ANALIZA MATEMATYCZNA 2

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA

2 Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław

3 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 997 by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadaczaprawautorskich.składksiążkiwykonanowsystemie L A TEX. ISBN Wydanie IX powiększone, Wrocław Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4

4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium... 9 Drugiekolokwium... 6 Zestawy zadań z egzaminów 43 Egzaminpodstawowy Egzaminpoprawkowy Egzaminnaocenęcelującą... 9 Odpowiedzi i wskazówki Pierwszekolokwium... Drugiekolokwium... Egzaminpodstawowy... 4 Egzaminpoprawkowy... 4 Egzaminnaocenęcelującą

5 Wstęp Niniejszy zbiór zawiera zestawy zadań, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach z Analizy matematycznej. Zadania z tych sprawdzianów obejmują całki niewłaściwe, szeregi liczbowe i potęgowe oraz rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych wraz z zastosowaniami w fizyce i technice. Do zestawów kolokwialnych i egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi. Zbiór zawiera także komplet zestawów zadań z egzaminów na ocenę celującą z lat 994 wraz z odpowiedziami i wskazówkami. Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki. Zestawy zadań z tego zbioru mogą być wykorzystywane przez wykładowców oraz prowadzących ćwiczenia na kolokwiach i egzaminach. Zbiór zadań Kolokwia i egzaminy jest trzecią częścią zestawu podręczników do Analizy matematycznej. Pozostałymi częściami zestawu są Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania. Do obecnego wydanie dołączono zestawy zadań z egzaminu na ocenę celującą z ostatnich trzech lat. Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki. Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy zadań, a także za uwagi o poprzednich wydaniach. Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska marian.gewert@ pwr.wroc.pl gewert Zbigniew Skoczylas Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@ pwr.wroc.pl skoczylas 7

6 Egzamin poprawkowy 67 7.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=x 3 +y 3 9xy. 8.JednorodnystożekomasieMjestograniczonypowierzchniamiz= x +y, z = 4. Obliczyć moment bewładności tego stożka względem osi Oz. Zestaw 4.. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej x dx x 3 +cosx.wykorzystaćkryteriumilorazowe.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego sin n (x+3)n. 3. Szerokość płyty prostokątnego lotniska, zmierzona z dokładnością do m, wynosi8m.natomiastdługośćzmierzonazdokładnościądomwynosi3m. Z jaką, w przybliżeniu, dokładnością można wyznaczyć pole tego lotniska? 4.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e x( y x ). 5.Napisaćrównaniestycznejdokrzywejdanejrównaniemxe y +ye x =e xy w punkcie jej przecięcia z osią Ox. 6.Obliczyćmomentstatyczny,względemosiOx,jednorodnej(σ =)figurypłaskiejdograniczonejkrzywymix x+y =,y=,(y ). 7. Wykorzystując całkę podwójną obliczyć objętość bryły U ograniczonej powierzchniamiz= x +y +,x x+y =,z=. 8. Obliczyć moment bezwładności, względem osi Oz, jednorodnej bryły U o masie Mograniczonejpowierzchniamiz=x +y +,z=5. Egzamin poprawkowy Zestaw. odp. str. 4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia. Obliczyć całkę niewłaściwą 3. Zbadać zbieżność szeregu ln ( ). 4 xdx +x 4 n nsinnπ. 4.Płaszczyznaz=z jeststycznadowykresufunkcjiz=x +xy+y +x+y. Wyznaczyćz. 5. Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość kuli o promieniu R.

7 68 Zestawy zadań z egzaminów 6.Wyznaczyćzbiórtychx R,dlaktórychszereg jego sumę. 7. Zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej (x ) f(x,y)dy.narysować obszar całkowania. n x n jestzbieżny.obliczyć dx x 8. Sporządzić rysunek i obliczyć objętość bryły U ograniczonej nierównościami x +y +z 4z,z x +y. Zestaw..Funkcjęf(x)= x x+4 rozwinąćwszeregmaclaurina.wyznaczyćprzedział zbieżności tego szeregu..napisaćrównaniepłaszczyznystycznejwpunkcie(,,z )dopowierzchni 3. Zmienić kolejność całkowania w całce całkowania. z=xcos ( x+y ). 6 dx x+7 x 6x f(x,y)dy.narysowaćobszar 4. Sporządzić rysunek i obliczyć objętość bryły U ograniczonej nierównościami x +y +z 9,x +y. 5.Znaleźćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x,y)=x y+na obszarzedokreślonymnierównościamix +y 4, y. 6. Wyznaczyć położenie środka masy ćwiartki jednorodnego pierścienia o promieniachr,r,gdzie<r<r. 7. Obliczyć całkę niewłaściwą 8. Zbadać zbieżność szeregu x+ x 3 dx. n+ 4n 5. Zestaw 3. odp. str. 4. Obliczyć całkę niewłaściwą x xe x dx.. Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole sfery o promieniu R.

