Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe

Transkrypt

1 Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki krzywoliniowe efinicj cłki krzywoliniowej nieskierownej Rozwżmy nstępujący problem. ny jest przewód elektryczny n którym rozmieszczone są łdunki. Przypuśćmy, że znn jest gęstość liniow łdunku 1. Jk obliczyć cłkowity łdunek zgromdzony n krzywej? Podobny problem może dotyczyć msy. Mmy krzywą (drut, linę,...) o zmiennej gęstości liniowej i chcemy obliczyć msę cłkowitą. Aby problem zmtemtyzowć nleży pewne pojęci sprecyzowć. efinicj 1. rzywą n płszczyźnie nzywmy zbiór = {(x(t), y(t)) : α t β} gdzie odwzorowni x(t), y(t) są ciągłe n przedzile [α, β] i ten przedził możn podzielić n skończoną liczbę podprzedziłów, n których odwzorowni x(t), y(t) są różnowrtościowe. Jeżeli x(t), y(t) są różnowrtościowe n cłym przedzile [α, β], to krzywą nzywmy łukiem. Równni x = x(t), y = y(t), α t β nzywmy opisem prmetrycznym (prmetryzcją) krzywej. Przykłd. Elips jest określon równnimi: x = cos t, y = b sin t, 0 t π. Nie jest to łuk, bo funkcje x(t), y(t) nie są różnowrtościowe. Gdy ogrniczymy się np. do 0 t π, to otrzymmy łuk. Anlogicznie określmy krzywą w przestrzeni: Np. równni: = {(x(t), y(t), z(t)) : α t β}. x = cos t, y = b sin t, z = bt, t R, przedstwiją linię śrubową. rzywe mogą mieć wiele różnych prmetryzcji. Np. x = t, y = t 1 orz x = ln t, y = ln t 1 są prmetryzcjmi tej smej prostej. W szczególności gdy krzyw płsk m prmetryzcję x = t, y = y(t), t b, to piszemy krótko y = y(x) i mówimy, że krzyw określon jest równniem jwnym. Nie jest to możliwe dl krzywej przestrzennej. 1 Gęstość liniow łdunku n kwłku przewodu jest to ilorz cłego łdunku n tym kwłku do jego długości. Gęstość liniow łdunku w punkcie jest to grnic tych ilorzów gdy długość kwłk dąży do 0. Gęstość liniow msy łuku krzywej jest to ilorz cłej msy n tym łuku do jego długości. Gęstość liniow w punkcie jest to grnic tych ilorzów gdy długość łuku dąży do 0. 1

2 Prmetryzcję nzywmy regulrną, gdy funkcje x = x(t), y = y(t), z = z(t) mją ciągłe pochodne i spełniją wrunek x (t) + y (t) + z (t) > 0 dl α t β. Łuk mjący prmetryzcję regulrną nzywmy łukiem regulrnym. Wprowdźmy nstępujące oznczeni. Niech będzie krzywą płską niezmkniętą o końcch A, B ρ(m) niech będzie gęstością (łdunku czy msy) w punkcie M. Jeżeli gęstość zmieni się w sposób ciągły, to n krótkim łuku jest w przybliżeniu stł. zielimy krzywą n łuki punktmi A = A 0, A 1, A,..., A n 1, A n = B i n i-tym łuku A i 1 A i obiermy punkt M i, w którym gęstość wynosi ρ(m i ). Jeśli m i ozncz msę tego łuku, to m i ρ(m i )σ i, gdzie σ i jest długością łuku A i 1 A i. Ms cłej krzywej: m n ρ(m i )σ i. Błąd przybliżeni dąży do 0 jeśli długości wszystkich łuków dążą do 0. Ztem m = lim i=1 λ 0 i=1 n ρ(m i )σ i, gdzie λ jest długością njwiększego z łuków. Ogólniej, jeśli mmy funkcję f(m) = f(x, y) określoną n punktch krzywej płskiej, to powtrzjąc powyższe postępownie uzyskujemy sumę: n f(ξ i, η i )σ i, i=1 gdzie (ξ i, η i ) jest punktem łuku A i 1 A i. Sum t jest sumą cłkową (podobne sumy pojwiją się w definicji cłki oznczonej lub podwójnej). Jeżeli m on grnicę gdy λ = mx σ i 0, przy czym grnic nie zleży od sposobu podziłu krzywej i wyboru punktów M i, to grnicę tę nzywmy cłką krzywoliniową nieskierowną funkcji f(x, y) po krzywej i oznczmy f(x, y)ds. Symbol ds nzywmy różniczką łuku. Anlogicznie wprowdzmy pojęcie cłki po krzywej przestrzennej : f(x, y, z)ds. Twierdzenie 1. Jeżeli krzyw m prmetryzcję regulrną to f(x, y)ds = x = x(t), y = y(t), α t β, β α f(x(t), y(t)) x (t) + y (t) dt. Poniewż równnie jwne krzywej y = y(x) możn trktowć jko szczególny przypdek równń prmetrycznych (gdy x = t), więc mmy

