Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Transkrypt

1 Kombinatoryka Magdalena Lema«ska

2 Zasady zaliczenia przedmiotu

3 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent.

4 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów

5 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów.

6 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia.

7 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia. Aby uzna wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby co najmniej 25 punktów.

8 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia. Aby uzna wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby co najmniej 25 punktów. Aby zaliczy przedmiot, nale»y zdoby co najmniej 50 punktów, przy czym nie przewidywane s zwolnienia z egzaminu.

9 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia. Aby uzna wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby co najmniej 25 punktów. Aby zaliczy przedmiot, nale»y zdoby co najmniej 50 punktów, przy czym nie przewidywane s zwolnienia z egzaminu. Jest mo»liwo±c podwy»szenia oceny przez uzyskanie extra-punktów za wykonanie pewnych zada«dodatkowych zaproponowanych przez wykªadowc. Szczegóªy tych zada«b d podane na którym± z kolejnych wykªadów. Te punkty mog zosta dodane jedynie w przypadku zaliczenia przedmiotu (tzn. sªu» do PODWY SZENIA oceny, a nie do uzyskania zaliczenia).

10 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia. Aby uzna wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby co najmniej 25 punktów. Aby zaliczy przedmiot, nale»y zdoby co najmniej 50 punktów, przy czym nie przewidywane s zwolnienia z egzaminu. Jest mo»liwo±c podwy»szenia oceny przez uzyskanie extra-punktów za wykonanie pewnych zada«dodatkowych zaproponowanych przez wykªadowc. Szczegóªy tych zada«b d podane na którym± z kolejnych wykªadów. Te punkty mog zosta dodane jedynie w przypadku zaliczenia przedmiotu (tzn. sªu» do PODWY SZENIA oceny, a nie do uzyskania zaliczenia). Nie ma mo»liwo±ci poprawiania kolokwiów. Ostatni wykªad b dzie przeznaczony na pisanie kolokwium (pierwszego lub drugiego) przez osoby, które b d nieobecne na którym± z tych kolokwiów i przynios mi zwolnienie lekarskie lub inny dokument usprawiedliwiaj cy nieobecno±.

11 Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj cia. Na ka»dym kolokwium mo»na zdoby do 25 punktów Przedmiot ko«czy si egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby do 45 punktów. Pozostaªe 5 punktów zdobywa si za aktywno± na zaj ciach. Rodzaj aktywno±ci okre±la prowadz cy wiczenia. Aby uzna wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby co najmniej 25 punktów. Aby zaliczy przedmiot, nale»y zdoby co najmniej 50 punktów, przy czym nie przewidywane s zwolnienia z egzaminu. Jest mo»liwo±c podwy»szenia oceny przez uzyskanie extra-punktów za wykonanie pewnych zada«dodatkowych zaproponowanych przez wykªadowc. Szczegóªy tych zada«b d podane na którym± z kolejnych wykªadów. Te punkty mog zosta dodane jedynie w przypadku zaliczenia przedmiotu (tzn. sªu» do PODWY SZENIA oceny, a nie do uzyskania zaliczenia). Nie ma mo»liwo±ci poprawiania kolokwiów. Ostatni wykªad b dzie przeznaczony na pisanie kolokwium (pierwszego lub drugiego) przez osoby, które b d nieobecne na którym± z tych kolokwiów i przynios mi zwolnienie lekarskie lub inny dokument usprawiedliwiaj cy nieobecno±. Na wiczeniach mo»na mie trzy nieusprawiedliwione nieobecno±ci. Przy czwartej skre±lam dan osob z listy studentów i wysyªam odpowiedni informacj do dziekanatu.

12 Literatura 'Matematyka Dyskretna' Andrzej Szepietowski 'Discrete Mathematics' Seymour Lipschutz, Marc Lipson 'Aspekty kombinatoryki' Victor Bryant 'Combinatorics' V.K. Balakrishnan

13 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli?

14 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli? 1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy dwa ci gi dªugo±ci jeden: i cztery ci gi dªugo±ci dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b).

15 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli? 1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy dwa ci gi dªugo±ci jeden: i cztery ci gi dªugo±ci dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyska ci gi dªugo±ci trzy, post pujemy w nast puj cy sposób: bierzemy cztery ci gi dªugo±ci dwa i najpierw do ka»dego z nich dopisujemy na pocz tku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b).

16 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli? 1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy dwa ci gi dªugo±ci jeden: i cztery ci gi dªugo±ci dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyska ci gi dªugo±ci trzy, post pujemy w nast puj cy sposób: bierzemy cztery ci gi dªugo±ci dwa i najpierw do ka»dego z nich dopisujemy na pocz tku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ci gów dªugo±ci dwa dopisujemy na pocz tku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b).

