Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Transkrypt

1 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że wykres fukcji zawiera pukt o współrzędych: a) (,-) b) (,) c)(-,4) d) (,). Naszkicuj parabolę o podaym rówaiu: a) y = (x ) + b) y = (x + ) c) y = (x 5) d) y = x Day jest wzór fukcji kwadratowej f w postaci ogólej. Zapisz te wzór w postaci kaoiczej oraz iloczyowej (o ile istieje): a) f(x)=-x +x+ b) f(x)=x +x+ c) f(x)=x +8x d) f(x)=-x + Zapisz wzór fukcji kwadratowej f w postaci: a) iloczyowej i kaoiczej, jeżeli f(x)=x +x- b) ogólej i kaoiczej, jeżeli f(x)=(x-)(x- ) c) ogólej i iloczyowej, jeżeli f(x)= -4(x- ) + Wyzacz trójmia kwadratowy, wiedząc, że pukty P i W ależą do jego wykresu, a pukt W jest wierzchołkiem tej paraboli. a) P=(-,0), W=(-,) b) P=(,), W=(,) c) P=(,), W=,4) zad.6. Wyzacz trójmia kwadratowy o miejscach zerowych x, x, wiedząc, że pukt P ależy do jego wykresu. a) P=(0,-), x = -, x = b) P=(,-), x = -, x = Wyzacz zbiór wartości fukcji f. a) f(x)=(x-4) - b) f(x)=-4(x+5) + c) f(x)=5-x d) f(x)=-x -8x-5 e) f(x)=(x-)(x+) Zad.8. Określ mootoiczość fukcji f. a) f(x)=(x-) +5 b) f(x)=-(x+) + c) f(x)=-x d) f(x)=-x +4x- Zad.9. Naszkicuj wykres fukcji f i omów jej własości: a) f(x)=x +8x+5 b) f(x)=-x +x+8 c) f(x)=x -4x+ d) f(x)=-(x+)(x-) e) f(x)=(x+)(x-) Zad.0. Wyzacz parametr a wiedząc, że day pukt A, ależy do wykresu fukcji f: a) f(x)=ax +8x, A=(-,) b) f(x)=-x +a, A=(,-) c) f(x)=ax -x, A=(,-)

2 /7 Zad.. Wyzacz wartość ajwiększą oraz ajmiejszą fukcji f w daym przedziale: a) f(x)=-x +x- <-,> b) f(x)=-x -x+ <,5> c) f(x)=x -5x- <-,> Zad.. Wyzacz wartość ajwiększą oraz ajmiejszą fukcji f w dziedziie: a) f(x)=-x +x- b) f(x)=-x -x+ c) f(x)=x -5x-. Rówaia i ierówości kwadratowe. Rozwiąż rówaia: a) (x-4)(x-5)=0 b) -(4-x)(x+5)=0 c) 9x =0 d) x -=0 e) x +49=0 f) x +4=0 Rozwiąż podae rówaia metodą rozkładu a czyiki: a) x -4=0 b) x -=0 c) x +x=0 d) -7x +5x=0 Rozwiąż podae rówaia: a) x +4x-=0 b) x =8x-6 c) 5x +x= d) -x +x+4=0 e) -x +x-=0 Rozwiąż podae ierówości: a) (x-5)(x-7)<0 b) (x+)(x+4)>0 c) -(x+)(x-) 0 d) -(x-7) <0 e) x +4x->0 f) x -4x+<0 g) -5x +4x+ 0 h) -x +x+4 0 II. WIELOMIANY. Wzory skrócoego możeia. Wykoaj działaia stosując wzory skrócoego możeia: a) (x-4) b) (8+x) c) (4x-)(4x+) d) (a+) e) (-b) Doprowadź wyrażeia do ajprostszej postaci: a) -5(x+)+(x+)(x-)-(x-) b) (x+4) -(x-)(x+)+4(5-x). Działaia a wielomiaach, pierwiastki wielomiau. Dae są wielomiay: W(x)=5x -x +6x-, P(x)=-x +4x+5, Q(x)=7x +8x-. Wykoaj działaia i określ stopień otrzymaego wielomiau: a) W(x)+Q(x) b) P(x)+Q(x) c) P(x)-Q(x) d) W(x)-[Q(x)+P(x)] e) W(x)+P(x) f) W(x)+P(x)-Q(x) Dae są wielomiay: W(x)=x -, P(x)=x +x, Q(x)=x +x-. Wykoaj działaia: a) W(x)P(x) b) P(x)Q(x) c) W(x)Q(x)

