1. Fukcje elemetare (1) Zajd¹ wykres fukcji arcsi(si(x)). (2) Zajd¹ posªuguj c si wykresami fukcje odwrote do podaych i»ej, a ast pie sprawd¹,»e s to rzeczywi±cie odwrote. (a) f(x) = 2x; (b) f(x) = 3x 3; (c) f(x) = x 2 + 4; x + 1 dla x 2 (d) f(x) = x 2 + 2 dla x > 2; (3) Zajd¹ dziedzi oraz fukcj odwrot (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2 4 x 2, 3 log 2 x2. 1 (4) Rozwi» rówaia: 2 log 2(x 1) log 2 x = log 2 0,4, log 2 x 2 + 5 log 2 x + 2 = 3 log2 2, 3 x+1 + 3 x = 108. log (5) Policz warto±ci wyra»e«: 2 9+log 4 9 log 6 8, log 2 (3 5 ) log 4 (6 5 ), 3 log 2 5 5 log 2 3. (6) Niech f(x) = x + 1, g(x) = x 2 + 1, h(x) = log 2 (x 1). Zajd¹ zªo»eia fukcji: f(f(x)), f(g(x)), h(g(f(x))), h(f(g(x))). 2. Zapis matematyczy i elemety logiki matematyczej (1) Sprawd¹, czy s tautologiami zdaia logicze: (a) prawa logicze podae a wykªadzie (ie trzeba wszystkich); (b) [(p q) = r] = [(p = r) (q = r)]; (c) (p = q) [(p q) p]; (d) [(p q) p] = q; (e) (p = q) = [(p r) = q]; (f) (p = q) = [p = (q r)]. (2) Zapisz, u»ywaj c symboliki matematyczej zdaia: (a) Liczby x i y maj wspóly dzielik wi kszy od 2. (b) Je±li x i y ró»i si o 1, to ie maj wspólych dzielików wi kszych od 1. (c) Je±li x ie jest podziele przez 2 to ie jest podziele przez 6. (d) Wykresy fukcji f i g przeciaj si. (e) Wi ksza z liczb x, y jest podziela przez 3. f(x) = 3. Fukcje elemetare. Uzupeªieia. (1) Wylicz zªo»eia fukcji f(g(x)) oraz g(f(x)) i arysuj ich wykresy, je±li x + 1 dla x 2 x, g(x) = 2 + 2 dla x > 2 2x dla x 0 x dla x > 0. (2) Zajd¹ wykres fukcji: arctg(ctg(x)), tg(arcctg(x)), arcsi(cos(x)), si(2 arcsi(x)). 4. Operacje a zbiorach (1) Sprowad¹ poi»sze zdaia dotycz ce zbiorów do postaci zda«logiczych i sprawd¹ ich prawdziwo±. (a) (A B) A (A B); (b) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); (c) (A B C) \ (A B) = C; (d) A (A B) = A; (e) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C). (2) Uzasadij,»e prawdziwe s zdaia (a) (A B) (A B = B); (b) (A B) (A \ B = ); (c) (A \ B = B \ A) A = B.
5. Niesko«czoe operacje a zbiorach (1) Policz + A i oraz + A i, gdzie i=1 i=1 (a) A i = x : 0 x 1 i + 1 }; (b) A i = x : 10 1 i + 1 < x < 2i2 6i + 1}; (c) A i = x : (i + 1) 2 < x < 2i 2 5i + 5}; 1 (d) A i = x : 1 (i + 1) 2 < x < 2 + 1 i + 1 }; (e) A i = x : si x = i 5}; (2) Policz + A i oraz + A i, gdzie A i podae i»ej s podzbiorami pªaszczyzy. i=1 i=1 (a) A i = (x, y) : x 2 + y 2 < i}; (b) A i = (x, y) : x 2 + y 2 > 1 + 1 i + 1 }; (c) A i = (x, y) : x y + i}; (d) A i = (x, y) : ix 2 > y}; 6. Zdaia logicze z kwatyfikatorami (1) Dla poi»szych formuª zajd¹ uzasadieie korzystaj ce z to»samo±ci z wykªadu dotycz cych praw logiczych z kwatykatorami oraz z iego sposobu zapisu implikacji, lub wska» przykªad zda«, dla których