1 efinij łki podwójnej po prostokąie efinij 1 Podziłem prostokąt = {(x, y) : x b, y d} (inzej: = [, b] [, d]) nzywmy zbiór P złożony z prostokątów 1, 2,..., n które łkowiie go wypełniją i mją prmi rozłązne wnętrz. Nieh x k, y k będą długośimi boków prostokąt k, d k = przekątną. Średnią podziłu P nzywmy lizbę: δ(p) = mx{d k : 1 k n}. Nieh (ξ k, η k ) będzie dowolnie wybrnym punktem prostokąt k. ( x k ) 2 + ( y k ) 2 jego efinij 2 (sum łkow funkji po prostokąie) Nieh funkj f(x, y) będzie ogrnizon n prostokąie orz nieh P będzie podziłem tego prostokąt. Sumą łkową funkji f nzywmy lizbę n f(ξ k, η k ) x k y k. k=1 Pojedynze skłdniki powyższej sumy są objętośimi prostopdłośinów, któryh podstwmi są prostokąty k, wysokośimi f(ξ k, η k ). ozptrują iąg podziłów (P n ) i przehodzą do grniy dohodzimy do pojęi łki: efinij 3 (łk podwójn funkji po prostokąie) Nieh funkj f(x, y) będzie ogrnizon n prostokąie. Cłkę podwójną funkji f po prostokąie określmy wzorem n f(x, y)dxdy = lim f(ξ k, η k ) x k y k, o ile t grni jest włśiw. δ(p) 0 k=1 Jeżeli łk istnieje, to mówimy, że funkj jest łkowln. Kżd funkj iągł jest łkowln. Interpretj geometryzn. Skłdnik f(ξ k, η k ) x k y k sumy łkowej mozn interpretowć jko objętość prostopdłośinu krzywopowierzhniowego, którego podstw jest prostokątem o wymirh x k, y k przeiwległą śinę tworzy frgment powierzhni z = f(x, y). Sum łkow jest ztem przybliżeniem objętośi bryły ogrnizonej prostokątem, powierzhnią z = f(x, y) i śinmi boznymi równoległymi do osi Oz. Cłk, jko grni tyh sum, jest (dokłdną) objętośią tej bryły. Twierdzenie 1 (włsnośi łki) 1. f(x, y) = 0 f(x, y)dxdy = 0; 2. (f(x, y) + g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy; 3. jeżeli = 1 2 i 1 2 =, to f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy; 1 1 2
4. f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy. Twierdzenie 2 (obliznie łki podwójnej) Jeżeli = {(x, y) : x b, y d} jest prostokątem, to b d d b f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. Cłki występująe w twierdzeniu nzywmy łkmi iterownymi. Poniewż zpis jest nieo kłopotliwy, będziemy dlej pisli króej: b Przykłdy Oblizyć łki 1. 2 dx 3 (x + xy 2 )dy; 1 0 d dx f(x, y)dy, 2. 3 dy 2 (x + xy 2 )dx; 0 1 3. sin(x + y)dxdy, = [ π, π] [0, π]; 4 4 4 4. xy dxdy, = [0, 1] [0, 1]. x 2 +y 2 +1 d b dy f(x, y)dx. 2 Cłk podwójn po obszrze normlnym efinij 4 Obszrem normlnym względem osi Ox nzywmy obszr określony nierównośimi x b, g(x) y h(x), dl pewnyh stłyh, b i funkji g(x), h(x). Anlogiznie, obszrem normlnym względem osi Oy nzywmy obszr określony nierównośimi y d, k(y) x l(y), dl pewnyh stłyh, d i funkji k(y), l(y). efinij 5 Jeżeli f(x, y) jest funkją określoną w obszrze normlnym względem osi Ox, to łkę podwójną po obszrze określmy nstępująo: f(x, y)dxdy = b dx h(x) g(x) f(x, y)dy. Anlogiznie, gdy jest obszrem normlnym względem osi Oy, to: f(x, y)dxdy = d dy l(y) k(y) f(x, y)dx. Przykłdy Oblizyć łki 1. xy 2 dxdy, ogrnizony krzywymi y = x, y = 2 x 2 (x 0); 2. x 2 ydxdy, ogrnizony krzywymi y = 2, y = 1, y = x. x 2
3 Zmin zmiennyh w łe podwójnej efinij 6 Nieh i będą obszrmi n płszzyznh Ouv i Oxy odpowiednio. Przeksztłeniem obszru w obszr nzywmy funkję T :, T (u, v) = (x, y), gdzie x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v). Przykłdy Nrysowć obrzy T ( ), gdy 1. T (u, v) = (u + v, u v), = {(u, v) : 0 u 1, 2 v 4}; 2. T (u, v) = (u os v, u sin v), = {(u, v) : 0 u 2, 0 v π 2 }. przeksztłeni T (u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) nzywmy funk- efinij 7 Jkobinem ję: J(u, v) = (u, v) (u, v) (u, v) (u, v) Inne oznzeni jkobinu: (ϕ, ψ) (u, v) lub (ϕ, ψ) (u, v) Twierdzenie 3 Jeżeli to 1. T :, T (u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) przeksztł wzjemnie jednoznznie wnętrze obszru n wnętrze obszru ; 2. funkje ϕ, ψ mją iągłe pohodne ząstkowe; 3. funkj f(x, y) jest iągł n ; 4. jkobin J(u, v) jest różny od 0 wewnątrz obszru, f(x, y)dxdy = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv. Njzęśiej stosujemy zminę n współrzędne biegunowe, zyli: Wtedy (sprwdzić!): wię x = ρ os ϕ, y = ρ sin ϕ. J(ρ, ϕ) = ρ, f(x, y)dxdy = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ. Przykłdy Oblizyć łki zmieniją współrzędne n biegunowe: 1. ln(1 + x 2 + y 2 )dxdy, gdy jest określony wrunkmi x 2 + y 2 1, x 0, y 0. 2. 2 x 2 y 2 dxdy, gdy jest określony wrunkiem x 2 + y 2 2. 3. 2 x 2 y 2 dxdy, gdy jest określony wrunkmi x 2 + y 2 x 0, y 0. 3
