Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
|
|
- Janina Joanna Kozak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006
2 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy Ukªady równa«liniowych: Cramera niejednorodne i jednorodne 4 4 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni 5
3 Arkusz 1. Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki Zadanie 1.1. Wyznaczy macierze A + B A A B i A αb gdzie α R za±: a) A = c) A = B = B = b) A = d) A = α 1 α 4 B = B = α 7 + α 0 α Zadanie 1.. Obliczy (je»eli istniej ) nast puj ce iloczyny: A B A B T B A B A T gdzie: a) A = B = b) A = 1 0 B = 4 5 Zadanie 1.. Rozwi za równanie (ukªad równa«) macierzowe: 7 0 X + Y = a) + X = b) X + Y = 5 1 Zadanie 1.4. Obliczy nast puj ce wyznaczniki: a) b) 4 5 c) e) f) g) h) d) Zadanie 1.5. Obliczy wyznaczniki sprowadzaj c do postaci trójk tnej: a) b) Zadanie 1.6. Obliczy poni»sze wyznaczniki korzystaj c z rozwini cia Laplace'a ( a b c d R): 1
4 a) b) c) a b c 5 d 0 1
5 Arkusz. Macierz odwrotna. Rz d macierzy Zadanie.1. Wyznaczy (o ile istnieje) macierz odwrotn do macierzy: a) 5 b) 1 c) d) (z denicji) Zadanie.. Rozwi za równania macierzowe (X jest macierz o wierszach i kolumnach Y o wierszach i kolumnach): a) X = b) X + = X c) Y = Zadanie.. Obliczy rz dy macierzy za pomoc wyznaczników: a) b) c) Zadanie.4. Podane macierze sprowadzi do postaci bazowej: a) 4 10 b) 1 1 c) d)
6 Arkusz. Ukªady równa«liniowych: Cramera niejednorodne i jednorodne Zadanie.1. Rozwi za metod wyznaczników nast puj ce ukªady równa«liniowych: x 1 x + 5x = 4 x 1 + x x = a) x 1 + 5x x = b) x 1 x + x = 1 x 1 x + x = 4 x 1 + 8x x = 1 c) e) g) 5x 1 x + 7x = 0 4x 1 + x 5x = 0 x 1 x + x = 0 x 1 x = x + x = 1 x 1 x = 1 x 1 + x + x = 0 x 1 x x = x 1 x + x = 0 d) f) h) x x + 4x 4 = 0 x 1 x = 0 x 1 + x 5x 4 = 4x 1 5x = 0 x 1 + x x = 8 x 1 + x x = x + x = x 1 1 = x x 1 Zadanie.. Rozwi za ukªady równa«x 1 x + x = a) x + x = x 1 x + x = 1 c) e) g) i) x 1 x x = x 1 x = x 1 + 4x + x = x 1 + x + x = 1 x 1 x + x + x 4 = 0 x 1 + x + x = 1 x + x 4 = x 1 + x + x = 1 x 1 + x + x = 1 x 1 + x + 4x = b) d) f) h) j) { x 1 x 1 x x x x = 1 = x 1 x + x x 4 = 1 x 1 + x x + x 4 = 5 x 1 x = 1 x + x = 1 x 1 + x = 0 x 1 + x + x = x 1 + x + x = x 1 + x + 4x = 6 4
7 Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = 4 1 b) b = 5 c) c = ρ cos φ ρ sin φ h ρ 0 φ h R c) d = ρ cos φ cos ψ ρ sin φ cos ψ ρ sin ψ ρ 0 φ ψ R Zadanie 4.. Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorów a) a = 1 5 b = 1 0 b) a = 4 1 b = 0 c) u = i k v = i + j + 7 k d) u = i j v = i + 4 k Zadanie 4.. Obliczy iloczyny wektorowe par wektorów z zadania 4.. Zadanie 4.4. Sprawdzi czy wektory u v s równolegªe czy prostopadªe je±li: a) u = 1 0 v = 0 9 b) u = 1 0 v = 6 7 Zadanie 4.5. Czy mo»na dobra parametr m tak aby wektory u i v byªy prostopadªe je±li: a) u = m 0 1 v = 1 m m b) u = m m m + 4 v = m c) u = m 1 v = m m d) u = m 4 v = 1 m 1? Zadanie 4.6. Czy mo»na dobra parametr k tak aby wektory u i v z zadania 4.5 byªy równolegªe? Zadanie 4.7. Znale¹ trzy wektory równolegªe do wektora u = 4 8. Zadanie 4.8. Znale¹ trzy wektory prostopadªe do wektora u = 4 8. Zadanie 4.9. Obliczy sin φ i cos φ gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami: a) u = 1 v = 1 b) u = 