x y = 2z. + 2y, z 2y df
|
|
- Milena Majewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie będzie tym lepsze im mniejsze będą przyrosty ( x) + ( y). x, y a błąd, jaki popełnimy, dąży do zera szybciej niż Rozważmy funkcję f, y) = x y, gdzie x, y >, oraz x =,, y =,. Jako x i y weźmy zaokrąglenia x i y do liczby całkowitej, czyli x =, y =. Wtedy x =,, y =, oraz f, y ) =. Obliczamy x, y) = yxy, y, y) = xy ln x. Stąd mamy x, y ) =, y, y ) =. Zatem (, ) (,) = f(,,, ) +, +, =, 8. Odpowiedź: Przybliżona watość wyrażenia (, ) (,) wynosi, 8. Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 3 7, 96. Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Rozważmy funkcję f, y) = xy, gdzie iloczyn xy, oraz x =, 3, y = 7, 96. Jako x i y weźmy zaokrąglenia x i y do liczby całkowitej, czyli x =, y = 8. Wtedy x =, 3, y =, oraz f, y ) =. Obliczamy, y) = y x,, y) = x xy y. Stąd xy x, y ) =, y, y ) =, 5. Zatem 3, 3 6, 96 = f(, 3, 7, 96) +, 3,, 5 =,. Odpowiedź: Przybliżona watość wyrażenia, 3 7, 96 wynosi,. Zadanie.3. Wykazać, że każda funkcja z, y) = x f ( y x ), gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej, spełnia równanie x z z + y x y = z. Niech f będzie funkcją różniczkowalną jednej zmiennej t. Obliczamy pochodne cząstkowe i wstawiamy je do równania ( ) z y x, y) = xf y df x x dt ( ) y x x z z + y x y = x f Zadanie.. Wyznaczyć dziedzinę funkcji ( ) y, z ( ) df y, y) =, x y dt x ( ) y + y df ( ) y = z. x dt x y df dt f, y) = ln3y ) y x. Z postaci funkcji otrzymujemy następujące założenia: y x >, x 3y >, x >, y >,. Rozwiązeniem pierwszej nierówności jest y > x, natomiast przy założeniach x > i y > nierówność x 3y > jest zawsze spełniona. Zatem dziedziną funkcji f jest zbiór D f =, y) : x >, y >, y > x, x, y R}. Zadanie.5. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = x 6y. Dziedziną funkcji jest zbiór R. Pierwsze pochodne cząstkowe to, y) = x x,, y) = y. Dziedzina obydwu pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. y Rozwiązując układ równań x = y =
2 otrzymujemy jedyny punkt podejrzany o istnienie ekstremum o współrzędnych (, ). Macierz drugich pochodnych cząstkowych to [ ], jej wyznacznik w punkcie (, ) wynosi jest dodatni, więc funkcja ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Jest to minimum ponieważ f (, ) = <. Mimimum to wynosi f(, ) =. x Odpowiedź: Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (, ) o wartości f(, ) =. Zadanie.6. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = 5x + 7y. Dziedziną funkcji jest zbiór R. Pierwsze pochodne cząstkowe to, y) = x x,, y) = y. Dziedzina obydwu pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. y Jedynym punktem, w którym obydwie pochodne cząstkowe się zerują jest punkt (, ), a zatem jest to jedyny punkt podejrzany o ekstremum. Macierz drugich pochodnych cząstkowych to [ ], jej wyznacznik w punkcie (, ) wynosi. Zatem w punkcie (, ) funkcja nie ma ekstremum. Odpowiedź: Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych. Zadanie.7. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = x y3 xy. Dziedziną funkcji jest zbiór R. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu to x, y) = 3x y, y, y) = 9 y x. Dziedzina obydwu pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum:, y) =,, y) =. x y 3x y = 3x 9 y x =, y = x x =, 3x y = x ) + x + ) =, zatem punkty podejrzane o istnienie ekstremum to (, ), (, 3). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie podejrzanym, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rządu, y) = 6x, x W punkcie (, ), mamy f xy, y) = f yx, y) =, f y, y) = 9 y. W (, ) = = <, więc w punkcie (, ) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego. W punkcie (, 3), mamy 6 W (, ) = = 3 >, więc w punkcie (, 3) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, 3) =. Ponieważ x (, 3) = 6 > zatem jest to minimum lokalne. Odpowiedź: Funkcja posiada minimum lokalne w punkcie (, 3), o wartości f(, 3) =. Zadanie.8. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f, y) = x + y. 3
3 , x +y y Dziedziną funkcji jest zbiór R. Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe:, y) = x x, y) = x y. Dziedziną obydwu pochodnych cząstkowych jest +y R \ (, )}, a za- tem w punkcie (, ), który należy do dziedziny funkcji, będziemy badać z definicji istnienie ekstremum lokalnego. Ponieważ układ równań, y) =,, y) = nie posiada rozwiązań, x y nie mamy punktów podejrzanych. Przystępujemy do badania istnienia ekstremum w punkcie (, ). Ponieważ f(, ) = oraz dla każdegu punktu, y) R \ (, )} mamy f, y) <, a zatem w punkcie (, ) funkcja osiąga maksimum globalne. Odpowiedź: Funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie (, ) o wartości f(, ) =. Zadanie.9. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = y x y + 6y + 8 x. Dziedziną funkcji jest zbiór, y) : x, y R}. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = y x. Dziedzina pochodnej cząstkowej y cząstkowej, x y, y) = x y + 6. jest równa dziedzinie funkcji, ale dziedziną pochodnej jest zbiór, y) : x >, y R}. Zatem w każdym punkcie zbioru, y) : x x =, y R} będziemy badać istnienie ekstremum z definicji. Dla pozostałych punktów sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y y = x x = y, x = y, x = x y + 6 = y = 6 3y = 6, y =, zatem punkt podejrzany to (, ). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rządu y, y) = y x x, 3 xy, y) = f, y) = yx x, f, y) =. y W punkcie (, ), mamy W (, ) = 8 = 3 6 >, więc w punkcie (, ) funkcja f posiada ekstremum lokalne. Ponieważ f (, ) <, więc jest x to maksimum lokalne o wartości f(, ) =. Przystępujemy do badania ekstremów funkcji na zbiorze, y) : x =, y R}. Przy założeniu x = funkcja przyjmuje wzór f, y) = y +6y+8. Wtedy df dy (y) = y+6 i jedynym punktem podejrzanym o istnienie ekstremum jest punkt y = 3. Ponieważ d f (y) =, więc byłoby to dx maksimum lokalne. Sprawdzamy, czy faktycznie jest tam maksimum. Obliczamy f(, 3) = 7. Weźmy punkty postaci (, 3). Wtedy f(, 3) = 7 + 3n n n n n > 7, a zatem funkcja f nie ma w n punkcie (, 3) ekstremum lokalnego. Odpowiedź: Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie (, ) o wartości f(, ) =. Zadanie.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = y ey +y+x. 3
4 Dziedziną funkcji jest zbiór, y) : y, x, y R}. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = x y +y+x ey, Warunek konieczny istnienia ekstremum x x y ey +y+x = y +y y e y +y+x =, y, y) = y + y y, y) =,, y) =. y x = y + y =, y +y+x e. zatem punkty podejrzane to (, ), (, ). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie podejrzanym, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rządu x, y) = x + e y +y+x, y xy, y) = f yx, y) = xy + xy x y y, y) = y + y 3 y y + y +y+x e. y 3 W punkcie (, ), mamy W (, ) = = <, 3 y +y+x e, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, ) =. Ponieważ (, ) = < zatem jest to maksimum lokalne. x W punkcie (, ), mamy W (, ) = e 3 e 3 = 8e 3 >, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, ) = e 3. Ponieważ x (, ) = e 3 > zatem jest to minimum lokalne. Odpowiedź: Funkcja ma w punkcie (, ) maksimum lokalne o wartości f(, ) = a w punkcie (, ) minimum o wartości f(, ) = e 3. Zadanie.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f, y) = sin x sin y sin + y), w zbiorze D = (, ) (, ). Dziedziną funkcji jest zbiór R R, jednak badamy funkcję tylko na zbiorze (, ) (, ). Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = cos x sin y sin + y) + sin x sin y cos + y) = sin y sin + y), x, y) = sin x cos y sin + y) + sin x sin y cos + y) = sin x sin + y). y Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y sin y sin + y) = sin x sin + y) =
5 Z pierwszego równania otrzymujemy, że y = k lub x + y = k, gdzie k Z. Z drugiego równania, analogicznie, x = k lub x + y = k, k Z. Po uwględnieniu założenia, że, y) (, ) (, ) mamy x + y = x + y = y = x 3x = Otrzymujemy jeden punkt podejrzany (, ). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w 3 3 punkcie podejrzanym, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu x, y) = sin y cos+y), f, y) = sin x cos+y), y W punkcie ( 3, 3 ) mamy W ( 3, 3 ) = = 9 >, f xy, y) = f, y) = sin+y). yx zatem w punkcie (, ) funkcja ma ekstremum lokalne o wartości 3 3 f(, ) = 3 3. Ponieważ (, ) <, zatem jest to maksimum lokalne. x 3 3 Odpowiedź: Funkcja ma w punkcie (, ) maksimum lokalne o wartości 3 3 f(, ) = Zadanie.. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = 3 ln x 6 + ln y + ln( x y) Dziedziną funkcji jest zbiór, y) : x >, y >, x + y <, x, y R}. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = 3 x x y, y, y) = y x y. Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y 3 = x x y x y = =, x 3 x y = x x y = y 3 x = y y x y 3 zatem punkt podejrzany to (6, ). Zauważmy, że należy on do dziedziny funkcji f. Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie (6, ) : (6, ) f (6, ) W (6, ) = x yx f (6, ) f (6, ) >. xy y Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rządu x, y) = 3 x ( x y), xy, y) = f yx, y) = ( x y), W punkcie (6, ), mamy y, y) = y ( x y). W (6, ) = 3 3 = 8 6 >,
6 6 więc w punkcie (6, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(6, ) = ln 3. Ponieważ f x (6, ) < zatem jest to maksimum lokalne. Odpowiedź: Funkcja ma w punkcie (6, ) maksimum lokalne o wartości f(6, ) = ln 3. Zadanie.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = e x + y ) Dziedziną funkcji jest R. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = ex + y + x), y, y) = ex + y + y). Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x e x + y + x) = e x + y + y) = y x + y + x = x + y + y = x = y x + ) = Otrzymujemy dwa punkty podejrzane o istnienie ekstremum: (, ) oraz (, ). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie podejrzanym, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu x, y) = ex + y + x + ), y, y) = ex + y + y + ), xy, y) = f yx, y) = ex + y + x + y). W punkcie (, ) mamy W (, ) = = >, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, ) =. Ponieważ x (, ) > zatem jest to minimum lokalne. Zauważmy, że ponieważ dla dowolnych, y) R mamy f, y), zatem jest to minimum globalne. W punkcie (, ) mamy e W (, ) = e = e <, zatem w punkcie (, ) funkcja nie ma ekstremum. Odpowiedź: Funkcja osiąga w punkcie (, ) minimum lokalne (globalne) o wartości f(, ) =. Zadanie.. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = lny) + x y + 3 Dziedziną funkcji jest zbiór, y) R : xy > }, czyli I i III ćwiartka układu współrzędnych (bez osi). Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = x + x, y, y) = y y.
7 Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y + x = x x = y y y = Ponieważ pierwsze równanie nie posiada rozwiązań, zatem nie istnieją punkty podejrzane i funkcja nie posiada ekstremów lokalnych. Odpowiedź: Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych. Zadanie.5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = y ) ln x Dziedziną funkcji jest zbiór, y) R : x > }. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu y, y) = ln x + x x,, y) = y ln x. y Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y ln x + y = x y ln x = Z drugiego równania mamy dwa przypadki I. y = lub II. x =. y = y = I. ln x + = x = e x = x = II. y = = y = y = Otrzymujemy punkty podejrzane (, ), (, ) i (, ). Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie podejrzanym, y ) : e W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu W punkcie (, ) mamy e x, y) = x + y x,, y) = ln x, y xy, y) = f y, y) = yx x. W ( e, ) = e = e, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi e f(, ) = Ponieważ e e (, ) > zatem jest to minimum lokalne. x e 7 W punkcie (, ) mamy W (, ) = =,
8 8 więc w punkcie (, ) funkcja f nie posiada ekstremum. W punkcie (, ) mamy W (, ) = =, więc w punkcie (, ) funkcja f również nie posiada ekstremum.. Odpowiedź: Funkcja f ma w punkcie ( e, ) minimum lokalne o wartości f( e, ) = e. Zadanie.6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = e x y 3y ) Dziedziną funkcji jest R. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = ex y 3y + x), y, y) = ex y ( x + 3y 6y). Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y e x y 3y + x) = e x y ( x + 3y 6y) = Możemy obydwa równania podzielić przez zawsze dodatnie (a zatem w szczególności różne od zera) e x y. x 3y + x = x + 3y 6y = Dodajemy równania stronami i otrzymujemy układ x 6y = x = 3y x 3y + x = y(y + ) = Otrzymujemy punkty podejrzane (, ) i ( 3, ). Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu x, y) = ex y 3y + x + ), y, y) = ex y 3y + y 6), xy, y) = f yx, y) = ex y ( x + 3y x 6y). W punkcie (, ) mamy W (, ) = = <, 6 więc w punkcie (, ) funkcja nie posiada ekstremum lokalnego. W punkcie ( 3, ) mamy e W ( 3, ) = 6e 6e e = e >, więc w punkcie ( 3, ) funkcja f ma maksimum lokalne o wartości f( 3, ) = 6e. Odpowiedź: Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie ( 3, ) o wartości f( 3, ) = 6e.
9 9 Zadanie.7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = (y + ) + (y x) Dziedziną funkcji jest płaszczyzna R. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = (y x), x, y) = (y x + ). y Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y x = y x + = Otrzymujemy punkt podejrzany (, ). Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu y y = x x + =, y) = (y x), x, y) = y, y xy, y) = f, y) =. yx W punkcie (, ) mamy W (, ) = = <, 8 więc funkcja f nie posiada ekstremów lokalnych. Odpowiedź: Funkcja f nie posiada ekstremów lokalnych. Zadanie.8. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = x 3 + 3xy + xy Dziedziną funkcji jest płaszczyzna R. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu x, y) = 3x + 3y + y,, y) = 6xy + x. y Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y 3x + 3y + y = x + y + y = 6xy + x = x(y + ) = Z drugiego równania I. x = lub II. y =. x = I. y(y + ) = II. y = x = x = y = y = y = x = x = Otrzymujemy cztery punkty podejrzane: (, ), (, ), (, ) i (, ).
10 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum w punkcie podejrzanym, y ) : W, y ) = x, y ) f yx, y ) f xy, y ) f y, y ) >. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu W punkcie (, ) mamy, y) = 6x, x, y) = 6x, y xy, y) = f, y) = 6y +. yx W (, ) = = <, więc w punkcie (, ) funkcja f nie posiada ekstremum. W punkcie (, ) mamy W (, ) = = <, więc w punkcie (, ) funkcja f również nie ma ekstremum. W punkcie (, ) mamy W (, ) = =, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, ) = 6. Ponieważ (, ) > zatem jest to minimum lokalne. x W punkcie (, ) mamy W (, ) = = 3 <, więc w punkcie (, ) funkcja f nie posiada ekstremum. Odpowiedź: Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie (, ) o wartości f(, ) = 6. Zadanie.9. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = y x y x + 6y Dziedziną funkcji jest zbiór, y) R : x }, czyli prawa półpłaszczyzna wraz z osią OY. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = y x x, y, y) = x y + 6. Zauważmy, że oś OY, która należy do dziedziny funkcji, nie należy do dziedziny pochodnej, a zatem każdy punkt postaci (, y), y R jest punktem podejrzanym o istnienie x ekstremum. Ponieważ funkcja nie jest różniczkowalna w tym punkcie, zatem istnienie ekstremum będziemy badać inną metodą. Dla pozostałych punktów sprawdzamy warunek konieczny, y) =,, y) =. x y y x = x y + 6 = Otrzymujemy kolejny punkt podejrzany (, ). y = x y =
11 Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, y) = y x x x,, y) =, y xy, y) = f, y) = yx x. W punkcie (, ) mamy W () = 8 = 3 6 >, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(, ) =. Ponieważ (, ) < zatem jest to maksimum lokalne. x Badamy punkty postaci (, y), y R. Na osi OY funkcja przyjmuje postać f(y) = y + 6y. Obliczamy pochodną f (y) = y + 6. Pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną w punkcie y = 3, czyli f(y) ma tam maksimum jako funkcja jednej zmiennej. Punkt (, 3) jest zatem jedynym punktem na osi OY podejrzanym o istnienie ekstremum dla funkcji f, y) i musiałoby to być maksimum. Obliczamy wartość f(, 3) = 9. Zauważmy, że dla punktów postaci ( n, 3) mamy f( n, 3) = 9 + 3n n n > 9 dla n >, a zatem funkcja f nie może mieć w punkcie (, 3) n maksimum lokalnego, czyli nie ma w tym punkcie żadnego ekstremum. Odpowiedź: Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie (, ) o wartości f(, ) =. Zadanie.. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = x + y3 3 y xy + 6y Dziedziną funkcji jest płaszczyna R. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = x y, x y, y) = y y x + 6. Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y x y = y y x + 6 = x = y x 5x + 6 = Rozwiązaniem równania kwadratowego jest x = lub x = 3, a zatem otrzymujemy dwa punkty podejrzane: (, ) i (3, 3). Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, y) =, x, y) = y, y xy, y) = f, y) =. yx
12 W punkcie (, ) mamy W (, ) = = <, więc w punkcie (, ) funkcja nie posiada ekstremum. W punkcie (3, 3) mamy W (3, 3) = = >, więc w punkcie (3, 3) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi f(3, 3) = 3. Ponieważ x (3, 3) > zatem jest to minimum lokalne. Odpowiedź: Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie (3, 3), o wartości f(3, 3) = 3. Zadanie.. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f, y) = sin x+cos y+cos y) dla, y) (, ) (, ). Dziedziną funkcji jest cała płaszczyzna R, ale zgodnie z treścią zadania zawężamy ją do zbioru (, ) (, ). Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, y) = cos x sin y), x, y) = sin y + sin y). y Dziedzina pierwszych pochodnych cząstkowych jest równa dziedzinie funkcji. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum, y) =,, y) =. x y cos x sin y) = sin y + sin y) = Dodając równania stronami otrzymujemy cos x = sin y cos x sin y) = Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że cos x = sin + pi ) oraz sin y = sin + ) wtedy, gdy y = x + + k lub y = x + + k. Uwzględniając ograniczenie, y) (, ) (, ) otrzymujemy y = x. y = x cos x = sin ) = cos) Korzystając ze wzoru cos) = cos x z ostatniego równania otrzymujemy równanie cos x + cos x =. Podstawiamy t = cos x i otrzymujemy rozwiązania t = lub t =. W pierwszym przypadku równanie cos x = nie posiada rozwiązań w przedziale (, ), a z drugiego przypadku cos x = otrzymujemy x = 3, skąd y = 6. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, y) = sin x cos y), x, y) = cos y cos y), y xy, y) = f, y) = cos y). yx
13 W punkcie ( 3, 6 ) mamy W ( 3, 6 ) = = 9 >, więc w punkcie (, ) funkcja f ma ekstremum lokalne, które wynosi 3 6 f(, ) = 3 3. Ponieważ 3 6 (, ) < zatem jest to maksimum lokalne. x 3 6 Odpowiedź: Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie ( 3, 6 ) o wartości f( 3, 6 ) = Całka oznaczona i całki wielokrotne.. Całka oznaczona - zadania podstawowe. Zadanie.. Obliczyć całkę oznaczoną Zadanie.. Obliczyć całkę oznaczoną ln 3 sin x dx. sin x dx = [ cos x ] = ( cos ) ( cos ) =. 3xe x dx = [3x( e x )] ln 3 Zadanie.3. Obliczyć całkę oznaczoną dx = t = + x x (t )dt = dx Zadanie.. Obliczyć całkę ln 5 ln 3 ln 3 3xe x dx. 3( e x ) dx = ln 3 [ ln 3 3e x ] ln 3 = ln 3 + = + dx. x (t ) dt = t (( ln )) (( ln )) = 6 ln. ex dx. ln 5 t = e ex dx = x t dt = dx = t + Zadanie.5. Zbadać zbieżność całki t t + dt = [t arc tg t] = arc tg. dx. x + ln 3 3e x dx = t dt = [(t ln t )] = ( ) dt = t +
14 dx = lim x + α α dx = t = x x + dt = dx = lim α α dt = t + [ lim α arc tg t] α Zadanie.6. Obliczyć całkę niewłaściwą 9 9 Zadanie.7. Obliczyć całkę dx x + x + = lim α ( = lim arc tg ) ( α ) ( ) α arc tg = arc tg. x dx. 9 x dx = lim x dx = lim [x ] 9 α α α α = lim(6 α ) = 6. α α dx. x +x+ α dx + ) + = lim α α+ dx + ) + = lim α = lim α [arc tg x] α+ = lim α (arc tg(α + ) arc tg ) = =... Pole między krzywymi. Zadanie.8. Obliczyć pole ograniczone krzywymi y = x, y = x. x x dx = [ x 3 x3 ] = 3 = 6. dx t + = Zadanie.9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu y = +x oraz osią OX. dx = lim + x β α β α dx = lim + x β α [arc tg x] β α = lim (arc tg β arc tg α) = ( ) =. β α Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu y = +x, x [, ], oraz osią OX. + x dx = + x dx = [arc tg x] = arc tg () arc tg ( ) = ( ) =. Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = b a a x, x [, a], oraz osią OX. Zauważmy, że a >. a b a x a dx = b a a x a t = dx = x a adt = dx = ab t dt = = ab [ t t + arc sin t] = ab arc sin = ab.
15 Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x 3 + x x, x [, ], oraz osią OX. x 3 + x x dx = [ x + 3 x3 x ] = 6 3. Zadanie.3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x x oraz osią OX. Szukane pole to podwojone pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = x x oraz osią OX w przedziale [, ], wynosi ono: x x t = x dx = dt = xdx = ( )t [ dt = t dt = t dt = t ] 3 =. 3 3 Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = sin 3 x, y = cos 3 x, x [, ]. = cos 3 x sin 3 x dx = cos x( sin x) sin x( cos x) dx = cos x sin x cos x sin x + sin x cos x dx = [ sin x + cos x 3 sin3 x 3 cos3 x ] = = Zadanie.5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = +x, x [, ), oraz osią OX. [ dx = lim +x α ( ln x + x+ x x+ + arc tg( x + ) + arc tg ( x ) )] α = =. Zadanie.6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x ln x, x (, ] i osią OX. Wykres funkcji znajduje się poniżej osi OX, zatem szukane pole wynosi x ln x dx = lim α [ x ln x x ] α = = lim α [( ln ) ( α ln α α )] =. Zadanie.7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = x x i prostą y = x, x [, ]. x x ) dx = x 3x dx = [ 3 x3 3 x ] = 6. Zadanie.8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = x 3, y = x. Obszar opisany w zadaniu, jest ograniczony krzywymi o równaniach x = 3 y 3, x = y gdzie y [, ]. Jego pole wynosi 5 3 y 3 y dy = [ 3 3 y 3 y3 ] = 5 6.
16 6 Zadanie.9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x, x y + 3 =. 3 x + 3 x dx = [x + 3x 3 x3 ] 3 = 3 3. Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = ln x i y = ln x. e ln x ln x dx = [3x ln x 3x x ln x] e = 3 e. Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 3 i y = x 5. x 3 x 5 dx = [ x 6 x6 ] =. Zadanie.. Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi y = x +x+ i y =. x + x + dx = lim β α β α x + x + dx = lim [ x+ arc tg β 3 3 ]β α = α = lim ( β+ arc tg α+ arc tg ) = ( ) =. β α Zadanie.3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y =, y =, dla x [, ]. x +x+8 x + x + 8 dx = [ x+ arc tg ] = arc tg 3. 8 Zadanie.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego linią y = x +x+5 x [, ]. Asyptota wykresu funkcji y = Szukane pole wynosi: x +x+5 oraz jej asymptotą, dla dla x ± to prosta y =. x + x + 5 dx = [arc tg + )] = arc tg 3 arc tg. Zadanie.5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x = t y = t 3 t3, t [, 3]. Niech funkcja x = g(t) będzie rosnąca i ma w przedziale [a, b] pochodną ciągłą. Pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej zadanej w postaci parametrycznej x = g(t), t [a, b], y = f(t) odcinkiem osi OX oraz dwiema prostymi x = g(a), x = g(b), wyraża się wzorem b a f(t) g (t) dt.
17 Zatem pole szukane w zadaniu wynosi: 3 t(t 3 t3 ) dt = 3 t 3 t dt = [ 3 t3 5 t5 ] 3 = 3 5. Zadanie.6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = r sin t y(t) = r sin t tg t, t [, ], r >, 6 oraz odcinkiem osi OX. 6 r sin t tg t(r sin t) dt = 8r 6 sin t dt = = 8r [ (t 8 sin t + sin 3 t)] 6 = = r ( 8(sin sin ) + (sin sin )) = = r ( + 3). Zadanie.7. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = 3r cos t y(t) = 3r cos t ctg t, t [, ], r >, 6 oraz odcinkiem osi OX. Niech funkcja x = g(t) będzie malejąca i ma w przedziale [a, b] pochodną ciągłą. Pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej zadanej w postaci parametrycznej x = g(t), t [a, b], y = f(t) odcinkiem osi OX oraz dwiema prostymi x = g(a), x = g(b), wyraża się wzorem Zatem pole szukane w zadaniu wynosi: 6 b a f(t) g (t) dt. 3r cos t ctg t(3r cos t) dt = 8r 6 cos t dt = = 8r [ (t + 8 sin t + sin 3 t)] 6 = r ( 9 + 9( 3 )). 6 Zadanie.8. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi y = cos), y = sin), x =, x =. cos x sin x dx = [ sin x + cos x ] =. Zadanie.9. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi xy =, y = x, y = x, y > ). 7
18 8 [ x] x x dx + + [ ln x x] x dx = x = ln. Zadanie.3. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi y = Szukane pole wynosi x x dx = [ 3 x 3 3 x3 ] = 3. Zadanie.3. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi x + (y ) =, y = x (y x). Szukane pole to pole obszaru ograniczonego krzywymi w przedziale [, ]. Zatem wynosi ono.3. Całka potrójna. y = x, y = x x ( x ) dx = Zadanie.3. Obliczyć objętość bryły x + x dx = = [ x x + x x + arc sin x ] =. V =, y, z) R 3 : 3x + 3y z, 9 x + y + z 5}. x, y = x. W przypadku, gdy bryła, której objętość mamy policzyć jest ograniczona sferą (sferami) o środku w (a, b, c) i stożkiem (stożkami) o wierzchołku w środku sfery (ważne!), to najszybszą metodą rozwiązania zadania jest translacja o wektor [ a, b, c] (przesunięcie środka sfery do punktu (,, )) i zastosowanie współrzędnych sferycznych. Ponieważ bryła z zadania jest symetryczna względem płaszczyzny OXOY, policzymy objętość jej połowy V (dla z ) i wynik pomnożymy przez dwa: V =, y, z) R 3 : 3x + 3y z, 9 x + y + z 5, z }. Aby przedstawić V we współrzędnych sferycznych musimy obliczyć kąt nachylenia tworzącej stożka (tzn. prostej, która obrócona wokół OZ tworzy stożek) do płaszczyzny OXOY. W płaszczyźnie OXOZ (czyli dla y = ) tworząca ma równanie z = 3x. Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta nachylenia do osi argumentów (czyli do OX), zatem ten kąt to 3 (tabelka wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów). Możemy teraz wprowadzić współrzędne sferyczne: V = (r, α, ϕ) : 3 r 5, α, 3 ϕ }. Zamieniamy całkę na iterowaną (pamiętając o jakobianie zmiany zmiennych) i otrzymujemy: V dλ = ( 5 ( Objętość całej bryły to 96( 3) r cos ϕ dϕ ) dα ) dr = 98( 3). 3
19 9 Zadanie.33. Obliczyć objętość bryły V =, y, z) R 3 : x + y + z, x + y 3z 9x + 9y }. λ(v ) = ( ( ) ) 3 r cos ϕ dϕ dr 6 dα = ( 3 ). 3 Zadanie.3. Obliczyć objętość bryły V =, y, z) R 3 : y, x + y, z arc tg x + y }. To zadanie jest dość nietypowe, gdyż możemy je rozwiązać zupełnie bez rysunku (a nawet powinniśmy, gdyż w warunkach egzaminu czy kolokwium ciężko jest naszkicować powierzchnię z = arc tg x + y ). Zauważmy, że bryła V jest domknięciem obszaru V =, y, z) R 3 : y >, x + y <, < z < arc tg x + y } (jedyne, co się zmieniło, to nierówności - ze słabych na mocne ), który jest normalny względem płaszczyzny OXOY: V =, y, z) R 3 :, y) D, < z < arc tg x + y }, gdzie D jest górną połową koła o środku w (, ) i promieniu r = (czyli, we współrzędnych biegunowych, D = (r, α) : < r <, < α < }). Korzystając wprost z twierdzenia o zamiane całki potrójnej na iterowaną otrzymujemy: ( ) dλ = arc tg x + y dλ = r arc tg rdα dr = V D. (Podpowiedź: całkę r arc tg rdr liczyć metodą przez części tak, aby z arc tg r liczyć pochodną.) Zadanie.35. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach x + y + z = z i x + y = z. Podane powierzchnie ograniczają dwie bryły: V =, y, z) : x + y + (z ), z V =, y, z) : x + y + (z ), z x + y } x + y }. Objętość drugiej bryły to objętość kuli o promieniu r = pomniejszona o objętość bryły V (i odwrotnie), a zatem wystarczy obliczyć np. objętość V. Metoda I: bryła V to stożek o podstawie o promieniu r = z doklejoną do podstawy połową kuli o tym samym promieniu, czyli objętość V to. Zatem objętość V to 3. Metoda II: we współrzędnych sferycznych V = (r, α, ϕ) : α, ϕ, r sin ϕ}. Obliczamy objętość ( ( sin ϕ ) ) dλ = r cos ϕdr dϕ dα =. V Objętość V to (można też przedstawić V 3 we współrzędnych sferycznych V = (r, α, ϕ) : α, ϕ, r sin ϕ} i obliczyć objętość kolejną całką potrójną). Zmiana typów nierówności jest tylko po to, żeby nowe V było było obszarem - obszar to zbiór otwarty i spójny, a stare V nie było otwarte. Jest to czysto kosmetyczna zmiana, która nie ma wpływu na wynik.
20 3. Całka powierzchniowa i krzywoliniowa 3.. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Zadanie 3.. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku linii łańcuchowej y = e x +e x, gdzie x. Współrzędne, y ) środka ciężkości linii wyrażają się wzorem x = My, y M = M x, gdzie M jest masą krzywej a M M x, M y to momenty statyczne względem osi OX i OY, odpowiednio. Jeżeli ρ, y) jest gęstością krzywej, to mamy następujące wzory: M = ρ, y)ds L M x = yρ, y)ds L M y = xρ, y)ds L Krzywa z zadania jest jednorodna, a zatem ρ, y) = w każdym punkcie krzywej. Parametryzacja dana jest wprost w nastepujący sposób: x(t) = t L : y(t) = et +e, t [, ]. t Obliczamy masę: ( ) et e M = ds = t + dt = L = e t + + e t dt = e t + e t dt = e e oraz momenty statyczne: ( ) et e M y = xds = t t + dt = te t + te t dt = L M x = L = yds = e t + e t ( ) et e t + dt = ( e t + e t) dt = (e e ) + Odpowiedź: Współrzędne środka ciężkości to x =, y = e e + e e. Zadanie 3.. Obliczyć współrzędne środka ciężkości tej części jednorodnego okręgu x +y =, która jest położona powyżej prostej y = x. Parametryzujemy krzywą z zadania, stosując współrzędne biegunowe: x(t) = cos t y(t) = sin t, t [, 5 ]. Uwaga: środkiem ciężkości krzywej płaskiej, tzn. leżącej na płaszczyźnie (np. na OXY) jest taki punkt, w którym należy podeprzeć całą płaszczyznę, aby obciążona naszą krzywą zachowała równowagę (nie jest to formalna definicja, więc proszę tego nie powtarzać na mechanice czy fizyce). W efekcie środek ciężkości krzywej znajduje się najczęściej gdzieś poza krzywą.