17 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli? 1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy dwa ci gi dªugo±ci jeden: i cztery ci gi dªugo±ci dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyska ci gi dªugo±ci trzy, post pujemy w nast puj cy sposób: bierzemy cztery ci gi dªugo±ci dwa i najpierw do ka»dego z nich dopisujemy na pocz tku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ci gów dªugo±ci dwa dopisujemy na pocz tku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te s rozª czne i oba zawieraj ró»ne ci gi. Razem tworz zbiór wszystkich ci gów dªugo±ci trzy.

18 Ci gi dªugo±ci k Ile ci gów dªugo±ci k mo»na utworzy z elementów zbioru zawieraj cego n symboli? 1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy dwa ci gi dªugo±ci jeden: i cztery ci gi dªugo±ci dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyska ci gi dªugo±ci trzy, post pujemy w nast puj cy sposób: bierzemy cztery ci gi dªugo±ci dwa i najpierw do ka»dego z nich dopisujemy na pocz tku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ci gów dªugo±ci dwa dopisujemy na pocz tku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te s rozª czne i oba zawieraj ró»ne ci gi. Razem tworz zbiór wszystkich ci gów dªugo±ci trzy. Twierdzenie Liczba ci gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru {a, b} wynosi 2 k.

19 Uogólnienie Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj c powy»sze rozumowanie mo»emy si przekona,»e istnieje n ci gów dªugo±ci jeden, n 2 ci gów dªugo±ci dwa i ogólnie ci gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi cej ni» ci gów dªugo±ci k. Zachodzi zatem twierdzenie.

20 Uogólnienie Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj c powy»sze rozumowanie mo»emy si przekona,»e istnieje n ci gów dªugo±ci jeden, n 2 ci gów dªugo±ci dwa i ogólnie ci gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi cej ni» ci gów dªugo±ci k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ci gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k.

21 Uogólnienie Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj c powy»sze rozumowanie mo»emy si przekona,»e istnieje n ci gów dªugo±ci jeden, n 2 ci gów dªugo±ci dwa i ogólnie ci gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi cej ni» ci gów dªugo±ci k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ci gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B.

22 Uogólnienie Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj c powy»sze rozumowanie mo»emy si przekona,»e istnieje n ci gów dªugo±ci jeden, n 2 ci gów dªugo±ci dwa i ogólnie ci gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi cej ni» ci gów dªugo±ci k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ci gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ci g Ka»d funkcj f : A B mo»na przedstawi jako ci g (f (1), f (2),..., f (k)).

23 Uogólnienie Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj c powy»sze rozumowanie mo»emy si przekona,»e istnieje n ci gów dªugo±ci jeden, n 2 ci gów dªugo±ci dwa i ogólnie ci gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi cej ni» ci gów dªugo±ci k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ci gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ci g Ka»d funkcj f : A B mo»na przedstawi jako ci g (f (1), f (2),..., f (k)). Ci g ten jest dªugo±ci k, a jego elementy s wzi te ze zbioru B.

24 Zauwa»my,»e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci g i na odwrót, ka»dy ci g (b 1,..., b k ) opisuje jedn funkcj : tak, która dla ka»dego 1 i k przypisuje warto± f (i) = b i.

25 Zauwa»my,»e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci g i na odwrót, ka»dy ci g (b 1,..., b k ) opisuje jedn funkcj : tak, która dla ka»dego 1 i k przypisuje warto± f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ci gów dªugo±ci k = A z elementami ze zbioru B. Udowodnili±my wi c poni»sze twierdzenie.

26 Zauwa»my,»e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci g i na odwrót, ka»dy ci g (b 1,..., b k ) opisuje jedn funkcj : tak, która dla ka»dego 1 i k przypisuje warto± f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ci gów dªugo±ci k = A z elementami ze zbioru B. Udowodnili±my wi c poni»sze twierdzenie. Twierdzenie Je±li zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k.

27 Zauwa»my,»e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci g i na odwrót, ka»dy ci g (b 1,..., b k ) opisuje jedn funkcj : tak, która dla ka»dego 1 i k przypisuje warto± f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ci gów dªugo±ci k = A z elementami ze zbioru B. Udowodnili±my wi c poni»sze twierdzenie. Twierdzenie Je±li zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobi to samo z dodatkowym warunkiem,»e funkcje s ró»nowarto±ciowe.