0 4 v = 1 c) u = v = d) u = 5 0 v = Zadanie Obliczy pole równolegªoboku ABCD oraz znale¹ punkt D je±li: a) A = (1 ) B = (4 0 ) C = ( 0) b) A = (0 0 0) B = (5 0 ) C = (1 1 1) c) A = ( 1 ) B = (4 5 6) C = (0 1 ) Zadanie Obliczy pole trójk ta ABC je±li: a) A = (1 ) B = ( 1 0 4) C = (5 6 0) b) A = (1 0) B = ( 1 0 0) C = (5 6 0) c) A = (0 0 0) B = ( 4 5) C = (0 0 6) Zadanie 4.1. Sprawdzi czy punkty P Q R le» na jednej prostej je±li: a) P = (0 0 ) Q = ( 1 4) R = ( 4 1) b) P = (1 1) Q = ( 0 ) R = ( 1 1 1) c) P = ( 1 0 0) Q = (5 6 7) R = ( ) 5
8 Zadanie 4.1. Obliczy iloczyny mieszane podanych trójek wektorów: a) a = 1 b = c = 4 b) u = i + j v = i j + k w = i + j 5 k. Zadanie Sprawdzi czy punkty P Q R S le» na jednej pªaszczy¹nie je±li: a) P = (0 4) Q = ( 1 ) R = ( 0 ) S = ( 1 1 1) b) P = (1 1 1) Q = ( ) R = (0 4 0) S = ( 0) c) P = ( ) Q = ( 1 1 ) R = ( 4 1) S = ( 1 0) Zadanie Obliczy obj to±ci podanych wielo±cianów: a) równolegªo±cian rozpi ty na wektorach a = b = 1 c = 5 1 b) czworo±cian o wierzchoªkach A = (1 1 1) B = (1 ) C = ( 1) D = ( 1 5). Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 pªaszczyzny π 1 gdy: i równolegªej do a) P 0 = ( 1) π 1 : x y 4z 7 = 0 b) P 0 = (0 0 0) π 1 : x + z 11 = 0 c) P 0 = ( 0) π 1 jest pªaszczyzn Oxy d) P 0 = ( 0) π 1 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkty P 1 i P i prostopadªej do pªaszczyzny π 1 gdy: a) P 1 = (6 1) P = ( 1 1) π 1 : x + y z 6 = 0 b) P 1 = ( 0 ) P = (1 1 1) π 1 : x z 8 = 0 b) P 1 = (1 4) P = ( 4 5) π 1 jest pªaszczyzn Oxy Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i prostopadªej do pªaszczyzn π 1 i π gdy: a) P 0 = ( 1) π 1 : x y 4z 7 = 0 π : x + y z 1 = 0 b) P 0 = (0 0 0) π 1 : x + z 11 = 0 π : x + y z = 0 b) P 0 = (1 4) π 1 : x z = 0 π jest pªaszczyzn Oxy b) P 0 = (1 4) π 1 jest pªaszczyzn Oxy π jest pªaszczyzn Oxz Zadanie Znale¹ punkty przeci cia pªaszczyzny π z osiami ukªadu wspóªrz dnych Oxyz gdy a) π : x + y + z 6 = 0 b) π : x y z = 0 c) x + y 6 = 0 d) x + z 6 = 0 6
9 Zadanie 4.0. Napisa równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkty P 1 P P gdy: a) P 1 = (5 1) P = (0 4) P = (5 6 7) b) P 1 = (0 0 1) P = ( 5) P = (4 0 6) c) P 1 = (4 4 ) P = (0 6 0) P = (8 1 6) Zadanie 4.1. Znale¹ warto±ci parametru k dla których pªaszczyzny π 1 i π s równolegªe gdy a) π 1 : x + ky + z + 6 = 0 π : kx + y + (k 1)z + = 0 b) π 1 : x + (k + 1)y + 6z + 1 = 0 π : (k + 1)x + 4ky + (11 + k ) z = 0 Zadanie 4.. Dla jakich warto±ci parametru k pªaszczyzny π 1 i π z zadania 4.1 s prostopadªe? Zadanie 4.. Sprawdzi»e pªaszczyzny π i π s równolegªe a nast pnie obliczy odlegªo± mi dzy tymi pªaszczyznami je±li: a) π 1 : 6x y + 6z + 5 = 0 π : 4x y + 4z = 0 b) π 1 : 6x 8z 1 = 0 π : 9x 1z + 48 = 0 c) π 1 : x 4y 6z = 0 π : x 6y 9z = 0 Zadanie 4.4. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π i przechodz cej przez punkt P gdy: a) π 1 : x y z 8 = 0 π : x y z 6 = 0 P = (1 0 ) b) π 1 : x z 6 = 0 π : x + y z 6 = 0 P = (1 ) c) π 1 : x + y z = 0 π : y + z 8 = 0 P = (0 1) d) π 1 : x + y + z = 0 π : x y z = 0 P = (1 1 ) Zadanie 4.5. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π i prostopadªej do pªaszczyzny π gdy: a) π 1 : x y z 6 = 0 π : x y z 8 = 0 π : x + y 6z 1 = 0 b) π 1 : x y = 0 π : y + z 8 = 0 π : x + y 6z 1 = 0 c) π 1 : x + y z = 0 π : x y z 8 = 0 π : x y + z 6 = 0 d) π 1 : x + y z = 0 π : x y z 8 = 0 π : 4x y + z = 0 Zadanie 4.6. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt ( 4 ) i równolegªej do osi: a) Ox b) Oy c) Oz 7