4 Zstosowni łki podwójnej Pole obszru oblizmy ze wzoru: P = dxdy = ρdρdϕ, gdzie jest obszrem opisnym we współrzędnyh biegunowyh. Przykłdy Oblizyć pol: 1. jest obszrem między krzywymi y = x 2 8x + 20, y = x + 2; 2. jest obszrem ogrnizonym lemnisktą (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ) (zmienić współrzędne n biegunowe); 3. jest obszrem ogrnizonym krzywymi x 2 + (y 2) 2 = 4, y = x, (y x) (zmienić współrzędne n biegunowe). Objętość bryły ogrnizonej obszrem Oxy, powierzhnią z = f(x, y) i prostymi równoległymi do osi Oz oblizmy ze wzoru: P = f(x, y)dxdy. Przykłdy Oblizyć objętośi brył: 1. wyznzonej przez powierzhnie x 2 + z 2 = 1, x + y = 1, z = 0, y = 0, przy zym y, z 0; Uwg: w rhunkh skorzystć ze wzoru 2 x 2 = 2 2 r sin x + x 2 x 2 + C. 2. wyiętej wlem x 2 + y 2 = x z kuli x 2 + y 2 + z 2 = 2 ; 3. ogrnizonej stożkiem x 2 + y 2 = z 2 i prboloidą x 2 + y 2 = 6 z, (z 0). Przy pomoy łki podwójnej możn oblizć również pole płt powierzhni. Jeżeli z = f(x, y) jest powierzhnią w przestrzeni, to pole jej płt leżąego nd obszrem Oxy wyrż się wzorem S = 1 + (f x ) 2 + (f y) 2 dxdy. Przykłdy Oblizyć pole powierzhni: 1. wyiętej wlem x 2 + y 2 = x z kuli x 2 + y 2 + z 2 = 2 (odp.:s = 2 2 (π 2); 2. wyiętej wlem x 2 + y 2 = 2 ze stożk y 2 + z 2 = x 2. 5 efinij łki potrójnej Obszrem normlnym w przestrzeni nzywmy obszr ogrnizony od dołu powierzhnią z = p(x, y), od góry powierzhnią z = q(x, y), po bokh powierzhnią wlową o tworząyh równoległyh do osi Oz. zutem tego obszru n płszzyznę Oxy jest obszr płski. Wtedy łkę potrójną po określmy wzorem q(x,y) f(x, y, z)dxdydz = 4 p(x,y) f(x, y, z)dz.
Jeśli obszr jest normlny np. x b, g(x) y h(x), to f(x, y, z)dxdydz = b dx h(x) g(x) dy q(x,y) p(x,y) f(x, y, z)dz. Przykłdy Oblizyć łki potrójne 1. (x + y + z)dxdydz, ogrnizony płszzyznmi x = 0, y = 0, z = 0,x =, y = b, z = ; 2. zdxdydz, ogrnizony płszzyznmi x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. efinij 8 Nieh i będą obszrmi w przestrzenih Ouvw i Oxyz odpowiednio. Przeksztłeniem obszru w obszr nzywmy funkję T :, T = (x, y, z), gdzie x = ϕ, y = ψ, z = χ. przeksztłeni T = (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ) n- efinij 9 Jkobinem zywmy funkję: Twierdzenie 4 Jeżeli J = χ χ χ w w w 1. T :, T = (ϕ, ψχ) przeksztł wzjemnie jednoznznie wnętrze obszru n wnętrze obszru ; 2. funkje ϕ, ψ, χ mją iągłe pohodne ząstkowe; 3. funkj f(x, y, z) jest iągł n ; 4. jkobin J jest różny od 0 wewnątrz obszru, to f(x, y, z)dxdydz = f(ϕ, ψ, χ) J dudvdw. Njzęśiej stosujemy zminę n współrzędne wlowe: ρ, ϕ, h, dl któryh mmy związki: x = ρ os ϕ, y = ρ sin ϕ, z = h, lub zminę n współrzędne sferyzne: r, ϕ, θ, dl któryh: x = r os ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r os θ. 5
Wtedy dl współrzędnyh wlowyh mmy: (sprwdzić!): J(ρ, ϕ, h) = ρ, wię f(x, y, z)dxdydz = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕ, h)ρdρdϕdh. Ntomist dl współrzędnyh sferyznyh jkobin wynosi: J(r, ϕ, θ) = r 2 sin θ, wię f(x, y, z)dxdydz = f(r os ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r os θ)r 2 sin θdrdϕdθ. Przykłd 1. Oblizyć łkę z x 2 + y 2 dxdydz zmieniją współrzędne n wlowe. jest określony wrunkmi 0 x 4, 0 y 4x x2, 0 z 2. Przykłd 2. Oblizyć łkę (x 2 + y 2 )dxdydz zmieniją współrzędne n sferyzne. jest określony wrunkmi 1 x 2 +y 2 +z 2 4, z 0. 6