8 Egzamin poprawkowy We wnętrzu pierwszej ćwiartki układu współrzędnych znaleźć ekstrema lokalne funkcjiz=xy(4 x y). 4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć wartość przybliżoną wyrażenia Obliczyćy ()dlafunkcjiuwikłanejy=y(x)określonejrównaniem 3x +y xy=,gdziey>. ( ) n 6. Obliczyć sumę szeregu (n)! 4n x n iwyznaczyćzbiórtychx R,dlaktórych jest on zbieżny. 7.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=x 3 +3xy +y wpunkcie ( ) (x,y )=(,),wkierunkuwersora v=,. 8.NiechUoznaczakulęośrodkuwpunkcie(,,)ipromieniu.Obliczyćcałkę x potrójną +y +z dxdydz. U Zestaw 4.. Całkę podwójną D f(x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar całkowaniadokreślonyjestnierównościami4x y x +.Narysowaćobszar całkowania..znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=x y x y+6x+. (x+3) n 3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 n (n+). 4. Zbadać zbieżność szeregu 5. Obliczyć całkę niewłaściwą ( n4 +4n+ n ). xdx x+. 6. Obliczyć masę półkola o promieniu R. Powierzchniowa gęstość masy w punkcie jest równa odległości tego punktu od osi symetrii półkola. 7. Sporządzić rysunek i obliczyć objętość bryły U ograniczonej powierzchniami z= x +y,z=6 x y. 8. Wyznaczyć wersor wskazujący kierunek, w którym pochodna kierunkowa funkcji f(x,y)= x y y x 3wpunkcie(,)przyjmujewartość. n=

9 7 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 5. odp. str. 4. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej π 4 ctgxdx.. Obliczyć objętość bryły U ograniczonej powierzchniami z=x +y,x +y =4,z=. 3.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e x( x+y ). 4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln Wyznaczyćstycznądokrzywejx +y xy=wpunkcie(,). (x+3) n 6. Obliczyć sumę szeregu.wyznaczyćzbiórtychx R,dlaktórych n szereg ten jest zbieżny. 7. Całkę podwójną f(x, y) dxdy zapisać w postaci całki iterowanej, jeżeli obszar D całkowaniadjestczęściąwspólnączterechkółopromieniachiśrodkacha= (,),B=(,),C=(,),D=(,). 8.Pochodnakierunkowafunkcjif(x,y)=x +y wpunkcie(x,y )=(,)w kierunku wersora v jest równa. Wyznaczyć v. Zestaw 6..Znaleźćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x,y)=x+ynaobszarze Dokreślonymnierównościami y sinx, x π.. Obliczyć całkę niewłaściwą 3. Zbadać zbieżność szeregu 3 4dx x 4. n n! Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego wycinka koła o promieniu R i kącierozwarcia π Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę n szeregu n+. 6. Obliczyć całkę potrójną dxdydz, gdzie obszar całkowania U jest określony nierównościamiy x, z y. U

