ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 63 2

3 Wykªad 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych Pokazali±my ju»,»e o ile k > 2, to nie istniej pierwiastki pierwotne modulo 2 k. Nast pne twierdzenie znacznie rozszerzy klas liczb, dla których nie ma pierwiastków pierwotnych Twierdzenie. Przypu± my,»e p jest nieparzyst liczb pierwsz. Je»eli n p k oraz n 2p k dla pewnego k > 0, to nie istnieje pierwiastek pierwotny modulo n. Dowód. Je±li n speªnia zaªo»enia twierdzenia, to n = rs, gdzie r > 2, s > 2 oraz NWD(r, s) = 1. Wówczas φ(n) = φ(r)φ(s), przy czym zarówno φ(r) jak i φ(s) jest liczb parzyst. Z twierdzenia Eulera mamy: a φ(r)φ(s) 2 ( φ(s) a φ(r)) 2 1 (mod r), a φ(r)φ(s) 2 ( φ(r) a φ(s)) 2 1 (mod s). Zatem, poniewa» NWD(r, s) = 1, otrzymujemy a φ(r)φ(s) 2 1 (mod rs), czyli a φ(n) 2 1 (mod n) dla dowolnej liczby a wzgl dnie pierwszej z n. Czyli»adna liczba a wzgl dnie pierwsza z n nie mo»e by pierwiastkiem pierwotnym modulo n. 55

4 Poka»emy,»e dla pozostaªych liczb, tj. dla pot g i podwojonych pot g nieparzystych liczb pierwszych pierwiastki pierwotne istniej. Ale aby udowodni odpowiednie twierdzenie potrzebujemy pewnych wiadomo±ci na temat wykªadników uniwersalnych. Twierdzenie 6.6 mówi,»e liczba φ(n) mo»e by poprawiona do takiej liczby w(n) < φ(n),»e dla dowolnej liczby a wzgl dnie pierwszej z n zachodzi kongruencja a w(n) 1 (mod n). (13.1) Najmniejsz liczb dodatni o wªasno±ci (13.1) oznaczamy λ(n) i nazywamy wykªadnikiem uniwersalnym modulo n. Je±li istnieje pierwiastek pierwotny modulo n, to λ(n) = φ(n). W przykªadzie 12.6 pokazali±my,»e λ(16) = 4. Rezultat ten mo»na uogólni i pokaza,»e λ(2 k ) = 2 k 2 dla k 3. Poka»emy,»e dla ka»dego n istnieje element rz du λ(n) modulo n. Potrzebny nam b dzie nast puj cy lemat Lemat. Przypu± my,»e ord n a = k, oraz ord n b = l. Wówczas istnieje element rz du NWW(k, l) modulo n. Dowód. Zapiszmy k = xu i l = yv, przy czym NWD(x, y) = 1, xy = NWW(k, l). Z twierdzenia 12.4 wynika,»e ord n a u = x oraz ord n b v = y. Rozwa»my liczb c = a u b v. Poniewa» c xy (a u ) x (b v ) y 1 (mod n), wi c ord n c xy. Z drugiej strony, je±li ord n c xy, to ord n c = x 1 y 1, gdzie x 1 x, y 1 y i zachodzi przynajmniej jedna z nierówno±ci x 1 < x, y 1 < y. Mo»emy zaªo»y,»e y 1 < y. Zapiszemy w tym wypadku x 2 ord n c = xy 1, przy czym x 1 x 2 = x. Zatem 1 c xy 1 (b v ) xy 1 (mod n). Ale to oznacza,»e rz d b v jest dzielnikiem xy 1, a poniewa» NWD(x, y) = 1, wi c y y 1, co jest sprzeczne z nierówno±ci y 1 < y. Zatem ord n c = xy = NWW(k, l). Dla przykªadu rozwa»my n = 465. Mo»na pokaza,»e ord n 2 = 20 oraz ord n 7 = 30. Istnieje zatem element rz du 60 modulo 465. Dowód lematu pozwala wskaza ten element in explicite. Mianowicie, rozpisujemy 20 = 4 5, 30 = 15 2 i otrzymujemy NWW(20, 30) = 4 15 oraz NWD(4, 15) = 1. St d liczba ma rz d

5 13.3 Twierdzenie. Dla ka»dego n istnieje liczba caªkowita a rz du λ(n). Dowód. Zapiszmy M = max {ord n x : NWD(x, n) = 1}. Wówczas M λ(n). Je±li istnieje taka liczba caªkowita y,»e ord n y M, to mo»emy skonstruowa taki element t,»e ord n t = NWW(ord n a, M) > M. Ale takich elementów nie ma, wi c rz d ka»dej liczby wzgl dnie pierwszej z n jest dzielnikiem M. Oznacza to jednak,»e x M 1 (mod n) dla ka»dej liczby x wzgl dnie pierwszej z n, czyli λ(n) M. Tak wi c λ(n) = M, a z denicji M wynika,»e istnieje liczba a rz du M. Z powy»szego twierdzenie i twierdzenia Lagrange'a wynika twierdzenie o istnieniu pierwiastka pierwotnego modulo liczba pierwsza Twierdzenie. Dla ka»dej liczby pierwszej p istnieje pierwiastek pierwotny modulo p. Dowód. Przypu± my, nie wprost,»e λ(p) < p 1. Oznacza to,»e kongruencja x λ(p) 1 (mod p) ma p 1 > λ(p) pierwiastków modulo p, a to przeczy twierdzeniu Lagrange'a. Zatem λ(p) = p 1 i element rz du λ(p) jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p Wniosek. Przypu± my,»e d p 1 oraz d > 0. Wówczas elementów rz du d modulo p jest φ(d). Dowód. Rozwa»my pierwiastek pierwotny g modulo p. Z twierdzenia 12.4 wynika,»e ord p g i p 1 = NWD(i, p 1) = d. St d NWD(i, p 1) = p 1, czyli istnieje liczba j, taka»e i = j(p 1)/d. d Zapiszmy p 1 = d d. Wtedy ( ) j(p 1) d = NWD(i, p 1) = NWD, dd = NWD(jd, dd ) = d NWD(j, d), d czyli NWD(j, d) = 1, a takich liczb j modulo d jest dokªadnie φ(d). Zatem wykªadników i daj cych g i rz d d jest φ(d). Jak ju» zauwa»yli±my istniej pierwiastki pierwotne modulo 4 oraz modulo dowolna liczba pierwsza. Bior c pod uwag przypadki liczb zªo»onych wykluczone przez twierdzenie 13.1, pozostaje nam rozwa»y liczby p k oraz 2p k, gdzie p jest nieparzyst liczb pierwsz oraz k > 1. W trzech 57

