ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2

3 Wykªad 11 Liczby pseudopierwsze Teoria liczb znalazªa najwi ksze zastosowanie w kryptograi, a tam potrzeba du»ych liczb pierwszych i to takich, których nikt nie zna. Pojawia si zatem potrzeba szybkich algorytmów szukaj cych liczb pierwszych lub testuj cych liczby na pierwszo±. Warunek równowa»ny pierwszo±ci liczby, daje nam np. Twierdzenie Wilsona, które mówi,»e liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy (n 1)! 1 (mod n). Nie jest to jednak dobre kryterium ªatwiej sprawdzi czy n jest liczb pierwsz dziel c j przez kolejne liczby nieparzyste ni» oblicza (n 1)! (nawet modulo n). Dobrym testem pierwszo±ci jest Maªe Twierdzenie Fermata (5.1). Problem w tym, i» nie jest to warunek równowa»ny pierwszo±ci. Na przykªad, (mod 341), (11.1) chocia» 341 nie jest liczb pierwsz. Nasze rozwa»ania oprzemy jednak na tym twierdzeniu, badaj c które liczby zªo»one speªniaj tez MTF. Liczb zªo»on n nazywamy pseudopierwsz przy podstawie a (lub a- pseudopierwsz ), je±li a n 1 1 (mod n). (11.2) Piszemy wówczas w skrócie: n jest psp(a). Zauwa»my,»e ka»da liczba pseudopierwsza przy podstawie a jest wzgl dnie pierwsza z a, Jak wynika z (11.1), liczba 341 jest 2-pseudopierwsza. Jak pokazaª Sarrus w 1819 roku, jest to najmniejsza liczba pseudopierwsza przy podstawie 2. Kolejne odkrywane liczby psp(2) byªy nieparzyste. Dopiero w 1950, D.H. Lehmer odkryª pierwsz parzyst liczb 2-pseudopierwsz. Najmniejsz liczb pseudopierwsz przy podstawie 3 jest, natomiast,

4 Skoro najmniejsze liczby pseudopierwsze s tak du»e, to powstaje pytanie, czy jest ich niesko«czenie wiele. Odpowied¹ jest pozytywna Twierdzenie. Mamy niesko«czenie wiele liczb pseudopierwszych przy podstawie a. Dowód. Niech p > 2 b dzie dowoln liczb pierwsz. Rozwa»my liczby n = ap 1 a 1, m = ap + 1 a + 1, N = nm. Przypu± my,»e p nie jest dzielnikiem a, a 1 ani a + 1. Wówczas z Maªego Twierdzenia Fermata mamy p a p 1 1. Poniewa» a 1 a p 1 1 oraz NWD(p, a 1) = 1, wi c p ap 1 1. Zatem a 1 n 1 = ap a p 1 + a p 1 1 a 1 1 = a p ap 1 1 a 1 jest podzielna przez p. Dodatkowo jeszcze, n = 1 + a + a a p 1, wi c n 1 jest sum parzystej ilo±ci liczb o tej samej parzysto±ci, czyli jest liczb parzyst. Zatem 2p n 1. Dalej, mamy m 1 = ap a a + 1 = aap 1 1 a + 1. Poniewa» p a + 1, wi c, podobnie jak poprzednio, zauwa»amy»e 2p m 1. Ale, N 1 = nm 1 = (n 1)(m 1) + (n 1) + (m 1), wi c 2p N 1. Zauwa»my teraz,»e czyli N(a 2 1) = a 2p 1 i N = nm = ap 1 a 1 ap + 1 a + 1 = a2p 1 a 2 1, a 2p 1 (mod N). (11.3) Rozwa»my a N 1 1. Poniewa» 2p N 1, wi c istnieje liczba k, taka»e N 1 = 2pk. Po podniesieniu obu stron kongruencji (11.3) do pot gi k otrzymujemy a N 1 1 (mod N). Zatem N, która jest oczywi±cie liczb zªo»on, jest psp(a). Oczywi±cie, takich liczb N jest niesko«czenie wiele, poniewa» mamy niesko«czenie wiele liczb pierwszych, za pomoc których mo»emy zdeniowa liczby n oraz m. 47