10 Egzamin poprawkowy 7 7.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=arctgxywpunkcie(x ( ),y )= 4 (,)wkierunkuwersora v= 5, Zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej f(x,y)dy.narysować obszar całkowania. dx x + x Zestaw 7. odp. str. 43. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej 3 arctg x x5 dx.. Zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej dx x f(x,y)dy. 3.Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x,y)=x +y nakole (x ) +(y ). 4. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć wartość przybliżoną wyrażenia Wyznaczyćstycznądokrzywejx +y +6xy x y=4wpunkcie(,). 6. Obliczyć sumę szeregu n(x ) n.wyznaczyćzbiórtychx R,dlaktórych szereg jest zbieżny. 7.Pochodnakierunkowafunkcjifwpunkcie(x,y ),wkierunkuwersora v = ( ) ( ), wynosi,awkierunkuwersora v =, ma wartość. Wyznaczyćpochodnątejfunkcjiwpunkcie(x,y )wkierunkuwersora v=(,). 8. Za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość stożka o promieniu podstawy R i wysokości H. Zestaw 8..Obliczyćekstremalokalnefunkcjif(x,y)= ( 4x +y ) e y.. Obliczyć moment bezwładności jednorodnego trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej a oraz masie M, względem jego osi symetrii. 3.ObliczyćobjętośćbryłyU= { (x,y,z): y x, x 4 z y }. 4.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=x ( ) y +y wpunkcie(x,y )= 5 (,)wkierunkuwersora v= 3,. 3

11 7 Zestawy zadań z egzaminów 5. Zbadać zbieżność szeregu 6. Obliczyć całkę niewłaściwą 4 n sin n. xdx x Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 8. Całkę podwójną D n= n n +3 (x+)n. f(x, y) dxdy zamienić na całkę iterowaną, jeżeli obszar całkowaniaokreślonyjestnierównościamix 4x y x,x.sporządzićrysunek obszaru D. Zestaw 9. odp. str. 44. Obliczyć całkę niewłaściwą dx x +x+5.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego (x ) n n n. 3.Funkcjęf(x)= x x + rozwinąćwszeregmaclaurina.określićprzedziałzbieżności tego szeregu. 4. Za pomocą różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia Wyznaczyćrównaniestycznejwpunkcie(,y )dowykresufunkcjiuwikłanej y=y(x)określonejrównaniemx 3 +y 3 +xy=. 6.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=x +xy+y 3x 6y. 7. Obliczyć moment bezwładności jednorodnego prostokąta o bokach a =, b = imasiem=względemdłuższegoboku. 8.Obliczyćwspółrzędneśrodkamasypółkulix +y +z,z,jeśligęstość masy w każdym punkcie tej półkuli jest równa jego odległości od początku układu współrzędnych. Zestaw.. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki niewłaściwej xdx x 4 +x+.

12 Egzamin poprawkowy 73.RozwinąćwszeregMaclaurinafunkcjęf(x)= +x 3.Korzystającztegorozwinięciawyznaczyćf (8) (). 3.Napisaćrównaniestycznejwpunkcie(,)dowykresufunkcjiuwikłanejy= y(x)określonejrównaniemx 3 +x y 3 y=. 4.Obliczyćpochodnąkierunkową f v (,)funkcjif(x,y)= ( x +y ) wkierunku 3 wersora v=,. 5. Obliczyć całkę f(x,y)dxdy,gdziedjestobszarempołożonymwpierwszej D ćwiartceukładuwspółrzędnychiograniczonymkrzywymix +y =4,y=x, y =. Zastosować współrzędne biegunowe. Sporządzić rysunek. 6. Wyznaczyć współrzędne środka masy jednorodnego obszaru ograniczonego krzywymiy= x+,y=,x=. 7. Korzystając z całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniamiz= 9 x y, z= x +y.zastosowaćwspółrzędnesferyczne.sporządzić rysunek tej bryły. 8.Wyznaczyćpoziomicefunkcjif(x,y)=+ (x ) +y oraznarysować poziomicę przechodzącą przez punkt(4, 4). Zestaw. odp. str. 44. Obliczyć całkę niewłaściwą 9 dx 3 x.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego ( ) n(x+)n. n 3.Funkcjęf(x)=x e x rozwinąćwszeregmaclaurina.określićprzedziałzbieżności tego szeregu. 4.Zapomocąróżniczkifunkcjiobliczyćprzybliżonąwartośćwyrażenia Wyznaczyćrównaniestycznejwpunkcie(,y )dowykresufunkcjiuwkłanej y=y(x)określonejwzoremx lny ylnx=. 6.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=x x+3y +6y. 7. Obliczyć moment bezwładności jednorodnego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnycha=,b=imasiem=,względemdłuższejprzyprostokątnej. 8. Obliczyć współrzędne środka masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniamix=,y=,z=,x+y+z=.

13 74 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw..ObliczyćpolepłataΣorównaniuz= ( x +y ) wyciętegopowierzchniąx + y =.Zastosowaćwspółrzędnebiegunowe..ObliczyćmomentbezwładnościwzględemosiOzjednorodnego(γ =)obszaru Uograniczonegopowierzchniamiz=,z= x +y.zastosowaćwspółrzędne walcowe. 3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n+ (x )n. 4. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki niewłaściwej ( x + ) dx 4x 5 +x. 5. Korzystając z definicji obliczyć pochodną cząstkową ( ) f y,,gdzief(x,y)= arcsinx y. 6. W całce iterowanej y 3 f(x,y)dxzmienićkolejnośćcałkowaniainaszkicować obszar całkowania. dy 4 y x 3 y 3 7. Obliczyć granicę lim (x,y) (,) x y.natomiastuzasadnić,żenieistniejegranica x +3xy y lim (x,y) (,) 5x +7y. 8.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=(x ) +(y+3) +7. Zestaw 3. odp. str. 45. Obliczyć całkę niewłaściwą xe x dx.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n (x ) n. n 3.Funkcjęf(x)=xe x + rozwinąćwszeregmaclaurina.określićprzedziałzbieżności tego szeregu. 4. Za pomocą różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

14 Egzamin poprawkowy 75 5.Wyznaczyćrównaniestycznejwpunkcie(,y )dowykresufunkcjiuwikłanej y=y(x)określonejwzoremxe y y lny=. 6.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=9x 6x+3y 6y. 7.ObliczyćmomentstatycznywzględemosiOxjednorodnegopółkolax +y, y omasie π. 8. Obliczyć współrzędne środka masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniamiz=, z= x +y. Zestaw 4.. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem x +y xy x+4y=.. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całki niewłaściwej e lnx x dx. 3.Wyznaczyćmasękulix +y +z R oobjętościowejgęstościmasyγ(x,y,z)= x +y +z.zastosowaćwspółrzędnesferyczne. 4. Obliczyć moment bezwładności jednorodnego koła o średnicy D i masie M, względem jego środka. ( 5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie ) 3,,z do wykresu funkcjiz= arcsinx arccosy. ( n ( 6.NiechP n = i, + 3 4n i= 7. Obliczyć całkę podwójną R ) n,log n+). Obliczyć granicę lim n P n. xy x +y +,gdzier=[,] [,]. 8. Wyznaczyć sumę częściową i następnie obliczyć sumę szeregu n(n+). Zestaw 5. odp. str. 46. Obliczyć całkę niewłaściwą x e x dx.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego x n 3 n n.

15 76 Zestawy zadań z egzaminów x 3.Funkcjęf(x)= x 4 +6 rozwinąćwszeregmaclaurina.określićprzedziałzbieżności tego szeregu. 4.Zapomocąróżniczkifunkcjiobliczyćprzybliżonąwartośćwyrażenia.94 e.. 5.Wyznaczyćrównaniestycznejwpunkcie(,y )dowykresufunkcjiuwikłanej y=y(x)określonejwzoremx e y +ye x =. 6.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=4x xy+y +6x 6y. 7.Obliczyćmomentstatycznyjednorodnegokwadratuobokua=imasie M =, względem jego przekątnej. 8. Obliczyć współrzędne środka masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniamiz=,z=x +y. Zestaw 6..Obliczyćwartośćśredniąfunkcjif(x,y,z)= xy z 3 [,] [,] [,3].. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu 6 na prostopadłościanie P = 3n Korzystając z całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniamiz= x +y, z=, x +y =, x +y =9.Zastosowaćwspółrzędne biegunowe. Sporządzić rysunek. 4. Narysować dziedzinę i wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x,y)=arcsin ( (x ) +(y+3) 3 ). 5.Korzystajączróżniczkifunkcjiobliczyćwartośćprzybliżonąwyrażenia Znaleźć współrzędne środka masy jednorodnej bryły U określonej nierównościamix +y +z 4,x,y,z.Zastosowaćwspółrzędnesferyczne. Sporządzić rysunek. 7.Obliczyćdrugąpochodnąy (4)funkcjiuwikłanejy=y(x)określonejrównaniemx +y x 4=,którejwykresprzechodziprzezpunkt(4,4). 8. Zbadać bezwzględną zbieżność całki niewłaściwej sinx x 3 dx. Zestaw 7. odp. str. 47.Korzystajączróżniczkifunkcjiobliczyćprzybliżonąwartośćwyrażeniatg WewnętrzukwadratuP=[,π] [,π]znaleźćekstremalokalnefunkcji f(x,y)=sinxsinysin(x+y).