10 Zadanie 4.7. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej l przez punkt ( 4 ) i równolegªej do prostej l 1 gdy: x = t a) l 1 : y = z = t t R b) l 1 : x = 4y = z 6 c) l 1 : { x y z 6 = 0 x + y + z 5 = 0 Zadanie 4.8. Napisa równania parametryczne prostej l przechodz cej przez punkty P = ( 4 ) i Q = (5 6 ) a nast pnie sprawdzi czy punkt R = (1 ) nale»y do tej prostej. Zadanie 4.9. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt ( 4 5) i przecinaj cej o± Oy w punkcie o wspóªrz dnej y = 5. Zadanie 4.0. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt P = ( 1 ) i prostopadªej do prostych l 1 i l gdy: x = + t a) l 1 : y = t z = t R l : b) l 1 : x 1 = y = z l : { { x y + z 6 = 0 x + y + z 4 = 0 x + y 6 = 0 x y z 8 = 0 Zadanie 4.1. Napisa równania parametryczne kierunkowe i kraw dziowe prostej przechodz cej przez punkty P = (1 0) Q = ( 1 4). Zadanie 4.. Sprawdzi»e proste l 1 i l s równolegªe je±li: { a) l 1 : x 1 = y = z l 4x + 1y 5z = 0 : 4x + 4y z + 1 = 0 b) l 1 : x = y = z 1 l : x+ = y + 1 = z+. Zadanie 4.. Znale¹ (je±li istniej ) punkty wspólne prostych l 1 i l je±li: a) l 1 : x = y = z 1 l : x = y = z 1. b) l 1 : x = y = z 1 l : x = y = z
11 Odpowiedzi α 1 4α Zad. 1.1 a) A+B = A = A B = A αb = α 5α b) A + B = A = 0 8 A B = 7 4 A αb = α 7 α 1 α 1 1 7α 4 4α c) A + B = A = A B = α 1 α α α α α A αb = α 4 5α + α α d) A + B = 4 + α α α α 5 4α α + α 1 α α (7 + α) A = A B = A αb = α 4 α Zad. 1. a)= niemo»liwe niemo»liwe b) Zad. 1. a) X = b) X = Y =. Zad. 1.4 a) 7 b) 19 c) 60 d) 1 e) f) 65 g) 164 h) 1. Zad. 1.5 a) 65 b) 11. Zad. 1.6 a) 9 b) 49 c) abc + 6ad + adc + 96 d + 15c + 5bc Zad..1 a) b) c) d) Zad a) X = b) X = c) Y = Zad.. a) b) c) Zad..4 a) b) c) d)
12 x 1 = 0 x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 0 x Zad..1 a) x = 0 b) x = 1 = x 8 1 = 0 1 c) x = 0 d) e) x = 1 x = 0 x = 1 x = x = 0 x x 4 = = 1 1 x 1 = x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = x 5 x 1 = x f) x = g) x = 0 h) x = 1. Zad.. a) x = x b) x = x 1 1 x = 1 x = 1 x = x R x R x 1 = x x 1 = x x = 5 x c) x = x d) ukªad sprzeczny e) ukªad sprzeczny f) x = 5x x x = g) x x = 7 4 x R x R x 4 x 4 R x 1 = x x 1 = 1x x 1 = 1x h) x = 1x 1 i) x = 1 5x 4 4 j) x = 9 5x 4 4. Zad. 4.1 a) 1 b) 4 c) ρ + h d) x R x R x R ρ. Zad. 4. a) 5 b) 6 c) 17 d). Zad. 4. a) b) 17 c) d) Zad. 4.4 a) równolegªe b) prostopadªe. Zad. 4.5 a) k mo»e by dowolne b) m = 4 lub m = 9 c) nie d) m = 1. Zad. 4.6 a) nie b) m = c) m = 4 d) nie. Zad. 4.7 ka»dy wektor postaci 4k k 8s gdzie k R jest równolegªy do u. Zad. 4.8 wektor v = x y z jest prostopadªy do u gdy 4x + y 8z = 0. Zad. 4.9 a) sin φ = 65 cos φ = 4 b) sin φ = 1 cos φ = c) sin φ = 4 cos φ = 7 d) sin φ = 1 cos φ = 0. Zad a) 14 D = ( 5 5 0) b) D = (4 1 ) c) 106 D=(-5-4-1). Zad a) b) 1 c) 15. Zad. 4.1 a) tak b) nie c) tak. Zad. 4.1 a) 55 b). Zad a) tak b) tak c) nie. Zad a) 9 b). Zad a) x y z = 0 b) x + z = 0 c) z = 0 d) y = 0. Zad a) x y z = 0 b) x 5y + z = 0 c) x + y 8 = 0. Zad a) 5x + y + z 15 = 0 b) x y z = 0 c) y = 0 d) x 1 = 0. Zad a) ( 0 0) (0 6 0) (0 