y współrzędna punktu A - rzędna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56
57 Definicja wykresu funkcji Jeśli funkcja f : X Y dana jest wzorem y = f (x), to wykresem funkcji w układzie XOY jest zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y) takich, Ŝe x jest argumentem funkcji, a y jest wartością funkcji dla argumentu x (y = f(x)). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57
58 Wykres funkcji Y wartości y = f (x) O X argumenty A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58
59 Wykres funkcji przykład Jeśli punkt (2, 1) naleŝy do wykresu funkcji y = f (x), to znaczy, Ŝe 2 jest argumentem funkcji (naleŝy do dziedziny), a 1 jest wartością funkcji (naleŝy do zbioru wartości) i funkcja f przyporządkowuje 2 1, czyli f (2) = 1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59
60 Wykres funkcji interpretacja y = f (x) Y (2, 1) 1 O 2 X f 2 1 f (2) = 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 60
61 Wykres funkcji zadanie 1. Posługując się wykresem funkcji y=f(x), zaznacz wartość dla argumentu x = -1. Lub krócej: zaznacz f (-1). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 61
62 Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62
63 Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63
64 Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64
65 Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y f (-1) -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65
66 Wykres funkcji zadanie 2. Posługując się wykresem funkcji y=f(x), zaznacz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość y = 1. Lub krócej: Zaznacz x takie, Ŝe f (x) = 1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 66
67 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 67
68 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 68
69 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 69
70 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 70
71 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 x O 1 x 2 x 3 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 71
72 Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 x O 1 x 2 x 3 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 72
73 Wykres funkcji umowa Na wykresie funkcji: punkt zaznaczony kropką naleŝy do wykresu, punkt zaznaczony pustym kółkiem nie naleŝy do wykresu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 73
74 Wykres funkcji umowa y = f (x) Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 74
75 Wykres funkcji umowa cd. Gdy na rysunku wykres nie jest zakończony ani kropką, ani pustym kółkiem, to oznacza, Ŝe biegnie dalej. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 75
76 Wykres funkcji umowa cd. y = f (x) Y biegnie dalej O X biegnie dalej A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 76
77 Wykres funkcji - pytania Czy dana krzywa jest wykresem funkcji f : X Y? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 77
78 Pytanie 1. Czy ta krzywa jest wykresem funkcji? parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 78
79 Odpowiedź 1. Nie jest to wykres funkcji, bo moŝna znaleźć taki argument x... Y O x X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 79
80 Odpowiedź 1. Y A O x X B A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 80
81 Odpowiedź któremu przyporządkowane są dwie róŝne wartości y 1, y 2... Y y 1 A O y 2 x X B A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 81
82 Odpowiedź co jest sprzeczne z definicją funkcji. Y y 1 A( x, y 1 ) O y 2 x B( x, y 2 ) X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 82
83 Pytanie 2. Czy ta krzywa jest wykresem funkcji? parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 83
84 Odpowiedź 2. Tak, bo... parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 84
85 Odpowiedź 2. Tak, bo nie istnieje prosta prostopadła do osi OX, która przecina krzywą w więcej niŝ jednym punkcie. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 85
86 Dziedzina funkcji - uwaga Jeśli funkcja dana jest wzorem, to do jej dziedziny naleŝą wszystkie liczby, dla których wzór funkcyjny ma sens. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 86
87 Wyznaczanie dziedziny funkcji Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem f ( x) x + 1 = x 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 87
88 Rozwiązanie f ( x) x + 1 = x 1 D: x x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 88
89 Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x x x 1 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 89
90 Rozwiązanie cd. x x x x 1 1 x 1 i x 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 90
91 Rozwiązanie cd. x 1 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 91
92 Rozwiązanie cd. x 1-1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 92
93 Rozwiązanie cd. x 1 i x X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 93
94 Rozwiązanie cd. x 1 i x X x ) ( + ) 1;1 1; A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 94
95 Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x 1 1 x 1;1 ) ( 1; + ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 95
96 Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x 1 1 x 1;1 ) ( 1; + ) ) ( ) Odp.: D = 1;1 1; + A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 96
97 Odczytaj dziedzinę funkcji Posługując się wykresem funkcji y = f (x) zaznacz dziedzinę. Zapisz dziedzinę. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 97
98 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X Dla kaŝdego punktu wykresu funkcji... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 98