16 Egzamin poprawkowy 77 3.Niechf(x,y)=arctg x y.narysowaćzbiór { D= (x,y) R f } f : x (x,y)>, y x (x,y)>. 4. Powołując się na twierdzenie o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego wyznaczyć promień zbieżności szeregu nx n iobliczyćjegosumę. 6.ObliczyćmasęMobszaruDograniczonegokrzywymiy=e x,y= x 3, x=,jeżelipowierzchniowagęstośćmasymapostaćσ(x,y)=xy. 7.Obliczyćwartośćśredniąfunkcjif(x,y)=x+ynaobszarzeDograniczonym krzywymiy=x,x=(y+). 8. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę potrójną dxdydz x +y +z, U gdzieobszaruokreślonyjestwarunkami4 x +y +z 6,x,y, z. Zestaw 8.. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej 3 n= arctg x x 3 5. Przy pomocy całki niewłaściwej obliczyć pole obszaru D zawartego w półpłaszczyźniex,ograniczonegoosiąoxorazwykresemfunkcjiy= x x Funkcjęf(x)=xsinxcosxrozwinąćwszeregMaclaurina.Korzystajączotrzymanegorozwinięciaobliczyćf (7) (). ln(+xy) dla y,x R, 3.Zbadaćciągłośćfunkcjif(x,y)= y x dla y=,x R. 4. Wysokość i średnica podstawy stożka zmierzone z dokładnością. cm wynoszą odpowiednio 4. i 6. cm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole powierzchni bocznej tego stożka? 5.Wiedząc,żefunkcjafmaciągłedrugiepochodnecząstkoweznaleźć g y i g z y dlafunkcjig(x,y,z)=f(xy,x z). 6.ObliczyćpolepłataΣwyciętegozpowierzchniz= x +y przezwalec x +y =x.naszkicowaćrysunek. dx.

17 78 Zestawy zadań z egzaminów D 7. Całkę podwójną f(x, y) dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymiy= x,y=x +x,zamienićnacałkiiterowane. 8. Wyznaczyć współrzędne środka masy jednorodnej bryły U ograniczonej powierzchniamiz =x +y,x +y +z =zizawierającejpunkt(,,). Zestaw 9. odp. str. 48. Obliczyć całkę niewłaściwą 4 dx x x 4.. Wyznaczyć płaszczyznę styczną w punkcie z=arctg ( x +y ). ( 3,y, π ) do wykresu funkcji 4 3.Wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(x,y)=x y nakwadracieowierzchołkacha=(,),b=(,),c=(, ),D=(,). 4.Obliczyć F u,jeżelifunkcjafokreślonajestwzoremf(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), gdzief(x,y)=x y x orazu=x y,v=x y. 5.Dlajakiegop>wartośćśredniafunkcjif(x,y,z)= xy+xz+yz na sześcianiep=[,p] [,p] [,p]jestrównalnp? xyz 6. Obliczyć całkę podwójną y dxdy, gdzie obszar D ograniczony jest krzywymi D y=cos π x, x+y=, x y =. 7.Leżącynapłaszczyźniey=łukz=x,gdziex [,],obracamywokółosi Oznajkrótsządrogądopłaszczyznyy= 3x.ObliczyćpolepowierzchnipłataΣ zakreślonego przez łuk podczas obrotu. 3 n 8. Wyznaczyć wszystkie wartości x R, dla których zbieżny jest szereg xn n3. Zestaw.. Korzystając z definicji obliczyć całkę niewłaściwą. Znaleźć promień i przedział zbieżności szeregu n= dx. (x ) 3 (x+) n nln n. 3.Korzystajączróżniczkifunkcjiobliczyćprzybliżonąwartośćwyrażenia