3 Wniosek 1. Jeżeli krzyw dn jest równniem jwnym y = y(x), t b to f(x, y)ds = b l krzywej przestrzennej cłkę obliczmy ze wzoru f(x, y(x)) 1 + y (x) dx. β f(x, y, z)ds = f(x(t), y(t), z(t)) x (t) + y (t) + z (t) dt. α Przykłdy. Obliczyć cłki 1. yds, gdzie jest łukiem prboli y = 4x od O(0, 0) do A(1, ). (odp.: 4 3 ( 1).). x yds, gdzie jest łukiem okręgu x + y = R leżącym w I ćwirtce. (odp.: 1 3 R4.) 3. (x + y )ds, gdzie : x = (cos t + t sin t), y = (sin t t cos t), 0 t π. (odp.: 3 π (1 + π ).) 4. Znleźć msę części krzywej mterilnej y = ln x dl x [ 3, 8] jeżeli gęstość liniow równ się kwdrtowi odciętej. (odp.: 19 3.). Cłki krzywoliniowe skierowne Cłk krzywoliniow nieskierown jest wygodnym nrzędziem do obliczni msy skupionej n krzywej. Ntomist cłk krzywoliniow skierown, którą terz określimy, m związek z obliczniem prcy wykonywnej przez pewną (zmienną) siłę. Widomo, że w njprostszym przypdku siły stłej mmy: prc = sił przesunięcie Jeżeli sił o zmiennej wrtości F (x) dził n przedzile [, b], to prc przez nią wykonywn wyrż się wzorem W = b F (x) dx. o tej pory nie miło znczeni, że sił jest wektorem. Jednk gdy przemieszczenie jest wzdłuż krzywej, to sił zmieni nie tylko wielkość, le i kierunek. Chcąc obliczyć prcę jką wykonuje sił F = [F 1, F, F 3 ] przesuwjąc obiekt o v = [v 1, v, v 3 ] powinniśmy zsumowć wielkości F 1 v 1, F v, F 3 v 3. Ztem prc wynosi Ztem również w tym przypdku: F 1 v 1 + F v + F 3 v 3 = F v. prc = sił przesunięcie, z tym, że mnożenie ozncz w tym przypdku iloczyn sklrny. Zdefiniujemy terz łuk skierowny. efinicj. Łuk (n płszczyźnie lub w przestrzeni) nzywmy łukiem skierownym, gdy wyróżniony w nim zostł początek i koniec. Jeżeli A jest początkiem, B końcem łuku, to piszemy = AB. Łuk o początku B i końcu A nzywmy wtedy łukiem przeciwnie skierownym i oznczmy. Określimy terz cłkę krzywoliniową skierowną w przestrzeni. 3

4 efinicj 3. Niech będzie regulrnym łukiem skierownym w przestrzeni, o prmetryzcji x = x(t), y = y(t), z = z(t), α t β i niech dne będą trzy funkcje trzech zmiennych P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), określone i ciągłe we wszystkich punktch łuku. Cłkę skierowną z funkcji P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) po łuku oznczmy symbolem P dx + Qdy + Rdz i definiujemy równością: b P dx + Qdy + Rdz = [P (x(t), y(t), z(t))x (t) + (1) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt l krzywej n płszczyźnie określenie cłki skierownej jest podobne: Uwgi: b P dx + Qdy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)]dt 1. Cłkę krzywoliniową skierowną w przestrzeni możn trktowć jko sumę trzech skłdników P dx + Qdy + Rdz.. Zmin skierowni krzywej zmieni znk cłki, tzn. P dx + Qdy + Rdz = P dx + Qdy + Rdz. 3. Jeżeli krzyw jest zmknięt, to możn pisć P dx + Qdy + Rdz. 4. Jeżeli wzdłuż krzywej dził sił F = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] (tzn. funkcje P, Q, R są skłdowymi tej siły), to prc wykonywn przez tę siłę wyrż się wzorem P dx + Qdy + Rdz. Przykłdy. Obliczyć cłki 1. (xy 1)dx + x ydy, od punktu A(1, 0) do B(0, ) po AB ) prostej x + y = ; b) łuku prboli 4x + y = 4; c) łuku elipsy x = cos t, y = sin t. Rozwiąznie ) Podstwimy: y = x, dy = dx. Cłk: 0 1 [x( x) 1 + x ( x)( )]dx = b) Podstwimy: x = y, dx = 1 ydy. Cłk: 0 [(y 1 4 y3 1)( 1 y) + (1 1 4 y ) y]dy = [4x 3 6x + x 1]dx = 1. ( 1 16 y y4 1 y3 1 y y)dy = 15.

5 c) Podstwimy: x = cos t, dx = sin tdt, y = sin t, dy = cos tdt. Cłk: π 0. [( sin t cos t 1)( sin t)+cos t sin t cos t)dt = AB π 0 [( sin t cos t+sin t+4 cos 3 t sin t)dt = 4 3. ( y)dx ( y)dy po łuku cykloidy x = (t sin t), y = (1 cos t), > 0, 0 t π (odp.: π ). 3. W kżdym punkcie okręgu x = cos t, y = sin t przyłożono zmienną siłę F o skłdowych P = x + y i Q = x. Obliczyć prcę siły F po tym okręgu (odp.: π ). 4. Obliczyć prcę siły F o skłdowych P = x, Q = y i R = x + y 1 n odcinku AB, gdy A(1, 1, 1), B(, 3, 4) (odp.: 13). 5. Obliczyć prcę siły F o skłdowych P = y x +y, Q = x x +y n krzywej, gdzie jest okręgiem x + y = r przebiegnym n rzy w kierunku dodtnim. Rozwiąznie. rzywą możemy opisć równnimi x = r cos t, y = r sin t, 0 t nπ ztem W = ( y x + y dx + x ) x + y dy = xdy ydx x + y = nπ 0 dt = nπ. Jk widć prc nie zleży od promieni okręgu, tylko od liczby okrążeń. 3. Cłki w zpisie wektorowym W zstosownich cłk krzywoliniow jest często przedstwion w zpisie wektorowym. Jeśli przyjmiemy r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, to r(t) jest wektorem wodzącym punktu P (x, y, z) n krzywej. Wektorem stycznym do krzywej w punkcie P jest wtedy wektor: r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, ztem d r = r (t)dt = (x (t) i + y (t) j + z (t) k)dt. Oznczmy tkże F = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]. Równość (1) możn terz npisć w postci F rdt = F d r Wielkość F d r możn interpretowć jko prcę wykonywną, gdy obiekt do którego przyłożon jest sił F przemieszcz się wzdłuż wektor d r stycznego do krzywej. 4. Cłki skierowne po krzywych zmkniętych Jeżeli krzyw jest zmknięt i ogrnicz obszr, przy czym kierunek n krzywej jest tki, że obszr pozostje po lewej stronie krzywej, to mówimy, że krzyw jest zorientown dodtnio względem obszru. Brdzo wżny jest nstępujący związek między cłką krzywoliniową i podwójną. 5

6 Twierdzenie. (Green) Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) mją ciągłe pochodne cząstkowe w obszrze ogrniczonym krzywą regulrną, zmkniętą, i zorientowną dodtnio, to P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ( Q x P ) dxdy. () owód częściowy. Złóżmy, że obszr jest normlny względem obu osi. W szczególności, jko normlny względem osi Ox, obszr możn opisć nierównościmi x b, g 1 (x) y g (x). Wykżemy, że P (x, y)dx = P dxdy. (3) rzywą dzielimy n dwie części: niech 1 ozncz krzywą dolną (określoną równniem y = g 1 (x)), krzywą górną (określoną równniem y = g (x)). Wtedy lew stron tej równości to: P (x, y)dx = = P (x, y)dx + 1 b Ntomist prw stron to: P dxdy = = P (x, g 1 (x))dx b b P (x, y)dx = b g(x) P dx g 1(x) dy = b P (x, g (x))dx b P (x, g 1 (x))dx + [P (x, y)] g(x) g 1(x) dx = ( P (x, g (x)) P (x, g 1 (x) ) b dx = P (x, g 1 (x))dx b P (x, g (x))dx = b P (x, g (x))dx Ztem równość (3) jest prwdziw. Anlogicznie, trktując jko normlny względem osi Oy, tzn. c x d, h 1 (y) x h (x) możn wykzć, że Q(x, y)dy = Q dxdy. (4) x odjąc równości (3) i (4) stronmi otrzymujemy wzór Green. W szczególności dl P (x, y) = 1 y, Q(x, y) = 1 x wzór () przyjmuje postć: 1 ( y)dx + xdy = dxdy. Prw stron jest polem obszru. Ztem Wniosek. Pole obszru wyrż się wzorem P = 1 xdy ydx. 6

