Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

Transkrypt

1 Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania geometryczne całek 5 9 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania 7 0 Całki podwójne 0 Równania różniczkowe zwyczajne Szeregi liczbowe szeregi potęgowe 5 Analiza wektorowa 7 4 Literatura 40

2 Macierze wyznaczniki równania liniowe Które z iloczynów AB BA A B istnieją? Obliczyć te które istnieją jeżeli A = 0 B = Odpowiedź AB = istnieją A = Pozostałe iloczyny nie Obliczyć [ ] [ 0 Odpowiedzi [ 0 0 ] 5 [ ] [ ] [ 0 0 ] [ ] ] [ 4 0 [ ] [ 0 0 ] Czy dla macierzy A i B zawsze zachodzi (A + B) = A +AB+B? Czy prawdą jest że (AB) = A B? [ ] a b 7 Wykazać że macierz spełnia równanie: c d (a + d) + (ad bc) = 0 ] Obliczyć wyznaczniki: cos sin cos y sin y cos z sin z cos t 4 sin t a 0 0 a 0 0 a 0 0 a a b m n r s b c n p s t c a p m t r

3 + a b c a + b c a b + c 4 a b c a b c Odpowiedzi 8 6; 9 ; 0 a 4 a + ; 0; 0; + a + b + c; 4 (a b) (a c) (b c) Pokazać że 5 + y +y y y y = y y 6 + y +y y y = 0 Rozwiązać równania: = 0 8 = = = 0 Odpowiedzi 7 0 ; 8 ; 9 ; 0 0 Pokazać że macierz spełnia równanie = 0 Znaleźć A jeżeli:

4 A = 4 A = 6 A = 8 A = cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ A = 5 A = A = Odpowiedzi A T ; A T ; A = ; cos ϕ 0 sin ϕ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ ; 9 0 Macierz A spełnia równanie A + A = Obliczyć A + A Rozwiązać równanie macierzowe: [ ] [ ] 0 X = 4 5 [ ] [ ] X = 5 [ ] [ ] T [ 0 4 X = 0 [ ] [ ] 4 X = + X ; ; ] ;

5 5 X = 7 6 T [ ] Odpowiedzi 0 [ ] [ ] [ ] [ Dla jakiej wartości parametru a równanie macierzowe a 0 0 X = ma rozwiązanie? 0 0 a 0 0 a Rozwiązać podane układy Cramera: ] 7 9 { + y = 4 y = 8 + y + z = 0 y + z = 0 + 4y 5z = y + z = 4 y + z = + y z = + y + z + t = 4 + y + z + t = y + z + t = 0 y z + t = Odpowiedzi 7 = y = ; 8 = y = z = ; 9 = y = z = 0; 40 = y = z = t = Rozwiązać podane układy równań: y = 4 y = + y = 4 + y = + y = + y = 4 + y + z = 4 + y z = + y + z = y = 4 y = + y = 4 y = 6 y = 9 4 y = 6 + y + z = 4 + y z = + y + z = 6

6 y + z = 0 + 4y 4z = 0 + y 5z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 y + z = 0 y z t = y + z t = + z t = 4 y + 4z 4t = + y + z t = y + z + t = + y + z t = y + z + t = y + z t = 0 y + z + t = 0 y + z + t = 0 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z = 6 y z t = y + z t = + z = 4 y + 4z t = 4 { + y + z = y + z + t + v = Odpowiedzi 4 = y = ; 4 układ sprzeczny; 4 układ sprzeczny; 44 = y = + 45 = y + y = y z = ; 46 układ sprzeczny ; 47 = 8z y = 7z z = z; 48 = y = +t z = 5 t = t; 49 układ sprzeczny ; 50 = y = z = ; 5 = z + y = 4z + z = z t = ; 5 = z + y = y z = z t = 4 4z y 5 układ sprzeczny; 54 = y = z + z = z t = t v = t W zależności od parametru a podać warunki rozwiązalności układu: { { + y + z = 6 + y = a 55 + ay + az = 56 + y = ay 57 a + y + z = ay z = + y z = a 58 a + 4y + 9z = a a + y + z = a + y + z = Odpowiedzi 55 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a nie ma rozwiązań dla a = 56 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a R 57 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a = 4; 58 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a = 6

7 Geometria analityczna * Pokazać że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległogoku * Pokazać że przekątne równoległoboku przecinają się w połowie Dla jakich wartości parametrów m i k wektory a = (4 6k) b = (m 4) są równoległe 4 Znaleźć kąt między wektorami: ( (a) a = ) ( b = ) (b) a = ( ) b = ( ) (c) a = ( ) b = ( ) 5 Dla jakiej wartości parametru λ wektory a = ( ) b = (λ + λ) są wzajemnie prostopadłe? 6 Sprawdzić czy trójkąt ABC (a) A = (5 4) B = ( ) C = ( ) (b) A = (5 4 ) B = ( ) C = ( 6 5) jest prostokątny 7 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora a = ( ) 8 Znaleźć rzut prostokątny wektora a = ( ) na oś o kierunku wektora b = ( ) 9 Znaleźć wektor jednostkowy m prostopadły do wektorów a = ( ) b = ( ) 0 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: (a) P = ( 4 ) Q = (6 ) R = (0 5) (b) P = ( ) Q = (4 ) R = (0 ) * Pokazaćże pole równoległoboku zbudowanego na przekątnych danego równoległoboku jest równa podwojonemu polu danego równoległoboku * Wyprowadzić twiedzenie sinusów Wskazówka: Wykorzystać fakt że warunkiem aby niewspólinowe wektory a b c tworzyły trójkąt jest a + b + c = 0 Następnie wykorzystać iloczyn wektorowy Obliczyć objętość równoległościanu o wierzchołkach O = (0 0 0) P = ( 4 ) Q = (6 ) R = (0 5) 7

