RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Podobne dokumenty
III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

1 Definicja całki oznaczonej

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Analiza Matematyczna (część II)

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

9. Całkowanie. I k. sup

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

Całka podwójna po prostokącie

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Matematyka stosowana i metody numeryczne

3. F jest lewostronnie ciągła

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Wykład 3: Transformata Fouriera

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe

WYKŁAD 11: CAŁKOWANIE

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całki krzywoliniowe skierowane

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Analiza matematyczna ISIM II

Zastosowania całki oznaczonej

2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...

Plan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

f(x) dx = F (x) + const, (9.1)

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Materiały do kursu Matematyka na kierunku Informatyka studia stacjonarne

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

Analiza Matematyczna MAEW101

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

1 Definicja całki podwójnej po prostokącie

GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ NOTATKI NA ZAJĘCIA. Spis treści

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

Wykład 8: Całka oznanczona

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

Funkcje wielu zmiennych

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Transkrypt:

RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 489, są funkcjmi pierwotnymi dl funkcji f n przedzile (, ). Funkcj pierwotn funkcji elementrnej nie musi być funkcją elementrną. Możn bowiem pokzć, że funkcje pierwotne dl funkcji: e x2, sin x, + x x 3 nie są funkcjmi elementrnymi. Nie kżd funkcj posid funkcję pierwotną. Funkcj f (x) = sgnx n przedzile (, ) nie m funkcji pierwotnej. Twierdzenie. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Wtedy (i) funkcj G określon wzorem G (x) = F (x) + C dl x I, gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą, też jest funkcją pierwotną funkcji f; (ii) kżdą funkcję pierwotną funkcji f n przedzile I możn przedstwić w postci F (x) + C dl pewnego C R. Twierdzenie 2. Jeżeli funkcj jest ciągł n przedzile, to m funkcję pierwotną n tym przedzile. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Cłką nieoznczoną funkcji f n przedzile I nzywmy zbiór {F (x) + C : C R} wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f n przedzile I i oznczmy ją symbolem f (x) dx lub krótko f. W dlszej części wykłdu we wzorch dl cłek nieoznczonych opuszczć będziemy nwisy klmrowe pisząc krócej f (x) dx = F (x) + C.

Uwg. Jeżeli funkcj f m funkcję pierwotną n przedzile I, to ( f (x) dx) = f (x) dl kżdego x I. Odwrotnie, jeżeli funkcj f m pochodną f n przedzile I, to istnieje tkie C R, że f (x) dx = f (x) + C dl kżdego x I. Ze wzorów n pochodne funkcji wynikją poniższe wzory dl cłek. 0 dx = C x α dx = xα+ α+ + C, dl α x dx = dx = ln x + C x e x dx = e x + C x dx = x ln + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C cos 2 x sin 2 x dx = tg x + C dx = ctg x + C +x 2 dx = rctgx + C x 2 dx = rcsin x + C Twierdzenie 3. (O liniowości cłki nieoznczonej) Jeżeli cłki nieoznczone f (x) dx orz g (x) dx istnieją, to zchodzą równości. (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx, 2. (f (x) g (x)) dx = f (x) dx g (x) dx, 3. C f (x) dx = C f (x) dx, gdzie C jest stłą rzeczywistą. Przykłdy. 3 x + x ) 2 dx = x ( ) x 2 + x 2 3 dx = x 2 dx + x 3 dx = 2x 2 + 3 2 x 2 3 + C 2

b) (3x 2 6x + 5 2x ) dx = 3x 2 dx 2 = 3 x 2 dx 6 xdx + 5 dx 2 = x 3 3x 2 + 5x + 2 x + C c) ( 3e x cos x + 2 ) dx = 3 x e x dx 6xdx + 5dx 2 x 2 dx = x 2 dx = 3 3 x3 6 2 x2 + 5 x 2 ( ) x + C = cos xdx + 2 x dx = 3ex sin x + 2 ln x + C Twierdzenie 4. (O cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne w przedzile I, to dl kżdego x I f (x) g (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx. Przykłdy. { } f (x) = x, g ) xe x dx = (x) = e x, f (x) =, g (x) = e x = xe x, e x dx = xe x e x + C { } f (x) = x, g b) x sin xdx = (x) = sin x, f = x cos x (x) =, g (x) = cos x, = x cos x + cos xdx = x cos x + sin x + C ( cos x) dx = c) { f (x) = ln x, g ln xdx = (x) =, f (x) =, g (x) = x, x } = x ln x x dx = x ln x x dx = x ln x x + C Twierdzenie 5. (O cłkowniu przez podstwienie) Złóżmy, że funkcj f : I R jest ciągł n przedzile I, zś funkcj g : J I m ciągłą pochodną n przedzile J. Wtedy f (g (x)) g (x) dx = f (u) du. Przykłdy. dx ) = {u = x + 3, du = dx} = x + 3 du = u u 2 du = 2u 2 + C = 2 x + 3 + C b) xdx 3 {u x2 5 = = x 2 5, du = 2xdx, = 3 ( ) 3 2 x2 5 + C 4 } du = xdx = 2 du 2 3 = u 2 u 3 du = 2 3 2 u 2 3 + C = 3