5 Posªu»ymy si algorytmem z powy»szego twierdzenia. Dla a = 2 oraz p = 5 otrzymujemy liczb N = 341, a dla p = 7, liczb Podobnie, podstawiaj c a = 3 oraz p = 5, dostajemy liczb N = 7381, pseudopierwsz przy podstawie 3. Ogólnie, mamy 5597 liczb psp(2) mniejszych od miliarda oraz 5804 liczby psp(3) mniejsze od miliarda. Posiadaj c baz tych liczb mo»emy zastosowa nast puj cy test pierwszo±ci dla liczb n mniejszych od miliarda: 1. sprawd¹, czy liczba n speªnia tez Maªego Twierdzenia Fermata dla a = 2, je±li tak 2. sprawd¹, czy liczba n jest na li±cie liczb pseudopierwszych przy podstawie 2. Je±li nie, n jest pierwsza. 3. Je±li tak, powtórz kroki 1 i 2 dla a = 3. Jak wida, liczby pseudopierwsze nie s tak g sto rozmieszczone jak liczby pierwsze. Wydaje si wi c,»e bior c odpowiednio du»o pocz tkowych liczb pierwszych jako podstawy dojdziemy w ko«cu do sytuacji, w której nie znajdziemy liczb pseudopierwszych mniejszych od okre±lonej liczby. Jak odkryª w 1912 roku R.D. Carmichael, jest to sytuacja niemo»liwa. Liczb zªo»on n nazywamy liczb Carmichaela, je±li n jest psp(a) dla ka»dej liczby a wzgl dnie pierwszej z n. Jak pokazaª w roku 1992 A. Granville, liczb Carmichaela jest niesko«czenie wiele. Podamy przykªad jednej z nich Przykªad. Mamy 561 = Niech a b dzie liczb wzgl dnie pierwsz z 561. Korzystaj c z Maªego Twierdzenia Fermata, otrzymujemy: a 2 1 (mod 3) a 560 (a 2 ) (mod 3) a 10 1 (mod 11) a 560 (a 10 ) 56 1 (mod 11) a 16 1 (mod 17) a 560 (a 16 ) 35 1 (mod 17). Dalej, z chi«skiego twierdzenia o resztach, dostajemy a (mod 561), co oznacza,»e 561 jest liczb Carmichaela. Do± du»y post p w skuteczno±ci testów opartych na liczbach pseudopierwszych daje nast puj ca obserwacja. Je±li liczba p jest pierwsza, to kongruencja x 2 1 (mod p) ma dokªadnie 2 rozwi zania: 1 i 1 (twierdzenie Lagrange'a). Z tego samego twierdzenia wynika,»e je»eli kongruencja x 2 1 (mod n) 48