to»samo± ie jest speªioa (a) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (b) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (c) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (d) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (2) Czy pomi dzy ast puj cymi to»samo±ciami mo»a wpisa implikacj lub rówowa»o±? (a) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) (b) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) 7. Operacje a zbiorach, cd. (1) Narysuj lub opisz zbiory ast puj ce: (a) A = x R (x > 0 x Z) (x < 0 x 2 < 5)}; (b) B = x R (x > 0 = x 2 > x) (x > 2 x < 2)}; (c) C = x R ((x 2) 2 < 4 x 2 < 4) x Z}. (2) Narysuj a pªaszczy¹ie zbiory opisae wzorami: (a) A = (x, y) x < y 2 (x < y = y > 0)}; (b) B = (x, y) x 2 + y 2 > 1 x 2 > y 2 }; (c) C = (x, y) (x > y = x + y = 1) (x + y = 1 = x < y)}. (3) Zapisz u»ywaj c jedyie symboli A, B, C,,, \ zbiory ast puj ce: (a) x : x A x B}; (b) x : x A = x B}; (c) x : x A (x B = x C)}; (d) x : x A \ B x B}. 3 XI 2009 (1) Podaj warto± wyra»eia log 2 12 log 4 12 w mo»liwie ajprostszej postaci. log 3 4 (2) Jaka jest dziedzia fukcji log(1 x )? (3) Niech f(x) = 2 3x. Naszkicuj wykres fukcji odwrotej do f i podaj jej wzór. (4) Uzasadij,»e zdaie (p = q) (q = p) (p q) ie jest tautologi. (5) Narysuj zbiór (x, y) : xy > 0 = x 2 + y 2 < 1}. (6) Czy prawd jest,»e A B C = (A B A C)? (7) Które z liczb aturalych miejszych od 13 speªiaj ast puj cy waruek: N : (x = 2 x = 3) m Z : x m 2?
8. Obraz i przeciwobraz zbioru. Wªaso±ci fukcji. (1) Sprawd¹, czy poi»sze fukcje s iiekcjami i suriekcjami. Je±li ie s podae dziedzia i przeciwdziedzia, prosz zastaowi si jakie powii±my rozs die przyj. (a) f : N 2 N; (b) f : R x x 3 x R; (c) f : R x x 2 x R; (d) f : Q x x 3 Q; (e) f : R x log(x 2 + 1) R; (f) Fukcja F przyporz dkowuj ca wielomiaowi drugiego stopia jego zbiór pierwiastków. (g) Przyporz dkowaie ka»demu czªowiekowi jego ojca. (2) Sprawd¹, czym s podae obrazy i przeciwobrazy. Fukcje bierzemy z poprzediego zadaia zgodie z umeracj podpuktów. (a) f(0}), f 1 (0}), f 1 (p : p jest liczb pierwsz }); (b) f(0}), f 1 (0}), f((1, 2)), f 1 ((0, 1)); (c) f([0, 1]), f 1 ([0, 1]); (d) f 1 (x : x > 0}); (e) f(r + ), f 1 (R ), f 1 (R + ); (f) F (ax 2 + bx + c : b 2 4ac = 0}), F 1 (0}}), F 1 (x, x + 1} : x R}); (g) Obraz zbioru m»czyz, przeciwobraz zbioru m»czyz. (3) Prosz zastaowi si ad wªaso±ciami z wykªadu, które ie zostaªy uzasadioe. Poadto prosz uzasadi,»e f(f 1 (A)) A i f 1 (f(a)) A i zale¹ przykªady zbiorów i fukcji (p. tych z poprzedich zada«) dla których ie ma rówo±ci. (1) Niech z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 + 2i, z 3 = 3 4i. Policz z 1 z 2, (z 2 1 + z2 2 )/ z 3, z 6 2, z 1. (2) Sprawd¹,»e (3) Rozwi» rówo±ci 9. Liczby zespoloe. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 / z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z + z = 2Re z, z z = 2iIm z. z 2 = 4i, z 2 6z + 10 = 0, z + 2 1 i = 3z + 1 2 + i, z2 + 3z + 3 = i, z 2 + (2i 1)z + 1 + 5i = 0, 2z + (3 1) z = 5 + 4i, z 3 = (1 + i) 3, z + i = z + i, z 2 = ( z) 2, z 6 = z 4, z 2 = z, (z + i) 2 = (z + i). (4) Rozwi» ukªady rówa«3z + 4w = i 2z 2w = i 1 z + iw = i iz (1 + i)w = i 1 (5) Policz (1 + i) 12, (i 3) 7, (2+i)10 (1 2i) 8. (6) Rozwi» poi»sze rówo±ci oraz ierówo±ci i zazacz a pªaszczy¹ie zespoloej zbiory liczb speªiaj cych zale»o±ci Im (z(1 i) 2 + 3i) > 1, Re ((z 1 i) 2 ) < 0, Im z 2 z 2, Re z i z + i = 0, z 2 + 4 z 2i, arg 1 + i [0, π/2], Im z 5 0, Re (z + w) 2 > Re z 2 dla w = 1, i, 1 + i. z 2
1 XII 2009 (1) Niech fukcja F przyporz dkowuje osobie jej dat urodzeia. Czy F jest ró»owarto±ciowa? Czym s zbiory: F (F 1 (1 styczia 2001})), F (F 1 ( })), gdzie za prosz wstawi samego siebie. (2) Niech f : R x x + 1 R. Czy f jest suriekcj? Podaj przykªad zbiorów A i B zawartych w R dla których ie ma rówo±ci f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). z (3) Niech z = i + 1. Policz warto± wyra»eia 1 + z 2. (4) Zazacz a pªaszczy¹ie zespoloej wszystkie liczby z, dla których z + 1 = z + i. 10. Zagadieia geometrycze. W poi»szych zadaiach prosz stosowa metody podae a wykªadzie. (1) Niech dae b d pukty a pªaszczy¹ie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (4, 2). Zajd¹ powierzchi trójk ta, k ty trójk ta (lub ich fukcje trygoometrycze). Zajd¹ rówaia trzech prostych zawieraj cych wysoko±ci trójk ta. (2) Zajd¹ pole sze±ciok ta o wierzchoªkach (1, 3), ( 1, 4), ( 3, 1), ( 1, 2), (0, 5), (4, 2). (3) Porówaj k ty trójk ta w przestrzei o wierzchoªkach ( 2, 2, 0), (3, 2, 2), ( 2, 5, 1). Jakie jest jego pole powierzchi? Zajd¹ rówaia prostych zawieraj cych wysoko±ci trójk ta. (4) Rozwa»my w przestrzei pukty (2, 3, 0), ( 1, 0, 2), (3, 1, 0), ( 3, 1, 1), (1, 1, 4). Czym jest gura o wierzchoªkach w tych puktach? Jaka jest jej obj to± i pole powierzchi? (5) Zajd¹ fukcje trygoometrycze k ta pomi dzy przek tymi rówolegªoboku ABCD, gdzie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (14, 7). Jaka jest jego powierzchia? 11. Ukªady rówa«. W poi»szych zadaiach prosz prze wiczy wszystkie zae metody (tam, gdzie to mo»liwe) rozwi zywaia ukªadów rówa«. (1) Rozwi» ukªady 7x + 4y = 2, x + 2y = 1, x + 3y + 2z = 1, y + 2z = 3, 3x + 4y z = 11, 5x + 3y = 4, z + 2x = 4, 2x + y 5z = 16, x y z = 1, 2x + 2y z + t = 1, 3x + y + 2z = 2, x y z + 3t = 2, x + 3y + 4z = 0, (2) Wyzacz ile rozwi za«dla jakich p ma ukªad rówa«(3) Dla jakich p rozwi zaia (x, y) ukªadu rówa«3x + 5y 4z t = 0. p 2 x 2y = p, y 2x = 1. 2x + y = p, x 3y = 1, s liczbami tego samego zaku?