0 ) b) (0 0 0) c) ( 0 0) (0 6 0) d) ( 0 0) (0 0 ). Zad. 4.0 a) x 15y + 10z + 5 = 0 b) x 4y z 4 = 0 c) x 4z = 0. Zad. 4.1 a) k = b) k = 1. Zad. 4. a) k = 1 b) nie ma takiego k. 5 Zad. 4. a) d = 19 b) d = c) d = 0. Zad. 4.4 a) 14x 5y + 1z 40 = 0 b) x + 7y + z 4 = 0 c) x + y z = 0 d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y + z ) + λ (x y z ) = 0 gdzie λ 1 λ 0. Zad. 4.5 a) 1x 49y z 114 = 0 b) 6x+z 17 = 0 c) x+y z = 0 d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y z ) + λ (x y z 8) = 0 gdzie λ 1 λ 0. x = + t x = x = x = + t Zad. 4.6 a) y = 4 b) y = 4 + t c) y = 4. Zad. 4.7 a) y = 4 b) z = z = z = + t x = + t x = t x = + t y = 4 + t c) y = 4 7t. Zad. 4.8 y = 4 + t nie. Zad. 4.9 a) 4 z = + t z = + t z = + 4t x = 1 t x = t x = 1 + t Zad. 4.0 a) y = + 9t b) y = + 9t. Zad. 4.1a) y = t z = + 7t z = 1t z = 4t z = t x = t y = 5 t z = 5t x 1 = y 1 = z 4 10
13 { x + y 5 = 0 4y + z 8 = 0. Zad. 4. a) brak (proste sko±ne) b) (1 1 ). 11
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoGraka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoWektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoDynamika Bryªy Sztywnej
Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoSkrypt z Algebry Liniowej 1
Uniwersytet Wrocªawski Wydziaª Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalno± : matematyka nauczycielska Patrycja Piechaczek Skrypt z Algebry Liniowej 1 Praca magisterska napisana pod kierunkiem
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak
Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018 2 Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoKinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka
Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowopobrano z (A1) Czas GRUDZIE
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla
Bardziej szczegółowo1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Bardziej szczegółowo2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2
1 Moment p du Zad. 1.1 Cz stka o masie m = 5 kg znajduj c si w poªo»eniu r = 3i + j + k [m] ma pr dko± v = i [m/s]. Obliczy wektor momentu p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªprzednych, wzgl dm
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoWszystkie warianty kursu. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 Rozwi zywanie ukªadów równa«. Wyznaczniki.
Rozwi zywanie ukªadów równa«. Wyznaczniki.. Ukªad dwu równa«liniowych z dwiema niewiadomymi Niech b dzie dany ukªad dwu równa«liniowych z dwiema niewiadomymi x, y: Zdeniujmy: W x = n b n 2 b 2 W = a x
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoIloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Bardziej szczegółowoRe(x 2 y 2 ) Im(x 2 + y 2 ) 2Re(xy) Im(x 2 y 2 ) Re(x 2 + y 2 ) 2Im(xy)
Zadania domowe z Metod Matematycznych Fizyki (2012/2013 Zad. 1 Wypisa tabel dziaªania grupy obrotów czworo±cianu A 4. Zad. 2 Znale¹ podgrupy grupy kwaternionów Q. Z jakimi grupami s izomorczne? Sprawdzi,»e
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoStereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r.
Stereometria Zimowe Powtórki Maturalne 22 lutego 2016 r. 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 2 1. Przek
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo