Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Transkrypt

1 Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19

2 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19

3 Plan prezentacji 1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 3 / 19

4 Nieliniowo± Wpªyw X na Y zale»y od poziomu X... Jaka jest standardowa interpretacja wspóªczynników b i c? (...ceteris paribus...) Czy ma ona tutaj sens? (7) Ekonometria 4 / 19

5 Nieliniowo± Mo»e si zmieni interpretacja wspóªczynnika ln Y Y Y...tzn. wzrost LOGARYTMU NATURALNEGO zmiennej o 0,01 to wzrost tej samej zmiennej o 1% a) Nakªady inwestycyjne wzrastaªy ±rednio rocznie o 4,5%. (7) Ekonometria 5 / 19

6 Nieliniowo± Zadanie (7) Ekonometria 6 / 19

7 Nieliniowo± Poj cie elastyczno±ci pochodna Y wzgl dem X: elastyczno± Y wzgl dem X: zmiana Y {}}{ X }{{} mala zmiana X % zmiana Y {}}{ Y X X }{{} mala % zmiana X X X Y = ln Y ln X, a wi c parametr β 1 z modelu ln Y i = β 0 + β 1 ln X i + ε i to elastyczno± Y wzgl dem X a jaka jest elastyczno± Y wzgl dem X 1 w tych modelach? (w przypadku 2 mówimy o elastyczno±ci cz stkowej) 1 Y i = β 0 + β 1 X 1i + ε i 2 Y i = β 0 X β1 1i X β2 2i ε i (7) Ekonometria 7 / 19

8 Nieliniowo± Poj cie elastyczno±ci pochodna Y wzgl dem X: elastyczno± Y wzgl dem X: zmiana Y {}}{ X }{{} mala zmiana X % zmiana Y {}}{ Y X X }{{} mala % zmiana X X X Y = ln Y ln X, a wi c parametr β 1 z modelu ln Y i = β 0 + β 1 ln X i + ε i to elastyczno± Y wzgl dem X a jaka jest elastyczno± Y wzgl dem X 1 w tych modelach? (w przypadku 2 mówimy o elastyczno±ci cz stkowej) 1 Y i = β 0 + β 1 X 1i + ε i 2 Y i = β 0 X β1 1i X β2 2i ε i (7) Ekonometria 7 / 19

9 Nieliniowo± Poj cie elastyczno±ci pochodna Y wzgl dem X: elastyczno± Y wzgl dem X: zmiana Y {}}{ X }{{} mala zmiana X % zmiana Y {}}{ Y X X }{{} mala % zmiana X X X Y = ln Y ln X, a wi c parametr β 1 z modelu ln Y i = β 0 + β 1 ln X i + ε i to elastyczno± Y wzgl dem X a jaka jest elastyczno± Y wzgl dem X 1 w tych modelach? (w przypadku 2 mówimy o elastyczno±ci cz stkowej) 1 Y i = β 0 + β 1 X 1i + ε i 2 Y i = β 0 X β1 1i X β2 2i ε i (7) Ekonometria 7 / 19

10 Nieliniowo± Poj cie elastyczno±ci pochodna Y wzgl dem X: elastyczno± Y wzgl dem X: zmiana Y {}}{ X }{{} mala zmiana X % zmiana Y {}}{ Y X X }{{} mala % zmiana X X X Y = ln Y ln X, a wi c parametr β 1 z modelu ln Y i = β 0 + β 1 ln X i + ε i to elastyczno± Y wzgl dem X a jaka jest elastyczno± Y wzgl dem X 1 w tych modelach? (w przypadku 2 mówimy o elastyczno±ci cz stkowej) 1 Y i = β 0 + β 1 X 1i + ε i 2 Y i = β 0 X β1 1i X β2 2i ε i (7) Ekonometria 7 / 19

11 Plan prezentacji 1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 8 / 19

12 Funkcja produkcji Zadanie 8a Na podstawie danych z pliku cw_07_funkcja_produkcji.gdt szacujemy parametry funkcji produkcji Y i = α 0 L α 1 i K α 2 i ε i Wykorzystamy w tym celu znane ju» polecenia w Gretlu: Dodawanie zmiennych Logarytmy dla wybranych zmiennych, a nast pnie Model Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (7) Ekonometria 9 / 19

