Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy R/S powstało wiele owych metod. Wiele z ich jest a tyle owych, że posiadają dopiero status sposobów pomociczych, przy pomocy których patrzymy a dae w owy sposób. Niektóre z ich ie są jeszcze do końca zbadae i sformalizowae, ale staowią doskoałe arzędzia obróbki szeregów czasowych. Oto metody zaimplemetowae w programie Log Memory Aalysis.. Aaliza R/S. Budowiczy tam rzeczych, hydrolog H.E. Hurst pracując ad projektem tamy a rzece Nil dyspoował 847-letim zapisem poziomu Nilu zostawioym przez Egipcja. Wielu hydrologów przypuszczało, że poziom rzeki jest procesem całkowicie losowym, iezależym od przeszłości. Jedak Hurst, aalizując zapisy Egipcja odkrył, że dae wcale ie reprezetują takiej losowości, chociaż stadardowe metody aalizy statystyczej a ic takiego ie wskazywały. Dlatego Hurst stworzył całkiem ową metodę aalizy daych. W roku 908 Eistei opublikował pracę a temat ruchu Browa. Udowodił w iej, że cząsteczka poruszająca się ruchem Browa pokouje w czasie t odległość R =. t Hurst przy pomocy przeskalowaego zasięgu (rescaled rage, R/S) rozszerzył te model a astępujący: R S = c H (.) gdzie S jest odchyleiem stadardowym przyrostów w czasie, c jest pewą dodatią stałą, ozacza ilość obserwacji (u as będzie to ilość elemetów szeregu czasowego), zaś H jest wykładikiem Hursta. Aby wyzaczyć H ależy ajpierw dla różych obliczyć wartości średie R/S, a astępie, przy pomocy regresji liiowej, rozwiązać rówaie l (R/S) = l c + H l. Wystarczy zatem wykreślić w skali podwójie logarytmiczej (R/S) względem. Nachyleie krzywej będzie wtedy estymować H. Hurst rozszerzył model Eisteia z t 0.5 do t H. Jeśli dae pochodzą z ciągu iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, to otrzymujemy asymptotyczy wzór Hursta: E( R / S ) π = Sedo aalizy R/S tkwi w przeskalowaiu zasięgu. Zwrot te jest często używay w aalizie procesów samopodobych. Polega to a aalizowaiu zasięgu R jaki ma szereg czasowy w różych
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter odstępach czasu. Porówując go z podobym zasięgiem w przypadku iezależych zmieych losowych (i.i.d.) możemy wysuąć wioski, co do iezależości i ewetualej długości pamięci aszego procesu. Istieją trzy klasy wartości wykładika Hursta. Jeśli H=0,5 to proces zachowuje się tak jak błądzeie losowe, czyli i.i.d. Jeśli ie, szereg ie jest iezależy: H=0,5 - biały szum (white oise) - szereg i.i.d., 0<H<0.5 - proces pokouje miejszą drogę iż błądzeie losowe. Dlatego też ma tedecję do częstego,,zawracaia''. Gdy jest wzrastający, to zaczya szybko maleć i odwrotie, po spadku szybko astępuje wzrost. Niewiele empiryczych daych posiada tę własość, taką cechę ma p. zmieość procesów rykowych, 0.5<H< - takie szeregi czasowe pokoują większy dystas iż błądzeie losowe. Gdy proces ma tedecję wzrostową, to z dużym prawdopodobieństwem tą tedecję utrzyma i podobie w przypadku spadku. Nazywa się to zwykle efektem Josepha, przypomiającym am, że po siedmiu latach szczęścia przyjdzie astępe siedem lat iedoli. Podobe procesy rozpatruje się w ubezpieczeiach, gdzie agłe katastrofy wywołują lawię zgłoszeń. Istieje dokłady algorytm opisujący sposób liczeia średiej wartości (R/S), będącej estymatorem przeskalowaego zasięgu E(R/S). Z małymi modyfikacjami zastosowao go w pakiecie LMA. Ze względu a język programowaia, w którym powstał LMA (C++) iektóre fragmety zostały zoptymalizowae pod kątem szybkości wykoaia. Aaliza R/S jest jedą z bardziej czasochłoych metod aalizy długozasięgowej. Podczas badaia zwrotów giełdowych metodą aalizy R/S pojawia się problem zbyt małej liczby daych. Hurst zał historię zmia poziomu Nilu a przestrzei kilkuset lat, więc mógł z dużą dokładością obliczyć R/S dla dużych. Często jedak, tak jak w przypadku daych KGHM, dla dużych liczba podciągów jest zbyt mała, aby uśredioe wartości dawały dobre przybliżeie. Trzeba więc ograiczyć się do krótkich podciągów. Poza tym, że taka aaliza ie będzie już długozasięgowa, okazuje się, że dla małych ie moża sprawdzić, czy baday ciąg składa się z iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, korzystając z asymptotyczego wzoru Hursta E( R / S ) π = (.) Iymi słowy, jeśli do wyzaczeia H zostały użyte zbyt małe wartości, to fakt, że wartość H jest róża od 0,5 wcale ie implikuje iezależości badaego procesu. W roku 976 Ais i Lloyd zapropoowali iy wzór, który modyfikował wzór Hursta dla małych : E( R / S) Γ( ) πγ( ) = π( ) i= i= i i i i dla 340, dla > 340. (.3) Dla >340 wzór te jest przybliżoy wzorem Stirliga, w celu skróceia obliczeń. Ta propozycja daje zaczie lepsze przybliżeie średich wartości (R/S) iż wzór Hursta. Jedak dla <40
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter istieje adal zacza różica pomiędzy wzorem (.3), a wyikiem symulacji komputerowej. Dopiero w roku 994 Peters wprowadził poprawkę, która zapewiła dostateczą zgodość przybliżeia z obserwowaymi w symulacjach wartościami: E( R / S) Γ( 0,5 ) πγ( ) = 0,5 π( ) i= i= i i i i dla dla 340, > 340. (.4) Badając dziee zwroty giełdowe, przyjmujemy, że efekt długiej pamięci występuje wtedy, gdy wartość H wyzaczoa empiryczie (przy pomocy algorytmu przedstawioego poiżej) różi się od wartości teoretyczej przyajmiej o / N. /N jest wariacją H, gdy ciąg składa się z N zmieych i.i.d. o rozkładzie N(0,). Algorytm wyzaczaia (R/S). Ciąg zwrotów o długości N podziel a d podciągów o długości, przy czym moża tego dokoać tylko dla tych, dla których d =N.. Dla każdego podciągu m =,..., d: a) wyzacz średie (arytmetycze) wartości zwrotów (E m ) oraz empirycze odchyleia stadardowe (S m ); b) przeskaluj wartości Z i,m przez odjęcie średiej wartości zwrotów w tym podciągu: X i,m =Z i,m - E m, dla i=,...,; c) skostruuj skumuloway ciąg przeskalowaych zwrotów: i Y i,m =, X j, m dla i=,...,; j = d) oblicz zasięg: R m = max {Y,m,..., Y,m } mi {Y,m,..., Y,m }; e) przeskaluj zasięg: R m /S m. 3. Średia wartość przeskalowaego zasięgu dla podciągów o długości wyosi więc d Rm ( R / S ) = d m = S m
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Jako przykład iech posłuży aaliza ideksu miedziowego z giełdy w Johaesburgu (JOHCOP). W tabeli przedstawioo estymowae parametry wraz z odpowiadającymi im przedziałami. / N = 0,09. Tak więc dae wykazują zależość gdy różica pomiędzy H teoretyczym i H empiryczym będzie większa (co do modułu) od 0,09. H empirycze H teoretycze różica H 0 76 0,638 0,579 0,0589 76 440 0,573 0,579-0,005 440 30 0,4538 0,569-0,063 Na tym przykładzie możemy zaobserwować wszystkie trzy typy szumu. Choć powyżej 440 di wykładik Hursta ie jest zbyt dobrze zdefiioway, to a potrzeby przykładu możemy przyjąć, że istieje. Na przedziale krótkotermiowym, do 76 di obserwujemy długozasięgową zależość