8 4 Wykazać że punkty P = ( ) Q = (0 5) R = ( ) S = ( 0) leżą w jednej płaszczyźnie i obliczyć pole czworoboku o wierzchołkach P Q R S 5 Wykazać że punkty P = (0 ) Q = ( ) R = (4 0) S = ( 5) są wierzchołkami trapezu i policzyć jego wysokość 6* Wykazać że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest równa podwojonej objętości danego równoległościanu 7 Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty: (a) P = ( ) Q = (4 ) (b) P = ( ) Q = (4 ) 8 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P = ( ) = t i równoległej do prostej l : y = + t z = + t 9 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = ( ) i równoległej do płaszczyzny π : y + 4z 7 = 0 0 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = = + t ( ) i prostopadłej do prostej l : y = + t z = + t = + t Znaleźć odległość punktu P = ( ) do prostej l : y = + t z = + t Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez: (a) punkty P = (0 0 ) Q = (4 0 ) R = ( ) = + t (b) prostą l : y = + t i punkt P = ( 0) (c) proste l : (d) proste l : z = t = + t y = + t z = t = + t y = + t z = t l : l : 8 = s y = 4s z = s = + s y = s z = + s

9 Czy przez proste l : można poprowadzić płaszczyznę? = + t y = + t z = t l : = + s y = s z = 5 + s 4* W zależności od parametru a podać wzajemne położenie prostych: l : y = + t l : y = as = t = a s z = + at z = s = + 4t 5* Dla jakich wartości parametrów A B prosta l : y = 4t z = + t leży w płaszczyźnie π : A + y 4z + B = 0 6 Przedstawić prostą l : w postaci parametrycznej { y + 5z = y + z = 7 Na sferze danej wzorem + y + z = wyznacz współrzędne punktów najbliższych i najdalszych od punktu ( 4) Odpowiedzi k = m = ; 4 (a) π (b) π (c) π; 5 λ = 6 6 (a) nie; (b) tak 7 cos α = 6 cos β = 6 cos γ = 6 ; 8 ( ); 9 ± 6 5 ( 5); 0 (a) 49; (b) 7 6; 4 ; 5 = + t { = t = + t ; 7 (a) y = + t (b) y = + t ; 8 y = + t z = + t z = + t 5 9 ( + ) (y ) + 4 (z ) = 0 0 (a) 7 y + 4z 8 = 0; (b) y 5 = 0; (c) + y + 5z = 0; (d) = + t y 4z = 0 nie 5 A = B = 6 y = 4 + 4t z = t ( ) 7 ±

10 Przestrzenie liniowe Które z następujących zbiorów W są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni V : (a) W = {( y z) R : + y + z = 0} V = R ; (b) W = {( y) R : y = } V = R ; (c) W = {A M (R) : det A = 0} V = M (R) (d) W = { A M (R) : A T = A } V = M (R) (e) W = {p() R [] : p(0) = 0} V = R [] (f) W = {p() R [] : p(0) = } V = R [] Czy wektor [ 4 4] jest kombinacją linową wektorów [ 0 ] [ 0 ] [0 0] w przestrzeni R? W przestrzeni R 4 zbadać liniowa niezależność wektorów: [ 0 ] [ 0 ] [0 0 ] 4 Dla jakich a R wektory [ a ] [ ] [ a] tworzą bazę przestrzeni R? 5 Wektory [ 7 5] [ 0 ] uzupełnić do bazy przestrzeni R 4 6 Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R R T ( ) = ( ) (b) T : R R T ( ) = ( 0) (c) T : R R T ( ) = ( ) (d) T : R R T ( ) = + (e) T : R R T ( ) = ( + + ) (f) T : R R T ( ) = ( ) (g) T : R R T jest rzutem prostokątnym na prostą y = (h) T : R R T jest obrotem o kąt π wokół punktu (0 0) 4 (i) T : R R T jest przesunięciem o wektor v = ( 4) 7 Wyznaczyć jądra i obrazy następujących przekształceń liniowych: (a) T : R R T ( y z) = ( + y + y + z) (b) T : R R T ( y) = ( + y y 0) (c) T : R R T ( y z) = (y + z 0) 8 Jakim geometrycznym przekształceniom odpowiadają macierze: [ ] [ ] [ ] (a) (b) (c) Wyznaczyć wartości własne i wektory własne następujących przekształceń liniowych: (a) T : R R T ( y) = ( + y + y); (b) T : R R T ( y) = ( y + y); 0

11 (c) T : R R T ( y z) = ( + y + z y y + z) 0 W przestrzeni R wyznaczyć bazę ortonormalną która zawiera bazę podprzestrzeni W = {( y z) R : + z = 0} Wykazać że jeżeli λ i jest wartością własną odwzorowania T to λ i jest wartością własną odwzorowania T Współrzędne punktu P = ( y) spełniają warunek y = Jaki związek zachodzi między współrzędnymi P = ( y ) otrzymanego po obrocie o kąt 45

12 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania Znaleźć funkcje złożone f f g g g f f g dla: f() = g() = + ; f() = g() = cos ; f() = g() = ; 4 f() = g() = ; + 5 f() = g() = cos ; 6 f() = g() = ; 7 f() = g() = + Odpowiedzi (f f) () = (g g) () = + (g f) () = + (f g) = ; (f f) () = + 4 (g g) () = cos (cos ) (g f) () = cos (f g) = cos ; (f f) () = (g g) () = 4 (g f) () = (f g) = ; 4 (f f) () = (g g) () = ( ) + 4 (g f) () = (f g) = ; 5 (f f) () = 4 (g g) () = + cos (cos ) (g f) () = cos (f g) = cos ; 6 (f f) () = 9 (g g) () = 9 (g f) () = (f g) = ; 7 (f f) () = + (g g) () = (g f) () = + (f g) = Niech f() = g() = + Funkcję h przestawić za pomocą złożenia funkcji f i g 8 h() = + 9 h() = ( + ) 0 h() = ( + ) h() = + h() = ( + ) h() = 4 Odpowiedzi 8 h() = (g f) () ; 9 h() = (f g) () ; 0 h() = (f g f) () ; h() = (g g) () ; h() = (f g g) () ; h() = (f f) () Obliczyć: 4 arc sin ; 5 arc sin ( ) ; 6 arc tg ( ) ; 7 arc tg ; 8 arc sin ( sin 5π 7 ) ; 9 arc cos ( sin 5π 7 Odpowiedzi 4 π; 5 π; 6 π; 7 π; 8 π 5π ; Rozwiązać równanie arc sin + arc sin = π Odpowiedź = 5 )