7 Przykłdy. 1. Sprwdzić wzór Green dl cłki (x + y)dx xdy gdzie jest konturem trójkąt o równnich boków x = 0, y = 0, x + y = zorientownym dodtnio. (Wynik: 3 ).. orzystjąc ze wzoru Green obliczyć cłkę y(1 x )dx + x(1 + y )dy gdzie jest okręgiem x + y = 1 zorientownym dodtnio. (Wynik: 1 π). 3. Obliczyć pole figury ogrniczonej steroidą x = cos 3 t, y = sin 3 t ( > 0), 0 t π. (Wynik: 3 8 π ). 4. W przykłdzie 5 (str. 5) pojwił się cłk ( y x + y dx + x ) x + y dy, gdzie było okręgiem x + y = r. o tej cłki nie możn zstosowć twierdzeni Green, bo w punkcie O = (0, 0) leżącym wewnątrz krzywej funkcje P i Q nie są określone. Jeśli jednk jest krzywą zmkniętą zorientowną dodtnio i tką, że początek ukłdu leży n zewnątrz, to złożeni twierdzeni Green są spełnione. Mmy Q x = x + y (x + y ) = P, ztem ( y x + y dx + x ) x + y dy = 0dxdy = Niezleżność cłki od krzywej cłkowni W zstosownich cłki krzywoliniowej w fizyce wżn jest odpowiedź n pytnie, czy cłk po krzywej łączącej dw punkty A i B zleży od tej krzywej, czy tylko od punktów A i B. Przykłd 1 ze strony 4 pokzuje, że ogólnie biorąc wybór krzywej jest istotny. Nleży więc skupić się n ustleniu czy są sytucje w których wrtość cłki nie zleży od wyboru krzywej. efinicj 4. Zbiór ogrniczony, którego brzeg jest jedną krzywą regulrną zmkniętą nzywmy obszrem jednospójnym. Ogólniej, gdy brzeg skłd się z n krzywych mówimy o obszrze n-spójnym. Np. kżdy obszr normlny względem którejkolwiek z osi jest obszrem jednospójnym. Pierścień kołowy jest obszrem dwuspójnym. Również koło bez środk jest obszrem dwuspójnym (brzeg m dwie części: okrąg i środek!) Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) mją ciągłe pochodne cząstkowe w obszrze jednospójnym ogrniczonym krzywą regulrną, zmkniętą, i zorientowną dodtnio, orz A i B są punktmi wewnętrznymi zbioru to nstępujące wrunki są równowżne 1. cłk krzywoliniow AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy zleży jedynie od położeni punktów A i B (nie zleży od drogi cłkowni); 7

8 . w kżdym punkcie wewnętrznym obszru Q P (x, y) = (x, y); x 3. istnieje funkcj F (x, y) różniczkowln wewnątrz obszru tk, że df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Funkcję F (x, y) o której mow w twierdzeniu nzywmy funkcją pierwotną różniczki zupełnej P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Tk więc wrunek Q P (x, y) = (x, y); (5) x jest konieczny i wystrczjący n to, by istnił funkcj pierwotn, i jednocześnie by cłk był niezleżn od drogi. Uwgi. 1. W interpretcji fizycznej, gdy sił F = [P (x, y), Q(x, y)] spełni wrunek (5), to jej funkcję pierwotną nzywmy potencjłem. Ztem jeśli sił m potencjł, to prc nie zleży od drogi cłkowni. Fizycy mówią też o polu sił w obszrze, i że prc w polu potencjlnym nie zleży od drogi. Przykłd. Pole grwitcyjne. Jeżeli w początku ukłdu Oxy umieścimy msę M, to ms jednostkow umieszczon w punkcie A = (x, y) będzie przyciągn z siłą F o wielkości F = M r, gdzie r = x + y. Rzuty siły F n osie ukłdu wynoszą P = Mx r 3, Q = My r 3, bo cosinusy kątów tworzonych przez tę siłę z osimi wynoszą x r, y r. Łtwo sprwdzić, że wyrżenie Mx r 3 My dx r 3 dy, jest różniczką funkcji U = M r. Ztem U jest potencjłem pol. Prc w tym polu nie zleży od drogi, tylko od różnicy potencjłów.. Jeżeli krzyw jest zmknięt i funkcje P (x, y), Q(x, y) spełniją wrunek (5), to P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. AB Równość powyższą łtwo otrzymmy stosując twierdzenie Green (prw stron jest cłką z zer). Przykłd. Z Uwgi wiemy, że ydx + (x + y)dy = 0 po dowolnej krzywej zmkniętej. Sprwdzić to obliczjąc cłkę, gdy jest krzywą zbudowną z łuku prboli y = x i prostej y = W przypdku cłki niezleżnej od drogi możn stosowć oznczenie (x,y ) (x 1,y 1) P (x, y)dx + Q(x, y)dy, gdzie (x 1, y 1 ) jest początkiem, (x, y ) końcem drogi. 8