daych. Proces zwrotów ideksu ma więc pamięć sięgającą poad pół roku (ajczęściej przyjmuje się 50 di roboczych w roku). Na tym odciku H=0,63. Jest to wyik zaczie miejszy od otrzymaego przez Hursta podczas badaia poziomu Nilu, ale jest zaczący. Aalizując zakres 76 440 di ie stwierdzamy żadej zależości. Obliczoy wykładik Hursta jest ieco miejszy iż teoretyczy, ale różica mieści się w dopuszczalym przedziale. W zakresie powyżej 440 di wykładik Hursta jest miejszy od 0,5. Ozacza to sytuację, w której szereg te ogląday z perspektywy poad 440 di (iterwał czasowy szeregu = 440 di) będzie pokoywał miejszą drogę iż szereg iezależych daych. W przypadku wielkich wzrostów astępować będzie dążeie do spadków i odwrotie. Następuje swoista autostabilizacja procesu.. Aaliza V. Aaliza V powstała jako uzupełieie i modyfikacja aalizy R/S. Jest oa szczególie przydata w szukaiu cykli ieokresowych. Cykle ieokresowe (operiodic cycles) są aturalym rozszerzeiem pojęcia cyklu okresowego. Siusoida ma ustaloy okres: π. W przypadku procesów losowych okresy jedak ie są a ogół stałe, są losowe. Rówież wahaie takiego okresu wokół jakiegoś okresu główego ie jest zerowe i może zmieiać się zgodie z jakimś rozkładem prawdopodobieństwa. W iektórych przypadkach rozkład te ma dobrze zdefiiowaą średią i wariację. Takie procesy azywamy procesami z cyklami ieokresowymi. Używając aalizy R/S łatwo moża pokazać, że procesy rykowe, w zakresie krótkotermiowym, mają dobrze zdefiioway wykładik Hursta, stąd trudo jest określić ich główy okres. Ale patrząc a strukturę długotermiową ryek zachowuje się iaczej. Aby zaobserwować tę różicę stworzoo statystykę V: V ( R / S) =
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Postępowaie jest podobe jak w przypadku aalizy R/S. Różice polegają a rysowaiu a osi y statystyki V, a ie jej logarytmu, oraz a dzieleiu statystyki przez pierwiastek z. W praktyce aaliza V pozwala a uwydatieie a wykresie tych miejsc (zakresów), w których pojawiają się cykle zależości. Na przykładzie (rys. ), który jest odpowiedikiem aalizy z rys., dokładie to powiększeie widać. Poieważ próbka ma długość tylko 640 di roboczych, więc z dwóch wyróżiających się okresów odrzucamy te drugi (660 di). Dla =660 ilość podciągów, a podstawie których liczymy zasięg wyosi 4, więc jest zbyt mała, aby z zadowalającą dokładością wyliczyć średi zasięg. Pomijając te pukt otrzymujemy główy okres procesu rówy 40 di. Jest to iecały rok bizesowy. Na wykresie przerywaą liią zazaczoa jest statystyka V dla ciągu iezależych zmieych losowych. Jak widać ie mamy tu żadych okresów, ai puktów charakterystyczych. Jest to typowa cecha błądzeia losowego brak główego okresu. 3. Korelacja opóźioa (partial correlatio). Aalizując długość pamięci daego procesu możemy skorzystać ze stadardowej metody a badaie liiowej zależości. Jest ią korelacja pomiędzy dwoma procesami, z tym, że jede z szeregów zostaje przesuięty w czasie o pewą stałą (lag). Jeśli porówujemy w te sposób dwa róże procesy, to mówimy o korelacji opóźioej lub częściowej (lagged correlatio bądź partial correlatio). Gdy zaś takiej aalizie poddajemy jede proces, porówując dwa idetycze, ale wzajemie przesuięte szeregi, mówimy o autokorelacji (autocorrelatio). Oto przykład estymatora korelacji opóźioej dla dwóch szeregów czasowych o długości : ρ( τ ) = t = [ X x][ Y y] t = τ t τ [ X