13 Obliczyć granice n lim n lim 5 lim n (n+)! n! n (n+)!+n! n n sin n 7 lim n 5n 9 lim n 6n+( ) n lim n n+ n n n n n n ( ) n 5n ( 07) n n 5n n+ n+ n n+ n+ n+ n n n 4 lim n 6 lim 8 lim n 0 lim 4 lim n 5 n lim n 4 n +7 ( n lim 4n + 7n n ) ( 4 lim n + n ) n ( n 5 lim n n n + ) ( ( 6 lim n n n a )) n ( ) n + ( 7 lim n + a n + b 8 lim n + n 5 n ) n + ( n 9 lim n + n + n n ) ( 40 lim + n n n n) ( 4 lim + n n n) 4 lim ( 4 lim ) n n n 44 lim ( 45 lim n n n n+) 46 lim 0 47 lim 48 lim ( + a ) 50 lim ( 4) 49 lim + 5 lim e lim 0 55 lim 57 lim 59 lim 0 sin sin 5 6 lim 0 6 lim 65 lim 0 ( ) n n n n + ( n n n n+) (+) e 5 lim 54 lim 56 lim + ( + a ) lim 0 sin 60 lim sin 0 cos 67 lim 69 lim ( + 7 lim + 6 lim 64 lim +sin sin 66 lim sin 68 lim +) 70 lim tg 0 sin 0 +sin sin sin(+) + sin (arc tg ) 7 lim ( + ) + +e (ln ( + ) ln ) Odpowiedzi 0; ; ; 4 ; 5 4 ; 6 0; 7 0; 8 0; 9 ; 0 ; 0; ; 7; 4 0; 5 ; 6 a ; 7 0; 8 ; ; 40 e ; 4 e; 4 ; 4 nie istnieje 44 0; 45 ; e 46 ; 47 4; 48 ; 49 0; 50 ; 5 ; 5 ; 5 + ; 8

14 5 ; 54 ; 55 ; 56 ; 57 ; 58 ; 59 ; 60 ; 6 5; 6 ; 6 ; 64 6 ; 65 ; 66 ; 67 0; 68 e 6 ; 69 e ; 70 ; 4 7 ; 7 Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji: 7 f() = 74 f() = + 75 f() = 76 f() = 77 f() = f() = 79 f() = + Wyznaczyć pochodne podanych funkcji: 80 f() = ( + ) 8 f() = 8 f() = + 8 f() = f() = f() = f() = f() = arc sin + 88 f() = e 89 f() = e sin 90 f() = e sin 9 f() = ln cos 9 f() = ln + 9 f() = ln + arc tg 94 f() = arc tg 95 f() = tg 96 f() = arc sin + ln 5 97 f() = ln ( + + k ) 98 f() = (sin ln + cos ln ) 99 f() = e ( + ) Odpowiedzi 80 f () = 8 + 4; 8 f () = ; 8 f () = 6 + ; 8 f () = ; 84 f () = ( ) ; 85 f () = 5+ ; f 5 () = ( ; 87 f +5) () = ; 88 f () = e ; 89 f () = e sin cos ; 90 f () = e sin cos ; 9 f () = tg ; 9 f () = sin ; 9 f () = arc tg ; 94 f () = ; 95 f () = tg + 96 f () = cos + 5 ln4 97 f () = 98 f 4 () = +k cos ln 99 f () = e ( + 7) 00 f() = arc sin ; obliczyć f (5) Odpowiedź 5 0 y = e +e ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = d e e d y = (e + e ) ; d 0 y = ln ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = (ln + ) d y = d d 0 f() = ln ( + ); obliczyć f(0) f (0) i f (0) Odpowiedź f(0) = 0 f (0) = 0 f (0) = 4

15 04 Wykazaćże funkcja y = arc tg y + (y ) = 0 spełnia równanie różniczkowe 05 Wykazaćże funkcja y = e cos spełnia równanie różniczkowe y IV + 4y = 0 06 Napisać równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a) f() = (0 f(0)) ; (b) f() = ( f()) ; (c) f() = (4 f(4)) ; (d) f() = f() = 7 + (0 f(0)) ; (e) f() = (0 f(0)) ; + (f) f() = ( f()) ; + (g) f() = arc tg ( f()) ; (h) f() = arc sin (0 f(0)) ; + (i) f() = arc tg (0 f(0)) + Odpowiedzi (a) y = ; (b) y = ; (c) y = + ; (d) 6 4 y = y = + ; (e) y = ; (f) y = ; (g) y = + + π ; (h) y = ; 7 4 (i) y = + π 4 07 Na krzywej y = ( ) znaleźć punkty w których styczne są równoległe do osi O 08 Obliczyć f i df dla: (a) f() = przy = 0 i = 0 ; (b) f() = + przy = i = 0 ; (c) f() = przy = 4 i = 0 05 Odpowiedzi (a) f = 9 df = 9; (b) f = 46 i df = 4; (c) f = 0 05 df = Przy pomocy różniczki obliczyć wartość przybliżoną (a) arc tg 0; (b) 6; (c) sin ; (d) ln 0 99 Odpowiedzi (a) ; (b) 979; (c) 0 55; (d) 0 0 Za pomocą reguły de L Hospitala obliczyć granice: 0 lim ; lim π 4 ; lim sin 0 lim ln 4 lim + + ln(ln ) ; 5 lim tg sin cos ; ln( +) ; ln sin ; 0 + ln tg 5