f (x) du c) f (x) dx = {u = f (x), du = f (x) dx} = u = ln u + C = ln f (x) + C d) { x + b dx = u = x + b, du = dx, } du = dx = du u = ln u + C = = ln x + b + C, dl 0 CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA Niech f będzie funkcją określoną i ogrniczoną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. () Podzielmy przedził [, b] n n dowolnych części punktmi x 0, x,..., x n tk, by = x 0 < x <... < x n = b i oznczmy przez x i długość przedziłu [x i, x i ], tzn. x i = x i x i, dl i =, 2,..., n. Tk określony podził przedziłu [, b] będziemy oznczć przez P n, tj. P n = {[x 0, x ], [x, x 2 ],..., [x n, x n ]}. (2) Dokonnemu podziłowi P n przedziłu [, b] odpowid liczb którą nzywć będziemy średnicą podziłu P n. δ n (P n ) = mx { x, x 2,..., x n }, (3) W kżdym przedzile [x i, x i ] obierzmy dowolny punkt c i zwny punktem pośrednim, gdzie i =, 2,..., n, i obliczmy wrtości funkcji f w tych punktch. (4) Utwórzmy sumę S n = f (c ) x + f (c 2 ) x 2 +... + f (c) x n = n f (c i ) x i. i= Sumę tę będziemy nzywć sumą cłkową Riemnn. Jeżeli pondto złożymy, że f jest funkcją nieujemną i ciągłą n przedzile [, b], to sum cłkow S n jest przybliżeniem pol tzw. trpezu krzywoliniowego ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 orz wykresem funkcji f (czyli krzywą y = f (x)). 4

Ciąg (P n ) n N podziłów przedziłu [, b] nzywmy normlnym ciągiem podziłów, jeżeli lim δ n (P n ) = 0. n Przykłdowo podziły przedziłu [, b] n n równych części (n =, 2, 3,...) tworzą normlny ciąg podziłów tego przedziłu. Jeżeli dl kżdego normlnego ciągu podziłów przedziłu [, b], ciąg sum cłkowych (S n ) n N jest zbieżny - i to zwsze do tej smej grnicy - bez względu n wybór ciągu podziłów i wybór punktów pośrednich, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną (cłką Riemnn) funkcji f n przedzile [, b] i oznczmy symbolem b O funkcji f mówimy wtedy, że jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile [, b]. Liczby i b nzywmy odpowiednio dolną i górną grnicą cłkowni. W przedstwionej definicji cłki oznczonej złożyliśmy, że funkcj f jest ogrniczon. Funkcje cłkowlne są więc ogrniczone. Określjąc cłkę oznczoną przyjęliśmy również, że < b. Rozszerzymy definicję n przypdki = b i > b, przyjmując f (x) dx = 0 orz b f (x) dx = b Twierdzenie. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], to funkcj t jest cłkown w sensie Riemnn n tym przedzile. Wniosek. Jeśli f jest funkcją nieujemną i ciągłą n przedzile [, b], to pole S trpezu krzywoliniowego, tj. zbioru ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 orz wykresem funkcji f wyrż się wzorem S = b Twierdzenie 2. (i) Jeżeli funkcj f jest ogrniczon w przedzile [, b] i m w tym przedzile skończoną liczbę punktów nieciągłości, to funkcj f jest cłkowln n tym przedzile. (ii) Jeżeli funkcj f jest cłkowln w przedzile [, b], zś funkcj g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziłu, to funkcj g również jest cłkowln n przedzile [, b] orz b g (x) dx = b 5

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b], to funkcje f + g, f g, c f (c = const) również są cłkowlne n przedzile [, b] i zchodzą równości b (f (x) + g (x)) dx = b f (x) dx + b g (x) dx, b (f (x) g (x)) dx = b f (x) dx b g (x) dx, b c f (x) dx = c b Twierdzenie 4. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b] orz c [, b], to funkcj f jest tkże cłkowln n przedziłch [, c] i [c, b] orz zchodzi równość b f (x) dx = c f (x) dx + b c Twierdzenie 5. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b], gdzie < b, orz f (x) g (x) dl x [, b], to b f (x) dx b g (x) dx. Twierdzenie 6. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b], gdzie < b, to b b f (x) dx f (x) dx. Twierdzenie 7. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b], gdzie < b, zś liczby m, M są tkie, że m f (x) M dl x [, b], to m (b ) b f (x) dx M (b ). Twierdzenie 8. (O wrtości średniej) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b], to istnieje tki punkt c (, b), że Wielkość b f (c) = b b b f (x) dx nzywmy wrtością średnią funkcji f n przedzile [, b]. 6

