Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia

Transkrypt

1 Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje 9 9 Dziaªania uogólnione 11

2 Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie Zadanie 1.1. Wyznacz warto± logiczn podanego wyra»enia, je±li wp) = 1, wq) = 0 a) p q e)[p q) = p)] p q) b) p q) f) p q) p q) c) p q) q g)p = q) q p) d) p = q) = p h)p = q = p) Zadanie 1.2. Wyznacz warto± logiczn ka»dego wyra»enia z poprzedniego zadania przy podstawieniu wp) = 0, wq) = 1. Zadanie 1.3. Wyznacz warto± logiczn wyra»enia, je±li wp) = 1, wq) = 0, wr) = 1 a) p q) r b) p q r) c) p q) r d) p q) r e) p = q) = r f) p = q = r) g) p = q) r h) p = q) r Zadanie 1.4. Wyznacz warto± logiczn zdania a) 2 < 3) 2 > 3) b) 2 < 3) = 2 > 3) c) 2 < 3) 2 > 3) d) 2 < 3) 2 = 3) e) 2 = 3) 2 > 3) f) 2 = 3) 2 > 3) g) 2 = 3) 2 > 3) h) 2 = 3) = 2 > 3) Zadanie 1.5. Czy podane wyra»enie jest tautologi? Sprawd¹ za pomoc tabelki. [p q) p)] q [p q) [p r) q] [p q) p q)] q p) p [ p) q] p [ p) q] Zadanie 1.6. Wiedz c,»e wp q) = 0 okre±l warto± logiczn zdania q = p. Zadanie 1.7. Wiedz c,»e wp q) = 1 okre±l warto± logiczn zdania q = p. Zadanie 1.8. Wiedz c,»e wq = p) = 0 okre±l warto± logiczn zdania p q = p). Zadanie 1.9. Wiedz c,»e wp q) = r) = 0 okre±l warto± logiczn wyra»enia q r) p) q = r). Renata Wiertelak 1

3 Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d. Zadanie 2.1. Wiedz c,»e wp q) = 1 okre±l warto± logiczn wyra»e«p q) p q) r p q) {[r = p q)] [p q) = r)]} = p q r). Zadanie 2.2. Wiedz c,»e wp q) = 0 okre±l warto± logiczn wyra»e«p q) p q) p q) r {[p q) = r] [p q) = r)]} = p q r). Zadanie 2.3. Wiedz c,»e wp q) = 1 okre±l warto± logiczn wyra»e«p q) p q) r p q) [r = p q)] = [p q) p q)]. Zadanie 2.4. Czy podane wyra»enie jest tautologi? Sprawd¹ bez tabelki. [ p) q] [ q p)) p q)] [p q) r] [r p) r q)] [p s) q r)] [p q) r s)] [p r) q r)] [p q) r] [q p) p q)] [ p) q] [ p) q] [ q p)) p q)] [p q) r s) t u)] [p r t) q s u)] Zadanie 2.5. Sformuªuj negacj podanych zda«. 1. Ola ma rybki lub Ola jest chemikiem. 2. Je»eli Ewa ma kota to, Ewa jest matematykiem. 3. Ala ma kota wtedy i tylko wtedy, gdy Ala ma rybki. 4. Je»eli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem. 5. Je»eli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika. 6. Je»eli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki. 7. Je»eli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem. Renata Wiertelak 2

4 Zestaw 3. Algebra zbiorów Zadanie 3.1. Podaj ile ró»nych elementów ma podany zbiór i wymie«je je±li jest to mo»liwe). Zakªadamy,»e a b c a A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}} C = {x N: x 2 25} D = {x Q: x 2 = 16} E = {x R: x < 0} F = {x R: x > 0} Zadanie 3.2. Jakie relacje zachodz mi dzy zbiorami A i B? a) A = 3, 5) B = 2, 6) b) A = 0, 1) {2} B = {0, 1, 2} c) A = [1, 2] B = 0, 1) {2} d) A = {x R: x 2 = 16} B = {4} Zadanie 3.3. Oblicz A B, A B, A \ B, B \ A, A, B. a) A = {x N: x 6} B = {x N: x > 2}; b) A = [2, ) B = 1, 6); c) A =, 2) B = [3, ); d) A =, 3] B = 3, 6); e) A = 0, 2) {3} B = [2, 3] {1}; f) A = [2, 3] B = 3, 6); g) A = [1, 2] {3} B = [2, 3] {1}; h) A = [2, 3] B = [3, 6]; Zadanie 3.4. Sprwad¹ czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe s nast puj ce równo±ci: A \ B = A B) \ B A \ B = A \ A B) A B = A \ B) B A B = A \ A \ B) A A B) = B A B C) \ A B) = C A \ C) B = A B A \ B C) = A \ B) \ C Renata Wiertelak 3

5 Zestaw 4. Ró»nica symetryczna Zadanie 4.1. Oblicz: a) {1, 2, 3} {3, 4, 5}; b) {1, 2, 3} [1, 3]; c) 2, 5) [6, 8]; d) 0, ) 5, 8]; e) 0, ), 2); f) [2, ) 0, 2]; g) 0, 2), 2); h) 3, ) 0, 3); Zadanie 4.2. Rozwi» równanie: a) {1, 2} A = {4, 5}; b) A {1, 2, 3} = {3, 4}; c) [1, 3] A = 1, 3); d) A 2, 6] = 0, 4]; e) 5, ) A = 0, 2]; f) A [2, ) = 4, 6); g) 5, ) A =, 5]; h) A [2, ) = 0, 6); Zadanie 4.3. Upro± wyra»enie: a) A \ A B) b) A B) \ A c) A \ B) B d) A \ B) B e) A B) A f) A \ B) \ C g) A \ A B) h) A B) \ A i) A B) A j) A \ B) \ A k) A A B) l) A B) \ A B) Renata Wiertelak 4

6 Zestaw 5. Kwantykatory Zadanie 5.1. Wyznacz warto± logiczn podanego wyra»enia i zapisz jego negacj. a) x R x 2 = 2x; b) x R x 2 = 2x; c) x R x 2 < 0; d) x R x 2 > 0; e) x N x 2 = 3; f) x N x > 0; Zadanie 5.2. Wyznacz warto± logiczn podanego wyra»enia i zapisz jego negacj. a) x R x = 2 x < 0); b) x R x = 2 x R x < 0; c) x R x > 2 x 2); d) x R x > 2 x R x 2; e) x R x = 2 x < 0); f) x R x = 2 x R x < 0; g) x R x 2 > 0 x < 0); h) x R x 2 > 0 x R x < 0; i) y N y 2 = 3y y = 3); j) y N y < 0 1 > y); Zadanie 5.3. Zapisz nast puj ce zdania za pomoc kwantykatorów, symboli logicznych i dziaªa«arytmetycznych. Nast pnie okre±l warto± logiczn podanego wyra»enia oraz zapisz jego negacj. 1. Istnieje taka liczba rzeczywista,»e jej kwadrat jest równy 2; 2. Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy,»e 2x = x; 3. Dla ka»ej liczby rzeczywistej z mamy,»e z 2 + 2z + 1 = 0; 4. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy,»e z 2 + 2z + 1 = 0; 5. Dla ka»ej liczby rzeczywistej z mamy,»e z 2 + 2z + 1 0; 6. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy,»e z 2 + 2z + 1 0; 7. x jest liczb nieparzyst ; 8. Dla ka»dej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y wi ksza od niej; 9. Nie istnieje najwi ksza liczba naturalna; Renata Wiertelak 5

7 Zadanie 5.4. Wyznacz warto± logiczn podanego wyra»enia i zapisz jego negacj. a) n N d) x R nm = 10 b) m N x R\{0} xy = 0 e) y R y R\{0} xy = 1 y R\{0} xy = 1 x R\{0} c) y = x R y R x2 f) y = y R x R x2 g) x + y = 0 x R y R h) x + y = 0 x R y R i) x + y = 0 y R x R Zadanie 5.5. Podaj przykªad funkcji zdaniowych ϕx), ψx) oraz X dla których podane zdania s faªszywe. ) ϕx) ψx) = ϕx) ψx)) x X x X x X [ ] ϕx) ψx) = [ϕx) ψx)] x X x X x X [ ] [ϕx) ψx)] = ϕx) ψx) x X x X x X ) ϕx) ψx)) = ϕx) ψx) x X x X x X ) ϕx) ψx) = ϕx) ψx)) x X x X x X ) ϕx) ψx) x X x X ϕx) ψx) x X x X ) ψx) ϕx) x X x X = x X [ϕx) ψx)] ) = [ϕx) ψx)] x X [ ] = ϕx) ψx) x X x X Renata Wiertelak 6

8 Zestaw 6. Relacje Zadanie 6.1. Niech A = 1, 2], B = [2, 4), C = 1, ), S = {0, 2, 4}, T = {1, 3, 5}. Wypisz lub narysuj zbiory: a) S T ; b) T S; c) A T ; d) A B; e) B A; f) S B; g) A C; h) B C; i) C B; Zadanie 6.2. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkie pary nale» ce do relacji R S T. 1. x, y) R x + y 10; 2. x, y) R x + y = 11; 3. x, y) R x + y jest nieparzyste; Zadanie 6.3. Które wªasno±ci zwrotno±, przeciwzwrotno±, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodnio± ) posiada podana relacja? 1. x, y S, xϱy x + y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 2. x, y S, xϱy x y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 3. x, y N, xϱy x = y ; 4. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 5. x, y R, xϱy x < y ; 6. x, y R, xϱy x y < 1; 7. x, y R, xϱy xy < 0; 8. A, B R, AϱB A B; 9. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem sko«czonym; 10. x, y-ludzie, xsy x oraz y s tej samej pªci; 11. x, y-ludzie, xt y x nie jest ni»szy ni» y; 12. a, b), n, m) N 2, a, b)sn, m) a + m = n + b; 13. a, b), n, m) Z 2, a, b)t n, m) am = nb; Renata Wiertelak 7

9 Zestaw 7. Relacje porz dku i równowa»no±ci Zadanie 7.1. Czy podana relacja jest relacj cz ±ciowego porz dku lub równowa»no±ci? 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 0, 1, 2}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) 1) a+b = 1) m+n ; 6. a, b), n, m) Z 2, a, b)ϱn, m) 1) ab = 1) mn ; 7. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) a n b m; 8. A, B R, AϱB 5 A B) 5 / A B); 9. x, y-ludzie, xry x i y maj tego samego rodzica; 10. x, y-ludzie, xry x i y maj t sam matk ; 11. a, b), n, m) Z Z \ {0}, a, b)sn, m) am = nb; Zadanie 7.2. Dla podanej relacji równowa»no±ci wyznacz jej klasy abstrakcji. 1. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) 1) a+b = 1) m+n ; 4. a, b), n, m) Z 2, a, b)ϱn, m) 1) ab = 1) mn ; 5. x, y-ludzie, xsy x oraz y s tej samej pªci; 6. x, y-ludzie, xry x i y maj t sam matk ; 7. a, b), n, m) N 2, a, b)rn, m) a + m = n + b; Zadanie 7.3. Dla podanej relacji cz ±ciowego porz dku wyznacz elementy minimalne oraz maksymalne. 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 y 3 0 x 3 y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 0, 1, 2}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b), n, m) N 2, a, b)ϱn, m) a n b m; Renata Wiertelak 8

10 Zestaw 8. Funkcje Zadanie 8.1. Czy podana relacja R X Y jest funkcj? Je±li nie, to czy mo»na tak zmieni zbiory X, Y aby byªa. 1. x, y) R x = y, R R R; 2. x, y) R x 2 = y 3, R N Z; 3. x, y) R x 3 = y 2, R N Z; 4. x, y) R x = y 2, R R R; 5. x, y) R x 4 = y 3, R N Z; 6. x, y) R x = y 3, R R R; 7. x, y) R x 2 + y 2 = 9, R R R; Zadanie 8.2. Wyznacz dziedzin i zbiór warto±ci podanej funkcji a) fx) = 3 x; b) fx) = 4 x 2 ; c) fx) = x 2 + 1; d) fx) = x ; e) fx) = ; f) fx) = x x 1 4 x 2; g) fx) = x ; h) fx) = 1 x 1 ; i) fx) = 2 x x2 4 ; Zadanie 8.3. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S S s ró»nowarto±ciowe, "na" S? a) fn) = 6 n; b) fn) = max{n, 3}; c) fn) = n; d) fn) = min{2, n}; e) fn) = min{n, 5}; f) fn) = max{5, n}; Zadanie 8.4. Czy podana funkcja f : R R jest ró»nowarto±ciowa, "na" R? a) fx) = 2x + 3; b) fx) = x 2 4; c) fx) = x + 3 ; d) fx) = x 3 1; e) fx) = x 1) 3 ; f) fx) = 3 x 1; Renata Wiertelak 9

11 Zadanie 8.5. Czy podana funkcja f : R R jest ró»nowarto±ciowa, "na" R? a) fx) = 3x 1; b) fx) = 1 x ; c) fx) = x + 2 ; d) fx) = x 2 1; e) fx) = x 1) 2 ; f) fx) = x 2) 2 + 2; Zadanie 8.6. Wyznacz f[0, 1)), f0, 1)), f 1 [0, 1)), f 1 0, 1)). a) fx) = 3x 1; b) fx) = 1 x ; c) fx) = x + 2 ; d) fx) = x 2 1; e) fx) = x 1) 2 ; f) fx) = x 2) 2 + 2; Zadanie 8.7. Zbadaj czy funkcja f : R R okre±lona wzorem fx) = { 2x + 4 dla x < 0 x 2 dla x 0 jest ró»nowarto±ciowa i "na" R. Wyznacz f 3, 3)), f0, 3)), f 1 0, 4)) oraz f 1 3, 0)). Zadanie 8.8. Zbadaj czy funkcja f : R R okre±lona wzorem fx) = { 1 x dla x < 1 x 1 dla x 1 jest ró»nowarto±ciowa i "na" R. Wyznacz f 2, 1)), f 2, 1]), f 1 [ 3, 0)) oraz f 1 4, 2)). Zadanie 8.9. Zbadaj czy funkcja f : R R okre±lona wzorem fx) = { 4 x dla x < 2 3 2x dla x 2 jest ró»nowarto±ciowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3]) oraz f[ 3, 0]). Zadanie Zbadaj czy funkcja f : R R okre±lona wzorem fx) = { 3x + 1 dla x > 2 x 3 dla x 2 jest ró»nowarto±ciowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3]) oraz f[ 3, 0]). Renata Wiertelak 10

12 Wst p do matematyki wiczenia Zestaw 9. Dziaªania uogólnione Zadanie 9.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione nast puj cych zbiorów oraz ich dopeªnie«a n = 1 n + 1, ] [ 1 B n = n n + 1, 2 1 ) C n = [0, n); n D t = 1) n, 2 1 ] E t = 1 1 n + 2 4n, 3 1 ) F n = [ n, n + 1); n [ ) 1) n G n = {1, 2,..., n} H n = n, 5 I n = n, n + 1]; Zadanie 9.2. Oblicz n N A n, n N A n, n N R \ A n), n N R \ A n). a) A n = {x R: x > 2n}, n N b) A n = {x R: x n}, n N c) A n = {x R: x + 3 < n}, n N d) A n = e) A n = } {x R: 1 + 1) n x 3 + 1)n, n N n {x R: 1)n n } < x < n, n N f) A t = { x R: 1) n < x < 3 n}, n N g) A n = {x R: n x < n + 1}, n N h) A n = {x R: n x n + 1}, n N Zadanie 9.3. Wyznacz n N A n, n N A n je»eli a) n N R \ A n) = [ 3, 0), n N R \ A n) = 2, 1] b) n N R \ A n) = 0, ), n N R \ A n) = [5, ) c) n N R \ A n) = R, n N R \ A n) = R \ N d) n N R \ A n) = R \ N, n N R \ A n) = e) n N R \ A n) = Z, n N R \ A n) = N Renata Wiertelak 11