- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

Transkrypt

1 1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej z przekroju elipsoidy płszczyzn 3 = = 1 3 Znleźć wierzchołki hiperboli powstłej z przekroju hiperboloidy jednopowłokowej płszczyzn 1 = = 1 4 Zbdć jk krzyw otrzymujemy z przecie ci prboloidy hiperbolicznej = płszczyzn = 0 5 Znleźć równnie stożk, którego wierzchołek leży w pocz tku ukłdu współrze dnych, tworz ce przecinj okr g = 0, 3 1 = 0 6 Npisć równnie wlc, którego tworz ce s prostopdłe do płszczyzny = 0 i styczne do sfery = 1

2 Powierzchnie -go stopni Zbiór punktów (, y, z) R 3, które spełnij równnie drugiego stopni + by + cz + dy + ez + fyz + g + hy + iz + j = 0 tworzy pewn powierzchnie Kwdryki Powierzchnie opisn równniem ( ) + (y b) + (z c) = R (001) nzywmy sfer o środku w punkcie s = (, b, c) orz promieniu R Jest to zbiór punktów w R 3 oddlonych od punktu s o R Równnie płszczyzny stycznej do sfery w punkcie p 0 = ( 0, y 0, z 0 ) jest postci: ( )( 0 ) + (y b)(y 0 b) + (z c)(z 0 c) = R (00) b + z c = 1 (003) określ elipsoide Jest on zwrt w prostopdłościnie (, y, z) R 3, b y b, c z c} płszczyznmi symetrii tej elipsoidy, zś pocz ukłdu jest jej środkiem symetrii Przekroje elipsoidy płszczyznmi ukłdu (i rownoległymi do nich) s elipsmi Równnie płszczyzny stycznej do elipsoidy (??) w punkcie p 0 = ( 0, y 0, z 0 ) jest postci: 0 + y 0y b + z 0z c = 1 (004) Jeżeli dwie z liczb, b, c s równe, to elipsoid nzyw sie Możn j wówczs otrzymć przez obrót elipsy wokół odpowiedniej osi ukłdu N przykłd równnie + z c = 1 (005) określ elipsoide o osi obrotu OZ b z c = 1 (006)

3 3 określ hiperboloide jednopowłokow płszczyznmi symetrii, zś pocz ukłdu jest środkiem symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płszczyznmi z = k s elipsmi, zś płszczyznmi zwierj cymi oś OZ s hiperbolmi Przekrój płszczyzn y = b jest pr prostych: y = b + z c = 0 i y = b z c = 0 Hiperboloid jednopowłokow jest tzw powierzchni prostokreśln Ozncz to, że skłd sie on z smych linii prostych, ktore dziel sie n dwie rodziny prostych wzjemnie skośnych Jeżeli = b, to hiperboloid z c = 1 (007) nzyw sie Możn j wówczs otrzymć przez obrót hiperboli wokół osi OZ b z c = 1 (008) określ hiperboloide dwupowłokow płszczyznmi symetrii, zś pocz ukłdu jest środkiem symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płszczyznmi zwierj cymi oś OX s hiperbolmi, zś płszczyznmi = k, dl k >, s elipsmi Jeżeli = b, to hiperboloid z c = 1 (009) nzyw sie Możn j wówczs otrzymć przez obrót hiperboli wokół osi OX b = z (0010) określ prboloide eliptyczn Powierzchni t nie m środk symetrii dnych OXZ orz OY Z s płszczyznmi symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płszczyznmi zwierj cymi oś OZ s prbolmi, zś płszczyznmi z = k > 0 s elipsmi

4 4 Jeżeli = b, to prboloid = z (0011) nzyw sie Możn j wówczs otrzymć przez obrót prboli wokół osi OZ b = z (001) określ prboloide hiperboliczn inczej zwn powierzchni siodłow Jest to również powierzchni prostokreśln dnych OXZ orz OY Z s płszczyznmi symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płszczyznmi OXZ orz OY Z s prbolmi, przekrój płszczyzn z = 0 dje dwie proste o równnich: z = 0 + y b = 0 i z = 0 y b = 0 Ntomist przekrój płszczyzn z = k 0 jest hiperbol Powierzchnie stożkowe Niech dn be dzie n płszczyźnie OXY krzyw K, poz płszczyzn punkt s Zbiór punktów w przestrzeni R 3 nleż cych do prostych ł cz cych punkty krzywej K z punktem s nzywmy powierzchni stożkow lub krótko stożkiem Krzyw K nzyw sie kierownic stożk, punkt s jego wierzchołkiem Jeżeli krzyw K jest elips o równnich: + y b = 1 z c = 0, c > 0 to równnie stożk eliptycznego o wierzchołku w pocz tku ukłdu współrze d- nych s = (0, 0, 0) i kierownicy K m postć: b = z c (0013) płszczyznmi symetrii, zś pocz ukłdu, środkiem symetrii tego stożk Powierzchnie wlcowe Niech dn be dzie n płszczyźnie OXY krzyw K orz prost L o wektorze kierunkowym [, b, c], c 0 Zbiór punktów w przestrzeni R 3 nleż cych do

5 5 prostych równoległych do prostej L i przechodz cych przez punkty krzywej K nzywmy powierzchni wlcow Krzyw K nzyw sie kierownic powierzchni wlcowej Jeżeli kierownic K jest elips o równniu + y b = 1 prost L jest równoległ do osi OZ, to równnie powierzchni wlcowej m postć: b = 1 (0014) i określ wlec eliptyczny Jeżeli kierownic K jest hiperbol o równniu y b = 1 prost L jest równoległ do osi OZ, to równnie powierzchni wlcowej m postć: b = 1 (0015) i określ wlec hiperboliczny Jeżeli kierownic K jest prbol o równniu y = p, gdzie p 0, prost L jest równoległ do osi OZ, to równnie powierzchni wlcowej m postć: i określ wlec prboliczny y = p (0016)