99 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X... do dziedziny funkcji naleŝy współrzędna x punktu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 99
100 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X dziedzina A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 100
101 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y a O b X D = ( a ; b A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 101
102 Wykres funkcji zadanie Posługując się wykresem funkcji y = f (x), zaznacz zbiór wartości. Zapisz zbiór wartości. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 102
103 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X Dla kaŝdego punktu wykresu funkcji... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 103
104 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X... do zbioru wartości naleŝy współrzędna y punktu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 104
105 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X zbiór wartości A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 105
106 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y d O c X Y = ( c ; d W A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 106
107 Wykres funkcji zadanie Odczytaj z wykresu funkcji y = f (x) dziedzinę i zbiór wartości. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 107
108 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 108
109 Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X D = ( + ), = ( ; + ) ; YW A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 109
110 Funkcja róŝnowartościowa Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli róŝnym argumentom przyporządkowuje róŝne wartości. Zapis: x x X 1, 2 [ x x f ( x ) f ( x )] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 110
111 Funkcja róŝnowartościowa Lub równowaŝnie: Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli równe wartości przyporządkowuje tylko równym argumentom. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 111
112 Funkcja róŝnowartościowa Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli równe wartości przyporządkowuje tylko równym argumentom. Zapis: x x X 1, 2 [ f ( x ) = f ( x ) x = x ] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 112
113 Pytania A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 113
114 Pytanie 1. Który graf przedstawia funkcję róŝnowartościową? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 114
115 Pytanie 1. Graf f f Graf g g A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 115
116 Odpowiedź 1. f g jest róŝnowartościowa nie jest róŝnowartościowa A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 116
117 Pytanie 2. Czy ten wykres przedstawia funkcję róŝnowartościową? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 117
118 Pytanie 2. Czy ten wykres przedstawia funkcję róŝnowartościową? Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 118
119 Odpowiedź 2. Nie, bo moŝna znaleźć wartość y... Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 119
120 Odpowiedź 2. Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 120
121 Odpowiedź 2. Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 121
122 Odpowiedź przyporządkowaną róŝnym argumentom x 1, x 2. A(x 2, y) Y B(x 1, y) y x 2 O x 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 122
123 Zadanie 1. Zbadaj, czy funkcja f (x) = -2x + 1 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 123
124 Rozwiązanie 1. cd. f (x) = -2x + 1 Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych D = R. Niech x x R,. MoŜna zapisać: 1 2 f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 124
125 Rozwiązanie 1. cd. Przypuśćmy, Ŝe f (x 1 ) = f (x 2 ) f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x x = -2x x 1 = -2x 2 :(-2) x 1 = x 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 125
126 Rozwiązanie 1. cd. Dostaliśmy: f ( x = f x x = x ) ( ) dla dowolnej pary liczb x x R,. 1 2 Zatem f (x) = -2x + 1 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 126
127 Wykres funkcji f (x) = -2x f - róŝnowartościowa A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 127
128 Zadanie 2. Zbadaj, czy funkcja f (x) = x 2 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 128
129 Rozwiązanie 2. f (x) = x 2 Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych D = R. Niech x x R,. 1 2 MoŜna zapisać: f (x 1 ) = x 1 2, f (x 2 ) = x 2 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 129
130 Rozwiązanie 2. Przypuśćmy, Ŝe f (x 1 ) = f (x 2 ) x 2 1 = x 2 2 x x 2 2 = 0 (x 1 - x 2 ) (x 1 + x 2 ) = 0 x 1 - x 2 = 0 lub x 1 + x 2 = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 130
131 Rozwiązanie 2. x 1 - x 2 = 0 lub x 1 + x 2 = 0 x 1 = x 2 lub x 1 = - x 2 Np. dla x 1 = 1, x 2 = -1 mamy: f (1) = 1 2 =1 oraz f (-1) = (-1) 2 = 1 RóŜnym argumentom przyporządkowane zostały równe wartości, zatem f (x) = x 2 nie jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 131
132 Wykres funkcji f (x) = x 2 A(-1, 1) Y B(1, 1) 1-1 O 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 132
133 Zadanie 3 zastosowanie * RozwiąŜ równanie 7 x 4 2 3x = 7 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 133
134 Zadanie 3 zastosowanie * RozwiąŜ równanie 7 x 4 2 3x = ( ) 7 2 x x 3 = ( 2 ) x 3x = 7 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 134
135 Zadanie 3 zastosowanie * ( 2 ) x 3x = 7 ( * ) x 4 1 x 2 7 Funkcja wykładnicza f (x) =7 x jest róŝnowartościowa, zatem rówanie ( * ) zachodzi wiw, gdy x 4 = 1 1,5x = 7 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 135