(1) Policz graice poi»szych ci gów (3 3 2 l ); 12. Graice ci gów. 3 2 + 1 2 1 (1 ) 3 ; (1 + ) 3 ; 2 3 4 5 ; 3 2 5 log 5 ; 2 ( + 1) log 3 ( + 3) ; ( + 6 + 2 ); ( 1 2 + 1 + 1 2 + 2 +... + 1 2 + ); (1 + 1 2 ) 2 2 ; (1 + 2 3 + 4 5 ); ( 2 + 1 ); log 2 ( 3 ) log 3 ( 2 + 1) ; si(π 2 + 1); ( 1 4 + 1 + 2 4 + 2 +... + 4 + ); ( 2 + 4 + 1) 2 2 ( + 2) 22 4+4 ; ( + 4) 2 ; 4 + 5 ( 2 2)(l( + 1) l ) ; 3 (2 ) 2. (2) Wska» przykªady ci gów (a ) N, (b ) N, takich,»e a = b = + oraz a (a) b = + ; a (b) b R; a (c) b ie istieje; (3) Wska» przykªady ci gów (a ) N, (b ) N, takich,»e a = +, b = 0 oraz (a) a b = + ; (b) a b R; (c) a b ie istieje; 19 I 2010 (A) (1) Policz te iloczy macierzy A B lub B A, który jest poprawie zdeioway, a ast pie wyzaczik macierzy A, gdzie A = 2 0 1 3 1 2, B = 2 3 0 1. 0 4 1 1 2 2x + 3y = 5, (2) Rozwi» ukªad rówa«: 4z y = 5, x + 2y z = 3. (3) Jakie pole powierzchi ma trójk t o wierzchoªkach ( 3, 1), (1, 2), ( 1, 2)? Czy którykolwiek z k tów tego trójk ta ie jest ostry? (4) Policz graice ci gów a = 4 + 3 1 + 1 (1 2) 3, b = 2 + 1 2 5. 19 I 2010 (B) (1) Policz te iloczy macierzy A B lub B A, który jest poprawie zdeioway, a ast pie wyzaczik macierzy A, gdzie A = 2 3 0 [ ] 2 0 1 0 1 4, B =. 3 1 2 1 2 1 2x + z = 3, (2) Rozwi» ukªad rówa«: 3x y + 2z = 1, 4y z = 17. (3) Jakie pole powierzchi ma trójk t o wierzchoªkach (1, 3), (2, 1), ( 2, 1)? Czy którykolwiek z k tów tego trójk ta ie jest ostry? (4) Policz graice ci gów a = 3 + 2 1 + 2 1 (1 + 2) 2, b = + 1 1.
13. Graice fukcji. Asymptoty. (1) Policz dla poi»szych fukcji graice (graice jedostroe) we wszystkich puktach a ko«- cach przedziaªów, a których fukcje s okre±loe (rówie» w ± ). Je±li graice ie istiej, uzasadij to. x 3 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 1 ; si x si 2x ; 1 + x 1 x ; 2x x 2 3x + 2 ; x(x 3) tg 3x x 2 ; x 2 + x x 3 x. (2) Niech f(x) = x3 +x 2 x 2 x. Zajd¹ dokouj c odpowiedich podstawie«takie fukcje g, h 1, h 2,»eby zachodziªy rówo±ci f(x) = g(x), x 1 x 0 f(x) = h 1(x), x + x 0 + (3) Zajd¹ wszystkie asymptoty poi»szych fukcji: x 3 3x 2 x 2, 4 si x arctg x x 2, si x 3 si x 2 f(x) = h 2(x). x x 0 + x(x + arctg x). x 7 9 marca 2010 (A) ( 2 ) 3+2 (1) Zajd¹ graice ci gów a = 2, b = 4 3 2 + 3. + 1 (2) Zajd¹ asymptoty i graice a ko«cach przedziaªów okre±loo±ci fukcji f(x) = x3 2x + 1 x 2. 1 9 marca 2010 (B) ( 2 ) 2 3 + (1) Zajd¹ graice ci gów a = 2, b = 4 + 3 2. + 2 1 (2) Zajd¹ asymptoty i graice a ko«cach przedziaªów okre±loo±ci fukcji f(x) = x3 2x + 1 x 2. x 14. Pochode. (1) Policz dla podaych fukcji pochode w puktach, gdzie fukcja jest ró»iczkowala. tg(x 2 l x x); x ; x 2 + x x 1 ; 2cos x ; 1 + si 2 x; e x2 cos x; (x + 1) (x 1). (2) Policz pierwsz, drug i trzeci pochod fukcji: x 2 e x ; si x 2 x + 2 ; x 2. (3) Zajd¹ stycze do fukcji z poprzediego zadaia w puktach, odpowiedio: (1, e), ( π, 0), (1, 3). (4) Korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a zajd¹ graice: si 2x x 0 tg 3x ; x 0 ( 1 x si x 1 x 2 x 0 xp log a x (a > 1, p (0, 2)); + x 1 ) ; cos π l(1 x); x 1 2x l x x 1 ; (si x)tg x. x π 2
