24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

Transkrypt

1 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną. nazywamy płatem zorientowanym. Zorientowanie płata ustala kierunek normalnej (w każdym punkcie płata) od strony ujemnej do strony dodatniej. Płaty i są przeciwnie zorientowane. Jeżeli powierzchnia jest zamknięta to za stronę dodatnią przyjmujemy jej zewnętrzną stronę. Gdy zaś powierzchnia nie jest zamknięta, to za stronę dodatnią przyjmujemy tę stronę, dla której cosinus kąta jaki tworzy normalna do tej powierzchni z osią OZ jest dodatni w każdym punkcie tej powierzchni. Niech na płacie gładkim zorientowanym będą dane funkcje ciągłe P ( z ), Q ( z ), R ( z ). 4.1

2 Oznaczmy przez α, β, γ kąty jakie tworzy z osiami współrzędnych wektor normalny n r skierowany od strony ujemnej do strony dodatniej płata i rozważmy iloczyn skalarny wektorów F = [ P ( z ), Q ( z ), ( z ) n R ] [ α,cos β, cos γ ] = cos. = P ( z ) cos α + Q( z ) cos β + R( z ) cos γ. gdzie kropka oznacza iloczyn skalarny Wtedy całka powierzchniowa zorientowana = s F n d P( z ) cos αd + Q( z ) cos βd + istnieje i zależy od orientacji płata. = R( z ) cos γd Całkę tę nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji P( z), Q( z), R( z) po płacie i zapisujem po wprowadzeniu oznaczeń cos αd = dydz, cos βd = dxdz, cos γd = dxdy, w postaci P( z ) dydz + Q( z ) dxdz + R( z ) dxdy Przy przyjętych założeniach można wykazać, że Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = [ P Q, R] ( ru rv )dudv r r, () 4.

3 r gdzie r = [ x, y, z ], r = [ x, y, z ] u u u u r v v v v i wektor r r u jest wektorem normalnym płata skierowanym od strony ujemnej do dodatniej. v Gdy powierzchnia dodatnio zorientowana dana jest w postaci jawnej: z = f(y), ( y) 1 to z ) dxdy = R ( R( f ( y )) dxdy. 1 Analogicznie, gdy powierzchnia dodatnio zorientowana dana jest w postaci jawnej: to z ) dydz = x = g(z), ( z) P ( P( g( z ), z ) dydz, oraz gdy powierzchnia dodatnio zorientowana dana jest w postaci jawnej: to z ) dxdz = y = h(z), ( z) Q ( Q( h( z ), z ) dxdz. Wtedy Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy 4.

4 Przykład Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną ( x y ) + dxdy po zewnętrznej stronie górnej połowy sfery x + y + z = R. Rozwiązanie Równanie płata jest następujące: z = R x y, gdzie zmienne x i y należą do koła o równaniu: x + y R. tąd ( x + y ) dxdy = ( x y ) + dxdy Przechodząc do współrzędnych biegunowych x = rcos ϕ, y = r sin ϕ, gdzie r 1, ϕ π, mamy R π R 1 4 π 4 ( x + y ) dxdy = dr r dϕ π r = = R Twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego Jeżeli w obszarze V normalnym względem wszystkich płaszczyzn układu, określone są funkcje P ( z ), Q ( z ), R( z ) ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi rzędu pierwszego wewnątrz V i na jego brzegu będącego powierzchnią gładką zorientowaną dodatnio, to + Qdxdz + Rdxdy = ( Px + Qy + Rz ) Pdydz dxdydz. V 4.4

5 Przykład Obliczyć całkę ( y z + x) dydz x ydxdz + ( z 4xy) + dxdy zewnętrznej stronie prostopadłościanu ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyznami x =, y = 4, z = 1. po Rozwiązanie Funkcje + P = y z + x, Q = x y, R = z 4xy oraz ich odpowiednie pochodne cząstkowe są równe P = 1, Wtedy x Q y x =, R z = z. ( y z + x) dydz x ydxdz + ( z + 4xy) dxdy = 1 x + x gdzie obszar V opisany jest nierównościami y 4. z 1 Zatem V V ( z ) dxdydz, 1 [ z x z + z ] = ( 1 x + z ) dxdydz = dx dy ( 1 x + z ) dz = 4 dx = 4 4 ( x ) dx = x x =