28 Zauwa»my,»e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci g i na odwrót, ka»dy ci g (b 1,..., b k ) opisuje jedn funkcj : tak, która dla ka»dego 1 i k przypisuje warto± f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ci gów dªugo±ci k = A z elementami ze zbioru B. Udowodnili±my wi c poni»sze twierdzenie. Twierdzenie Je±li zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobi to samo z dodatkowym warunkiem,»e funkcje s ró»nowarto±ciowe. Zadanie Ile jest funkcji f ze zbioru {1,..., n} w zbiór {a, b, c}? Ile spo±ród nich speªnia warunek f (1) = a? Ile speªnia warunek f (1) f (2)?

29 Ci gi bez powtórze«policzmy teraz, ile jest ci gów bez powtórze«, czyli ci gów ro»nowarto±ciowych. Je±li elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to mo»emy utworzy : trzy ci gi jednoelementowe: sze± ci gów dwuoelementowych: oraz sze± ci gów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

30 Ci gi bez powtórze«policzmy teraz, ile jest ci gów bez powtórze«, czyli ci gów ro»nowarto±ciowych. Je±li elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to mo»emy utworzy : trzy ci gi jednoelementowe: sze± ci gów dwuoelementowych: oraz sze± ci gów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) Przykªad Ile ró»nowarto±ciowych ci gów dªugo±ci cztery mo»na stworzy dla zbioru siedmioelementowego?

31 Twierdzenie Je±li elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ci gów k-elementowych bez powtórze«, które mo»na wybra z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1).

32 Twierdzenie Je±li elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ci gów k-elementowych bez powtórze«, które mo»na wybra z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesi tnym, trójkowym i dwójkowym?

33 Twierdzenie Je±li elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ci gów k-elementowych bez powtórze«, które mo»na wybra z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesi tnym, trójkowym i dwójkowym? Zadanie Ile istnieje liczb naturalnych pi ciocyfrowych, w których zapisie nie wyst puje cyfra zero? Ile istnieje liczb naturalnych pi ciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest 5?

34 Permutacje Permutacje to ci gi bez powtórze«dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego.

35 Permutacje Permutacje to ci gi bez powtórze«dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykªad Na przykªad, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sze± permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

36 Permutacje Permutacje to ci gi bez powtórze«dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykªad Na przykªad, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sze± permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilo± permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilo± permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!.

37 Permutacje Permutacje to ci gi bez powtórze«dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykªad Na przykªad, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sze± permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilo± permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilo± permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sze±cioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia si w szeregu do zdj cia. Ile ró»nych fotograi mo»na otrzyma, je±li: a) ka»dy mo»e sta obok ka»dego; b) rodzice stoj na dwóch ko«cach szeregu?

38 Permutacje Permutacje to ci gi bez powtórze«dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykªad Na przykªad, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sze± permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilo± permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilo± permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sze±cioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia si w szeregu do zdj cia. Ile ró»nych fotograi mo»na otrzyma, je±li: a) ka»dy mo»e sta obok ka»dego; b) rodzice stoj na dwóch ko«cach szeregu? Zadanie Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rz dzie dziesi ciu zdaj cych, w tym dwóch z jednej szkoªy. Na ile sposobów mo»na rozsadzi zdaj cych tak, by: a) znajomi z jednej szkoªy nie siedzieli obok siebie; b) siedzieli na przeciwnych ko«cach rz du; c) mi dzy nimi siedziaªy dokªadnie trzy inne osoby?

39 Inna denicja permutacji Czasami u»ywa si innej denicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja ró»nowarto±ciowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór.

40 Inna denicja permutacji Czasami u»ywa si innej denicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja ró»nowarto±ciowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji u»ywa si zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n)

41 Inna denicja permutacji Czasami u»ywa si innej denicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja ró»nowarto±ciowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji u»ywa si zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Skªadanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe mo»na skªada tak, jak skªada si funkcje. Zªo»enie permutacji okre±lone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)).

42 Inna denicja permutacji Czasami u»ywa si innej denicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja ró»nowarto±ciowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji u»ywa si zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Skªadanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe mo»na skªada tak, jak skªada si funkcje. Zªo»enie permutacji okre±lone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)). Wªasno±ci permutacji Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze {1, 2,..., n} z dziaªaniem zªo»enia ma nast puj ce wªasno±ci:

43 Wªasno±ci permutacji

44 Wªasno±ci permutacji Zªo»enie permutacji jest ª czne, tzn. dla ka»dych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ.