9 Przykłd. Wyrżenie spełni wrunek (5), bo xdx + ydy Q x = (y) x = 0, P = (x) = 0. W tym przypdku dość łtwo jest odgdnąć funkcję pierwotną: F = x + y. Możn też zuwżyć, że dl dowolnej stłej C funkcj G = x + y + C jest tkże funkcją pierwotną. Funkcji pierwotnych jest więc nieskończenie wiele. Oczywiście odgdywnie funkcji pierwotnej nie jest metodą. Ogólnie nleży (po sprwdzeniu wrunku (5)) utworzyć ukłd równń (w którym niewidomą jest funkcj F ): F x = P, F = Q i rozwiązć go. To wymg dwukrotnego cłkowni. Wyjśni to nstępujący przykłd. Przykłd. Wykzć, że wyrżenie (1 sin x)dy (3 + y cos x)dx m funkcję pierwotną. Wyznczyć tę funkcję. Rozwiąznie. Sprwdzmy wrunek istnieni funkcji pierwotnej, P Q x = (3 + y cos x) = (1 sin x) x = cos x, = cos x. Ztem P = Q x dl dowolnych x, y. Aby wyznczyć funkcję pierwotną cłkujemy funkcję P (x, y) względem x. Stł cłkowni może zwierć y, więc piszemy ją jko ϕ(y). F (x, y) = (3 + y cos x) dx = 3x y sin x + ϕ(y) Funkcję ϕ(y) możemy wyznczyć korzystjąc z wrunku F ( 3x y sin x + ϕ(y)) = 1 sin x = Q(x, y) = 1 sin x. Ztem: czyli sin x + ϕ (y) = 1 sin x, więc ϕ (y) = 1. Stąd ϕ(y) = y + C. Ztem F (x, y) = 3x y sin x + y + C. Stłą C n ogół pomijmy, bo do rchunków wystrcz jkkolwiek funkcj pierwotn. Mmy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 4. Jeżeli F (x, y) jest funkcją pierwotną różniczki zupełnej P dx + Qdy w obszrze jednospójnym, to P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B) F (A) AB dl dowolnej krzywej AB. Tutj symbole F (B) i F (A) oznczją wrtości funkcji F w punktch B, A. 9

10 Przykłd. Obliczyć cłkę (1,) (,1) ydx xdy x wzdłuż dowolnej drogi nie przecinjącej osi Oy. Rozwiąznie. Sprwdzmy wrunek istnieni funkcji pierwotnej, Ztem P = Q x dl x 0. Terz cłkujemy funkcję P (x, y) względem x: F (x, y) = P y = ( x ) = 1 x, Q x = ( 1 x ) = 1 x x. y x dx = y x + ϕ(y) Poniewż F = Q(x, y) = 1 x, więc: ( y x + ϕ(y)) = 1 x czyli 1 x + ϕ (y) = 1 x, więc ϕ (y) = 0. Stąd ϕ(y) = C. Ztem F (x, y) = y x + C. Skorzystmy terz z twiedzeni 4 przyjmując F (x, y) = y x : (1,) (,1) ydx xdy x = F (1, ) F (, 1) = ( 1 ) = 3. Alterntywnie, cłkę możn obliczyć wybierjąc krzywą cłkowni. Jeśli oznczymy: (, 1) = A, (1, ) = B, (1, 1) = C, to krzywą może być odcinek AB lub łmn ACB. Wybór łmnej jest często korzystny rchunkowo. 10