Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 1 Podstawowe pojęcia Zadanie 1. Wyznacz i naszkicuj dziedziny naturalne następujących funkcji: a) f(, y) = 1 y b) f(, y) = e (+y) + ctg( y) c) f(, y) = y + ln (1 2 y 2 ) d) f(, y) = 2 y 2 + e y e) f(, y) = ( 2 + y 2 4)(9 2 y 2 ) f) f(, y) = 1 2 + y 2 1 g) f(, y) = arcsin y h) f(, y) = arccos +y i) f(, y) = sin y j) f(, y) = arcsin y k) f(, y) = sin sin y l) f(, y) = ln( y) + 1 ( 3)(y+1) m) f(, y) = y + 2 + log ( y 2 + 4) 10 n) f(, y, z) = o) f(, y, z) = 4 e +y z 1 2 y 2 z 2 1 + 2 +y 2 4(1 z) p) f(, y, z) = arccos z 2 +y 2 q) f(, y, z) = ln (yz) r) f(, y, z) = sin ( 2 + y 2 + z 2 ) 1 Zadanie 2. Narysuj kilka poziomic podanych funkcji. a) f(, y) = 2 2 y 2 b) f(, y) = 4 y 2 c) f(, y) = y d) f(, y) = y 2 e) f(, y) = ctg ctgy tutaj poziomicę odpowiadającą wartości 1. Zadanie 3. Rozpoznaj i naszkicuj powierzchnie będące wykresmi funkcji z = f(, y). a) z = 2 1 2 (2 + y 2 ) b) z = 1 2 2 + 4y y 2 c) z = 6 3 2y d) z = y 2 e) z = 1 y 2 f) z = sin ( 2 + y 2 ) g) z = sin h) z = 1 ( + 2) 2 + (y 3) 2 Zadanie 4. Niech f : R 2 R, f(, y) = 2 y oraz d : R R, g() = Zadanie 5. Oblicz f(1, y ), jeśli f(, y) = 2y 2 +y 2.. Utwórz g f. 1+ 2 Zadanie 6. Niech z(, y) = y + f( 1). Wyznacz funkcje z i f, jeśli z = dla y = 1. 1

2 Granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych Zadanie 7. Zbadaj czy następujące ciągi sa zbieżne w R 2 : a) ( 1 n, ( 1)n ) b) ( n 1 n, 1 n sin n) c) (cos (πn), ( 3 4 )n ) d) (arcsin 2 1 n 2 +1, sin π(n2 +1) 2n ) e) ( 6 n n n+1, ( 1)n n ) f) (( n2 +1 n 2 +2n )3n, n sin 1 n ) g) (log n+1 3, 1 n ) Zadanie 8. Korzystając z definicji Heinego uzasadnij, że nie istnieją następujące granice podwójne: { y y dla y a) lim (,y) (0,0) b) f() = y c) lim 2 2 +y 2 0 dla = y (,y) (0,0) 2 +y 2 d) lim (,y) (0,0) y 2 2 +y 4 e) lim (,y) (0,0) sin (y 2 ) y 2 +( 2) 2 f) lim (,y) (0,0) 2 y 2 2 y 2 +( y) 2 g) lim (,y) (0,0) y 3 2 +2y h) lim (,y) (0,0) sin sin y i) lim (,y) (0,0) y+12 2 +y 2 25 Zadanie 9. Oblicz następujące granice podwójne: a) lim (,y) (0,0) ( + y) sin 1 sin 1 2 y 10 b) lim y (,y) (3,4) c) lim (,y) (0,0) 2 +y 2 3 2 +y 3 9+ d) lim 2 +y 2 3 (,y) (0,0) e) lim 2 +y 2 2 +y 2 (,y) (0,0) f) lim (,y) (0,0) (1 + 4 y 4 ) 2 +y 2 +1 1 ( ) 1 cos ( g) lim 2 +y 2 ) (,y) (0,0) h) lim ( 2 +y 2 ) 2 (,y) (,2) 1 + y 1 cos ( i) lim 2 +y 2 ) (,y) (0,0) 2 ( 2 +y 2 ) ( ) j) lim 3 y 3 2 (,y) (1,1) k) lim y (,y) (,a) 1 + 1 +y 1 2 +y 2 Zadanie 10. Dobierz odpowiednie podstawienie tak, aby sprowadzić granicę podwójną do granicy funkcji jednej zmiennej i oblicz tę granicę. 