13 Funkcja produkcji Funkcja produkcji wªasno±ci im wi cej nakªadów czynników wytwórczych, tym produkcja... ka»da kolejna jednostka kapitaªu przynosi ceteris paribus... im wi cej kapitaªu na jednego zatrudnionego, tym jego produktywno± pracy jest... im wy»szy poziom technologii, tym produktywno± kapitaªu i pracy jest... aby osi gn t sam wielko± produkcji przy mniejszym zatrudnieniu, musimy... (7) Ekonometria 10 / 19

14 Funkcja produkcji Funkcja Cobba-Douglasa: oszacowanie Y t = α 0 L α 1 t K α 2 t ε t mówimy,»e model linearyzowany, gdy»: ln Y t = ln α 0 + α 1 ln L t + α 2 ln K t + ln ε t ln Y t = ln α 0 }{{} stala + α 1 ln L t + α 2 ln K t + ln ε t }{{} skl.losowy teraz model liniowy wzgl dem parametrów! (7) Ekonometria 11 / 19

15 Funkcja produkcji Zadanie 8b Na podstawie wyników zadania 8a wyznaczmy: elastyczno±ci cz stkowe (ˆα 1, ˆα 2 ) czy przychody wzgl dem skali produkcji s rosn ce, malej ce, czy staªe? (oce«na podstawie oszacowa«punktowych oraz odpowiedniego testu) kra«cow produkcyjno± pracy i kapitaªu ( L, K ) kra«cow stop substytucji mi dzy prac a kapitaªem (KSS = L / K ); wzrostowi L o jednostk powinien towarzyszy spadek K o... (miara nachylenia izokwanty) techniczne uzbrojenie pracy (TUP = K L ) elastyczno± substytucji ( TUP KSS / TUP KSS ) Przyjmij przy tym zaªo»enie o poziomie kapitaªu i pracy ±rednim dla okresu próby. (7) Ekonometria 12 / 19

16 Funkcja produkcji Elastyczno± substytucji TUP KSS TUP KSS = σ interpretacja: 1-procentowemu wzrostowi KSS towarzyszy σ-procentowy wzrost technicznego uzbrojenia pracy dla f. produkcji Cobba-Douglasa ta elastyczno± zawsze wynosi 1 miara szybko±ci zmian w nachyleniu izokwanty, czyli wypukªo±ci izowkanty σ = TUP KSS TUP KSS = ( K L ) ( L / K ) K L L / K = ( K L ) ( K L ) K L K L = ( K L ) ( α 1 α 2 KL ) K L α 1 α 2 KL = α 2 α 1 K L α 1 α KL 2 = 1 (7) Ekonometria 13 / 19

17 Funkcja produkcji Zadanie (7) Ekonometria 14 / 19

18 Funkcja produkcji Zadanie E5 (7) Ekonometria 15 / 19

19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 16 / 19

20 Nieliniowa MNK NMNK do czego potrzebna? A gdyby zamiast Y t = α 0 L α 1 t K α 2 t ε t... Gretl:...zastosowa funkcj produkcji Y t = α 0 L α1 t To ju» model ±ci±le nieliniowy. K α2 t + ε t? Model Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów Równie» szukamy minimum sumy kwadratów reszt, ale ju» numerycznie. (7) Ekonometria 17 / 19

21 Nieliniowa MNK Zadanie 8b Oszacuj w Gretlu funkcj produkcji Cobba-Douglasa wg specykacji z poprzedniego slajdu. Zastosuj nieliniow MNK z parametrami otrzymanymi w zadaniu 1 jako warto±ciami startowymi. genr alpha0=exp(2.88) genr alpha1=0.85 genr alpha2=0.28 Y = alpha0*(l^alpha1)*(k^alpha2) deriv alpha0 = (L^alpha1)*(K^alpha2) deriv alpha1 = alpha0*(k^alpha2)*(l^alpha1)*ln(l) deriv alpha2 = alpha0*(k^alpha2)*(l^alpha1)*ln(k) (7) Ekonometria 18 / 19

22 Nieliniowa MNK Dodatkowe zadania 5.9, 5.10, 5.14, 5.17, 5.18 (7) Ekonometria 19 / 19