136 Zadanie 3 zastosowanie * x 4 = x x + 3 x = x = 5 : 2 x = Odp.: Rozwiązaniem równania jest x = 2. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 136
137 Funkcja rosnąca Funkcja f : X Y jest rosnąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli większemu ( ) argumentowi z przedziału a ; b przyporządkowuje większą wartość. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 137
138 Funkcja rosnąca - definicja Funkcja f : X Y jest rosnąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) < f ( x ) ] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 138
139 Funkcja rosnąca x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) < f ( x ) ] RównowaŜny zapis: x 1, 2 x ( a ; b) [ x x < f ( x ) f ( x ) < 0 ] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 139
140 Funkcja malejąca Funkcja f : X Y jest malejąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli większemu ( ) argumentowi z przedziału a ; b przyporządkowuje mniejszą wartość. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 140
141 Funkcja malejąca - definicja Funkcja f : X Y jest malejąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) > f ( x ) ] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 141
142 Funkcja malejąca x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) > f ( x ) ] RównowaŜny zapis: x 1, 2 x ( a ; b) [ x x < f ( x ) f ( x ) > 0 ] A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 142
143 Funkcja stała Funkcja f : X Y jest stała w przedziale ( a ; b ) X, jeśli w tym przedziale jej wartości nie zmieniają się. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 143
144 Monotoniczność funkcji Badanie monotoniczności funkcji polega na ustaleniu, w jakich przedziałach dziedziny funkcja rośnie, w jakich maleje, w jakich jest stała. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 144
145 Monotoniczność zadanie 1. Opisz monotoniczność funkcji y = g(x) na podstawie wykresu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 145
146 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Przesuwamy się po wykresie w kierunku rosnących argumentów x... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 146
147 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y X... dopóki wykres wznosi się do góry. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 147
148 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Oznacza to, Ŝe dla x ( ; a funkcja 1 jest rosnąca. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 148
149 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Zapis: f ( x) dla x ( ; a1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 149
150 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Teraz przesuwamy się po wykresie w kierunku rosnących argumentów x, dopóki wykres opada. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 150
151 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 a 2 X f ( x) dla x a a 1 ; 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 151
152 Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 a 2 X f ( x) dla x a ; 2 + ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 152
153 Monotoniczność zadanie 1. Odp.: f ( ;, ; + ) ( x) dla x a x a 1 2 f ( x) dla x a a 1 ; 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 153
154 Monotoniczność zadanie 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = - 2x+1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 154
155 Monotoniczność zadanie 2. Dziedzina: f(x) = - 2x+1 D = R Niech x x R, i x < x 2. MoŜna zapisać: f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 155
156 Monotoniczność zadanie 2. f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x Badamy znak róŝnicy: f (x 1 ) - f (x 2 ) f (x 1 ) - f (x 2 ) = (-2x 1 + 1) (-2x 2 + 1) = = -2x x 2-1 = -2x 1 + 2x 2 = = -2(x 1 - x 2 ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 156
157 Monotoniczność zadanie 2. f (x 1 ) - f (x 2 ) = (-2x 1 + 1) (-2x 2 + 1) = = -2x x 2-1 = -2x 1 + 2x 2 = = -2(x 1 - x 2 ) PoniewaŜ x 1 < x 2, to x 1 - x 2 < 0, zatem -2(x 1 - x 2 ) > 0, czyli f (x 1 ) - f (x 2 ) > 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 157
158 Monotoniczność zadanie 2. Mamy: f (x 1 ) > f (x 2 ) dla x 1 < x 2 co dowodzi, Ŝe funkcja jest malejąca. f (x) = - 2x+1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 158
159 Monotoniczność zadanie 2. f (x) = - 2x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 159
160 Globalne ekstrema funkcji minimum globalne (wartość najmniejsza) maksimum globalne (wartość największa) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 160
161 Minimum globalne Funkcja f : X Y ma minimum globalne w punkcie x X, jeśli 0 wartość f (x 0 ) jest najmniejsza ze wszystkich wartości funkcji. x X f ( x) f ( x ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 161
162 Przykład minimum globalnego Y O X W punkcie x 0 = 0 funkcja ma wartość najmniejszą minimum globalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 162
163 Maksimum globalne Funkcja f : X Y ma maksimum globalne w punkcie x X, jeśli 0 wartość f (x 0 ) jest największa ze wszystkich wartości funkcji. x X f ( x) f ( x ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 163
164 Przykład maksimum globalnego Y O X W punkcie x 0 = 0 funkcja przyjmuje wartość największą maksimum globalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 164