16 6 lim e a e b 0 sin 8 lim 0 ln cos ln ; 7 lim ; e e ; 9 lim arc sin ; 0 +arc tg 0 lim 0 + ln ; lim ( ) lim e ; lim e ( + ) ; 4 lim ( ) tg π; 5 lim ; lim 7 lim (e + ) ; 0 8 lim 0 ( + sin ) ; 9 lim 0 e ; ( tg 0 + tg ) Odpowiedzi 0 0; ; ; ln ; 4 0; 5 ; 6 a b 7 ; 8 ; 9 ; 0 0; ; 0; e 4 ; 5 ; 6 π e ; 7 e ; 8 e; 9 0 Uzasadnić podane tożsamości: (a) arc tg = π arc tg dla > 0 (b) arc tg = π arc tg dla < 0 (c) arc tg = π arc tg dla ( ) 4 + (d) arc sin = arc tg dla ( ) + Znaleźć przedziały monotoniczności oraz ekstrema podanych funkcji: f() = e f() = + f() = 4 f() = f() = + 6 f() = e 7 f() = f() = f() = 40 f() = ln ( + + ) 4 f() = 4 f() = 4 f() = ln 44 f() = ln Odpowiedzi w (0 + ) w ( 0) ; 0 maksimum; w (0 + ) w ( 0) ; 0 maksimum; w ( ( ) ; ( + ) w ( ) ; minimum -maksimum; 4 w ( ) ( i w ) ( i ) 5 + ; minima 0 maksimum 5 w ( 0) i (0 ) w ( ) i ( + ) ; maksimum minimum; 6 w ( 0) i (0 ) brak ekstremów; 7 w ( 5) i (5 7) w ( ) i (7 + ) ; maksimum 7 minimum; 8 w ( ) ( ) i ( + ) ; brak ekstemów; 9 w ( ) i ( + ) w ( ) ( ) i ( ) ; maksimum minimum; 40 funkcja rosnąca; brak ekstemów; 4 w ( ) i ( ) w ( ) ; minimum maksimum; 4 w ( 0 ) i 6 ( ) ( w 5 ) )

17 ( i e ) 0 ; minimum; 44 w (0 ) i ( e) w (e + ) ; e minimum maksima; 4 w ( 0 e) w ( e + ) ; Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanych funkcji we wskazanych przedziałach 45 f() = + 9 [ 4 4]; 46 f() = [0 4] 47 f() = + 6 [ ] Odpowiedzi 45 największa 76 najmniejsza 5; 46 największa 4 najmniejsza 0 47 największa najmniejsza ; 48 Liczbę rozbić na sumę dwóch składników dodatnich tak aby ich iloczyn był największy 49 Ile razy objętość kuli jest większa od objętości największego walca wpisanego w tę kulę? Odpowiedź 50 Z koła wycięto wycinek o kącie α a następnie zwinięto go tworząc powierzchnię stożka Dla jakiej wartości kąta α objętość stożka będzie największa? Odpowiedź π 7

18 5 Liczby zespolone Pokazać że * z z = z z * z + z = Re z * z z = i Im z 4* z jest liczbą rzeczywistą z = z Obliczyć: 5 ( + i) ( i) 6 ( + i) 7 8 i i +i 9 0 ( i i)0 ( ) i 8 ( +i +i 4 i) Re +i 4 Im ( i +i i) 5 5 k=0 ik 6 i + i + i + i 4 + i 5 Odpowiedzi 5 5; 6 + 4i 7 i; 8 + i; 9 i; 0 5 i; ; ; ; 4 ; 5 + i; 6 i Niech z = +i Obliczyć Re ( ) ( ) z + z oraz Im z + z Odpowiedź 0 8* Niech R +ωli R = R R 4 ωc i gdzie R R R R 4 ω L i C są liczbami rzeczywistymi Pokazać że L = CR R ω C R Niech a 5i bi = 5i Obliczyć a oraz b Odpowiedź a = b = 0 0* Pokazać że liczby 8+i +i 9+8i 4 4i są wierzchołkami kwadratu Następujące liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej: z = + i z = i z = i 4* z = i ctg α α ( 0 π ) Odpowiedzi ( cos 5π + i sin 5π) ; ( cos 7π + i sin 7π) ; ( cos 4π + i sin 4π) ( ( ; 4* sin α cos π + α) + i sin ( π + α)) Obliczyć 5 ( cos π + i sin ) π 7 ( cos π + i sin ) π ( 7 cos π i sin π 0 0 0) 8 ( + i) 6 9 i +i 0 ( i) (+i) 8

19 Odpowiedzi 5 ; 6 ; 7 i; 8 ; 9 ; 0 ; Znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczb (a) + 4i (b) 5 i (c) i Odpowiedzi (a) ± ( + i) ; (b) ± ( i) ; (c) ± ( + i Znaleźć wszystkie 4 pierwiastki stopnia czwartego z liczby Odpowiedź ± ± i Znaleźć wszystkie pierwiastków stopnia trzeciego z liczb: (a) (b) i (c) (d) i Odpowiedzi (a) ±i (b) i ± i (c) (d) i ± + i 4 Znaleźć wszystkie 6 pierwiastków stopnia szóstego z liczb (a) 64 (b) Odpowiedzi (a) ± ± ± i (b) ±i ± ± i ) ; ( ± i ) 5* Niech (a + bi) = z Znaleźć z z z 6* Liczby zespolone u i v spełniają warunki u = v Czy u = v? Odpowiedź uzasadnić 7* Czy wzory (a) (cos α i sin α) n = cos nα i sin nα; (b) ( cos α + i sin α) n+ = cos (n + ) α + i sin (n + ) α; (c) ( cos α i sin α) n+ = cos (n + ) α i sin (n + ) α; są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnić 8* Pokazać że dla liczby rzeczywistej liczba (5 + i) e ( i) +(5 i) e (+i) jest także liczbą rzeczywistą 9 Wyrazić przez sin i cos (a) cos (b) sin (c) cos 5 (d) sin 6 Odpowiedzi (a) cos cos sin ; (b) cos sin sin ; (c) cos 5 0 cos sin +5 cos sin 4 ; (d) 6 cos 5 sin 5 cos sin +6 cos sin 5 40 Pokazać że cos 4 = (cos cos + ) 8 4* Obliczyć sumę sin + sin + sin + + sin n Wskazówka Zgodnie ze wzorem Eulera zastąpić sin = ei e i i itd 4* Obliczyć sumę cos + cos + cos + + cos n 4* Obliczyć sumę cos + cos + cos cos (n ) Odpowiedzi 4 n (n+) sin sin sin ; 4 9 sin n cos sin (n+) ; 4 sin n sin