3( a) lim 2 +y 2 ) (,y) (0,0) 2 +y 2 +1 1 b) lim (,y) (0,0) 2 sin (y) 3y c) lim (,y) (0,0) 3 y+9 y 1 1 cos ( d) lim 2 +y 2 ) e (,y) (0,0) e) lim 2 +y 2 ( 2 +y 2 ) 2 (,y) (0,0) f) lim (,y) (0,0) (1 + 2 y 2 ) 2 +y 2 3 2 +y 2 Zadanie 11. Wprowadź współrzędne biegunowe i oblicz, jeśli istnieją, następujące granice: a) lim (,y) (0,0) y 2 +y 2 b) lim (,y) (0,0) 2 y 2 +y 2 c) lim (,y) (0,0) (1 + 4 y 4 ) 1 2 +y 2 d) lim (,y) (, ) 2 +y 2 4 +y 4 e) lim (,y) (, ) +y 2 y+y 2 f) lim (,y) (0,0) ( 2 + y 2 ) 2 y 2 Zadanie 12. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach (lub z definicji Heinego i twierdzenia o trzech ciągach) oblicz następujące granice: a) lim (,y) (0,0) 2 y 2 2 +y 2 b) lim (,y) (0,0) 3 2 2 +y 4 c) lim (,y) (0,0) y 3 4 +sin 2 y d) lim (,y) (0,0) 2 y 2 +y 2 e) lim (,y) (0,0) 3 2 +y 2 f) lim (,y) (, ) ( y 2 +y 2 ) 2 g) lim (,y) (1,0) ( 1) 2 ln ( 1) 2 +y 2 2

Zadanie 13. Obliczając granice iterowane uzasadnij, że nie istnieja granice podwójne: 2 y+ a) lim 2 +y 2 (,y) (0,0) b) lim 3 +y +y (,y) (0,0) c) lim 2 sin 1 2+y 3 +y (,y) (0,0) 2 +y 2 y d) lim (,y) (0,0) e) lim 2 +y 2 +y (,y) (, ) 2 +y 4 Zadanie 14. Zbadaj podane funkcje f. Pokaż, że istnieją obie granice iterowane i są sobie równe, ale nie istnieje granica podwójna. a) lim (,y) (0,0) 2 y 2 2 y 2 +( y) 2 b) lim (,y) (0,0) y 2 +y 2 Zadanie 15. Wykaż, że istnieje granica podwójna lim (,y) (0,0) ( + y) sin 1 sin 1, ale nie istnieją y granice iterowane. Zadanie 16. Zbadaj ciągłość następujących funkcji: { { 2 y dla (, y) (0, 0) a) f(, y) = 2 +y 2 2 + y b) f(, y) = 2 dla 0 0 dla (, y) = (0, 0) 2 dla < 0 { { 4 y 4 1 dla (, y) (0, 0) dla 2 + y 2 1 c) f(, y) = 4 +y 4 d) f(, y) = 2 +y 2 1 0 dla (, y) = (0, 0) 0 dla 2 + y 2 = 1 3 Pochodne i różniczki Zadanie 17. Korzystając z definicji zbadaj, czy istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji we wskazanych punktach: a) f(, y) = 3 + y 3, P 0 = (0, 0) { 3 +y dla (, y, z) (0, 0, 0) b) f(, y, z) = 2 +y 2 +z 2 0 dla (, y, z) = (0, 0, 0), P 0 = (0, 0, 0) c) f(, y) = sin (y), P 0 = (π, 1) { ( 2 + y 2 1 ) sin dla (, y) (0, 0) d) f(, y) = 2 +y 2 0 dla (, y) = (0, 0), P 0 = (0, 0) e) f(, y) = +y, P 0 = (1, 1) f) f(, y) = 3 6 8y 3, P 0 = (0, 0) Zadanie 18. Sprawdź, że podane funkcje mają w punkcie (0, 0) obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, ale nie są w tym punkcie ciągłe. Zauważ, że nawet równość pochodnych cząstkowych nie gwarantuje ciągłości. Co więcej, poza istnieniem pochodnych cząstkowych (P 0), (P 0), należy założyć o f, aby zagwarantować ciągłosć f w punkcie P 0? a) f(, y) = { 0 dla y 0 1 dla y = 0 b) f(, y) = { y 2 +y 2 dla (, y) (0, 0) 0 dla (, y) = (0, 0) 3