45 Wªasno±ci permutacji Zªo»enie permutacji jest ª czne, tzn. dla ka»dych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. W±ród permutacji istnieje identyczno± id, czyli permutacja, która ka»demu x z dziedziny przypisuje warto± id(x) = x. Identyczno± jest elementem neutralnym skªadania permutacji, poniewa» dla ka»dej permutacji π, id π = π id = π.

46 Wªasno±ci permutacji Zªo»enie permutacji jest ª czne, tzn. dla ka»dych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. W±ród permutacji istnieje identyczno± id, czyli permutacja, która ka»demu x z dziedziny przypisuje warto± id(x) = x. Identyczno± jest elementem neutralnym skªadania permutacji, poniewa» dla ka»dej permutacji π, id π = π id = π. Dla ka»dej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, speªniaj ca warunek π π 1 = π 1 π = id.

47 Wªasno±ci permutacji Zªo»enie permutacji jest ª czne, tzn. dla ka»dych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. W±ród permutacji istnieje identyczno± id, czyli permutacja, która ka»demu x z dziedziny przypisuje warto± id(x) = x. Identyczno± jest elementem neutralnym skªadania permutacji, poniewa» dla ka»dej permutacji π, id π = π id = π. Dla ka»dej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, speªniaj ca warunek π π 1 = π 1 π = id. Zadanie Obliczy π 1 π 2, π 2 π 1, π 1 1, π 1 2, je±li π 1 = ( 12345) 25431, π1 = ( ).

48 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sko«czony zbiór n-elementowy. Je±li zbiór skªada si z trzech elementów: {a, b, c}, to mo»emy ªatwo wypisa wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

49 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sko«czony zbiór n-elementowy. Je±li zbiór skªada si z trzech elementów: {a, b, c}, to mo»emy ªatwo wypisa wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozwa»my teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z ka»dym zbiorem A {1, 2,..., n} zwi zana jest jego funkcja charakterystyczna, okre±lona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A.

50 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sko«czony zbiór n-elementowy. Je±li zbiór skªada si z trzech elementów: {a, b, c}, to mo»emy ªatwo wypisa wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozwa»my teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z ka»dym zbiorem A {1, 2,..., n} zwi zana jest jego funkcja charakterystyczna, okre±lona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A. Dziedzin funkcji jest zbiór {1, 2,..., n}, a przeciwdziedzin zbiór {0, 1}. Zauwa»my,»e ka»demu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna i na odwrót, je±li we¹miemy dowoln funkc χ : {1, 2,..., n} {0, 1}, to wyznacza ona zbiór A = {i : χ(i) = 1}.

51 Z powy»szych rozwa»a«wynika,»e liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcze±niejszego twierdzenia o funkcjach mamy:

52 Z powy»szych rozwa»a«wynika,»e liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcze±niejszego twierdzenia o funkcjach mamy: Twierdzenie Ka»dy zbiór n-elementowy ma 2 n podzbiorów.

53 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy si teraz nad podzbiorami okre±lonej mocy.

54 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy si teraz nad podzbiorami okre±lonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sze± podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}.

55 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy si teraz nad podzbiorami okre±lonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sze± podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczb podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza si przez ( n k).

56 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy si teraz nad podzbiorami okre±lonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sze± podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczb podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza si przez ( n k). Wªa±nie pokazali±my,»e ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 = 1, = 4, = 6, = 4, = 1. 0) 1) 2) 3) 4)

57 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k

58 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Je±li 0 k n, to symbol Newtona mo»na obliczy ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!.

59 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Je±li 0 k n, to symbol Newtona mo»na obliczy ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla ka»dej liczby rzeczywistej t oraz liczby caªkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k.

60 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Je±li 0 k n, to symbol Newtona mo»na obliczy ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla ka»dej liczby rzeczywistej t oraz liczby caªkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby caªkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k.

61 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Je±li 0 k n, to symbol Newtona mo»na obliczy ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla ka»dej liczby rzeczywistej t oraz liczby caªkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby caªkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k. Je±li podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzenia, to otrzymamy 2 n = n k=0 ( n k), co potwierdza jeszcze raz,»e wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest 2 n.

62 Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada szuadkowa Dirichleta Je»eli n obiektów jest rozmieszczonych w m szuadach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuada z przynajmniej dwoma obiektami.

63 Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada szuadkowa Dirichleta Je»eli n obiektów jest rozmieszczonych w m szuadach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykªad Na sali znajduje si 47 osób. Pokaza,»e na sali znajdzie si siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia.

64 Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada szuadkowa Dirichleta Je»eli n obiektów jest rozmieszczonych w m szuadach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykªad Na sali znajduje si 47 osób. Pokaza,»e na sali znajdzie si siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykªad Spo±ród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sze±. Udowodni,»e spo±ród wybranych liczb mo»na wybra dwie, które sumuj si do 10.