21 Stosując wzory podane w poprzednim zadaniu otrzymujemy: M y = M x = M = ( sin t) + ( cos t) dt = dt = cos t ( sin t) + ( cos t) dt = sin t ( sin t) + ( cos t) dt = 5 5 Odpowiedź: Współrzędne środka ciężkości to x =, y =. 3.. Całka powierzchniowa niezorientowana. cos tdt = sin tdt =. Zadanie 3.3. Obliczyć masę, moment statyczny M xy oraz moment bezwładności względem osi OZ górnej półsfery x + y + z = R, jeżeli powierzchniowa gęstość masy w każdym punkcie równa jest kwadratowi odległości tego punktu od wertykalnej średnicy sfery. Wertykalną (czyli pionową) średnicą sfery jest oś OZ. Odległość dowolnego punktu, y, z) w przestrzeni od osi OZ to odległość rzutu tego punktu na płaszczyznę OXY (czyli punktu, y)) od początku układu współrzędnych. Zatem gęstość wyraża się wzorem ρ, y, z) = x + y. Obliczamy masę 3 : M = x + y ds = = K((,),R) S ( ) ( ) + y x y ) + + dλ = R x y R x y x + y R = R K((,),R) R x y dλ = R ( r 3 R r dα ) dr = R ( = R = R 3 (r r ) ) R 3 R R r = 3 R, moment statyczny: M xy = z + y )ds = S ( ) ( ) = R x y + y x y ) + + dλ = K((,),R) R x y R x y R ( ) = R x + y dλ = R r 3 dα dr = R5 K((,),R) oraz moment bezwładności : I z = + y )ρ, y, z)ds = + y ) ds = S = R K((,),R) + y ) R x y dλ = R R S r 5 R r dr = ( = R R R r + ) 3 R (R r ) 3 R 5 (R r ) 5 = 6 5 R6. 3 Aby obliczyć ostatnią całkę zastosować podstawienie t = R r. W ostatniej całce to samo podstawienie, co poprzednio: t = R r.
22 . Równania różniczkowe.. Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Zadanie.. Rozwiązać równanie y + y = x e x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y + y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r + r = r =, r =, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y = C +C e x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = x e x jest sumą funkcji dwóch różnych typów, rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązań szczególnych równań y + y = x i y + y = e x. Dla y + y = x standardowo przewidywalibyśmy rozwiązanie szczególne postaci y = Ax + Bx + C, lecz doprowadziło by to do sprzeczności, gdyż jedno z rozwiązań równania charakterystyk, r =, jest miejscem zerowym wielomianu p) po prawej stronie. Przewidujemy zatem y = Ax 3 + Bx + Cx. Obliczamy y = 3Ax + Bx + C, y = 6Ax + B wstawiamy do równania y + y = x i otrzymujemy 3Ax + (B + 6A)x + B + C = x, skąd A = 3, B =, C =. Zatem y = 3 x3 x + x. Dla y + y = e x standardowo przewidywalibyśmy y = Ae x, lecz ponieważ w funkcji po prawej stronie występuje e ( ) x a = r jest jednym z rozwiązań równania charakterystyk, przewidujemy y = Axe x. Obliczamy y = Ae x Axe x, y = Ae x + Axe x wstawiamy do równania y + y = e x i otrzymujemy Ae x = e x skąd A =. Zatem y = xe x. Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego y + y = x e x jest sumą y = y + y = 3 x3 x + x + xe x. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C + C e x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C + C e x + 3 x3 x + x + xe x, gdzie C, C R. Zadanie.. Rozwiązać równanie y + y = sin x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y + y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r + = r = i, r = i, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y = C cos x + C sin x, gdzie C, C R. Krok II. Funkcja po prawej stronie równania niejednorodnego, p) = sin x, jest postaci p) = A sin x + B cos x i standardowo przewidywalibyśmy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = A sin x + B cos x. Jednak ponieważ rozwiązanie równania jednorodnego jest identycznej postaci (y = C cos x + C sin x), aby uniknąć sprzeczności przewidujemy y = Ax sin x + Bx cos x. Obliczamy y = A sin x + Ax cos x + B cos x Bx sin x
23 3 y = A cos x Ax sin x B sin x Bx cos x. Wstawiamy do naszego równania i otrzymujemy A cos x B sin x = sin x, skąd A =, B =. Zatem y = x cos x. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C cos x + C sin x) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C cos x + C sin x x cos x, gdzie C, C R. Zadanie.3. Rozwiązać równanie y y = x + x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r = r =, r =, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y = C e x + C e x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = x + x jest wielomianem drugiego stopnia, przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = Ax + Bx + C. Obliczamy: y = Ax + B, y = A. Wstawiamy do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy równanie Ax Bx C + A = x + x, skąd A =, B = i C = 8. Zatem szukane rozwiązanie szczególne to y = x x 8. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C e x + C e x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C e x + C e x x x 8, gdzie C, C R. Zadanie.. Rozwiązać równanie y y + y = xe x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y y + y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r r + = r = r =, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = (C x+c )e x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = xe x jest funkcją postaci p) = (Ax + B)e rx, gdzie r jest podwójnym pierwiastkiem równania charakterystyk, przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = (Ax 3 + Bx )e x (podwójne podniesienie stopnia wielomianu). Obliczamy: y = (3Ax + Bx + Ax 3 + Bx )e x y = (6Ax + B + Ax + 8Bx + Ax 3 + Bx )e x. Po wstawieniu obliczonych pochodnych do wyjściowego równania niejednorodnego otrzymujemy (6Ax + B)e x = xe x, skąd A = 6, B =. Szukane rozwiązanie szczególne to y = 6 x3 e x.