Złóżmy terz, że funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b]. Rozwżmy funkcję F : [, b] R określoną wzorem F (x) = x f (t) dt dl x [, b]. () Twierdzenie 9. Funkcj F określon wzorem () jest ciągł n przedzile [, b]. Pondto, jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 [, b], to funkcj F jest różniczkowln w tym punkcie orz F (x 0 ) = f (x 0 ). Wniosek. Kżd funkcj f, ciągł n przedzile [, b], m w tym przedzile funkcję pierwotną. Jest nią n przykłd funkcj F : [, b] R określoną wzorem F (x) = x f (t) dt dl x [, b]. Twierdzenie 0. (Newton-Leibniz; Podstwowe twierdzenie rchunku cłkowego) Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n przedzile [, b], to b f (x) dx = F (b) F (). Oznczjąc różnicę F (b) F () symbolem [F (x)] b osttni wzór możn zpisć w postci b f (x) dx = [F (x)] b. Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne w przedzile [, b], to b b f (x) g (x) dx = [f (x) g (x)] b f (x) g (x) dx. Twierdzenie 2. Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą w przedzile [, b], funkcj g : [c, d] [, b] spełni wrunki (i) g (c) = i g (d) = b, (ii) g m ciągłą pochodną w przedzile [c, d]. Wtedy zchodzi równość d c f (g (t)) g (t) dt = b 7

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH. Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w geometrii. Pole obszru płskiego Złóżmy, że f, g : [, b] R, gdzie, b R, < b, są tkimi funkcjmi ciągłymi n przedzile [, b], że f (x) g (x) dl kżdego x [, b]. Wtedy pole obszru D R 2 ogrniczonego prostymi x =, x = b i wykresmi funkcji y = f (x) i y = g (x), czyli obszru D = { (x, y) R 2 : x b, f(x) y g(x) } wyrż się wzorem D = b (g (x) f (x)) dx..2 Długość łuku krzywej płskiej () Złóżmy, że funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Wtedy długość L łuku krzywej y = f (x) leżącej nd przedziłem [, b], czyli L = { (x, y) R 2 : x b, y = f(x) } wyrż się wzorem L = b + [f (x)] 2 dx. (b) Złóżmy, że funkcje x = x(t) i y = y(t) mją ciągłe pochodne w przedzile [α, β], gdzie α, β R, α < β. Długość łuku krzywej zdnej równnimi prmetrycznymi x = x(t), y = y(t), x [α, β] wyrż się wzorem L = β α [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. 8

.3 Objętość bryły obrotowej () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, < b, będzie nieujemną funkcją ciągłą, zś G obszrem ogrniczonym wykresem funkcji f orz prostymi x =, x = b, y = 0, tj. G = {(x, y) : x b, 0 y f (x)}. Wtedy objętość V bryły B X powstłej z obrotu obszru G wokół osi OX wyrż się wzorem V = π b [f (x)] 2 dx. (b) Niech f : [, b] R, gdzie, b R, 0 < < b, będzie nieujemną funkcją ciągłą, zś G obszrem ogrniczonym wykresem funkcji f orz prostymi x =, x = b, y = 0. Objętość bryły B Y powstłej z obrotu obszru G wokół osi OY wyrż się wzorem V = 2π b x.4 Pole powierzchni bryły obrotowej () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, < b, będzie nieujemną funkcją posidjącą ciągłą pochodną w przedzile [, b]. Niech pondto krzyw K będzie wykresem funkcji f, tj. K = {(x, y) : x b, y = f (x)}. Wtedy pole S bryły P X powstłej z obrotu krzywej K wokół osi OX wyrż się wzorem S = 2π b f (x) + [f (x)] 2 dx. () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, 0 < < b, będzie nieujemną funkcją posidjącą ciągłą pochodną w przedzile [, b]. Niech pondto krzyw K będzie wykresem funkcji f, tj. K = {(x, y) : x b, y = f (x)}. Wtedy pole S bryły P Y powstłej z obrotu krzywej K wokół osi OY wyrż się wzorem S = 2π b x + [f (x)] 2 dx. 9