65 Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada szuadkowa Dirichleta Je»eli n obiektów jest rozmieszczonych w m szuadach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykªad Na sali znajduje si 47 osób. Pokaza,»e na sali znajdzie si siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykªad Spo±ród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sze±. Udowodni,»e spo±ród wybranych liczb mo»na wybra dwie, które sumuj si do 10. Przykªad Pewna grupa osób wita si, podaj c sobie r ce. Nikt nie wita si z samym sob i»adna para osób nie wita si podwójnie. Czy musz by dwie osoby, które witaªy t sam liczb osób?

66 Zasada wª czania i wyª czania.

67 Zasada wª czania i wyª czania. Zadanie W klasie licz cej 33 osoby, 17 uczniów uczy si wªoskiego, 17 hiszpa«skiego i 15 portugalskiego. W±ród nich 7 uczniów uczy si hiszpa«skiego i wªoskiego, 9 wªoskiego i portugalskiego, 6 hiszpa«skiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy si wszystkich trzech j zyków. Ilu uczniów nie uczy si»adnego j zyka?

68 Zasada wª czania i wyª czania. Zadanie W klasie licz cej 33 osoby, 17 uczniów uczy si wªoskiego, 17 hiszpa«skiego i 15 portugalskiego. W±ród nich 7 uczniów uczy si hiszpa«skiego i wªoskiego, 9 wªoskiego i portugalskiego, 6 hiszpa«skiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy si wszystkich trzech j zyków. Ilu uczniów nie uczy si»adnego j zyka? Zadanie Do pracy zgªosiªo si 16 tªumaczy znaj cych rosyjski, hiszpa«ski lub angielski. 12 znaªo rosyjski, 15 hiszpa«ski, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpa«ski jednocze±nie. Ilu znaªo hiszpa«ski i angielski, ale nie znaªo rosyjskiego, je±li wiadomo,»e 8 znaªo rosyjski i angielski?

69 Zasada wª czania i wyª czania. Zadanie W klasie licz cej 33 osoby, 17 uczniów uczy si wªoskiego, 17 hiszpa«skiego i 15 portugalskiego. W±ród nich 7 uczniów uczy si hiszpa«skiego i wªoskiego, 9 wªoskiego i portugalskiego, 6 hiszpa«skiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy si wszystkich trzech j zyków. Ilu uczniów nie uczy si»adnego j zyka? Zadanie Do pracy zgªosiªo si 16 tªumaczy znaj cych rosyjski, hiszpa«ski lub angielski. 12 znaªo rosyjski, 15 hiszpa«ski, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpa«ski jednocze±nie. Ilu znaªo hiszpa«ski i angielski, ale nie znaªo rosyjskiego, je±li wiadomo,»e 8 znaªo rosyjski i angielski? Zasada wª czania i wyª czania Dla zbiorów A 1,..., A n, sko«czonych i parami rozª cznych: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n.

70 Zasada wª czania i wyª czania Zasada wª czania i wyª czania Dla zbiorów sko«czonych A 1,..., A n zachodzi: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n 2 + A n 1 + A n A 1 A 2 A 1 A 3... A n 2 A n A n 1 A n + A 1 A 2 A A n 2 A n 1 A n ( 1) n+1 A 1 A 2... A n.

71 Ilo± najkrótszych dróg Ile jest najkrótszych dróg z A do B?

72 Mamy 9 skrzy»owa«, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na póªnoc. Mamy wi c ( 9 3) = ( 9 6) = 94.

73 Mamy 9 skrzy»owa«, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na póªnoc. Mamy wi c ( 9 3) = ( 9 6) = 94. ( Ogólnie, dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a wi c ilo± najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n.

74 Mamy 9 skrzy»owa«, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na póªnoc. Mamy wi c ( 9 3) = ( 9 6) = 94. ( Ogólnie, dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a wi c ilo± najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n. Przykªad Ile rozwi za«ma ma równanie x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7, gdzie x i s liczbami caªkowitymi?

75 Mamy 9 skrzy»owa«, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na póªnoc. Mamy wi c ( 9 3) = ( 9 6) = 94. ( Ogólnie, dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a wi c ilo± najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n. Przykªad Ile rozwi za«ma ma równanie x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7, gdzie x i s liczbami caªkowitymi? Przykªad Ile rozwi za«ma ma równanie x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 17, gdzie x 1 0, x 2 2, x 3 = 3, x 4 2, x 5 3?