Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Transkrypt

1 Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi nturlnymi Prostoktn tblice n n m1 m2 mn (1) utworzon z liczb ij (i 1 m; j 1 n) nzywmy m n-mcierz Elementy ij nzywmy wyrzmi mcierzy Rzedy pionowe nzywmy kolumnmi poziome - wierszmi tej mcierzy Kolumny numerujemy od lewej strony do prwej zś wiersze - od góry do do lu Ztem element ij stoi w i-tym wierszu i j-tej kolumnie rozptrywnej mcierzy Przyk ld 11 Jeżeli to We wszystkich oznczenich dotyczcych mcierzy tkich jk np ij A ij m n M m n (R) przyjmujemy umowe że pierwszy indeks z lewej strony dotyczy wiersz zś drugi-kolumny Dl mcierzy (1) piszemy też: ij i1m (2) lub krótko: ij gdy znne s jej wymiry m i n Oznczeni mcierzy: A B C itd Zbiór wszystkich m n - mcierzy oznczmy przez M m n (R) Dwie mcierze ij i B b ij nzywmy równymi jeżeli jko tblice s identyczne tzn mcierze te mj tkie sme wymiry ( wiec: m-liczb wierszy mcierzy A jest równ liczbie wierszy mcierzy B i n-liczb kolumn mcierzy A jest równ liczbie kolumn mcierzy B) orz ij b ij dl wszystkich i 1 2 m j 1 2 n 1

2 2 Rodzje mcierzy kwdrtowych n n-mcierze nzywmy mcierzmi kwdrtowymi stopni n Zbiór wszystkich mcierzy kwdrtowych stopni n bedziemy oznczli przez M n (R) Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych stopni to odpowiednio c b d b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ntomist ogóln postci mcierzy kwdrtowej stopni n jest n n n1 n2 nn (3) Odcinek l cz cy elementy 11 i nn mcierzy (3) nzywmy g lówn przektn tej mcierzy zś sume wszystkich elementów leżcych n g lównej przektnej mcierzy (3) nzywmy śldem mcierzy (3) i oznczmy przez tr(a) Ztem n tr n nn (4) n1 n2 nn Mcierze kwdrtowe ij M n (R) w których ij 0 dl wszystkich i > j tzn mcierze postci: n n n (5) nn nzywmy mcierzmi trójktnymi górnymi Ntomist mcierze kwdrtowe ij M n (R) w których ij 0 dl wszystkich i < j tzn mcierze postci: n1 n2 n3 nn nzywmy mcierzmi trójktnymi dolnymi (6) 2

3 Mcierze ij M n (R) które s jednocześnie trójktne górne i dolne tzn tkie że ij 0 dl wszystkich i j wiec mcierze postci: nn (7) nzywmy mcierzmi digonlnymi Szczególnym przypdkiem mcierzy digonlnych s tzw mcierze sklrne czyli tkie mcierze digonlne ij M n (R) że nn wiec mcierze postci: gdzie R (8) Mcierz sklrn postci (8) dl 1 nzywmy mcierz jednostkow i oznczmy przez I n Ztem I n (9) Mcierze kwdrtowe ij M n (R) tkie że ij ji dl wszystkich i j nzywmy mcierzmi symetrycznymi Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych symetrycznych stopni to odpowiednio b b d b 2 b 3 3 b 3 c 3 Mcierze kwdrtowe ij M n (R) tkie że ij ji dl wszystkich i j nzywmy mcierzmi ntysymetrycznymi Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych ntysymetrycznych stopni to odpowiednio 0 b c 0 b c 0 Ltwo zuwżyć że jeśli ij M n (R) jest mcierz ntysymetryczn to ii 0 dl wszystkich i 1 2 n tzn n g lównej przektnej tkiej mcierzy stoj sme zer 3

4 3 Dzi lni n mcierzch ) Mcierz trnsponown A T m n-mcierzy A postci (1) nzywmy tk n m-mcierz któr jko sw i-t kolumne dl i 1 2 m m i-ty wiersz mcierzy A Ztem T n m n m2 (10) m1 m2 mn 1n 2n mn 1 3 Przyk ld 12 Mcierz trnsponown mcierzy jest mcierz mcierz T trnsponown mcierzy jest mcierz 2 2 czyli T orz Dl dowolnej mcierzy A zchodzi wzór: (A T ) T A b) Mnożenie mcierzy przez liczbe Aby pomnożyć mcierz A przez liczbe nleży wszystkie jej wyrzy pomnożyć przez Ztem n n n n (11) m1 m2 mn m1 m2 mn W skróconej notcji: Przyk ld 13 2 ij i1m ij i1m (12) c) Dodwnie mcierzy Mcierze A i B o tych smych wymirch możemy dodwć Minowicie jeżeli ij i1m orz B b ij i1m to Przyk ld 14 + A + B ij + b ij i1m (13)

