Całki krzywoliniowe skierowane

Transkrypt

1 Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki krzywoliniowe skierowane str. 1/25

2 Pola wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni Polem wektorowym na obszarze D R 2 nazywamy funkcję wektorową F : D R 2 określoną wzorem: F (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)], gdzie (x, y) D. Polem wektorowym na obszarze V R 3 nazywamy funkcję wektorową F : V R 3 określoną wzorem: F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)], gdzie (x, y, z) V. Y 2 6 O X F (x, y) F (x, y) O X Z Y Całki krzywoliniowe skierowane str. 2/25

3 Własności pól wektorowych Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest ciagłe na D lub V. Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe pochodne na D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest różniczkowalne w sposób ciagły na D lub V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 3/25

4 Łuki skierowane Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem skierowanym. Łuk skierowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o skierowaniu przeciwnym do łuku będziemy oznaczamy przez. Jeżeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy się po nim w kierunku skierowania, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, że parametryzacja łuku jest przeciwna do skierowania (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa niezgodne). Całki krzywoliniowe skierowane str. 4/25

5 Rozważmy łuk gładki = { r(t) : t α, β } o przedstawieniu parametrycznym zgodnym z kierunkiem. A 0 A k t 1 t 2 t 3 t k t n α=t 0 t 1 t 2 t t k 1 t k t n 1 t n =β t 1 t 2 t 3 t k t n r A n Całki krzywoliniowe skierowane str. 5/25

6 Oznaczenia w definicji całki skierowanej: P = {t 0, t 1, t 2,..., t n }, gdzie α = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = β podział odcinka α, β na n N odcinków; t k def = t k t k 1 długość k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 k n; δ(p) = max 1 k n t k - średnica podziału P; T = {t 1, t 2,..., t n}, gdzie t k t k 1, t k dla 1 k n zbiór punktów pośrednich podziału P A k (x(t k ), y(t k )) (lub A k (x(t k ), y(t k ), z(t k ))) punkty podziału łuku indukowane przez podział P, gdzie 0 k n; A k = (x k, y k) = (x (t k ), y (t k )) (lub A k = (x k, y k, z k) = (x (t k ), y (t k ), z (t k ))) punkty pośrednie łuku A k 1 A k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, gdzie 1 k n; l k = t k t k 1 r (t) dt długość łuku A k 1 A k, gdzie 1 k n. Całki krzywoliniowe skierowane str. 6/25

7 Całka krzywoliniowa skierowana Niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku skierowanym ( R 2 lub R 3 ). Całkę krzywoliniowa skierowana z pola wektorowego F po łuku definiujemy wzorem P (x, y) dx+q(x, y) dy def = lim n δ(p) 0 k=1 lub P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz def = lim δ(p) 0 n k=1 (P (x k, y k) x k + Q(x k, y k) y k ), ( P (x k, y k, z k ) x k +Q(x k, y k, z k ) y k + R(x k, y k, z k ) z k) o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P odcinka α, β ani od sposobu wyboru punktów pośrednich T. Całki krzywoliniowe skierowane str. 7/25

8 Całka krzywoliniowa skierowana Całkę krzywoliniową skierowaną z z pola wektorowego F po łuku oznaczamy też symbolem: P dx + Qdy lub P dx + Qdy + Rdz. UWAGA: W zapisie wektorowym całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F po łuku oznaczamy też symbolem: F d r, gdzie d r def = [dx, dy] lub d r def = [dx, dy, dz]. Całki krzywoliniowe skierowane str. 8/25

9 Całka krzywoliniowa skierowana po sumie łuków skierowanych Niech łuk skierowany będzie sumą łuków skierowanych 1, 2,..., m, przy czym koniec łuku k jest początkiem łuku k+1, gdzie 1 k m 1. Ponadto niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku. Całkę krzywoliniowa skierowana z pola F po łuku definiujemy wzorem: F d r def = 1 F d r + 2 F d r o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. m F d r, Całki krzywoliniowe skierowane str. 9/25

10 iniowość całki krzywoliniowej skierowanej Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim łuku skierowanym, to ( ) ( ) F + G d r = F d r+ G d r, c F d r = c F d r, gdzie c R. Ponadto F d r = F d r, gdzie jest łukiem przeciwnie skierowanym do łuku. UWAGA: Jeżeli łuk skierowany jest zamknięty, to wtedy piszemy: w miejsce. Całki krzywoliniowe skierowane str. 10/25

11 Zależność między całkami krzywoliniowymi Niech pole wektorowe F będzie ciągłe na łuku gładkim. Wtedy P (x, y) dx+q(x, y) dy = [P (x, y) cos α + Q(x, y) cos β] dl, lub P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = [P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dl. Całki krzywoliniowe skierowane str. 11/25

