Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Transkrypt

1 Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r.

2 Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki.

3 Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x + 2) = 4x 5.

4 Suma wszystkich wspóªczynników równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 jest równa 0. Wyka»,»e ka»de równanie kwadratowe o tej wªasno±ci ma co najmniej jedno rozwi zanie rzeczywiste.

5 Oblicz sinus k ta ostrego, jaki tworzy wykres funkcji f danej wzorem f (x) = 1 x 2 z osi x. 2

6 Wyka»,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówno± : 2a 2 + b a(b + 1).

7 Wyka»,»e funkcja y = πx + 2 jest rosn ca.

8 Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadªy do wykresu funkcji f (x) = 2x + 7 i przechodzi przez punkt ( 8, 2).

9 Dla jakich warto±ci m najmniejsza warto± funkcji f (x) = x 2 + (3m + 9)x + 13 jest wi ksza od 3.

10 Sklep sportowy sprzedaje kijki do nordic walking. Na podstawie bada«stwierdzono,»e obni»ka ceny o 4 zª powoduje wzrost sprzeda»y ±rednio o 2 sztuki miesi cznie. Przed obni»k sprzedawano ±rednio 40 kompletów kijków miesi cznie po 150 zª. Wyra¹ przychód za sprzeda»y kijków po obni»kach, w zale»no±ci od ilo±ci sprzedanych kompletów. Ustal optymaln cen i ±redni liczb sprzedanych miesi cznie kompletów kijków.

11 Dla jakich warto±ci a wykres funkcji f (x) = a 3 przechodzi x+2 przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych? Sporz d¹ wykres otrzymanej funkcji.

12 Krzysiek pªynie z pr dko±ci y i ma do przepªyni cia 2 km. Wyra¹ jego pr dko± w zale»no±ci od czasu x (w godzinach). Z jak minimaln pr dko±ci musi pªyn Krzysiek, aby czas pªyni cia nie byª dªu»szy ni» 40 minut? Ile by mu zaj ªo pokonanie caªej trasy, gdyby go zªapaª skurcz i nie mógª pªyn szybciej ni» 1 km/h.

13 Oszacowano,»e telefon komórkowy traci na warto±ci okoªo 35% rocznie. Napisz wzór okre±laj cy warto± telefonu po n latach.

14 Dla jakich m wykres funkcji y = (0, 5) x + m jest poªo»ony poni»ej prostej y = 1?

15 Wyznacz zbiór warto±ci funkcji g(x) = f (x + 2) 3, je»eli f (x) = x 2 4x 5.

16 Pani Krystyna wyjechaªa za miasto wraz z dzie mi. Pr dko± samochodu nie byªa staªa. Do pewnego momentu drogi jechaªa ze ±redni pr dko±ci 60 km/h. W dalszej cz ±ci podró»y jej samochód poruszaª si ze ±redni pr dko±ci 80 km/h. Punkt zmiany ±redniej pr dko±ci podzieliª caª tras przejazdu w stosunku 3 : 7. Oblicz z jak ±redni pr dko±ci podró»owaªa pani Krystyna na caªej trasie.

17 Akcje pewnej rmy zyskuj na warto±ci 5% w ci gu ka»dego roku. Po ilu latach posiadacz akcji podwoi zainwestowan kwot?

18 Naszkicuj wykres funkcji f (x) = 1 3 x 2. Oblicz pole gury ograniczonej przez wykres funkcji f i osie ukªadu wspóªrz dnych.

19 Do±wiadczony rolnik mo»e zebra pszenic ze swojego pola w ci gu 10 godzin. Jego syn, maj c mniejsze do±wiadczenie, t sam prac wykona w ci gu 15 godzin. Oblicz w jakim czasie ojciec i syn s w stanie zebra zbo»e, pracuj c jednocze±nie.

20 Pierwiastkami wielomianu W (x) = ax 2 + bx 2 s liczby 1 i 2. Rozwi» nierówno± W (x) 0

21 Wyka»,» je±li 0 < y < x oraz xy = 1, to x 2 + y 2 x y 2 2.

22 Bolek i Lolek zbierali razem jabªka w sadzie. Zebranie wszystkich owoców zaj ªo im 10 dni. Gdyby chªopcy wykonywali t prac samodzielnie, wówczas Bolkowi zaj ªaby ona o 15 dni mniej ni» Lolkowi. Ile dni zaj ªoby zebranie jabªek Bolkowi, a ile Lolkowi?

23 Znajd¹ najmniejsz warto± funkcji f okre±lonej wzorem f (x) = x 2 1 x

24 funkcja f ka»dej naturalnej liczbie trzycyfrowej przyporz dkowuje sum jej cyfr. Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje warto± 2. Dla pewnego argumentu a funkcja f przyjmuje warto± 15. Uzasadnij,»e a dzieli si przez 3. Podaj najmniejsz liczb a tak,»e f (a) = 20.

25 Funkcja f okre±lona jest wzorem f (x) = 5 + x + x + 5 x. Wyznacz dziedzin funkcji f. Sprzwd¹, czy liczby f (1), f (4) s wymierne. Uzasadnij,»e f (3) = ( )

26 Funkcja f okre±lona jest wzorem f (x) = 3x + 6. Znajd¹ miejsce zerowe f. ( Sprawd¹, czy liczba f ) jest wymierna.

27 Znajd¹ wzór malej cej funkcji liniowej f (x) = ax + b wiedz c,»e wykrs funkcji f nie przechodzi przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych, a wspóªczynniki a i b s rozwi zaniami równania 2x 3 x 2 x = 0.

28 Znajd¹ wszystkie funkcje liniowe okre±lone na zbiorze 4, 2, których zbiorem warto±ci jest 2, 10.

29 Ala je¹dzi do szkoªy rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonuj t sam drog. Ala wyjechaªa do szkoªy o godzinie 7:00 i pokonaªa caª drog w ci gu 40 minut. Ola wyjechaªa 10 minut pó¹niej ni» Ala, a pokonanie caªej drogi zaj ªo jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziªa Al. (CKE, Arkusz przygotowawczy do matury 2014/ poziom podstawowy)

30 Turysta zwiedzaª zamek stoj cy na wzgórzu. Droga ª cz ca parking z zamkiem ma dªugo± 2,1 km. Š czny czas w drówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licz c czasu po±wi conego na zwiedzanie, byª równy 1 godzin i 4 minuty. Oblicz, z jak ±redni pr dko±ci turysta wchodziª na wzgórze, je»eli pr dko± ta byªa o 1 km/h mniejsza od ±redniej pr dko±ci, z jak schodziª ze wzgórza. (Matura 2014, poziom podstawowy)

31 Dwa miasta ª czy linia kolejowa o dªugo±ci 336 kilometrów. Pierwszy poci g przebyª t tras w czasie o 40 minut krótszym ni» drugi poci g. rednia pr dko± pierwszego poci gu na tej trasie byªa o 9 km/h wi ksza od ±redniej pr dko±ci drugiego poci gu. Oblicz ±redni pr dko± ka»dego z tych poci gów na tej trasie. (Matura 2013, poziom podstawowy)

32 Kolarz pokonaª tras 114 km. Gdyby jechaª ze ±redni pr dko±ci mniejsz o 9,5 km/h, to pokonaªby t tras w czasie o 2 godziny dªu»szym. Oblicz, z jak ±redni pr dko±ci jechaª ten kolarz. (Matura 2012, sierpie«, poziom podstawowy)