5 Dodwnie mcierzy jest przemienne l czne i posid element neutrlny tzw mcierz zerow 0 m n któr jest m n-mcierz o smych zerch tzn dl dowolnych m n-mcierzy A B C zchodz wzory: A + B B + A Mcierz przeciwn do mcierzy (A + B) + C A + (B + C) A + 0 m n 0 m n + A ij i1m nzywmy mcierz Zchodz dl niej wzory: ij i1m A + ( A) ( A) + 0 m n ( 1) A Możn wykzć że dl dowolnych m n-mcierzy A B i dl dowolnych liczb b zchodz wzory: (A + B) T A T + B T (A + B) A + B ( A) T A T ( + b) A + b A (b) (b A) d) Odejmownie mcierzy Różnic m n-mcierzy A i B nzywmy mcierz Jeżeli ztem ij i1m Przyk ld 15 A B A + ( B) orz B b ij i1m to A B ij b ij i1m e) Mnożenie mcierzy Jeżeli A jest m n-mcierz orz B jest n k-mcierz (tzn liczb kolumn mcierzy A jest równ liczbie wierszy mcierzy B) to możemy określić iloczyn A B który jest m k-mcierz przy czym wyrz x ij mcierzy A B jest iloczynem (sklrnym) i-tego wiersz mcierzy A: i1 i2 in 5

6 przez j-t kolumne mcierzy B: b 1j b 2j b nj czyli x ij i1 b 1j + i2 b 2j + + in b nj (14) Ztem by pomnożyć mcierz A M m n (R) przez mcierz B M n k (R) nleży pierwszy wiersz mcierzy A pomnożyć (sklrnie) przez pierwsz kolumne mcierzy B nstepnie nleży pomnożyć pierwszy wiersz mcierzy A przez drug kolumne mcierzy B itd W ten sposób uzyskmy kolejne wyrzy pierwszego wiersz mcierzy A B Aby otrzymć drugi wiersz mcierzy A B nleży pomnożyć drugi wiersz mcierzy A przez kolejne kolumny mcierzy B W końcu nleży pomnożyć osttni wiersz mcierzy A kolejno przez wszystkie kolumny mcierzy B Przyk ld 16 Niech i B Wówczs B A nie m sensu (gdyż liczb kolumn mcierzy B nie jest równ liczbie wierszy mcierzy A) orz A B bo Wynik std że mnożenie mcierzy nie jest n ogó l przemienne Twierdzenie 17 Jeżeli A M m n (R) B M n k (R) C M k p (R) to (A B) C A (B C) Twierdzenie 18 Jeżeli A M m n (R) orz B C M n k (R) to A (B +C) A B +A C Twierdzenie 19 Jeżeli A B M m n (R) i C M n k (R) to (A + B) C A C + B C Odnotujmy jeszcze inne w lsności dzi lń n mcierzch: Twierdzenie 110 Jeżeli A M m n (R) i B M n k (R) to (A B) T B T A T Twierdzenie 111 Jeżeli A M m n (R) i B M n k (R) to dl dowolnej liczby : (A B) ( A) B A ( B) Przyk ld 112 Korzystjc z podnych w lsności dzi lń n mcierzch obliczymy D B A T + (A C) T T 6

7 dl B C (A T ) T B T + (A C) A B T + A C A (B T + C) czyli Pondto B T czyli D wi ec B T + C D A (B T + C) Opercje elementrne n mcierzch Otóż D (B A T ) T +(A C) T T orz D Brdzo wżne znczenie w lgebrze liniowej odgrywj tzw opercje elementrne n wierszch lub kolumnch mcierzy Niech ij bedzie m n-mcierz Opercje elementrne n wierszch mcierzy A: (i) Pomnożenie i-tego wiersz mcierzy A przez niezerow liczbe Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od i zś kżdy wyrz i-tego wiersz mnożymy przez Opercje te oznczmy symbolem w i (ii) Zmin miejscmi i-tego wiersz mcierzy A z wierszem j-tym (i j) mcierzy A Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od i orz j Opercje te oznczmy symbolem w i w j (iii) Dodnie do j-tego wiersz mcierzy A i-tego (i j) wiersz tej mcierzy pomnożonego przez dowoln liczbe Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od j ntomist wiersz j-ty przybier postć: Opercj e t e oznczmy symbolem w j + w i j1 + i1 j2 + i2 jn + in Opercje elementrne n kolumnch mcierzy A: (i) Pomnożenie i-tej kolumny mcierzy A przez niezerow liczbe Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od i zś kżdy wyrz i-tej kolumny mnożymy przez Opercje te oznczmy symbolem k i (ii) Zmin miejscmi i-tej kolumny mcierzy A z kolumn j-t (i j) mcierzy A Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od i orz j Opercje te oznczmy symbolem k i k j (iii) Dodnie do j-tej kolumny mcierzy A i-tej (i j) kolumny tej mcierzy pomnożonej przez dowoln liczbe Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od j Opercje te oznczmy symbolem k j + k i 7