Zadanie 19. Sprawdź, że podane funkcje f są ciągłe we wskazanych punktach P, ale nie mają tam pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu. a) f(, y) = 2 + y 2, P = (0, 0) b) f(, y) = + y 1, P = (0, 1) Zadanie 20. Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji: a) f(, y) = 2 y y + 10 b) f(, y) = y c) f(, y) = + sin (y) + 3y +y d) f(, y) = 2 y + 2 y e) f(, y) = y f) f(, y) = 2 sin2 ( 3 ) 2 +y 2 y 2 g) f(, y) = arctg y 5 y h) f(, y, z) = ( ) y z i) f(, y, z) = () yz j) f(, y) = y y k) f(, y, z) = sin ( 2 ) tgy e sin z cos 2 y l)f(, y, z) = 5 y 10 3 sin z + y 2 e z m) f(, y) = (ln ) sin y n) f(, y, z) = (sin ) ((sin y)sin z ) o) f(, y, z) = y arctg(z) p) f(, y) = e 2 +y 2 arcsin (2 y ln ( y )) q) f(, y, z) = (2 + 3z) yz r) f(, y, z) = y 2 (5y 2z) z s) f(, y, z) = y(3 + 2z) yz t) f( 1,..., n ) = 1 2... n + 1 2 2... n n Zadanie 21. Wykaż, że funkcja u dana wzorem: a) u(, y) = ln (e + e y ) spełnia równanie u + u = 1 b) u(, y) = e y 2 spełnia równanie 2 u + y u = 0 c) u(, y, z) = + y y z spełnia równanie u + u + u z = 1 d) u(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 ln y spełnia równanie Eulera u + y u + u z z = u(, y, z) Zadanie 22. Oblicz 2 f (0, 0) oraz 2 f (0, 0), gdy { y 3 dla (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 dla (, y) = (0, 0). Zadanie 23. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego podanych funkcji. Czy pochodne mieszane są równe? a) f(, y) = y + 2 y 3 b) f(, y, z) = 9e 3+4y cos 5z c) f(, y) = e ey 1 d) f(, y, z) = 2 +y 2 +z 2 Zadanie 24. Oblicz wskazane pochodne cząstkowe następujących funkcji: 4

a) f(, y) = y ln ; f y, f y =? b) f(, y) = 2 arctg y y2 arctg y ; f, f y =? c) f(, y) = ln ( 2 + 2 + y 2 ); =? d) f(, y) = e y ; 5 f 4 =? e) f(, y, z) = ln ( 2 + 2y z); 5 f 2 z 2 =? Zadanie 25. Rozważ funkcję f w punkcie (0, 0), aby przekonać się, że jesli pochodne cząstkowe drugiego rzędu mieszane istnieją w pewnym punkcie, ale nie sa w tym punkcie ciągłe, to nie muszą być równe. a) f(, y) = { sin ( 2 y 2 ) 2 +y 2 y dla (, y) (0, 0) 0 dla (, y) = (0, 0) b) f(, y) = 3 6 y 3 Zadanie 26. Uzasadnij, że funkcja u(, t) = A sin (aλt + ϕ) sin (λ) spełnia równanie struny drgającej 2 u = a 2 2 u. t 2 2 Zadanie 27. Oblicz gradienty podanych funkcji: a) f(, y) = sin cos y b) f(, y, z) = z z+y w punkcie P 0 = (1, 0, 3) c) f(, y) = 3 y 3 + 3 y w punkcie P 0 = ( 2, 1) Zadanie 28. Korzystając z definicji oblicz pochodną kierunkową funkcji f w podanym punkcie P 0 w kierunku wektora v, gdy: a) f(, y) = 2 + y 2, P 0 = (0, 0), v = ( 1 2, 3 2 ) b) f(, y) = y, P 0 = (1, 1), v = ( 3 5, 4 5 ) c) f(, y, z) = y 2 + z 2 yz, P 0 = (1, 1, 2), v = (1, 2, 1) d) f(, y, z) = yz, P 0 = A, v = AB, gdzie A = (5, 1, 2), B = (9, 4, 14) Zadanie 29. Wykorzystując gradient funkcji f oblicz pochodną kierunkową f v (P 0), gdy: a) f(, y) = sin cos y, P 0 = (0, π), v = ( 1 2, 3 2 ) b) f(, y) = 4 + y 4 + 2y + 1, P 0 = (1, 2), v = (3, 1) c) g(, y) = ln ( 2 + y 2 ), P 0 = (1, 1), v to wersor dwusiecznej I ćwiartki układu współrzędnych d) f(, y) = 2 2 3y 2, P 0 = (1, 0), v to wersor, który tworzy z osią O kąt 1 3 π e) f(, y, z) = e 2yz, P 0 = ( 1, 1, 1), v = ( 1 4, 3 2, 3) f) f(, y) = y y, P 0 = (1, 2), v = (5, 12) Zadanie 30. Korzystając z definicji oblicz pochodną kierunkową funkcji f(, y) = 3 3 + 8y 3 w punkcie P 0 = (0, 0) w kierunku wektora v = ( 2, 2). Czy pochodną tę można policzyć korzystając 2 2 z gradientu funkcji f? 5

Zadanie 31. Wyznacz wersor v, w kierunku którego pochodna kierunkowa f v (1, 2) funkcji f(, y) = arcsin ma wartość zero. y Zadanie 32. Oblicz pochodną kierunkową funkcji f(, y, z) = 1arctg y w punkcie A = (1, 1, 0) 1 z 2 w kierunku wersora normalnego płaszczyzny = 2 + 2s + 2t π : y = 3 5t, t, s R. z = 2 + s 4t 4 Ekstrema lokalne, globalne i warunkowe Zadanie 33. Znajdź ekstrema lokalne następujących funkcji: a) f(, y) = 4 +y 4 8 2 2y 2 +205 b) f(, y) = 3 +8y 3 6y+5 c) f(, y) = 2y+ 1 + 2 y d) f(, y) = ( 2 +y) e y e) f(, y) = ( y+1) 2 +(2+y 4) 2 f) f(, y) = e 2 y (5 2+y) g) f(, y) = 3 ln 6 + 2 ln y + ln (12 y) h) f(, y) = 2y + ln 2 + y 2 + 3arctg y i) f(, y) = e 2 y 2 ( 2 + 2y 2 ) j) f(, y) = y ln ( 2 + y 2 ) k) f(, y) = sin cos 3y l) f(, y) = sin sin y sin ( + y) w zbiorze (0, π) 2 m) f(, y) = e y ( 2 2y 2 ) n) f(, y) = (cos + cos y) 2 + (sin + sin y) 2 o) f(, y) = ( ) 1 3 y 2 +12 2y+7 5 p) f(, y) = sin + cos y + cos ( y) w zbiorze (0, π) 2 q) f(, y) = e 1 2 (2 +y 2 ) WSKAZÓWKA do l): Wykorzystaj równość sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Zadanie 34. Określ wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objętości 32 cm 3 tak, aby jego pole powierzchni było minimalne. Zadanie 35. Znajdź odległość punktu P 0 = (1, 0, 2) od płaszczyzny π : +2y +z = 4 (tj. znajdź najkrótszą odległość P 0 od π). Zadanie 36. Czy następujące funkcje mają ekstrema lokalne? Jeśli tak, to jakie? a) f(, y) = + y b) f(, y) = 4 + y 4 c) f(, y) = 4 y 4 d) f(, y) = 4 y 4 e) f(, y) = 8 y 4 f) f(, y) = y 2 + 3 g) f(, y) = 2 3 2 + 4y 2 h) f(, y) = ( + y) 4 + ( y) 6 i) f(, y) = ( y + 1) 2 j) f(, y) = 5 4 + y 4 Zadanie 37. Czy funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie P 0? a) f(, y) = 5 + y + 1, P 0 = (0, 1) b) f(, y) = ( y + 1) 4 + ( + y 3) 4, P 0 = (1, 2) 6

Zadanie 38. Znajdź ektrema lokalne następujących funkcji: a) f(, y) = ( 2 + y 2 )e 2 y 2 b) f(, y) = 4 + y 4 2 2 + 4y 2y 2 c) f(, y) = 1 ( 2) 4 5 y 4 5 d) f(, y) = 3 + y 3 3ay, a 0 Zadanie 39. Znajdź ektrema lokalne następujących funkcji: a) f(, y, z) = 3 + y 3 + z 3 3( + y + z) b) f(, y, z) = 2 2 y + 2z y + y 3 + z 2 c) f(, y, z) = + y2 4 + z2 y + 2 z dla, y, z > 0 d) f(, y, z) = 3 + y + y 2 2z + 2z 2 + 3y 1 e*) f( 1,..., n ) = 1 + 2 1 + 3 2 +... + n n 1 + 2 n dla i > 0, i = 1,..., n Zadanie 40. Wyznacz ekstrema lokalne podanych funkcji. W tym celu wykorzystaj podstawienie r = 2 + y 2 sprowadzające poniższe funkcję dwóch zmiennych do funkcji jednej zmiennej. a) f(, y) = e 2 y 2 b) f(, y) = sin ( 2 + y 2 ) c) f(, y) = ln ( 2 + y 2 + 1) Zadanie 41. Znajdź ekstrema lokalne funkcji: a) f(, y) = sin ( 2 y 2 ) b) f(, y) = 2 3 + y 2 3 c) f(, y) = sin + sin 2y Zadanie 42. Uzasadnij, że funkcja f(, y) = (1+e ) cos y +e na nieskończenie wiele minimów lokalnych, zaś nie ma żadnych maksimów lokalnych. Zadanie 43. Uzasadnij, że funkcja f(, y) = 3 4 4 2 y + y 2 nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0, 0), ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum (tj. minimum warunkowe) w tym punkcie. Zadanie 44. Znajdź ekstrema funkcji f przy zadanym warunku. W tym celu rozwikłaj warunek i wstaw go do wzoru opisującego f. a) f(, y) = 4 2 y 2 przy warunku + y = 2 b) f(, y) = y przy warunku + y = 1 c) f(, y) = 2 y 2 przy warunku 2 + y 2 = 1 d) f(, y, z, t) = + y + z + t przy warunku yzt = c 4, gdzie c > 0 stała oraz, y, z, t > 0 Zadanie 45. Posługując się metodą mnożników Langrange a wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(, y) = 4 2 y 2 przy warunku + y = 2. Zadanie 46 (Ekstrema globalne). Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym zbiorze: a) f(, y) = ( y) 2 + y w kwadracie domkniętym 0 1, 0 y 1, 7

b) f(, y) = 2 y 2 w kole K = {(, y) R 2 : 2 + y 2 1}, c) f(, y) = 2 2y 2 w zbiorze D = {(, y) R 2 : 2 + y 2 36}, d) f(, y, z) = 2 + 3y 2 5z 2 w kuli K = {(, y) R 2 : 2 + y 2 + z 2 4}, e) f(, y) = 2 y 8 4y w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (0, 4), (4, 0), f) f(, y) = y(4 y) w trójkącie ograniczonym prostymi = 1, y = 0, + y = 6, g) f(, y) = 2 + y 2 12 + 16y w kole 2 + y 2 25, h) f(, y, z) = e (2 +y 2 +z 2) w zbiorze D = {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 1 z 0}. 5 Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych 5.1 Krzywa płaska Zadanie 47. Znajdź równania stycznych do krzywych w podanych punktach: a) y = 3, P = (1, 0) b) y = 2 3 + 2 + 1, P = (1, 2) c) y = a, P = (1, a) d) 2 + y 3 = 0, P = (1, 1) e) 2 2y + y 2 + 1 = 0, P = (2, 1) f) 3 3ay + y 3 = 0 (liść Kartezjusza), P = ( 3 2 a, 3 2 a) g) = a(t sin t), y = a(1 cos t) (cykloida), t = 1 3 π h) = r(cos t + t sin t), y = r(sin t t cos t) (ewolwenta okręgu, r > 0), t = π 4 i) r = e ϕ, w punktach ϕ = kπ, k Z Zadanie 48. Dla jakich wartości parametrów b i c krzywa y = 3 + b + c jest styczna do prostej y = w punkcie P = (1, 1)? Zadanie 49. Dla jakich styczne do krzywych y = 2, y = 3 są równoległe? Zadanie 50. Jaki warunek muszą spełniać p i q, aby krzywa y = 3 + p + q była styczna do osi O? 5.2 Krzywa przestrzenna Zadanie 51. Napisz równanie stycznej do danej krzywej we wskazanym punkcie: a) = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, przy t = 0 8