x] [ Y y] t t t = t (.5) Wykresy autokorelacji iosą ze sobą wiele iformacji. Dokładie widzimy prędkość utraty pamięci. Często jedak wyiki otrzymae przy pomocy autokorelacji ie pokrywają się z wyikami aalizy R/S czy aalizy V. Jest tak dlatego, że metoda korelacji opóźioej jest bardzo czuła a krótkie odległości, więc łatwiej jest ią badać krótkotermiowe zależości a ryku. W miarę wzrastaia opóźieia (lag) przedmiotem aalizy są coraz miejsze fragmety procesu, więc dokładość obliczeń się zmiejsza. Jako rozsądy przedział opóźieia przyjmuje się więc N/5. Chcąc więc aalizować korelację w perspektywie roku musimy dyspoować aż pięcioletim zbiorem daych. Na rys. 3 przedstawioy jest przykład zastosowaia autokorelacji w praktyce. Zay już ideks miedziowy wykazuje zależość pomiędzy ostatimi dwoma, czterema i sześcioma miesiącami. Piki malejące w odległościach dwóch miesięcy świadczą o tym, że proces kwadratów zwrotów ideksu JOHCOP jest skoreloway z daymi sprzed dwóch miesięcy. Same zwroty giełdowe ie wykazują autokorelacji. Już dla przesuięcia kilku di korelacja wpada w przedział ufości ruchu Browa. Iaczej dzieje się z wartościami bezwzględymi oraz z kwadratami zwrotów. Oto trzy wykresy ilustrujące autokorelację odpowiedio zwrotów, ich modułów oraz ich kwadratów (rys. 4). Na wykresie autokorelacji samych zwrotów ie widać żadej zależości długotermiowej. Pojawia się oa dopiero przy aalizie wartości bezwzględej zwrotów. Krzywa wolo opada, co ozacza, że proces dla coraz większych odległości traci pamięć. Aaliza kwadratów zwrotów daje jeszcze iy obraz autokorelacji. Wyraźiej zazaczają się kokrete wartości, dla których proces
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter wykazuje zależość długotermiową. Szum losowy, czyli korelacja mieszcząca się w przedziale ufości błądzeia losowego, jest też tutaj odpowiedio zduszoy do zera. Dlatego też w aalizie zależości liiowej ajczęściej wybiera się autokorelację kwadratów zwrotów. 4. Wykres wariacji (variace plot). Główą cechą procesów z długą pamięcią jest to, że wariacja średiej z próbki zbiega do zera woliej iż /. Wyraża się to wzorem: Var( X ) c H, (.6) gdzie c>0, a H jest zaym już wykładikiem Hursta. Oto prosty algorytm wykreślaia variace plot oraz estymacji parametru H.. Ciąg zwrotów {Z t } o długości podziel a jedakowe podciągi o długości k0(;/). Otrzymamy w te sposób m k podciągów.. Dla każdego podciągu m=,..., m k oblicz jego empiryczą średią ( k ) = oraz średią z całości Z( k ) = m Z k m Z k j j= m k k j= Z ( k ) j 3. Oblicz empiryczą wariację średich Z m ( k ) s ( k ) = m k m k j= ( Z ( k ) Z( k )) j 4. Powtórz pukty -3 dla k0(;/). 5. Wykreśl (jako pukty) l(s (k)) względem l(k). Dla dużych wartości k, pukty a wykresie powiy układać się w liię prostą, o ujemym współczyiku achyleia rówym H-. W przypadku zależości krótkotermiowej, lub daych iezależych prostą graiczą będzie prosta o achyleiu. Natomiast w przypadku zależości długotermiowej dae ułożą się w prostą o miejszym (co do wartości bezwzględej) współczyiku achyleia. Tak więc variace plot daje am zgrubą iformację o istieiu zależości długozasięgowej w daym procesie, pod warukiem, że zależość ta jest wystarczająco sila. Małe odchyłki od H=0,5 są trude do zweryfikowaia awet dla długich próbek. Mimo tych wad metoda ta jest prosta w użyciu, a variace plot czytely i łatwy w iterpretacji.
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Oto przykłady dwóch procesów: modelu ARCH() (dobraego tak, aby ie wykazywał zależości długotermiowej) oraz ideksu S&P500 a przestrzei lat 96 99. Variace plot pierwszego procesu (rys. 5) obrazuje dokładie to, co jest główą cechą modelu ARCH: brak zależości długotermiowej. Pukty układają się dokładie wokół liii H=0,5. W takim przypadku ie ma wątpliwości co do braku pamięci takiego szeregu. Na rys. 6 sytuacja wygląda ciekawiej. Po pierwsze, dae ie tworzą prostej. Możemy jedak odrzucić pierwsze pukty obserwacji (do około 0) i otrzymamy już prostą odpowiadającą H=0,8. Jest to co prawda zgruba aproksymacja, ale daje ogóly wgląd w zależości długotermiowe tego procesu. 5. Variogram. Variogramy są często używae w geostatystyce. Na przykład w procesach przestrzeych są wykorzystywae razem z metodologią azywaą krigig. Variogram o opóźieiu k (lag) jest zdefiioway astępująco: V( k ) = E[ ( Xt Xt k ) ]. (.7) Jeśli X t jest procesem stacjoarym z kowariacją γ ( k ) i korelacją ρ( k ), to V(k) zbiega do graicy: V( k ) = γ( 0 )( ρ( k )) = V( )( ρ( k )). Istieje alteratywą metoda wyzaczaia variogramów. Wystarczy po prosty wykreślić średie wartości (X i -X j ) względem i-j dla i<j (i,j=,...,). Otrzymamy wtedy rozrzucoe pukty. Taki algorytm został zastosoway w LMA. Oś y została jedak odpowiedio przeskalowaa, tz. wartości (X i -X j ) zostały jeszcze poddae stadaryzacji, czyli podzieloe przez empiryczą wariację z próby. W te sposób otrzymujemy liię referecyją a poziomie. Procesom bez pamięci będą odpowiadać variogramy złożoe z puktów oscylujących wokół tej prostej. Odczyt variogramu ie jest tak ituicyjy jak w przypadku variace plot. Ma o jedak tę zaletę, że jest dobrze zdefiioway dla procesów iestacjoarych. Na przykład dla ARIMA(0,,0) X t =X t- +0 t z szumem losowym 0 t, V(k) jest rówe kσ, atomiast dla procesu iestacjoarego z ε tredem liiowym X t =at+0 t mamy: V( k ) a = k + σε Jako przykład iech posłużą dwa variogramy, będące wyikiem aalizy szeregu ARCH() oraz ideksu giełdowego DIJA a przełomie prawie całego XX wieku. Rys. 7 obrazuje proces krótkotermiowy. Tutaj wariacja oscyluje wokół wariacji całego szeregu co widać w rówomierym jej rozłożeiu. Świadczy to o braku pamięci, gdyż w takim przypadku, wariacja modelu w miejscach, gdzie zależości długotermiowe mają duży wpływ, byłaby odpowiedio zaburzoa. Tutaj jedak już dla lag=3 proces zdaje się być pozbawioy takich cech. Na rys. 8 przedstawioo variogram z bardzo długiej próbki ideksu Dow Joesa. Tutaj proces wykazuje wspomiae wcześiej zaburzeia wariacji. Dla małych opóźień jest oa iewielka, co może świadczyć o długotermiowej zależości wartości bez-względej zwrotów tego ideksu. Zależość ta sięga aż 00 di bizesowych, czyli poad 4 lata. Wyik te został zaprezetoway przez Petersa, jedak przy pomocy całkiem iej metody, aalizy R/S. Tam zależość obejmowała 044 di. a k.
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter 6. Zmieość krótko- i długotermiowa (fie & coarse volatilities). Ią własością szeregów czasowych jest zależość między zmieością krótkotermiową (fie) i długotermiową (coarse). Dla daego procesu zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia wartości bezwzględych pięciu ostatich zwrotów (dla daych dzieych odpowiada to jedemu tygodiowi): σ + 4 m i = Z t 5 t= m atomiast zmieość długotermiowa jako wartość bezwzględa z sumy pięciu ostatich zwrotów: m + 4 t= m ςi = Z t (.9) Oczywiście podział a przedziały o długości 5 jest umowy i zależy od typu daych. Mogą to być odciki zawierające 6, 0 bądź 0 sąsiedich zwrotów. Np. dla badaego co 30 miut kursu wymiay USD/DEM (Olse), zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia z wartości bezwzględych sześciu ostatich zwrotów, co odpowiada 3-godziemu przedziałowi czasowemu. Dzięki takiej defiicji otrzymujemy róże pukty obserwacyje ryku. Zmieość krótkotermiowa będzie odpowiadała horyzotowi graczy krótkotermiowych, zwracających uwagę a małe i krótkie wahaia a ryku oraz czerpiących z tego korzyści. Natomiast zmieość długotermiowa będzie odzwierciedleiem hadlarzy długotermiowych, stosujących ią strategię polegającą a obserwacji ryku w szerszej skali czasowej. (.8) Oto przykład zastosowaia metody fie&coarse volatilities. Na rysuku 9 przedstawioo wykres korelacji między zmieością krótko- i długotermiową dla modelu GARCH(4,4). Parametry zostały tak dobrae, aby proces miał charakter długotermiowy. GARCH(4,4) i b i c i 0 0-6 0, 0, 0, 0, 3 0, 0, 4 0, 0, Objawia się to wolym opadaiem krzywej auto-korelacji. Mimo tego różica pomiędzy lewą i prawą stroą jest zikoma (mieści się w 95% przedziale ufości ruchu Browa). Nie moża więc mówić o wpływie jedej zmieości a drugą. Rys. 0 jest odpowiedikiem rys. 9 z tym, że tutaj aalizoway jest szereg HARCH(4096). Oto wartości jego współczyików:
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter HARCH(4096) i c i 0 0-7 00 0,00 00 500 0,00 500 000 0,0 000-4096 0,0 Parametry modelu zostały tak dobrae, aby przedstawić właśie tę cechę daych fiasowych wpływ zmieości długotermiowej a krótkotermiową zmieość długotermiowa pozwala lepiej przewidzieć zmieość krótkotermiową iż odwrotie. Wykres różicy między korelacją lewej i prawej stroy przedstawia te wpływ sięgający aż ośmiu ostatich tygodi (zakładając, że dae są daymi dzieymi). Dla daych fiasowych, zwłaszcza kursów wymiay walutowej, istieje makrorykowe uzasadieie tego faktu. Zmieość długotermiowa ma wpływ a krótkotermiową poieważ poziom zmieości długotermiowej odzwierciedla oczekiwae rozmiary tredów a ryku. Z jedej stroy ma to istoty wpływ a zachowaie się hadlarzy krótkotermiowych, którzy w reakcji a zmiaę poziomu tej zmieości zmieiają sposób hadlu, powodując zmiaę zmieości krótkotermiowej. Z drugiej stroy, wahaia poziomu zmieości krótkotermiowej ie maja wpływu a strategię hadlarzy długotermiowych, którzy kierują się raczej wiadomościami fudametalymi. Z rysuków 9-0 widać, że modele HARCH przejawiają tę własość, atomiast modele GARCH już ie. 7. Gęstość empirycza (frequecy distributio). Wyzaczaie empiryczej gęstości rozkładu szeregu czasowego jest rzeczą prostą. Zbiór wartości procesu ależy podzielić a jedakowych odcików. Następie zlicza się ile puktów z szeregu wpada do poszczególych przedziałów. Istoty jest przy tym odpowiedi dobór stałej. Przy zbyt małej ilości przedziałów będą oe odpowiedio szerokie, co da iezbyt precyzyje wyiki. Za duże może przy zbyt małej długości procesu powodować efekt dziur, gdyż ie starczy daych do poprawego zapełieia wszystkich przedziałów. Z wykresu gęstości empiryczej (frequecy distributio) zwaego czasem histogramem moża wyczytać wiele iteresujących własości. W prosty sposób możemy porówać asz proces z procesem gaussowskim. Możemy zobaczyć grubość ogoów, a przede wszystkim skośość daych (skewess). Oto dwa rysuki obrazujące to zagadieie. Na rys. przedstawioo histogram zwrotów błądzeia losowego (realizacja zmieej losowej o rozkładzie ormalym N(0,)). Skośość dla rozkładu ormalego jest zerowa, więc wykres gęstości jest symetryczy względem średiej (badaie skośości jest jedym ze sposobów testowaia zgodości próbki z rozkładem ormalym). Rys. jest histogramem trajektorii modelu TARCH(,,). Oto parametry tego modelu: i a i a i` c i 0 0,0007-0,000 0,000 0, 0, 0,0 0, -0, 0,0
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Zostały oe odpowiedio dobrae do potrzeb tego przykładu. Trajektoria procesu, po obliczeiu jej z szeregu zwrotów, ma prawie liiowy wzrost i byłaby kiepskim estymatorem realego procesu, ale właśie dzięki temu, że większość zwrotów ma zak dodati uzyskujemy prawostroą skośość. Ta iesymetryczość odzwierciedla zachowaie się iwestorów w zależości od tego, czy poprzediego dia cey spadły, czy wzrosły. Współczyiki a i odpowiedziale za zachowaie się iwestorów w czasie, gdy cey spadają, przyjmują wartości ujeme co ozacza, że reakcją a spadek ce jest sprzedaż papierów i odwrotie, w przypadku hossy iwestorzy chętie kupują obiecujące papiery. Z drugiej stroy taka sytuacja prowadzi do efektu umocieia się tredów. Występują wtedy w modelu grupy zbyt moco skorelowaych ze sobą wzrostów i spadków.