24 Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = (C x + C )e x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = (C x+c )e x + 6 x3 e x, gdzie C, C R. Zadanie.5. Rozwiązać równanie y y y = sin x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y y y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r r = r =, r =, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y = C e x +C e x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = sin) jest funkcją postaci p) = A sin) + B cos), przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = A sin x + B cos x. Obliczamy: y = A cos) B sin) y = A sin) B cos). Obliczone pochodne wstawiamy do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy (A + B) sin) (6B + A) cos) = sin), skąd A = 3 i B =. Zatem rozwiązanie szczególne to y = 3 sin) cos). Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C e x + C e x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C e x + C e x + 3 sin) cos), gdzie C, C R. Zadanie.6. Rozwiązać równanie y 6y + 3y = 5 sin), Krok I. Równanie jednorodne ma postać y 6y + 3y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r 6r + 3 = = 6, zatem = i, i} r = 3 i, r = 3 + i. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = e 3x (C cos) + C sin)), gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = 5 sin) jest funkcją postaci p) = A sin) + B cos), przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = A sin) + B cos). Obliczamy: y = A cos) B sin) y = A sin) B cos). Po wstawieniu do wyjściowego równania niejednorodnego otrzymujemy (9A + B) sin) + (9B A) cos) = 5 sin), skąd A = i B = 3. Szukane rozwiązanie szczególne to y = sin) + 3 cos). Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = e 3x (C cos) + C sin))) i rozwiązania szczególnego y.
25 Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = e 3x (C cos)+c sin))+sin)+ 3 cos), gdzie C, C R. 5 Zadanie.7. Rozwiązać równanie y 3y + y = x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y 3y + y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r 3r + = r =, r =, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = C e x + C e x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = x jest wielomianem drugiego stopnia, przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = Ax + Bx + C. Obliczamy: y = Ax + B, y = A. Wstawiamy do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy Ax + (B 6A)x + A 3B + C = x, skąd A =, B = 3 i C = 7. Szukane rozwiązanie szczególne to y = x + 3 x + 7. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C e x + C e x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C e x + C e x + x + 3 x + 7, gdzie C, C R. Zadanie.8. Rozwiązać równanie y + 9y = x + 3, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y +9y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r + 9 = r = 3i, r = 3i, zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = C sin(3x) + C cos(3x), gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = x + 3 jest wielomianem drugiego stopnia, przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = Ax + Bx + C. Obliczamy: y = Ax + B, y = A. Wstawiamy do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy 9Ax + 9Bx + 9C + A = x + 3, skąd A = 5, B =, C =. Zatem rozwiązanie szczególne to y 9 8 = 9 x Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C sin(3x) + C cos(3x)) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C sin(3x) + C cos(3x) + 9 x + 5 8, gdzie C, C R. Zadanie.9. Rozwiązać równanie y + y = cos(3x),
26 6 Krok I. Równanie jednorodne ma postać y +y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r + = r = i, r = i zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = C sin) + C cos), gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = cos(3x) jest funkcją postaci p) = A sin(3x) + B cos(3x), przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = A sin(3x) + B cos(3x). Obliczamy: y = 3A cos(3x) 3B sin(3x) y = 9A sin(3x) 9B cos(3x). Po wstawieniu do wyjściowego równania niejednorodnego otrzymujemy 5A sin(3x) 5B cos(3x) = cos(3x), skąd A = i B = 5. Szukane rozwiązanie szczególne to y = 5 cos(3x) Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = C sin) + C cos)) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = C sin) + C cos) 5 cos(3x), gdzie C, C R. Zadanie.. Rozwiązać równanie y + 6y + 9y = 9x, Krok I. Równanie jednorodne ma postać y + 6y + 9y =. Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyk r + 6r + 9 = r = r = 3 zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaciy = (C x+c )e 3x, gdzie C, C R. Krok II. Ponieważ p) = 9x jest wielomianem stopnia drugiego, przewidujemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego jako y = Ax + Bx + C. Obliczamy: y = Ax + B, y = A. Po wstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy 9Ax + (A + 9B)x + A + 6B + 9C = 9x, skąd A =, B = 3 i C = 3. Zatem szukane rozwiązanie szczególne to y = x 3 x + 3. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (y = (C x + C )e 3x ) i rozwiązania szczególnego y. Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania jest y = (C x + C )e 3x + x 3 x + 3, gdzie C, C R.
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowo