PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 12). Ewentualny brak zg o przewodnicz cemu zespo u nadzoruj cego egzamin. 2. Rozwi zania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwi zaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadz cy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b dne zapisy przekre l. 6. Pami taj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Mo esz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Wype nij t cz karty odpowiedzi, któr koduje zdaj cy. Nie wpisuj adnych znaków w cz ci przeznaczonej dla egzaminatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadaj ce cyfrom numeru PESEL. B dne zaznaczenie otocz kó kiem i zaznacz w a ciwe. yczymy powodzenia! LISTOPAD ROK 2006 Za rozwi zanie wszystkich zada mo na otrzyma cznie 50 punktów Wype nia zdaj cy przed rozpocz ciem pracy PESEL ZDAJ CEGO KOD ZDAJ CEGO

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (5 pkt) Funkcja homograficzna parametrem i p 3. f jest okre lona wzorem a) Dla p 1 zapisz wzór funkcji w postaci px 3 f ( x), gdzie p R jest x p m f ( x) k, gdzie k oraz m x 1 s liczbami rzeczywistymi. b) Wyznacz wszystkie warto ci parametru p, dla których w przedziale p, funkcja f jest malej ca.

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie 2. (5 pkt) Wyznacz wszystkie warto ci k R, dla których pierwiastki wielomianu 2 W x x 8x 12 x k s trzema kolejnymi wyrazami rosn cego ci gu geometrycznego.

4 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 3. (4 pkt) Na rysunku poni ej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f. Rozwi równanie 2 x 16 0 f.

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki 5

6 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4. (7 pkt) Trójk t prostok tny ABC, w którym BCA 90 i CAB 30, jest opisany na okr gu o promieniu 3. Oblicz odleg o wierzcho ka C trójk ta od punktu styczno ci tego okr gu z przeciwprostok tn. Wykonaj odpowiedni rysunek.

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 5. (3 pkt) Sporz d wykres funkcji f danej wzorem f ( x) 2 x x 2, a nast pnie, korzystaj c z niego, podaj wszystkie warto ci x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie warto ci x, dla których przyjmuje minima lokalne.

8 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 6. (4 pkt) Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzcho ek D jest punktem przeci cia 1 paraboli o równaniu y x 2 x 6 z osi Oy. Pozosta e wierzcho ki trapezu równie le 3 na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu. y D C A B 0 x

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 7. (3 pkt) Wyznacz wszystkie rozwi zania równania 2 2cos x cos x nale ce do przedzia u 0, 2.

10 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8. (4 pkt) Ucze analizowa w asno ci funkcji f, której dziedzin jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodn f ( x) dla ka dego x R. Wyniki tej analizy zapisa w tabeli. f x, 1 1 1, 2 2 (2, 3) 3 3, ( x) f (x) Niestety, wpisuj c znaki pochodnej, pope ni jeden b d. a) Przekre l b dnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawid owy. b) Napisz, czy po poprawieniu b du w tabeli, zawarte w niej dane pozwol okre li dok adn liczb miejsc zerowych funkcji f. Uzasadniaj c swoj odpowied mo esz naszkicowa przyk adowe wykresy funkcji.

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki 11 Zadanie 9. (3 pkt) Niech A i B b d zdarzeniami losowymi. Maj c dane prawdopodobie stwa P A 0,, 0, 4 P A \ B 0,3, zbadaj, czy A i B s zdarzeniami zdarze : 5 niezale nymi. P B i

12 12 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 10. (5 pkt) Ci g liczbowy a n jest okre lony dla ka dej liczby naturalnej n 1 wzorem n a n p, gdzie p R. a) Wyka, e dla ka dej warto ci p ci g a n jest arytmetyczny. b) Dla 2 p oblicz sum a20 a21 a a40. c) Wyznacz wszystkie warto ci p, dla których ci g n jest sta y. b okre lony wzorem bn an pn

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki 13 Zadanie 11. (3 pkt) Funkcja f przyporz dkowuje ka dej liczbie naturalnej n 1 najwi ksz liczb ca kowit 2 2 spe niaj c nierówno x 3nx 2n 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f.

14 14 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 12. (4 pkt) Dwa okr gi, ka dy o promieniu 8, s styczne zewn trznie. Ze rodka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okr gu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).. A. B

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki 15

16 16 Próbny egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS