Rozwiązanie stateczności ramy MES

Podobne dokumenty
1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

Stateczność ramy - wersja komputerowa

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

Stateczność ramy. Wersja komputerowa

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.

Zad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji:

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

1. Obciążenie statyczne

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ (wpływ temperatury)

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

Zagadnienie statyki kratownicy płaskiej

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

Wykład nr 2: Obliczanie ramy przesuwnej metodą przemieszczeń

ORIGIN 1. E 10GPa - moduł Younga drewna. 700 kg m 3. g - ciężar właściwy drewna g m s 2. 6cm b2 6cm b3 5cm 12cm h2 10cm h3 8cm. b1 h1.

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Modelowanie układów prętowych

= 2 42EI 41EI EI 2 P=15 M=10 M=10 3EI. q=5. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-l.

Metoda elementów skończonych

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...

ĆWICZENIE 6 Kratownice

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Mechanika Analityczna i Drgania

Wyboczenie ściskanego pręta

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

Zadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

5.1. Kratownice płaskie

METODA SIŁ KRATOWNICA

F + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi

Najprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia

Przykład przedstawia rozwiązanie problemu brzegowego 7u +3xu=9x 2 +4 u ( 1)=3 u(2)= 2

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Analiza płyt i powłok MES

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych. Element dwuwymiarowy liniowy : rama 2D

Stateczność ramy drewnianej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej siłą skupioną

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

Wrocław 2003 STATECZNOŚĆ. STATYKA 2 - projekt 1 zadanie 2

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Mechanika i Budowa Maszyn

Część 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie

Przykład 1.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Ć w i c z e n i e K 4

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Dr inż. Janusz Dębiński

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l

gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH. Ćwiczenie nr 4. Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Elementy projektowania inżynierskiego

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia

Układy równań i równania wyższych rzędów

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Rama statycznie wyznaczalna

Transkrypt:

Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek : Rama i jej mode skończenie eementowy ETAPI STATYKA. Obiczenie macierzy sztywności i wektorów obciążenia da eementów. Korzystając ze wzoru na macierz sztywności eementu ramowego: K e EA EA EA 2EI 3 6EI 2 6EI 2 4EI 2EI 6EI 3 2 6EI 2EI 2 EA 2EI 3 6EI 2 6EI 2 2EI 2EI 6EI 3 2 6EI 4EI 2 e () styczeń 29 P. Puciński

oraz ze wzoru na macierz transformacji: cos(α e ) sin(α e ) sin(α e ) cos(α e ) T e cos(α e ) sin(α e ), (2) sin(α e ) cos(α e ) i wykorzystując prawo transformacji obiczamy macierze da eementów. K e (T e ) T K e T e (3) Eement α 27, 4m Macierz sztywności 75.. 5. 75.. 5.. 5.25.. 5.25. K 5.. 4. 5.. 2. 75.. 5. 75.. 5.. 5.25.. 5.25. 5.. 2. 5.. 4. Wektory sił węzłowych p b r b {r r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 } Eement2 α 2 53.3, 2 5m Macierz sztywności 68.9 74. 76.8 68.9 74. 76.8 74. 27.4 57.6 74. 27.4 57.6 K 2 76.8 57.6 32. 76.8 57.6 6. 68.9 74. 76.8 68.9 74. 76.8 74. 27.4 57.6 74. 27.4 57.6 76.8 57.6 6. 76.8 57.6 32. Wektory sił węzłowych p 2b r 2b {r 2 r 2 2 r 2 3 r 2 4 r 2 5 r 2 6 } 2. Agregacja i budowa równań MES. Gobany układ równań MES budujemy wykorzystując tabicę topoogii oraz warunki ciągłości przemieszczeń uogónionych w węzłach. U d U 2U 2 d 4 U 2 2d 7 W d 2 W 2 W2 d 5 W 2 2 d 8 ϕ d 3 ϕ 2 ϕ2 d 6 ϕ 2 2 d 9 2 P. Puciński styczeń 29

gdzieu e i,w e i,e,i,2sąprzemieszczeniamieementówwgobanymukładziewspółrzędnych,aϕ e i kątami ugięcia. W rezutacie otrzymamy układ równań w postaci 75.. 5. 75.. 5..... 5.25.. 5.25.... 5.. 4. 5.. 2.... 75.. 5. 243.9 74. 226.8 68.9 74. 76.8. 5.25. 74. 77.525 57.6 74. 27.4 57.6 5.. 2. 226.8 57.6 72. 76.8 57.6 6.... 68.9 74. 76.8 68.9 74. 76.8... 74. 27.4 57.6 74. 27.4 57.6... 76.8 57.6 6. 76.8 57.6 32. d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9 r r 2 r 3 r4r 2 r5 r2 2 r6 r2 3 r4 2 r5 2 r6 2 (4) 3. Uwzgędnienie podstawowych warunków brzegowych i warunków równowagi sił w węzłach. Kinematyczne warunki brzegowe są niejednorodne i mają postać d d 2 d 3 d 4 d 7 d 8 (5) Statyczne warunki brzegowe są równaniami równowagi sił w węzłach ramy o postaci r r r 4r 2 r 4 r 2 4r 7 r 2 r 2 r 5 r2 2 r 5 r 2 5 r 8 r 3 r 3 r 6 r2 3 r 6 r 2 6 r 9 gdzier,r 2,r 3,r 4,r 7 ir 8 sąreakcjamipodpór. Podstawiając(5) i(6) do(4) otrzymamy końcowy układ równań w formie 75.. 5. 75.. 5..... 5.25.. 5.25.... 5.. 4. 5.. 2.... 75.. 5. 243.9 74. 226.8 68.9 74. 76.8. 5.25. 74. 77.525 57.6 74. 27.4 57.6 5.. 2. 226.8 57.6 72. 76.8 57.6 6.... 68.9 74. 76.8 68.9 74. 76.8... 74. 27.4 57.6 74. 27.4 57.6... 76.8 57.6 6. 76.8 57.6 32. (6) d 5 d 6 r d 9 r 2 r 3 r 4 r 7 r 8 (7) styczeń 29 P. Puciński 3