3 /7 Wyzacz współczyiki m i, wiedząc, że: a) W(x)= x +mx +x+, W(0)=-, W()= b) W(x)= x 4 +m x -x +x+, W()=8, W(-)=4 c) W(x)= -x 5 +x 4 +m x -5x +x-, W()=-5, W(-)=-6 Wyzacz współczyiki a i b, tak aby wielomiay W(x) i P(x) były rówe, jeżeli: a) W(x)=(a+b)x +4x +x-, P(x)=7x +4x +x+(a-b) b) W(x)= x 4 +(a-b) x -4x +x-, P(x)= x 4 + x -4x +(b-a)x- c) W(x)= x +ax+b, P(x)=(x-) (x+) d) W(x)= x +4x +4x, P(x)=ax(x+b) Sprawdź, które z podaych liczb są pierwiastkami daego wielomiau. a) W(x)=6x +x- k=, l=-, m=- b) P(x)=-4x -7x +5x+9 k=-, l=, m=. Rozkład wielomiaów, rówaia wielomiaowe. Rozłóż a czyiki wielomiay: a) W(x)=4x - b) W(x)=4x +x+9 c) W(x)=x -6x +x-8 d) W(x)=8x +7 e) W(x)=x +4x -x-4 f) W(x)=x 4 +0x -0x- g) W(x)=x -x +x- h) W(x)=4x 4-5x -5x-4 i) W(x)=(x-5)-x(x-5) j) W(x)=4(x+)-x (x+) k) W(x)=(x-)-x(x-) l) W(x)=x (x-)-6(x-) m) W(x)=(x- 5)-x (x- 5) Rozwiąż rówaia: a) 4(x-)(x+)(x -9)=0 b) -x (5-x)(x+8)=0 c) 7(x+4)+x (x+4)=0 d) x -=0 e) x 4-64=0 f) x 4-6x +5=0 g) x +x -8x-6=0 h) x +x -4x-8=0 i) x +x +4x+=0 III. WYRAŻENIA WYMIERNE. Dziedzia, wartość, działaia. Wyzacz dziedzię fukcji wymierych określoych wzorami: a) f(x) = e) f(x) = i) f(x) = Wykoaj działaia: a) + e) + i) b) f(x) = f) f(x) = b) f) j) k) c) g) : c) f(x) = g) f(x) = + + l) : d) f(x) = h) f(x) = d) ()() h) ()()

4 4/7 Oblicz wartość wyrażeia dla podaej liczby: a) dla x =, x = b). Wykres i własości. Narysuj wykres fukcji f i omów jej własości: a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = Narysuj wykres fukcji f: a) f(x) = f(x) = f(x) = dla x =, x = d) f(x) = f(x) = - oblicz jej wartość dla argumetu - oblicz argumet dla którego wartość fukcji jest rówa - - a podstawie wykresu omów jej własości b) f(x) = + f(x) = 4 f(x) = - oblicz jej wartość dla argumetu - oblicz argumet dla którego wartość fukcji jest rówa 4 - a podstawie wykresu omów jej własości c) f(x) = + - oblicz jej wartość dla argumetu 7 f(x) = + f(x) = + f(x) = - oblicz argumet dla którego wartość fukcji jest rówa 5 f(x) = 4 - a podstawie wykresu omów jej własości Rozwiąż rówaia: a) = 5 b) = 5. Rówaia. c) = d) = e) = + f) = 6 g) = 7 h) = i) = j) = 5 Trzech harcerzy pomalowało płot w 0 di. Ile czasu potrzeba a pomalowaie takiego samego płotu przez sześciu harcerzy? Ucziowie klasy a mieli zebrać 68zł a bilety do muzeum. Poieważ 4 ucziów ie wpłaciło pieiędzy, więc żeby zebrać tę kwotę, każdy z pozostałych ucziów musiał wpłacić o zł więcej. Ilu ucziów jest w tej klasie?