b) = R cos 2 t, y = R sin t cos t, z = R sin t, przy t = π 4 c) = 2 cos t, y = 2 sin t, z = t2 π, P = (0, 2, 0) π 4 Zadanie 52. Na krzywej = t, y = t 2, z = t 3 znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do płaszczyzny + 2y + z 4 = 0. Zadanie 53. Na krzywej = t cos t+sin t, y = t sin t+cos t, z = t+1 znaleźć punkty, w których styczna jest równoległa do płaszczyzny Oz. 5.3 Powierzchnia w R 3 Zadanie 54. Znajdź płaszczyznę styczną do danych powierzchni we wskazanych punktach: a) z = 2 +y 2 (paraboloida obrotowa), P = (1, 2, 5) b) 2 +y 2 z 2 = 0 (stożek), P = (0, 0, 0) c) 2 z + 2 y z 8 = 0, P = (2, 2, 1) d) = u cos v, y = u sin v, z = 2v przy u = π, v = π. e) = u cos v, y = u sin v, z = 2v, P = (0, π 2, π) Zadanie 55. Napisz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny zawierającej styczną w punkcie = 2 cos t A = (0, 2, 0) do krzywej l : y = 2 sin t i jednocześnie prostopadłej do płaszczyzny stycznej w z = t2 π π 4 punkcie B = (1, 1, 1) do powierzchni o równaniu z + ln y = 0. y Zadanie 4. (g f)(, y) = Zadanie 5. f(1, y ) = f(, y) 2 y 1+(2 y) 2 Odpowiedzi Zadanie 6. z(, y) = y + 1, f(t) = t 2 + 2t Zadanie 7. zbieżne: b) e) f) g) rozbieżne (granica nie istnieje): a) c) d) Zadanie 9. a) 0 b) 2 5 c) d) 1 6 e) 2 f) 1 g) 1 2 h) e 2 i) nie istnieje j) 3 k) e Zadanie 10. a) 6 b) 2 3 c) 1 6 d) 1 2 e) 0 f) e 3 Zadanie 11. a) nie istnieje b) 0 c) 1 d) 0 e) 0 f) 0 Zadanie 12. Wszystkie granice są równe 0. Zadanie 16. a) ciągła na R 2 b) ciągła w półpłaszczyznach > 0 oraz < 0, oraz w punktach (0, 2), (0, 2) c) ciągła na R 2 \ {(0, 0)} d) ciągła na R 2 \ {(, y) : 2 + y 2 = 1} Zadanie 17. a) c) f) (π, 1) = π, (0, 0) = 0, (0, 0) = 1, (0, 0) = 1 (π, 1) = π2 d) (0, 0) = 2 b) (0, 0) = 0, 9 (0, 0, 0) = 1, (0, 0) = 0 (0, 0, 0) =, (0, 0, 0) = 0 z e) (1, 1) = 1, (1, 1) = 1

Zadanie 20. a) = 2y y, = 2 b) = yy 1, y + y cos (y) + 3y, = + cos (y) + 3 (+y) 2 (+y) 2 e) = 2y, = 2 2 f) = 32 sin 2 3, = 2 sin 2 3 (2 2 +y 2 ) 2 3 t 2 y 3 (2 2 +y 2 ) 3 2 5 = 2 y 2 +(y 5) 2 = (yz) y z 1 z ln, h) = z ( y )z 1, = yz = y ln c) = d) = 2y + 2, = y 2 2 y 2 ( y 2 )z 1, j) = y 1 y (y + ln y), g) = (5 y) 2 y 2 +(y 5) 2, = ( y z )z ln y i) = z yz yz 1, = z (yz) y z ln ln y = y y 1 (y ln + ) k) = 2 cos 2 tgy, = sin 2 2 cos 2 y + tgy esin z sin 2y, = z esin z cos 2 y cos z l) = 54 y 10 3 2 sin z, = 105 y 9 +2ye z, = z y2 e z 3 cos z m) = sin y (ln )sin y 1, = (ln )sin y ln (ln ) cos y n) = (sin y)sin z (sin ) (sin ysin z 1) cos, = (sin )(sin ysin z) ln (sin )(sin y) sin z 1 sin z cos y, = z (sin ) (sin ysin z) ln (sin )(sin y) sin z ln (sin y) cos z o) = yarctgzyarctgz 1, = yarctgz ln arctgz, = z yarctgz y ln p) = +y 2 1+z 2 e2 [2 arcsin (2 y ln y ) + y2y ln 2 ln y +2 y y ], 1 (2 y ln y ) 2 = e2 +y 2 [2y arcsin (2 y ln y ) + 2y ln 2 ln y +2 y ln 1 (2 y ln y ) 2 ] q) = 2yz(2 + 3z)yz 1, = z(2 + r) 3z) yz ln (2 + 3y), = (2 + z 3z)yz y[ln (2 + 3z) + 2z ] = 2+3z y2 z(5y 2z) z ln (5y 2z), = 2y(5y 2z)z + 5y 2 z(5y 2z) z 1, = z y2 (5y 2z) z [ln (5y 2z) + 2z ] s) = 5y 2z y 2 (3+2y) yz +3y z(3+2y) yz 1, = 2 y (3+2y) yz + 1 2 z(2+3y) yz ln (3z + 2y), = z y(3+2y) yz y[ ln (3z+2y) 2 + 2 z ] t) = z 3+2y 1... k 1 k+1... n + 1 2 2... k 1 k 1 kk 1 k k+1 k+1... n n k Zadanie 22. (0, 0) = 1, (0, 0) = 0 Zadanie 23. a) 2 f = 2, 2 y 3 2 = 122 y 5, = 16e 3+4y cos 5z, 2 f = 25e 3+4y cos 5z, 2 z 2 15e 3+4y cos 5z, = 2 f = ey+ey (1 + e y ) Zadanie 24. a) f y = f d) 5 f = 4 e y e) = 2 f = 2 f = 2 f = z z 20e3+4y sin 5z c) 2 f 2 yln 1 (1 + ln ln y) b) f = 2arctg y y = 5 f 192 = 2 z 2 ( 2 +2y z) 5 Zadanie 27. a) [cos cos y, sin sin y] b) [ 1, 4, 1 ] c) [15, 23] 3 9 9 Zadanie 28. a) 1 b) 1 5 c) 2 6 d) 98 13 Zadanie 29. a) 1 2 b) 10 c) 2 d) 2 e) 6+8 3 85 e 2 f) Zadanie 30. 3 Zadanie 31. [ 1 5, 2 5 ] Zadanie 32. π 12 1 3 9 2, nie można 3 = 1 6 b) 2 f = 9e 3+4y cos 5z, y 4 2 = 13+4y cos 5z, 2 f = 2 f = z z = e 2y+ey, 2 f = e y+ey (1 + e y ), 2 10 ln 2+8 13 y, f 2 +y 2 y = 2 y 2 2 +y 2 Zadanie 33. a) f(0, 0) maksimum lokalne, f(2, 1), f( 2, 1), f(2, 1), f( 2, 1) minima lokalne b) f( 1 1, 1) minimum lokalne c) f( 2 3 4, 3 2) minimum lokalne d) f(0, 2) minimum lokalne e) f(1, 2) minimum lokalne f) brak ekstremów g) f(6.4) maksimum lokalne h) brak ekstremów i) f(0, 0) minimum lokalne, f(0, 1), f(0, 1) maksima lokalne j) f( 1 1, ), f( 1, 1 ) minima lokalne, f( 1, 1 ), f( 1 1, ) maksima lokalne 10

k) f( π + k π 2 1π, l 1 ), gdzie k 3 1, l 1 Z oba parzyste lub oba nieparzyste to maksima lokalne, f( π + 2 π k 1 π, l 1 ), gdzie k 3 1, l 1 Z są różnej parzystości to minima lokalne l) f( 2π, 2π ) minimum lokalne, 3 3 f( π, π ) maksimum lokalne m) f( 4, 2) maksimum lokalne n) f(, +(2l+1)π) = 0 minima 3 3 lokalne, f(, + 2lπ) = 4 maksima lokalne o) f(2, 1) minimum lokalne, f( 2, 1) maksimum lokalne p) f( π, π ) maksimum lokalne q) f( 1, 0) minimum lokalne, f(1, 0) maksimum 3 6 lokalne Zadanie 34. 4 cm, 4 cm, 2 cm Zadanie 35. 