12 Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza Jeżeli pole wektorowe F jest ciągłe na łuku gładkim, którego skierowanie jest zgodne z parametryzacją, to β P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y)x (t) + Q(x, y)y (t)] dt, α gdy = {[x(t), y(t)] : α t β} oraz P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = β α [P (x, y, z)x (t) + Q(x, y, z)y (t) + R(x, y, z)z (t)] dt gdy = {[x(t), y(t), z(t)] : α t β}. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: F ( r) d r = β [ F ( r(t)) r (t) ] dt. α Całki krzywoliniowe skierowane str. 12/25

13 Potencjalne pole wektorowe Pole wektorowe F określone na obszarze D R 2 lub V R 3 nazywamy potencjalnym, gdy istnieje funkcja u : D R lub u : V R, taka że F = grad u. Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F. Całki krzywoliniowe skierowane str. 13/25

14 Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego Niech pole wektorowe F będzie ciągłe i ma potencjał u na obszarze D R 2 lub V R 3. Wtedy P (x, y) dx + Q(x, y) dy = u(x B, y B ) u(x A, y A ), ÃB gdy ÃB dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(x A, y A ) i końcu B(x B, y B ), całkowicie zawarty w obszarze D oraz P (x, y, z)dx+q(x, y, z)dy+r(x, y, z)dz =u(x B, y B, z B ) u(x A, y A, z A ), gdy ÃB dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(x A, y A, z A ) i końcu B(x B, y B, z B ), całkowicie zawarty w obszarze V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 14/25

15 Warunek konieczny i wystarczajacy potencjalności pola (I) Niech pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym D R 2. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy P y (x, y) = Q x (x, y), dla każdego (x, y) D. (II) Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy P y Q P (x, y, z) = (x, y, z), x Q z (x, y, z) = R y z (x, y, z) = R x (x, y, z), (x, y, z), dla każdego (x, y, z) V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 15/25

16 Rotacja pola wektorowego Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Rotacja pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem: rot F def = i j k x y z P Q R ( R y Q z = ) i + ( P z R ) j + x ( Q x P y ) k. Całki krzywoliniowe skierowane str. 16/25

17 Rotacja pola potencjalnego Pole wektorowe F = [P, Q, R] jest potencjalne na obszarsze wypukłym V R 3 wtedy i tylko wtedy, gdy rot F = 0. Całki krzywoliniowe skierowane str. 17/25

18 Skierowanie krzywej Niech będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na R 2, tzn. krzywą Jordana. Mówimy, że krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu po łuku w kierunku jego skierowania obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że krzywa jest skierowana ujemne względem swego wnętrza D. Y 2 1 D D 2 1 Y O X 1 - dodatnio skierowany względem obszaru D ujemnie skierowany względem obszaru D 2 O X Całki krzywoliniowe skierowane str. 18/25

19 Twierdzenie Greena Jeżeli obszar domknięty D R 2 będzie będzie obszarem normalnym (wzgledem OX i OY ) brzeg tego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D, to P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D ( Q x P y ) dxdy UWAGA: Wzór Greena także jest prawdziwy dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem obu osi). Całki krzywoliniowe skierowane str. 19/25

20 Cyrkulacja pola wektorowego Cyrkulacja pola wektorowego F po łuku zamkniętym skierowanym nazywamy F d r. Całki krzywoliniowe skierowane str. 20/25

21 Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych Pole obszaru Pole obszaru D R 2 ograniczonego łukiem zamknietym kawałkami gładkim, dodatnio skierowanym względem swego wnętrza D wyraża się wzorem: D = y dx = x dy = 1 x dy y dx. 2 Całki krzywoliniowe skierowane str. 21/25

22 Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych Praca w polu wektorowym Praca w polu wektorowym F wykonana wzdłuż łuku skierowanego od punktu początkowego do końcowego wyraża się wzorem: W = F d r. Całki krzywoliniowe skierowane str. 22/25

23 Zastosowania krzywoliniowych skierowanych Ilość umownej płaskiej cieczy" Ilość umownej płaskiej cieczy" przepływającej w jednostce czasu przez łuk skierowany wyraża się wzorem: A = Q(x, y)dx P (x, y)dy, gdzie v(x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x, y) tego łuku. Całki krzywoliniowe skierowane str. 23/25

24 Podsumowanie Pola wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni. Całki krzywoliniowe skierowane. Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą. Pewne zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych. Całki krzywoliniowe skierowane str. 24/25

25 Dziękuję za uwagę ;) Całki krzywoliniowe skierowane str. 25/25