5 5/7 IV. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. Narysuj wykres ciągu (a ) o wyrazie ogólym: a) a =5 dla <6 b) a =(-) + dla 6 c) a = dla <5 d) a =+ dla 5 Zbadaj mootoiczość ciągu (a ) gdy: a) a =+7 b) a = c) a = d) a =7- Ciąg (a ) day jest wzorem a a) Oblicz a, a, a 0 b) Oblicz a 5 -a 4, a +, a 9 Sprawdź, czy liczba b jest wyrazem ciągu (a ), gdy 7 a) b a b) b=0, a 6 Wyzacz ajwiększy wyraz i ajmiejszy wyraz ciągu a) a 0 9, {,,,..., 0} b) a 5, {,,,..., 0} Zad.6. Zbadaj, które wyrazy podaych ciągów są większe od daej liczby M: a) a = - M=00 5 b) a = M Podaj, dla jakich wartości wyrazy ciągu (a ) są miejsze od liczby b, gdy: a) a =4-5, b=40 b) a, b 0.. Pojęcie ciągu arytmetyczego. Który z podaych ciągów jest ciągiem arytmetyczym: a) ( a ) (,7,,...) b) ( b ) (,,,...) c) ( c ) ( 5,5, 5,5,...) Zbadaj, który z podaych ciągów jest arytmetyczy. Narysuj jego wykres dla a) a b) b 4 c) c d) d 4 e) e 8 Zbadaj mootoiczość ciągu arytmetyczego o wyrazie ogólym: a) a = 5 b) a =-7+ Ile wyrazów ciągu (a ), w którym a 7, jest miejszych od 5?

6 6/7 Które wyrazy ciągu (a ), jeżeli a = 5, ależą do przedziału (;4>? Zad.6. Wyzacz ciąg arytmetyczy (oblicz a, r oraz wyzacz wzór a a ), oraz oblicz sumę jego 56 początkowych wyrazów wiedząc, że: a) a = i a 7 = b) a 7 =-, a =4 c) a +a =9 i a 5 +a 6 =89 d) a 4 =6, S 5 =0. Wyzacz liczbę wyrazów ciągu arytmetyczego, mając dae: a) S =0 i a = i a =-6 b) S =660 i r=6 i a =86 Zad.8. Wyzacz różicę r ciągu arytmetyczego, wiedząc, że: a) S =0 i a =-7 i =0 b) S =-940 i =0 i a =-04 Zad.9. Liczby x-, 4 i 8 w podaej kolejości są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetyczego. Wyzacz liczbę x. Zad.0. W ciągu arytmetyczym trzeci wyraz jest rówy 4, a jedeasty 4. Wyzacz różicę tego ciągu. Zad.. W ciągu arytmetyczym drugi wyraz jest rówy, a trzeci 5. Wyzacz wzór a ogóly wyraz tego ciągu. Zad.. Ciąg (a ) jest ciągiem arytmetyczym. Oblicz wyraz: a) dziewiąty, gdy a =6 i a 5 = b) jedeasty, gdy a =-5 i a 8 =5 c) szósty, gdy a 7 = i a =7. Zad.. Wyzacz dla ciągu arytmetyczego (a ): a) liczbę wyrazów, gdy S =04, r=6, a =49 b) różicę r, gdy S =58, a =50, =4 c) sumę a 5 +a 6 + +a 0, gdy a =5-. Pojęcie ciągu geometryczego. Który z podaych ciągów jest ciągiem geometryczym: a) a = 5- b) ( b ) (5, 0,0, 40,...) c) c Wyzacz -ty wyraz oraz sumę pierwszych wyrazów ciągu geometryczego mając dae: a), q, 4 a, q, 4 Wyzacz ciąg geometryczy (a ) mając dae: a) a =, a 5 =6 b) a, a4

7 7/7 Wyzacz liczbę wyrazów ciągu geometryczego, wiedząc, że: a) a, q, a b) a, q, a 9 Oblicz iloraz ciągu geometryczego q, wiedząc, że: a) a, a6 65 b) a, a4 Zad.6. Liczby -8, 4 i x+ w podaej kolejości są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometryczego. Wyzacz liczbę x. W ciągu geometryczym (a ) dae są a = i a 4 =4. Wyzacz iloraz tego ciągu. Zad.8. Trzeci wyraz ciągu geometryczego jest rówy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest rówy (-). Wyzacz pierwszy wyraz tego ciągu. Zad.9. Liczby, 0 7, 4 4 w podaej kolejości są trzecim, czwartym i piątym wyrazem ciągu geometryczego (a ). Oblicz: a) iloraz q tego ciągu, b) wyraz pierwszy ciągu, c) różicę wyrazów siódmego i piątego. Zad.0. W ciągu geometryczym o ilorazie q= - suma pięciu początkowych wyrazów jest rówa. Wyzacz pierwszy wyraz tego ciągu. UWAGA: KAŻDY UCZEŃ ZOBOWIĄZANY JEST PRZYNIEŚĆ NA EGZAMIN ZESZYT Z ROZWIĄZYWANYMI ZADANIAMI.