15. Zastosowaie pochodych (1) Czy poi»sze fukcje s ró»iczkowale w caªej dziedziie? x 2 dla x > 1 x l x dla x 0 x dla x 1 0 dla x = 0 (2) Okre±l, korzystaj c z pochodych, a jakich przedziaªach poi»sze fukcje s ros ce, malej ce, wypukªe i wkl sªe. 2x 3 3x 2 + 1; x l x; x 2 x 2 + 1 + 1; e x2 ; x 1. (3) Dla fukcji z poprzediego zadaia zajd¹ ich ekstrema i okre±l ich rodzaj korzystaj c z mo»- liwie wielu metod. (4) Zajd¹ wymiary pudeªka prostopadªo±cieego o pojemo±ci 1dm 3 o podstawie kwadratu, z pokrywk z brzegiem wysoko±ci 1 3 wysoko±ci pudeªka, do którego wyprodukowaia potrzeba ajmiejszej ilo±ci tektury. (5) Dwa samochody zbli»aj si do skrzy»owaia po drogach prostopadªych ze staªymi pr dko±ciami 60km/h i 90km/h. W pewym momecie odlegªo± ka»dego z ich od skrzy»owaia wyosi 500m. W jakiej ajmiejszej odlegªo±ci zajd si te samochody w trakcie jazdy? (6) Zajd¹ k t, pod jakim trzeba wystrzeli obiekt materialy w polu grawitacyjym prostopadªym do pªaskiej powierzchi, aby poleciaª o mo»liwie daleko. Czy odpowied¹ jest taka sama, je±li wystrzeliwujemy obiekt z pewej wysoko±ci ad powierzchi? Jaka jest odpowied¹, je±li powierzchia jest achyloa pod pewym k tem? 13 kwietia 2010 (A) (1) Zajd¹ stycze do wykresu fukcji f(x) = si 2x w dowolych dwóch miejscach zerowych f. (2) Policz pochode fukcji f 1 (x) = xe x2 +1 (x + 1)4, f 2 (x) = cos x, f 3(x) = si(cos(4x 2)). (3) Zajd¹, korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a, graice x 0 x tg 5x 1 cos 2 x, x + x2 si 1 x. 13 kwietia 2010 (B) (1) Zajd¹ stycze do wykresu fukcji f(x) = cos 3x w dowolych dwóch miejscach zerowych f. (2) Policz pochode fukcji f 1 (x) = xe x3 1 (x 1)4, f 2 (x) = si x, f 3(x) = cos(si(2x + 4)). (3) Zajd¹, korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a, graice x 0 x si 5x 1 cos 2 x, x + x si 1 x 2. 16. Badaie fukcji. Fukcje wielu zmieych. (1) Zajd¹ ajwi ksz i ajmiejsz warto± fukcji: (a) si x cos x a przedziale [0, 2π]; (b) 2x2 1 a (0, + ); x 4 (c) x 2 5x 6 a przedziale [0, 7]. (2) Badaj przebieg zmieo±ci i aszkicuj wykres astepuj cych fukcji x x 2 1 ; x3 3x 2 + 2; x l x; (3) Zajd¹ ekstrema lokale fukcji 2 zmieych: l x x. f(x, y) = 2x 2 + y 2 + 2x(y + 1); g(x, y) = si(x + y) y 2 ; h(x, y) = xy(x + 1)(y + 1). (4) Zajd¹ wymiary prostopadªo±cieego pudeªka otwartego od góry, o powierzchi 1, które ma ajwi ksz mo»liw obj to±.
(1) Policz poi»sze caªki. 5x 3 + 6x 2 + 7x + 8 + 9 x dx; 17. Caªki. I. 3 x 3 5x 3 x dx; 3 5 5x 5x si 2 1 x 2 + 3x + 4 2x dx; + 3 + dx; 5x + 3 2x 2 x 1 dx; (2) Policz poi»sze caªki korzystaj c ze wzoru a caªkowaie przez cz ±ci. x 2 si 2x dx; x 3 l x dx; x si x cos x dx; e 3x cos 2x dx. e 2x 4 dx; e x + 2 dx; x 4 x 3 + 2x 2 x 2 dx. (3) Zajd¹ pola powierzchi gur ograiczoych fukcjami x 2 + 1 i x 3 x. (4) Zajd¹ pole powierzchi gury ograiczoej krzywymi y = 2 x 2, y = x 3 2x, y = x, która zawiera pukt (0, 1). 18. Zadaia do oddaia Zbadaj przebieg zmieo±ci poi»szych fukcji i aszkicuj a tej podstawie ich wykresy: p(x) = x 2 e x, q(x) = x2 2x + 1, r(x) = x 2 x x 3 x. Je±li druga pochoda wyjdzie bardzo skomplikowaa, mo»a pomi jej badaie.