20 44 Rozwiązać równania: (a) z z + = 0 (b) z z + 4 = 0 (c) z iz + = 0 (d) z + ( + i) z + i = 0 (e) i z (4 5i) z 0 = 0 (f) z ( + 5i) z + 0i = 0 (g) ( i) z ( i) z 4i = 0 (h) ( 4i)z + (i )z + + i = 0 (i) ( + i)z + ( + i)z + = 0 (j) (4 i)z + ( + i)z 5 i = 0 Odpowiedzi (a) ±i (b) ±i (c) i i; (d) i; (e) 4 i i; (f) + i + 9i; (g) 4 i i (h) + 7i (i) + i (j) 4 + 7i + i * Znaleźć wszystkie 5 pierwiastków stopnia piątego z jedynki ( 5+)±i Odpowiedź ( 5 )±i 4 4 0

21 6 Wielomiany Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: (a) 4 + ; (b) 4 4; (c) ; (d) 4 + ; (e) 6 ; (f) Odpowiedzi (a) ( + + ) ( + ) ; (b) ( ) ( ) ( + ) ; (c) ( + + ) ( + ) ; (d) ( + + ) ( + ) ; (e) ( ) ( + ) ( + + ) ( + ) ; (f) ( + ) ( ) ( 6 + ) * Pokazać że 5 = ( ) ( cos 7 + ) ( cos 44 + ) Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P () przez wielomiany Q() jeżeli: (a) P () = Q() = ; (b) P () = 0 + Q() = 7; (c) P () = Q() = + ; (d) P () = Q() = + ; (e) P () = Q() = ; (f) P () = Q() = ; (g) P () = 5 + Q() = + ; (h) P () = Q() = ( + )( ) Odpowiedzi (a) Iloraz reszta z dzielenia 5; (b) Iloraz reszta z dzielenia 0; (c) Iloraz 7 reszta z dzielenia 4; (d) Iloraz +4+ reszta z dzielenia 5; (e) Iloraz +7 reszta z dzielenia ; (f) Iloraz + + reszta z dzielenia + 5; (g) Iloraz reszta z dzielenia + (h) Iloraz reszta z dzielenia 4 4 Rozwiązać równania: (a) 4 = 0; (b) + = 0; (c) = 0; (d) = 0; (e) = 0; (f) = 0; (g) = 0 Odpowiedzi (a) ± ; (b) ; (c) (d) (e) 4 (f) (g) ; 8 5; 5 Rozwiązać nierówności: (a) > 0; (b) ( + ) ( ) ( ) > 0; (c) 4 + > ;

22 (d) > 0; (e) 4 4 > 0; (f) 4 < 0; (g) Odpowiedzi (a) ( 5) ( ) ; (b) ( ) ( 0) ( + ) ; (c) ( 0) ( ) ; (d) ( 0) ( ) ; (e) ( 0) (0 ) ; (f) ( ) ; (g) [0 ]

23 Obliczyć całki 7 Całki nieoznaczone ( ( + + ) d; + ) + d; ( + ) d; 4 (tg ) d; 5 ( + ) 7 d; 6 (arc sin ) d; 7 e sin e d; 8 e e d; 9 +ln d; 0 e cos sin d; ln d; sin(6 ) d; 7 d 4 e d; (+ln ) ; 5 cos d; 6 d; 7 d; 8 cos d sin ; 9 tg d; 0 (e + e ) d; sin 5 cos d; cos d; e d; 4 ln d; 5 cos d; 6 arc cos d; 7 arc tg d; 8 ln d; 9 e d; 0 cos d; d; d ; d; 4 d; d; d; 7 ++ d; d 4 ; (+)( ) d; 40 + ( ) d; 4 d; 4 d; ( ) ( +) 4 d; 44 sin d; cos d; 46 d; cos 47 tg d; 48 d ; e 49 e d; 50 ln ( + + ) d; 5 d; 5 arc tg d; (+) 5 arc tg d; 54 arc tg d; 55 ln(+) d; 56 d; + 57 sin d; 58 d ; ( ) 59 sin cos 4 d; 60 sin cos d Odpowiedzi + + ln + C; ln + C; ( ) + ( ) 4 + C; 4 tg + C; 5 ( )8 + C; 6 ( ( ) + (arc sin 4 )4 +C; 7 cos (e )+C; 8 e +C; 9 + ln ) C 0 e cos + C; ln + C; cos (6 ) + C; 4 ln + ln +C; 4 e +C; 5 sin +C; 6 ( ) +

24 C; 7 + C; 8 sin + C; 9 ln cos + C; 0 e + e +C; (sin 6 )6 +C; sin (sin ) +C; e e +C; 4 ln +C; 5 cos + sin +C; 6 arc cos + C; 7 arc tg ln ( + ) + C; 8 ln + C; 9 ( e e ) + C; 0 (cos + sin ) + C; ln ( + ) + C; arc tg + C; + arc tg + C; ln + C; 5 + arc tg + C; 6 ln ( + + ) + C; 7 + ln ( + + ) + C; 8 ln ln +C; 9 ln ln + +C; 40 ln +ln ( ) C; 4 arc tg + C; 4 ln + C; 4 arc tg + C 44 sin + + C 45 sin + + C tg +ln cos +C; 47 tg +ln cos +C; 48 ln e + C; 49 e arc tg e + C; 50 ln ( + + ) + +C; 5 arc tg +C; 5 arc tg +arc tg +C; arc tg +C; 55 ln + ; 56 arc sin + +C; 57 ± + sin +C; 5 arc tg + arc tg +C; 54 ln ln ( + ) ln(+) 58 arc sin + C 59 tg + C 60 cos + cos + C 4