Jesttoukładdziewięciurównańztrzemaniewiadomymipierwotnymid 5,d 6 id 9 orazsześcioma niewiadomymi wtórnymi(reakcjami). Niewiadome pierwotne obiczymy rozwiązując 5te, 6te i 9te równanie(7) 77.525 57.6 57.6 57.6 72. 6. 57.6 6. 32. skąd po uwzgędnieniu zerowych przemieszczeń otrzymamy d 5 d 6 d 9 d{.36.592.273} 2 (8) Pozostałe równania(7) wykorzystujemy do obiczenia reakcji r{.888 6.5949.84 2.5834 2.4946 3.45 } (9) 4. Obiczenie wektorów sił przywęzłowych w eementach. Eement Wektor stopni swobody eementu w układzie współrzędnych gobanych d {.36.592} 2 Wektor sił przywęzłowych w układzie współrzędnych okanych r b T K d {6.5949.888.84 6.5949.888.2369} Eement 2 Wektor stopni swobody eementu d 2 {.36.592.273} 2 Wektor sił przywęzłowych w układzie współrzędnych okanych r 2b T 2 K 2 d 2 {4.228.474.2369 4.228.474} 4 P. Puciński styczeń 29

ETAP II STATECZNOŚĆ 5. Obiczenie macierzy sztywności geometrycznej da eementów. Wzór na macierz sztywności geometrycznej da eementu ramowego jest w postaci K e σ Ne 6 5 2 5 6 5 3 6 5 6 5 3 2 5 e () gdzien e jestwartościąsiłyściskającejdadanegoeementu. Znając macierze transformacji wyiczamy macierze da eementów. Eement(N 6.5949) K σ (T ) T K σ T.9785..6595.9785..6595.......6595. 3.573.6595..8793.9785..6595.9785..6595.......6595..8793.6595. 3.573 Eement2(N 2 4.228) K 2 σ (T2 ) T K 2 σ T2.6483.4862.3377.6483.4862.3377.4862.3647.2532.4862.3647.2532.3377.2532 2.838.3377.2532.734.6483.4862.3377.6483.4862.3377.4862.3646.2532.4862.3647.2532.3377.2532.735.3377.2532 2.838 styczeń 29 P. Puciński 5

6. Agregacja geometrycznej macierzy sztywności..9785..6595.9785..6595.............6595. 3.573.6595..8793....9785..6595 2.6268.4862.9972.6483.4862.3377 K σ....4862.3647.2532.4862.3647.2532.6595..8793.9972.2532 6.332.3377.2532.735....6483.4862.3377.6483.4862.3377....4862.3647.2532.4862.3647.2532....3377.2532.735.3377.2532 2.838 7. Rozwiązanie probemu własnego. Uwzgędniając warunki brzegowe otrzymamy następujący probemwłasny((kλk σ ) d) 77.525 57.6 57.6.3647.2532.2532 57.6 72. 6. λ.2532 6.332.735 d () 57.6 6. 32..2532.735 2.838 Wartość własną obiczymy z wyznacznika(przedstawiam jeden ze sposobów rozwiązywania probemu własnego) 77.525 57.6 57.6.3647.2532.2532 57.6 72. 6. λ.2532 6.332.735 57.6 6. 32..2532.735 2.838 co prowadzi do równania charakterystycznego probemu w postaci 77.525 57.6 57.6 57.6 72. 6. 57.6 6. 32. co daje 77.525 57.6.2532 57.6 72..735 57.6 6. 2.838 77.525.2532.2532 57.6 6.332.735 57.6.735 2.838 77.525.2532 57.6 57.6 6.332 6. 57.6.735 32..3647 57.6.2532.2532 72..735.2532 6. 2.838.3647 57.6 57.6.2532 72. 6..2532 6. 32..3647.2532 57.6.2532 6.332 6..2532.735 32..3647.2532.2532.2532 6.332.735.2532.735 2.838.5562 8 3.385 6 λ.4469 4 λ 2 5.6395λ 3 λ λ 2 λ 3 Najmniejszypierwiastekrównaniacharakterystycznegowynosiλ min 64.946.Popodstawieniu tejwartościdoukładurównań()orazprzyzałożeniu d 9 układtenprzyjmiepostać 747.849 4.527 4.527 d 5 4.527 38.869 25.687 d 6 4.527 25.687 37.259 d 9 6 P. Puciński styczeń 29

d 5 d 6 d 9 Rysunek2:Postaćwyboczeniadaλ min 64.946 codajerozwiązanie d 5.85, d 6.6636awektorwłasnydawszystkichstopniswobody wynosi d{.85.6636 } styczeń 29 P. Puciński 7