Geometria analityczna

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria analityczna a) a = (1,, 5) b) AB, A = (1,, ), B = (, 4, 1) Zadanie. Dla jakich wartości parametru a prostopadłe są wektory (1, a, a)(1, a, 7) R? Zadanie. Oblicz kąt przy wierzchołku A w trójkącie ABC, jeśli A = (1, 0, 1), B = (1,, ), C = ( 1, 1, ). Zadanie 4. Oblicz iloczyny skalarne podanych par wektorów: a) a = ( 1, 5, ), b = (, 07) b) u = i j + k, v = i k Zadanie 5. a) Znajdź kosinusy kierunkowe wektora u = ( 1, 4, 5) R. b) Oblicz kosinusy kierunkowe wektora P Q, gdzie P = (, 1, 0), Q = (, 5, 4). c) Wektor o początku w punkcie A = ( 4,, ) ma długość 14 i kosinusy kierunkowe 7, 7, 6 7. Znajdź współrzędne końca wektora. Zadanie 6. Dane są punkty A = (, 1, ), B = ( 1, 6, 0), C = (4, 1, ). Znajdź: a) wers( BC) b) 1 AB + BC c) rzut wektora 1 AB + BC + AC na oś Oy Zadanie 7. Dla jakich wartości a, b wektor u = (, a, b) jest wersorem prostopadłym do wektora v = (1, 1, 1)? Zadanie 8. Oblicz kąt między wektorami a i b, jeśli wiadomo że a b + a + b = 0, a = 1, b =. Zadanie 9. Oblicz kąt między wektorem u = (4, 1, ) a płaszczyzną Oxz. Zadanie 10. Oblicz kąt między wektorami u i v, jeśli wiadomo, że wektory a = u + v i b = 4 u + 5 v są prostopadłe oraz u = v. Zadanie 11. Oblicz a b, jeśli: a) a = ( 1,, ), b = ( 1,, 5) b) a = j + k, b = i j + k 1

2 Zadanie 1. Oblicz pole trójkąta ABC, jeśli A = (1,, ), B = (,, 4), C = (7, 1, 0). Zadanie 1. Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a = (, 1, ), b = (1,, 1). Zadanie 14. a) Znajdź wektor u wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów v = (1,, ), w = ( 1, 4, ) i spełnia warunek u a = 150, gdzie a = (4, 5, 1). b) Znajdź wektor u wiedząc, że jest on prostopady do wektorów b = (,, 1), c = (1,, ) oraz spełnia warunek u ( i j + k) = 6, gdzie i, j, k to wersory osi układu współrzędnych. Zadanie 15. Dane są wektory a = (,, 1), b = (1,, 1), c = ( 1, 4, ). Oblicz [( a b) c] [( a c) ( b c)] oraz [( b c) ( c a)] [( a b) ( a + c)]. Zadanie 16. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach A = (1,, ), B = (0, 1, ), C = (,, 1), D = (, 1, 6). Zadanie 17. Znajdź rzut wektora a = i j + k na oś Os wyznaczoną przez wektor b = i+ j k. Zadanie 18. Czy wektory a = (1, 1, ), b = (0, 4, 1), c = (,, ) są współpłaszczyznowe? Zadanie 19. Czy punkty P = (1, 1, 1), Q = (0, 1, ), R = ( 1,, 0), S = (5, 0, 4) należą do jednej płaszczyzny? Płaszczyzna i prosta w R Zadanie 0. Znajdź punkty przecięcia płaszczyzny x y + 7z z osiami układu. Zadanie 1. Przeprowadź płaszczyznę przez punkty: a) A = (1,, 0), B = (, 1, 1), C = (, 0, 1) b) A = (1, 0, 1), B = (, 1, ), C = (7,, 5). Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt a) M = (0, 1, ) i równoległej do wektorów a = (, 0, 1), b = (1, 1, 0) b) M = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów u = (, 1, ), v = (1, 4, 1) Zadanie. Napisz równanie parametryczne płaszczyzny zawierającej punkt M = (0, 1, ) oraz prostą x = 1 + t l : y = t, t R. z = 1 Zadanie 4. a) Napisz równanie ogólne płaszczyzny danej równaniem parametrycznym x = + t + s π : y = + t s, t, s R. z = 6 + t b) Napisz równanie parametryczne płaszczyzny danej równaniem ogólnym x + y z + 7 = 0.

3 Zadanie 5. Napisz równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty P = (, 1, ), Q = ( 1,, 1) i równoległej do ozi Oz. Zadanie 6. Napisz równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt M = (1, 1, 1) i równoległej do płasczyzny π : x + y z + 1 = 0. Oblicz odległość między tymi płaszczyznami. (W tym celu należy obliczyć odległość punktu M od płaszczyzny π.) Zadanie 7. Napisz równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P 0 = ( 1,, ) i prostopadłej do wektora u = (, 1, ). Zadanie 8. Napisz równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt M = (, 5, 7) i prostopadłej do płasczyzn π 1 : x y + z 1 = 0, π : x + y z + = 0. Zadanie { 9. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (,, 1) i prostą x y + z = 0 l : x + y + z + 8 = 0 Zadanie 0. Napisz równanie płaszczyzny wyznaczonej przez dwie proste równoległe x = y + 1 = z, x 1 = y = z +. Zadanie 1. Dla jakich wartości m i k płaszczyzny 4x y + 6kz 8 = 0 i mx + y 4z + 4 = 0 są równoległe? Zadanie. Znajdź równanie płaszczyzny dwusiecznej (jednej z dwóch) kąta między płaszczyznami π 1 : x y + 5z + = 0 i π : x 5y + z 1 = 0. Zadanie. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś Oz i tworzącej z płaszczyzną x + y + 5z 1 = 0 kąt 60. Zadanie 4. Przeprowadź prostą przez punkty A = (1,, ), B = (, 4, 5). Zadanie 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (1, 5, ) i równoległej do wektora a = (, 1, 4). Zadanie 6. { Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (1, 5, ) i równoległej do x + y z 1 = 0 prostej k :. x + y z + 1 = 0 Zadanie 7. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (,, 1) i prostopadłej do płaszczyzny 5x y + z 1 = 0. Zadanie 8. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (,, 1) i równoległej do płaszczyzn 6x y + z = 0, x + y z + 1 = 0. Zadanie 9. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (,, 1) i prostopadłej do prostych x = t { x y + z = 1 l 1 : y = 1 + t, t R, oraz l : x + y + z = 0 z = t