25 8 Zastosowania geometryczne całek Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = y =; 0 y = 4 y = 0; y = ( )( )( ) y = 0; 4 y = y = 4 ; 5 y = y = ; 6 y = + 4 y = ; 7 y = y = 5; 8 y = y = + y = ; 9 y = 4 y = + 4; y = y = 0; y = y = ; y = y = ; 4 y = = 4; 5 y = y = ; 6 y = y = 4 y = y = 4; 7 y = 4 + y = 5; 8 y = e y = e = 0; 9 y = e y = e y = e; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; y = y = 0 = = ; + y = ln y = 0; 4 y = ln y = 4 Odpowiedzi ln ln π ln e Obliczyć długośc łuku krzywej 5 y = gdzie 0 ; 6 y = + ; 7 y = gdzie 0 ; 8 y = arc tg + arc tg gdzie ; 9 y = + arc tg + arc tg gdzie ; + 0 y = ( ) arc cos ; y = + arc sin ; y = (e + e ) gdzie 0 ; y = 5 + gdzie ; y = ln (5 5 ) gdzie 0 Odpowiedzi π (e e ) ln 40 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót dookoła osi O krzywych 5 y = gdzie 0 ; 6 y = y = ; 7 y = 9 y = 0; 8 ( ) + y = 4; 9 y = y = 0; 40 + y 0y + 75 = 0 5

26 Odpowiedzi π π 6 π 7 6π 8 5 π 9 π Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi O krzywej 4 y = gdzie 0 ; 4 y = e +e gdzie 0 ; 4 y = 9 ; 44 y = ( ) gdzie ; 45 + y 0y + 75 = 0 46 y = arc tg + arc tg gdzie + Odpowiedzi π; 4 6 π; 4 π ( e4 e ) ; 44 π; π ; 46 π 6

27 9 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania Pokazać że funkcja z( y) = y spełnia równanie z + z = z y ln y Pokazać że funkcja z( y) = y + F ( y ) spełnia równanie y z + z = dla y a) F (u) = sin u b) F (u) = arc tg u Pokazać że funkcja z( y) = e y ln y spełnia równanie z + y z = z y ln y 4 Pokazać że funkcja T (l g) = π spełnia równanie l T l + g T g = 0 5 Pokazać że funkcja z( y) = yf ( y ) spełnia równanie z dla + y z = z y y a) F (u) = arc tg u b) F (u) = sin u 6 Pokazać że funkcja z( y) = ln ( ) + y spełnia równanie z + y z = y 7 Pokazać że funkcja z( y) = sin spełnia równanie y z + y z = z y 8 Pokazać że funkcja u( y z) = + y + z spełnia równanie ( u ) ( ) ( + u y + u ) z = 9 Pokazać że funkcja V ( y z) = spełnia równanie +y +z V + V y + V z = 0 0 Pokazać że funkcja z( y) = e y spełnia równanie y z y = z y z Pokazać że funkcja z( y) = ln (e + e y ) spełnia równanie ( z z = y z y) Pokazać że funkcja u( y) = e y ( ) spełnia równanie u + u + u = y u y y y ( ) Pokazać że funkcja z( y) = ln spełnia równanie y z + z = y 7 l g

28 4 Obliczyć f df dla funkcji f( y) = y gdy = y = = 0 y = 0 5 Przy odkształcaniu stożka jego promień R zwiększył się z 0 do 0 cm zaś wysokość H zmniejszyła się z 60 do 59 5 cm Obliczyć w przybliżeniu zmianę objętości V stosując wzór dv V Znaleźć wszystkie punkty krytyczne podanych funkcji: 6 g( y) = + y + ( + y ) ; 7 g(t s) = ( + t) + t + s ; 8 f( y) = y 4R y Odpowiedzi 6 ( ) ( ( ) 7 0) ; 8 (0 0) (0 ±R) (±R 0) ± R ± R Znaleźć ekstrema podanych funkcji: 9 f( y) = + 6y y y 0 f( y) = y 4 y f( y) = y y f( y) = + y 9y f( y) = y(6 y) 4 f( y) = y + ( + y) 5 f( y) = + y + y 6 ln 6 f( y) = + y ln y 7 f( y) = + y + y 8 f( y) = y + + y 9 f( y) = + y f( y) = y y y f( y) = y y + 6y f( y) = e ( y) f( y) = e ( y ) 4 f( y) = ( + y) e y 5 f( y) = e y+y 6 f( y) = e ( +y +) Odpowiedzi 9 (0 ) maksimum 0 brak ekstremum (0 0) minimum ( ) minimum ( ) maksimum 4 (0 0) minimum 5 ( ) minimum 6 ( ) minimum 7 ( ) ( ) ( ) ( ) minima 8 ( ) minimum ( ) maksimum 9 ( ) minimum 0 (4 ) minimum (4 4) maksimum brak ekstremum ( 0) maksimum 4 (0 ) minimum 5 (0 0) minimum 6 ( 0) maksimum 7 Znaleźć odległość punktu M = ( 5 ) od płaszczyzny π : + y z + = 0 8 Znaleźć odległość między prostymi l : = + t y = t z = 0 8 l : = 0 y = 0 z = s

29 9 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f( y) = y 4R y na zbiorze D gdzie D : 0 y 0 + y 4R 40 W sferę o średnicy R wpisać prostopadłościan o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f( y) = y( y) = y y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 4 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f( y) = (y + ( y) + y ( y)) na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 44 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największym polu powierzchni 45 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f( y) = y + ( y)+y ( y) na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 46 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten którego suma powierzchni pięciu ścian jest największa 9

30 Obliczyć całki podwójne: 0 Całki podwójne y ddy gdzie D = [0 ] [0 ] D y ddy gdzie D = [ ] [0 ] D D 4 D ( + y ) ddy gdzie D = [0 ] [ ] ( y) ddy gdzie D = [ ] [ ] 5 y ( y) ddy gdzie D = [0 a] [0 b] D 6 ddy gdzie D = [0 ] [0 ] +y D 7 e y ddy gdzie D jest prostokątem o wierzchołkach O = D (0 0) P = ( 0) Q = ( ) R = (0 ) 8 ( + y) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: D = 0 y = 0 y = 9 ( ) + ddy gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A = y D ( ) B = ( ) C = ( ) D 0 ( + ) ddy gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach: D a) (0 0) ( 0) ( ); b) (0 0) ( ) (0 ); c) (0 0) ( 0) (0 ); d) ( 0) ( ) (0 ) (y ) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 + y = 0 Niech D będzie trójkątem o wierzchołkach ( 0) ( 0) (0 ) Obliczyć a) ddy; D b) y ddy D ddy gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach O = (0 0) D P = ( ) Q = (4 ) 4 y ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą D + y = 0