6 nast puj cych twierdzeniach poka»emy istnienie pierwiastków pierwotnych modulo te liczby. Twierdzenia te poª czone s ze sob ªa«cuchem wynikania, tj. zaªo»enie nast pnego twierdzenia jest praktycznie tez poprzedniego. Za- ªo»enie pierwszego z tych twierdze«jest speªnione na mocy twierdzenia Twierdzenie. Je±li g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p, to g lub g + p jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p 2. Dowód. Niech k = ord p 2g. Skoro φ(p 2 ) = p(p 1), wi c k p(p 1). Mamy zatem g k 1 (mod p 2 ), czyli tak»e g k 1 (mod p). Poniewa» g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p, wi c p 1 k. St d k = p(p 1) lub k = p 1. W pierwszym przypadku g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p 2. W drugim przypadku rozwa»my g + p. Oznaczmy l = ord p 2(g + p). Podobnie jak na pocz tku dowodu, mamy l p(p 1). Poniewa» g + p g (mod p), wi c g + p jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p i p 1 l, czyli l = p 1 lub l = p(p 1). Przypu± my,»e zachodzi ten gorszy przypadek, czyli»e l = p 1. Wówczas ( ) p (g + p) p g p + pg p 1 + p 2 co± g p + p 2 g p 1 g p (mod p 2 ). 1 Ale z pierwszej cz ±ci dowodu wynika g p 1 1 (mod p 2 ), wi c (g + p) p g (mod p 2 ). Z drugiej strony, skoro l = p 1, wi c (g + p) p g + p (mod p 2 ). Zatem g + p g (mod p 2 ), co oznacza,»e p 2 p. Tak wi c otrzymali±my sprzeczno±, która mówi,»e l = p(p 1) i g + p jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p Twierdzenie. Je»eli g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p 2, to g jest te» pierwiastkiem pierwotnym modulo p k+1 dla k 2. Dowód. Z Maªego Twierdzenia Fermata mamy g p 1 1 (mod p), wi c istnieje liczba caªkowita k, taka»e g p 1 = 1 + kp. Ale g p 1 1 (mod p 2 ), czyli k nie mo»e by wielokrotno±ci p. Zachodzi g pk (p 1) = (1 + kp) pk 1 + p k pk 1 (mod p k+1 ), g pk 1 (p 1) = (1 + kp) pk p k 1 pk 1 + kp k (mod p k+1 ). (13.2) Poniewa» k nie jest wielokrotno±ci p, wi c 1 + kp k 1 (mod p) k+1. Przypu± my,»e s p 1, r k oraz g spr 1 (mod p k+1 ). Wówczas tak»e g spr 1 (mod p 2 ), wi c p(p 1) sp r, czyli p 1 s, a zatem p 1 = s. Tak wi c ordp k+1 g = p r (p 1). Ale r nie mo»e by mniejsza od k, bo to by dawaªo sprzeczno± z Zatem ordp k+1 g = p k (p 1) = φ(p k+1 ). 58

7 13.8 Twierdzenie. Je±li g jest nieparzystym pierwiastkiem pierwotnym modulo p k (k 1), to g jest te» pierwiastkiem pierwotnym modulo 2p k. Je»eli g jest liczb parzystym pierwiastkiem pierwotnym, to g + p k jest pierwiastkiem pierwotnym modulo 2p k. Dowód. Na pocz tku dowodu zauwa»my,»e φ(2p k ) = φ(p k ). Przypu± my,»e g jest liczb nieparzyst oraz s = ord 2p kg. Wówczas g s 1 (mod 2p k ), a co za tym idzie g s 1 (mod p k ). Poniewa» g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p k, wi c φ(p k ) s. Z drugiej strony s φ(2p k ) i, ostatecznie, s = φ(2p k ), czyli g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo 2p k. Przypu± my teraz,»e g jest liczb parzyst oraz t = ord 2p k(g + p k ). Podobnie jak do tej pory 1 (g + p k ) t g t (mod p k ), wi c φ(p k ) s i g + p k jest pierwiastkiem pierwotnym modulo 2p k. Rozwa»my dla przykªadu liczb 29 oraz pierwiastek pierwotny 14 modulo 29. Okazuje si,»e ord = 28 φ(29 2 ) = Oznacza to,»e 43 = jest pierwiastkiem pierwotnym modulo 29 2 oraz modulo 29 k dla k 3. Poniewa» 14 jest liczb parzyst, wi c nie jest ona wzgl dnie pierwsza z 58 = 2 29 i 43 jest te» pierwiastkiem pierwotnym modulo 58 oraz modulo 2 29 k dla k 2. 59