5 6 6 Zadanie 36. a) f(0, 0) minimum lokalne (globalne) b) f(0, 0) minimum lokalne (globalne) c) f(0, 0) maksimum lokalne (globalne) d) brak ekstremów e) brak ekstremów f) brak ekstremów g) f(0, 0) maksimum lokalne (globalne) h) f(0, 0) minimum lokalne (globalne) i) f(, + 1) słabe minimum lokalne j) f(0, 0) minimum lokalne (globalne) Zadanie 37. a) tak, minimum lokalne b) tak, minimum lokalne Zadanie 38. a) f(0, 0) minimum lokalne, w punktach leżących na okręgu 2 + y 2 = 1 słabe maksima lokalne b) f( 2, 2)), f( 2), 2)) minima lokalne c) f(2, 0) maksimum lokalne d) f(a, a), a > 0 minimum lokalne, f(a, a), a < 0 maksimum lokalne Zadanie 39. a) f(1, 1, 1) minimum lokalne, f( 1, 1, 1), f( 1, 1, 1) maksima lokalne b) f( 1, 2, 1) minimum lokalne c) 2 3 3 f(1, 1, 1) minimum lokalne d) f(1, 2, 1 ) minimum lokalne 2 2 e*) f( n+1 2, n+1 2 2..., n+1 2 n ) minimum lokalne Zadanie 40. a) f(0, 0) = 1 maksimum lokalne b) słabe maksima lokalne na okręgach 2 + y 2 = π + 2kπ, k Z, słabe minima lokalne na okręgach 2 2 + y 2 = 3 π + 2kπ, k Z c) f(0, 0) 2 minimum lokalne Zadanie 41. a) słabe maksima lokalne w punktach na hiperbolach 2 y 2 = π + 2kπ, k Z, 2 słabe minima lokalne w punktach na hiperbolach 2 y 2 = 3π + 2kπ, k Z b) f(0, 0) minimum 2 lokalne c) f( π + 2kπ, π + lπ), k, l Z maksima lokalne, 2 4 f(π + (2k + 1)π, π + (2l + 1)π), k, l Z 2 4 minima lokalne Zadanie 44. a) f(1, 1) maksimum warunkowe b) f( 1, 1 ) maksimum warunkowe 2 2 c) f(0, 1), f(0, 1) minima lokalne d) f(c, c, c, c) minimum warunkowe Zadanie 45. f(1, 1) maksimum Zadanie 46. a) wartość najmniejsza f( 2, 1) = 1, wartość największa f(0, 1) = 1 b) wartość 3 3 3 najmniejsza f(0, 1) = f(0, 1) = 1, wartość największa f(1, 0) = f( 1, 0) = 1 c) wartość najmniejsza f(0, 6) = f(0, 6) = 72, wartość największa f(6, 0) = f( 6, 0) = 36 d) wartość najmniejsza f(0, 0, 2) = f(0, 0 2) = 20, wartość największa f(0, 2, 0) = f(0, 2, 0) = 12 e) wartość najmniejsza f(4, 0) = 32, wartość największa f(0, 0) = 0 f) wartość najmniejsza f(3, 3) = 18, wartość największa f( 4, 4) = 64 g) wartość najmniejsza f(3, 4) = 75, wartość największa f( 3, 4) = 125 h) wartość najmniejsza f( 1, 0, 0) = 1, wartość największa 3 3 27 e f(1, 0, 0) = 1 e Zadanie 47. a) styczna y = 2( 1) b) styczna y = 2 c) styczna y = a + a ln a( 1) d) styczna 2 + 3y + 1 0 e) styczna 2y = 0 f) styczna + y 3a = 0, normalna y = g) styczna y = 3 + a(2 π 3 ) h) styczna y = 3 4 πr i) styczna y = ekπ, gdy k Z parzyste, oraz y = + e kπ, gdy k Z nieparzyste 11

Zadanie 48. b = 2, c = 2 Zadanie 49. = 0 lub = 2 3 Zadanie 50. ( p 3 )3 + ( q 2 )2 = 0 Zadanie 51. a) 1 = y = z 1 b) = R Rt, y = R, z = 2 R + 2 t, t R 2 2 2 2 c) = 2t, y = 2, z = t, t R Zadanie 52. P = ( 1 3, 1 9, 1 27 ) Zadanie 53. punkty odpowiadające wartościom parametru t = (1 + 2k) π 2, k Z Zadanie 54. a) 2( 1) + 4(y 2) (z 5) = 0 b) płaszczyzna styczna nie istnieje c) + y 4z = 0 d) 2y πz + 4π 2 = 0 e) 2 + πz π2 = 0 2 2 Zadanie 55. = 2t + s, y = 2 + t s, z = t, t, s R oraz + y + 2z 2 = 0 12