31 5 a ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą D + y = a 6 a ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą D D + y = a 7 ( + y ) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: = = y = 0 y = 8 ( ) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzy- D D wymi: = y = 9 (6 ) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: D = 6 y = y = 0 (4 y ) ddy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = y = Odpowiedzi b a + 6 b a 6 π 7 (e e 4 e 7 + ) (a) 5; (b) ; (c) ; (d) (a) 0; (b) a a Pokazać że: ( π π 4 0 sin y dy y ) d = ( ) e y dy d = (e ) 0 a a a 0 ( a a a y dy ( a 0 +y dy ) ) d = 8 a d = a

32 Równania różniczkowe zwyczajne Narysować linie całkowe równań: y = sin y + y tg = 0 y ( 4) = y 4 yy + = 0 5 y y = 0 6 y + y = 0 7 y = y 8 y = y Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 9 y + y = 0 0 y a + = y y = y dr + r tg ϕ dϕ = 0; r(π) = d = dt (0) = 4 y = 0 005y y(0) = y = 0 005y + 5 y(0) = y = e y cos y(0) = 0 7 y = y; y(4) = 8 ( + ) y + y + = y; y(0) = 9 y + y = 0; y( ) = 0 y = (y + ) ctg ; y = gdy = π 4 ( + ) y + + y = 0 ( + ) y = y + y = 0 +y 4 y = y ln ; y(e) = Odpowiedzi 9 y = Ce ; 0 y = C ( + a + ) ; y = C e ; r = cos ϕ; = ; 4 y = 0 5 e 0005t ; 5 +e t y = 5000 ( + 9e 0005t ) ; 6 y = ln ( sin + ) ; 7 y = e ; e 8 y = y = ; 0 y = sin C ; y = ; + +C y+ = C ; 0 y = 0 +C; 4 y = ln +; (+) Równania różniczkowe postaci y = f ( y 5 y = +y 6 y = y + y 7 ds = s t 8 dt t s y + y = y 9 yy = y 0 y y = + y y() = 0 y = y y; y( ) = y = y ( + ln ) y ; y() = e y + y = ( + y) y 4 (y y) arc tg y = ; y() = 0 5 yy = y 6 y = y Odpowiedzi 5 y = ln + C; 6 y = ) ; 7 C ln s = t ln C ; 8 gdy > 0 y = ln C gdy < 0 y = ln C; 9 t + y = C; 0 y = ; y = ; y = e ; y = Ce y ; 4 + y = e y arc tg y ; 5 y = Ce y ; 6 y = C ( + y) Wyznaczyć równanie rodziny krzywych prostopadłych do rodziny: 7 parabol ay = 8 hiperbol y = c 9 elips + 4y = a 40 okręgów + y = a Odpowiedzi 7 y + = c ; 8 y = C; 9 y = C 4 ; 40 + y = Cy

33 Równania różniczkowe liniowe 4 y y = y() = 4 y y tg = cos 4 y + y = e 44 y + y = e 45 ( + ) y y = ( + ) 46 y = y+ 47 y + y = e 48 y + y = ln + 49 y + y = 4 50 y ( + ) y = + 5 ( + 4) y + y = 5 y y = y(0) = 0 5 t ds dt y cos y sin = sin 55 y + y cos = sin 56 t ds s dt = t ln t dt 57 y y tg = ctg 58 ( + ) y + y = 59 y + y = 60 (a + ) y + y = Odpowiedzi 4 y = +; 4 y = ; 4 y = ( cos e 5 e5 + C ) ( ) 44 y = + C e ; 45 y = ( + C) ( + ) ; 46 y = C ; 47 y = e + C ; 48 y = ln + C ; 49 y = + C e ; ( 50 y = + C e ); + 5 y = + C ( ; 5 y = +4) + C ; 5 s = + t t ; 54 y = sin +C ; 55 y = sin + C cos e sin ; 56 s = t ln t t + Ct ; 57 y = ln tg +cos +C ; 58 y = + C cos 59 y = + C e ; 60 y = ln C(+ a + ) a + Równania różniczkowe zupełne 6 ( + y) d + ( ) dy = 0 6 ( y 4y ) d + ( 4 y + y ) dy = 0 6 ( ) 4 y d + y dy = 0 64 e y d + ( e y ) dy = 0 65 e y d + ( e y ) dy = 0 66 y y d + y ln dy = 0 67 cos yd + (y sin y) dy = 0 68 ( cos y + ) d sin ydy = 0 + ; Odpowiedzi 6 + y y = C; 6 y y + y 4 = C; 6 y + 4 = C; 64 e y y = C; 65 e y + y = C; 66 y = C 67 cos y + y = C; 68 cos y + = C Równania różniczkowe rzędu drugiego 69 y = y y(0) = 0 y (0) = ; 70 y = y y(0) = y (0) = 0; 7 y = y y(0) = y (0) = 0; 7 yy = (y ) ; 7 y + y (y ) = 0; 74 4y y = y(0) = y (0) = ;

34 75 ( + y ) y = y (y ) ; cos y 76 y = sin y (y ) ; 77 yy (y ) = y ; 78 d y = α + ( ) dy d d y(0) = α y (0) = 0; 79 y y = e ; 80 y ln = y ; 8 y + (y ) = 0; 8 y + y = Odpowiedzi 69 y = sin ; 70 y = cos ; 7 y = e +e ; 7 y = C e C y ( ; 7 + yc = + C ; 74 y = ) 4 4 ; 75 y = tg (C + C ) ; 76 tg y = C + C ; 77 y = C C e C + C ; 78 y = e α +e α α ; 79 y = e ( ) + C + C ; 80 y = C (ln ) + C ; 8 gdy C > 0 y = C arc tg C + C gdy C < 0 y = C ln C + C + C gdy C = 0 y = C ; 8 y = + C ln + C 4