4 Zadanie { 40. Napisz równanie parametryczne { prostej danej równaniem krawędziowym 6x + y z + 9 = 0 x + z 4 = 0 a) l : b) l : x + y + z 1 = 0 x y + 6 = 0 Zadanie 41. Dana jesy prosta x = t y = 1 + t z = 4 + t, t R. Znajdź: a) punkty przebicia prostej l z płaszczyznami układu Oxyz b) równanie prostej w postaci kierunkowej c) równanie prostej w postaci krawędziowej Zadanie 4. Przeprowadź, o ile to możliwe, płaszczyznę przez proste x = 1 + 4t { x + 5y + 4z = l 1 : y = 1 + 4t, t R, oraz l : x + y + z = 1 z = 6t Zadanie 4. Napisz równanie parametryczne i kierunkowe prostej będącej dwusieczną kąta utworzonego przez przecinające się proste: x = t x = + s l 1 : y = t, t R, oraz l : y = 4 s, s R. z = t z = 6 + s Zadanie 44. Czy punkty A = (1,, 5), B = (,, 11) należą do prostej l : x 1 1 = y+ 0 = z 5? Zadanie 45. Czy prosta l jest zawarta w płaszczyźnie π : x + y + z 6 = 0? x = 1 + t l : y = t, t R. z = + t Zadanie 46. Dany jest czworościan o wierzcholkach A = (1, 1, 1), B = (, 0, ), C = (,, ), D = (, 4, ). Oblicz objętość tego czworościanu oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D. Zadanie 47. Dany jest czworościan o wierzchołkach O = (0, 0, 0), A = (0, 0, 1), B = (, 0, 0), C = (1, 4, ). Oblicz: a) długość wysokości czworościanu poprowadzonej z wierchołka A b) długość wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C c) odległość prostych l BC i l OA (ozn. l BC - prosta przechodząca przez B i C) d) kąt przy wierzchołku C w trójkącie ABC Zadanie 48. Dane są dwie płaszczyzny π 1 : x y + z = 0 oraz π : 4x 6y + z = 0. a) Jakie jest wzajemne położenie tych płaszczyzn? b) Jaka jest odległość między nimi? c) Napisz równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzn π 1, π i jednakowo od każdej z nich oddalonej Zadanie 49. Oblicz odległośc między prostymi: x = 9 + 4t k : y = t z = t, t R l : 4 x = s y = 1 5s z = 7 + s, s R.

5 Zadanie 50. Oblicz kąt między prostą l i płaszczyzną π, jeśli: x = 4 t l : y = 1 + t, t R π : x + y + z = 0. z = 1 t Zadanie 51. Zbadaj wzajemne położenie prostych x = t x = s k : y = 1 + t, t R oraz l : y = + s, s R z = + t z = 1 s Zadanie 5. Znajdź kąt pomiędzy płaszczyzną x + y = 0 a prostą { x + y + z = 0 x y z 1 = 0 Zadanie 5. Zbadaj wzajemne położenie prostych k : { y z + 1 = 0 x y = 0, l : x = y = z 1. Zadanie 54. Jaki jest kąt pomiędzy prostymi przechodzącym odpowiednio przez punkty A = (, 0, 1), B = (, 1, ) oraz C = (, 1, 1), D = (, 1, )? Zadanie 55. Znajdź odległość między prostymi równoległymi x = 1 + 4t x = 4s k : y = t, t R oraz l : y = 4s, s R. z = 1 + t z = s Zadanie 56. Znajdź rzut prostej l : x 5 = y 4 6 = z 6 8 na płaszczyznę π : x + y + z = 0. Zadanie 57. Znajdź rzut punktu P = (,, 1) na płaszczyznę π : x y + z = 0. Zadanie 58. Znajdź rzut punktu P = (1, 1, 1) na prostą l : x = 4y + 8 = 4 4z. Zadanie 59. a) Dokonaj translacji punktu P = (1,, ) o wektor v = (,, 7). b) Dane są dwa punkty P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) oraz P 1 = (x 1, y 1, z 1 ). Znajdź współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka P 0 P 1. c) Dany jest punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) oraz płaszczyzna π : x 5y z = 0. Znajdź współrzędne punktu P, który jest punktem symetrycznym do P 0 względem płaszczyzny π. d) Odcinek A B jest odcinkiem symetrycznym do odcinka AB względem płaszczyzny π : x + y z + = 0. Znajdź odcinek A B, jeśli A = (0,, 1), B = (1, 1, 4). Zadanie 60. Uzasadnij, że równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy niespółliniowe punkty P i = (x i, y i, z i ), i = 1,, można zapisać w postaci x y z 1 π : x 1 y 1 z 1 1 x y z 1 = 0. x y z 1 5