że 2. Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w mechnice 2. Moment sttyczny, moment bezwłdności i środek ciężkości figury płskiej Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Przyjmijmy, A = (, f()), A = (, 0), B = (b, f(b)), B = (b, 0). Rozwżmy figurę płską AA BB ogrniczoną krzywą AB będącą wykresem funkcji f n przedzile [, b], odcinkiem A B osi Ox orz prostymi x = i x = b, tj. AA BB = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Złóżmy, że ms jest rozłożon n tej figurze równomiernie, tk że gęstość powierzchniow ρ (tj. ms przypdjąc n jednostkę pol) jest stł. () Moment sttyczny M x figury AA BB względem osi 0x wyrż się wzorem M x = b 2 ρ [f (x)] 2 dx. (b) Moment sttyczny M y figury AA BB względem osi 0y wyrż się wzorem M y = ρ b x (c) Moment bezwłdności I x figury AA BB względem osi 0x wyrż się wzorem I x = b 3 ρ [f (x)] 3 dx. (d) Współrzędne (ξ, η) środk ciężkości figury AA BB wyrżją się, odpowiednio, wzormi ξ = b b xf (x) dx, η = f (x) dx 2 b [f (x)]2 dx. f (x) dx b że 2.2 Moment bezwłdności i środek ciężkości bryły obrotowej Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Przyjmijmy, A = (, f()), A = (, 0), B = (b, f(b)), B = (b, 0). Rozwżmy figurę płską AA BB ogrniczoną krzywą AB będącą wykresem funkcji f n przedzile [, b], odcinkiem A B osi Ox orz prostymi x = i x = b, tj. AA BB = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Niech V będzie bryłą obrotową powstłą przez obrót figury płskiej AA BB wokół osi Ox. Złóżmy, że gęstość przestrzenn σ (tj. ms przypdjąc n jednostkę objetości) jest stł. 0

() Moment bezwłdności I x bryły V wyrż się wzorem I x = b 2 πσ [f (x)] 4 dx. (b) Środek ciężkości bryły V leży n osi Ox, jego współrzędne (ξ, η) są określone nstępująco ξ = b x [f (x)]2 dx b [f (x)]2 dx, η = 0. 2.3 Moment sttyczny, moment bezwłdności i środek ciężkości łuku krzywej płskiej Złóżmy, że funkcj f m ciągłą pochodną i jest nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Niech K będzie łukiem krzywej y = f(x) n przedzile [, b]. Pondto złóżmy, że gęstość liniow λ (tj. ms przypdjąc n jednostkę długości) jest stł. () Moment sttyczny M x łuku krzywej K względem osi 0x wyrż się wzorem M x = λ b f(x) + [f (x)] 2 dx. (b) Moment bezwłdności I x łuku krzywej K względem osi 0x wyrż się wzorem I x = λ b [f(x)] 2 + [f (x)] 2 dx. (c) Współrzędne (ξ, η) środk ciężkości łuku krzywej K wyrżją się, odpowiednio, wzormi ξ = b x + [f (x)] 2 dx, η = + [f (x)] 2 dx b b f (x) + [f (x)] 2 dx. + [f (x)] 2 dx b

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE Niech funkcj f będzie określon w przedzile [, + ) i cłkowln w kżdym przedzile [, t] [, + ). Ztem t f (x) dx istnieje dl kżdego t >. Grnicę lim f (x) dx (skończoną lub nie) nzywmy cłką niewłściwą funkcji f n przedzile t t [, + ) i oznczmy symbolem Wobec tego f (x) dx = lim t t W przypdku, gdy t grnic jest skończon, mówimy, że cłk funkcji f n przedzile [, + ) jest zbieżn. Jeżeli ntomist grnic jest niewłściw lub nie istnieje, to cłk jest rozbieżn. Cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, b] definiujemy podobnie. Niech funkcj f będzie cłkowln w kżdym przedzile [u, b] (, b]. Mmy wtedy b f (x) dx = lim u b u W przypdku, gdy funkcj f jest określon w przedzile (, + ) i cłkowln n kżdym przedzile domkniętym i ogrniczonym, to wtedy cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, + ) określmy nstępująco f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx = lim u c u f (x) dx + lim t t c f (x) dx, o ile obie cłki (grnice) występujące po prwej stronie równości istnieją, dodwnie jest wykonlne. Możn wykzć, że istnienie i wrtość cłki występującej po lewej stronie równości nie zleży od wyboru c R. c c b Złóżmy terz, że funkcj f jest nieogrniczon n przedzile [, b), le jest ogrniczon i cłkowln n kżdym przedzile [, c] [, b). Grnicę lim f (x) dx (skończoną lub nie) nzywmy cłką niewłściwą funkcji f n przedzile [, b) i oznczmy symbolem b Wobec tego b f (x) dx = lim c b c W przypdku, gdy t grnic jest skończon, mówimy, że cłk funkcji f n przedzile [, b) jest zbieżn. Jeżeli ntomist grnic jest niewłściw lub nie istnieje, to cłk jest rozbieżn. I nlogicznie, niech funkcj f będzie ogrniczon i cłkowln n kżdym przedzile [c, b], gdzie < c < b, le nieogrniczon n przedzile (, b]. Wtedy cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, b] definiujemy nstępująco b f (x) dx = lim c + b c 2