35 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu: ( ) n ( ) n + n n= n= n 4 n! n(n+) n= n= 5 6 ln ( + (n )(n+) n) n= n= 7 n 8 n= n= n n Odpowiedzi rozbieżny rozbieżny zbieżny 4 zbieżny 5 zbieżny 6 rozbieżny 7 rozbieżny 8 rozbieżny Obliczyć sumę szeregu: 9 0 n n=0 n=0 n= ( ) n+ n n + n +4 n 6 n Odpowiedzi Zbadać zbieżność szeregu n 4 n+ n + n n= n= ( ) 5 n+ n n 6 n n n= n= 7 ( ) ( n+ n + n ) 8 n + n= n= 9 ln n n+ 0 n n= n= ln n ne n n n= Odpowiedzi rozbieżny 4 rozbieżny 5 zbieżny 6 zbieżny 7 zbieżny (warunkowo zbieżny) 8 zbieżny 9 rozbieżny 0 rozbieżny zbieżny zbieżny n= Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów: 5

36 5 7 9 n n 4 n ( + ) n 6 n n 0 n 8 (+) n n+ 0 n= n= n= n= n= n ( ) n n n= n= n= (+) n n (+) n n n ( n + )n n= ( ) n n n n n n n= Odpowiedzi < < 4 < 0 5 < < < < < 9 < 0 < 5 < Pokazać że sin = ;! 5! 7! 4 sin =! + 5 5! 7 7! + ; 5 e d = C ! 7 7! + Obliczyć z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 6 05 d : d 8 0 e d 9 sin d 0 Odpowiedzi

37 Analiza wektorowa Znaleźć jednostkowy wektor normalny do powierzchni stożka opisanej równaniem + y = z w punkcie ( ) Wyznaczyć jednostkowy wektor normalny do powierzchni opisanej równaniem yz = w punkcie ( ) Wyznaczyć jednostkowe pole wektorowe normalne do powierzchni sfery o środku w początku układu i promieniu a i skierowane na zewnątrz 4 Obliczyć div A oraz rot A dla A = y i + yz j + y z k 5 Obliczyć div A oraz rot A dla A = sin yz i + sin z j + sin y k 6 Niech r = i + y j + z k Wykazać że r = oraz r = 0 (o ile r 0) 7 Niech r = i + y j + z k Wykazać że grad r = r r (o ile r 0) 8 Obliczyć y dl gdzie Γ jest łukiem paraboli y = zawartym Γ między punktami ( ) ( 4) 9 Obliczyć Γ( + y)dl gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach ( 0) (0 ) (0 0) 0 Obliczyć Γydl gdzie Γ jest obwodem prostokąta o wierzchołkach: O = (0 0) P = (4 0) Q = (4 ) R = (0 ) Obliczyć z dl gdzie Γ jest pierwszym zwojem linii śrubowej: +y Γ = a cos t y = a sin t z = at Obliczyć Γ( y dy + d ) gdzie Γ jest okręgiem + y = w kierunku dodatnim Obliczyć ( ) y d + dy gdzie Γ jest okręgiem +y = +y +y Γ w kierunku dodatnim 4 Obliczyć Γ( y d + dy ) gdzie Γ jest sparametryzowana równaniem r(t) = (t ) i + (t t) j dla t 5 Czy całka Γ( y + )d + dy ) zależy od drogi całkowania? 6 Obliczyć () (00) ( (y + )d + dy ) 7 Czy całka Γ( yzd + zdy + ydz ) zależy od drogi całkowania? 7

38 8 Sprawdzić twierdzenie Greena dla (( + y )d + ( + )dy) gdzie Γ Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach (0 0) ( 0) (0 ) 9 Sprawdzić twierdzenie Greena w przypadku całki y dy y Γ( d ) gdzie Γ jest okręgiem + y = 4 w kierunku dodatnim; 0 Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę (y + + y) d + Γ( (y + y) dy ) gdzie Γ jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O = (0 0) A = ( 0) B = ( ) C = (0 ); Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę ( ) d dy gdzie Γ y Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = ( ) B = ( ) C = ( ) Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę Γ( (y ) d+( + y ) dy ) gdzie Γ jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach A = ( ) B = (4 ) C = (4 ) D = ( ) Pokazać że Γ( ( y + e y ) d + (y + e y y) dy ) = 0 gdzie Γ jest krzywą zamkniętą symetryczną względem osi współrzędnych 4 Obliczyć pole elipsy = a cos t y = b sin t Σ 5 Obliczyć pole pętli linii = t y = t t 6 Korzystając ze wzoru Σ = ds obliczyć pole powierzchni bocznej walca o promieniu R i wysokości H 7 Obliczyć (6 + z y ) ds po powierzchni sparamatryzowanej Σ równaniem r(u v) = u i + v j + u k dla 0 u i 0 v 8 Obliczyć ds po tej części sfery + y + z = a która leży w Σ pierwszej oktancie 9 Obliczyć ( ) dydz +y dzd+z dd po zewnętrznej stronie sfery Σ + y + z = a 0 Za pomocą wzoru Gaussa obliczyć Obliczyć Γ Σ ( ) dydz + y dzd + z ddy braną po zewnętrznej stronie ostosłupa utworzonego z płaszczyzn + y + z = a = 0 y = 0 z = 0 ( ) d+( + y) dy+( + y + z) dz gdzie Γ : 8 = a sin t y = a cos t z = a (sin t + cos t) t [0 π]

39 Odpowiedzi ± 6 ( ) ; ± ( ) ; 4 div A = y + z rot A = (yz y) i + (yz y) k; 5 div A = 0 rot A = ( cos y cos z) i (y cos y y cos yz) j + (z cos z z cos yz) k; ( 8 7 ) 5 ; 9 + ; 0 4; a8π ; 0; π; 4 6; 5 nie; 6 4; 7 nie; 8 9 0; 0 0; ; 6; πab ; 8 πa 4 ; 9 4πa ; 0 a4 4 ; πa 9

40 4 Literatura [] GNBerman Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 966 [] M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna Cz - Oficyna Wydawnicza GIS Wrocław 00 [] B Gdowski E Pluciński Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Warszawa 000 [4] l Jeśmanowicz J Łoś Zbiór zadań z algebry Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 969 [5] WKrysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Cz I-II PWN Warszawa 00 [6] DA McQuarrie Matematyka dla przyrodników i inżynierów Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 005 [7] WPMinorski Zbiór zadań z matematyki wyższej WNT Warszawa 974 [8] KAStroud Deter JBoothMatematyka od zera dla inżyniera Wydawnictwo Pętla Warszawa 06 40