6 ma wi cej ni» dwa rozwi zania, to n musi by liczb zªo»on. Zatem problem testowania liczby n na pierwszo± sprowadza si do szukania nietrywialnych pierwiastków stopnia 2 z jedynki modulo n. Z oczywistych wzgl dów, b dziemy dalej rozwa»a tylko nieparzyste liczby n. Skoro n jest nieparzysta, to n 1 mo»na zapisa w postaci 2 r s, gdzie s jest liczb nieparzyst oraz r > 0. Przypu± my,»e liczba n jest pierwsza lub pseudopierwsza przy podstawie a. Wówczas a n 1 1 (mod n). Rozwa»amy po kolei liczby x 0 = a s mod n, x 1 = a 2s mod n,... x r = a 2rs mod n. Zauwa»my,»e aby obliczy warto±ci wszystkich wyrazów ci gu X = (x 0, x 1,..., x r ), wystarczy obliczy x 0, a nast pnie podnosi j sukcesywnie do kwadratu i redukowa modulo n otrzymuj c kolejne wyrazy. Ostatecznie, mamy 3 mo»- liwo±ci: 1. istnieje 0 < t r, takie»e x t = 1 oraz x t 1 = 1, 2. istnieje 0 < t r, takie»e x t = 1, x t 1 ±1, 3. x 0 = 1. Oczywi±cie, je±li x t = 1, to dla i > t mamy x i = 1. Zatem je±li w pewnym momencie konstrukcji w ci gu X pojawi si 1, to wszystkie nast pne wyrazy te» s równe 1. Poniewa» x r = a n 1, wi c x r = 1. Je±li speªniony jest warunek 2, to oznacza to,»e kongruencja x 2 1 (mod n) ma wi cej ni» dwa pierwiastki (bo 1, 1 oraz x t 1 ), czyli n na pewno nie jest liczb pierwsz. Pozostaªe przypadki daj nast puj c denicj. Przypu± my,»e n jest nieparzyst psp(a). Mówimy,»e n jest liczb silnie pseudopierwsz, przy podstawie a lub spsp(a), je»eli a s 1 (mod n) lub istnieje 0 < t < r, takie»e a 2ts 1 (mod n), gdzie n 1 = 2 r s, s jest liczb nieparzyst oraz r > 0. W terminologii ci gu X mamy,»e n jest spsp(a), je±li jest speªniony warunek 1 lub Przykªad. Rozwa»my najmniejsz psp(2), czyli 341. Mamy 340 = oraz x 0 = 32, x 1 =1. Oznacza to,»e 341 nie jest spsp(2). Co wi cej, poniewa» x 0 jest nietrywialnym pierwiastkiem kwadratowym z 1 modulo 341, wi c mo»emy znale¹ rozkªad 341 obliczaj c NWD(32 1, 341) = 31 oraz NWD(32 + 1, 341) =

7 11.4 Przykªad. We¹my n = 561. Jest to liczba Carmichaela, czyli jest ona pseudopierwsza przy ka»dej podstawie. Mamy 560 = i niech a = 2. Wówczas x 0 = 263, x 1 = 166, x 2 = 67, x 3 = 1. Zatem 561 nie jest spsp(2) Przykªad. Najmniejsz liczb silnie pseudopierwsz przy podstawie 2 jest 2047 = Poka»emy,»e jest to istotnie liczba silnie pseudopierwsza. Mamy 2046 = oraz x 0 = 1. Wszystkich liczb psp(2) mniejszych od dziesi ciu miliardów jest 14884, ale liczb spsp(2) jest ju» tylko Najmniejsz liczb b d c jednocze±nie spsp(2) oraz spsp(3) jest = Nie ma liczby mniejszej od dziesi ciu miliardów, która by byªa jednocze±nie spsp(a) dla liczb a z przedziaªu [2, 13]. Mimo to liczb silnie pseudopierwszych przy dowolnej podstawie jest niesko«czenie wiele, co udowodnili C. Pomerance, J.L. Selfridge i S.S. Wagsta w 1980 roku. Trudny dowód ogólnego twierdzenia pomijamy i zadowolimy si tylko dowodem w przypadku a = Twierdzenie. Je±li n jest nieparzyst psp(2), to 2 n 1 jest spsp(2). Dowód. Poniewa» n jest liczb zªo»on, wi c tak»e 2 n 1 jest liczb zªo»on. Dalej, n jest psp(2), wi c 2 n 1 1 (mod n). Zapiszmy 2 n 1 1 = nk, przy czym liczba k (tak jak n) jest nieparzysta. Niech m = 2 n 1. Wówczas m 1 = 2 n 2 = 2nk. Zatem cz ±ci nieparzyst m 1 jest s = nk. Poniewa» mamy oczywist kongruencj 2 n 1 0 (mod m), wi c zachodzi te» 2 n 1 (mod m). Podnosz c strony tej kongruencji do pot gi k otrzymamy 2 nk 1 (mod m), czyli 2 s 1 (mod m) i m jest spsp(2). 50