165 Lokalne ekstrema funkcji minimum lokalne (wartość najmniejsza w pewnym przedziale) maksimum lokalne (wartość największa w pewnym przedziale) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 165
166 Przykład minimum lokalnego Y 1 X W punkcie x 0 = 1 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w zaznaczonym przedziale minimum lokalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 166
167 Przykład maksimum lokalnego Y -1 X W punkcie x 0 = -1 funkcja przyjmuje wartość największą w zaznaczonym przedziale maksimum lokalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 167
168 Definicja otoczenia punktu Niech x R, r R. 0 Przedział (x 0 - r; x 0 + r) nazywamy otoczeniem punktu x 0 o promieniu r. Oznaczenie: (x 0 - r; x 0 + r) = U(x 0, r) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 168
169 Przykład 1. Otoczeniem punktu x 0 = 4 o promieniu r = 2 jest przedział U (4; 2) = (4-2, 4+2) = (2, 6) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 169
170 Przykład 2. Przedział (- 4, 10) jest otoczeniem punktu x 0 = 3 o promieniu r = 7. (-4, 10) = U (3; 7) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 170
171 Definicja minimum lokalnego Funkcja f : ( a ; b) R ma minimum lokalne w punkcie (, ), x a b gdy 0 istnieje takie otoczenie U(x 0, r) (a, b), Ŝe x U { } ( ) ( ) ( x, r) x f x f x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 171
172 Definicja maksimum lokalnego Funkcja f : ( a ; b) R ma maksimum lokalne w punkcie (, ), x a b gdy 0 istnieje takie otoczenie U(x 0, r) (a, b), Ŝe x U { } ( ) ( ) ( x, r) x f x f x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 172
173 Miejsce zerowe funkcji KaŜdy argument, dla którego funkcja y = f (x) przyjmuje wartość 0, nazywamy miejscem zerowym funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 173
174 Miejsca zerowe zadanie 1. Odczytaj z wykresu funkcji y = g (x) miejsca zerowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 174
175 Miejsca zerowe zadanie 1. y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: Miejsca zerowe funkcji g (x), to x 1, x 2, x 3. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 175
176 Miejsca zerowe zadanie 2. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji y = h (x). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 176
177 Zadanie 2. 2 x h( x) = x Dziedzina: x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 177
178 Zadanie 2. x x 2 9 = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 178
179 Zadanie 2. x 2 9 = 0 Wzór skróconego mnoŝenia 2 - róŝnica kwadratów ( a b)( a b) a b = + 2 x 2 9 = ( x 3)( x + 3) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 179
180 Zadanie 2. ( x 3 )( x + 3) = 0 a b = 0 a = 0 lub b = 0 x = 3 lub x = 3 Dziedzina: D = R { 3, 3 } A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 180
181 Zadanie 2. Miejsca zerowe: h( x) = 0 x 2 4 x 2 9 = 0 a b = 0 a = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 181
182 Zadanie 2. x 2 4 x 2 9 = 0 x 2 4 = 0 ( x 2 )( x + 2) = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 182
183 Zadanie 2. ( x 2 )( x + 2) = 0 x = 2 lub x = 2 Miejsca zerowe: x { 2, 2 } 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 183
184 Wykres funkcji zadanie Odczytaj z wykresu funkcji y = g (x) i zapisz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości a) dodatnie, b) ujemne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 184
185 Wartości dodatnie zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 185
186 Wartości dodatnie zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: f ( ; ) ( ; + ) ( x) > 0 x x x x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 186
187 Wartości ujemne zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: f ( ; ) ( ) ( x) < 0 x x x x ; A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 187
MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania
Kurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci
PAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem (Wpisuje zdaj cy przed rozpocz ciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MMA-RG1P-01 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 10 minut ARKUSZ II MAJ ROK 00 Instrukcja dla
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną
Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.
Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia
Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr
Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie
Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem
Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania
Rok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki,
Skrypt bezpłatny. Opracowany i wydrukowany w ramach projektu W drodze do kariery z Politechniką Świętokrzyską szanse na lepszą przyszłość uczniów szkół ponadgimnazjalnych, współfinansowanego ze środków
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
NUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Warszawska Giełda Towarowa S.A.
KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14
WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania
WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
OGÓLNODOSTĘPNE IFORMACJE O WYNIKACH EGZAMINÓW I EFEKTYWNOŚCI NAUCZANIA W GIMNAZJACH przykłady ich wykorzystania i interpretowania
Teresa Kutajczyk, WBiA OKE w Gdańsku Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku OGÓLNODOSTĘPNE IFORMACJE O WYNIKACH EGZAMINÓW I EFEKTYWNOŚCI NAUCZANIA W GIMNAZJACH przykłady ich wykorzystania i interpretowania
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?
MATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA
BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź
Zadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap II rejonowy
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 05/06 Etap II rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania
Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk
Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność
Komentarz technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]-01 Czerwiec 2009
![Komentarz technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]-01 Czerwiec 2009](/thumbs/33/16479706.jpg "Komentarz technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]-01 Czerwiec 2009")
Strona 1 z 19 Strona 2 z 19 Strona 3 z 19 Strona 4 z 19 Strona 5 z 19 Strona 6 z 19 Strona 7 z 19 W pracy egzaminacyjnej oceniane były elementy: I. Tytuł pracy egzaminacyjnej II. Założenia do projektu
KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6
KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut
Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym)
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym) I. LICZBY Temat Ilość godzin Cele Zbiory 1 Określenia zbioru
tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751
Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla
EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 17 MAJA 2016
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 17 MAJA 2016 POZIOM
SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.01.01.01 GEODEZYJNA OBSŁUGA BUDOWY
GEODEZYJNA OBSŁUGA BUDOWY 1. Wstęp 1.1. Przedmiot ST. Przedmiotem niniejszej Specyfikacji Technicznej są wymagania dotyczące wykonania i odbioru robót związanych z geodezyjną obsługą w związku z wykonaniem
WYKRESY FUNKCJI NA CO DZIEŃ
TEMAT NUMERU 13 Adam Wojaczek WYKRESY FUNKCJI NA CO DZIEŃ W zreformowanych szkołach ponadgimnazjalnych kładziemy szczególny nacisk na praktyczne zastosowania matematyki. I bardzo dobrze! (Szkoda tylko,
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.
Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE
![Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE](/thumbs/39/18551291.jpg "Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE")
Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE OKE Kraków 2012 Zadanie egzaminacyjne zostało opracowane
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 23 marca 2012 r. zawody III stopnia (finałowe)
Pieczęć KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 23 marca 2012 r. zawody III stopnia (finałowe) Witamy Cię na trzecim etapie Konkursu Przedmiotowego z Fizyki i życzymy
PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ
Nie wystarczy mieć rozum, trzeba jeszcze umieć z niego korzystać Kartezjusz Rozprawa o metodzie PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ II KLASA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 1 Opracowała : Dorota
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas
ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
pobrano z www.sqlmedia.pl Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawd, czy arkusz wiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwi zania zada i odpowiedzi
Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak nale
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania
Konspekt lekcji otwartej
Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas
Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego
MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY
MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach
MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz
KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk
KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację
Podstawy programowania
Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje
Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak
Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie
Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko
Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Karta pracy III.. Imię i nazwisko klasa Celem nauki jest stawianie hipotez, a następnie ich weryfikacja, która w efekcie
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk
ASD - ćwiczenia III. Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych. Nieformalnie o poprawności programów:
ASD - ćwiczenia III Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych Nieformalnie o poprawności programów: poprawność częściowa jeżeli program zakończy działanie dla danych wejściowych spełniających założony
REGULAMIN RADY RODZICÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ NR 6 IM. ROMUALDA TRAUGUTTA W LUBLINIE. Postanowienia ogólne
REGULAMIN RADY RODZICÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ NR 6 IM. ROMUALDA TRAUGUTTA W LUBLINIE Postanowienia ogólne 1 Niniejszy Regulamin określa cele, zadania i organizację Rady Rodziców działającej w Szkole Podstawowej
Spis treści. Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl LICZBY NATURALNE I UŁAMKI
Spis treści LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Działania na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych... 3 Potęgowanie liczb.. 8 Przykłady pierwiastków 12 Działania na ułamkach zwykłych... 13 Ułamki zwykłe i
FORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH
L.Dz.FZZ/VI/912/04/01/13 Bydgoszcz, 4 stycznia 2013 r. Szanowny Pan WŁADYSŁAW KOSINIAK - KAMYSZ MINISTER PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ Uwagi Forum Związków Zawodowych do projektu ustawy z dnia 14 grudnia
REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R.
REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. Termin: 13 kwietnia 2013 r. godz. 10:45 15:45 Miejsce: WiMBP im. Zbigniewa
ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Promocja i identyfikacja wizualna projektów współfinansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Białystok, 19 grudzień 2012 r. Seminarium współfinansowane ze środków Unii Europejskiej w ramach
Praca w grupie. UMIEJĘTNOŚCI: Kompetencje kluczowe w uczeniu się
Praca w grupie 131 Praca w grupie jest jednym z założeń kompetencji zdolność uczenia się i zarazem jednym z aktualnych społecznie tematów. Chodzi o wymianę myśli i wzajemne uzupełnianie się w grupie oraz