6 4.. Twierdzenie tokesa Niech będą określone funkcje P ( z ), Q ( z ), R( z ) ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi rzędu pierwszego w pewnym obszarze otaczającym płat. Jeżeli krzywa jest brzegiem płata tak zorientowanym, że zwrot obiegu po krzywej i strona płata są zgodne, to Pdx + Qdy + Rdz = ( Ry Qz ) dydz + ( Pz Rx ) dxdz + ( Qx Py ) dxdy. Przykład + dz, gdzie Obliczyć całkę ( x y + z) dx + ( y x + z) dy + ( x y z) jest dodatnio zorientowaną krawędzią przecięcia płaszczyzny x + y + 6z = z płaszczyznami układu, Rozwiązanie Mamy P = x y + z, Q = y x + z, R = x y + z oraz Wtedy P P y z = 1, = Q x = R x = 1,. Q = 1 R = ( y + z) dx + ( y x + z) dy + ( x y + z) dz = z x 4dydz + dxdz dxdy y s gdzie jest trójkątem wyciętym z płaszczyzny x + y + 6z = przez płaszczyzny układu dodatnio zorientowanym. 4.6

7 Powierzchnia opisana jest równaniami parametrycznymi x = u, y = v, z = u v oraz (u,v), a obszar opisany jest nierównościami x y 1. x Ponieważ Zatem s 1 r = u 1,,, 7 = r v 1 =, 1, 4dydz + dxdz dxdy = dxdy 7 oraz [ 4,, ] 7 = 4 r r 1 1 = 1 u v,,. 1, 1, 1 dxdy =. 4.. Zadania 4.1. Obliczyć całkę powierzchniową ( y z) dydz + ( z x) dxdz + ( x y) dxdy, gdy: a) jest górną strona powierzchni koła x + y 1, z =, b) jest wewnętrzną stroną powierzchni stożka x + y = z znajdującą się między płaszczyznami z = i z = H. 4.7

8 4.. Obliczyć całki powierzchniowe: a) ydydz + xdxdz + zdxdy, b) xzdydz + xydxdz + yzdxdy, gdy jest górną stroną trójkąta wyciętego z płaszczyzny x y + z = 1 przez płaszczyzny układu, 4.. Obliczyć całki powierzchniowe: a) dydz + dxdz + 6 zdxdy, gdy jest górną stroną trójkąta o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(,,1), b) xdydz + ydxdz zdxdy, gdy jest zewnętrzną stroną powierzchni z = 1 x y leżącą nad płaszczyzną OXY, c) d) xdydz, gdy jest zewnętrzną stroną powierzchni 4x + y + 4z = 4 dla x >, y >, z >, y dxdz, gdy jest wewnętrzną stroną powierzchni x 9 y z 4 = 1 dla y > orzystając z twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczyć całkę xdydz + ydxdz + zdxdy, gdy jest: a) wewnętrzną stroną powierzchni x + y + z = R, 4.8

9 b) zewnętrzną stroną sześcianu ograniczonego płaszczyznami x =, x = 1, y =, y = 1, z =, z = 1, c) wewnętrzną stroną ostrosłupa ograniczonego płaszczyzną x + y + z = 1 i płaszczyznami układu orzystając z twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczyć całkę a) ( xy + z ) dydz + ( xz y ) dxdz + ( 6z xy)dxdy, gdy jest zewnętrzną stroną x + y + z = R, b) xdydz + 4 ydxdz + zdxdy, gdy jest wewnętrzną stroną obszaru ograniczonego powierzchnią z = x + y i płaszczyzną z = 1, c) ( z + y ) dydz + xzdxdz + ( y x )dxdy, gdy jest zewnętrzną stroną powierzchni z = x + y 4 leżącej poniżej płaszczyzny OXY orzystając z twierdzenia tokesa obliczyć całkę: + dz, gdzie jest dodatnio a) ( x z) dx + ( x + y + z) dy + ( 1 y) zorientowaną krawędzią trójkąta o wierzchołkach A(1,, ), B(, 1, ), C(,, 1), b) yzdx + xzdy + xydz, gdzie jest ujemnie zorientowanym okręgiem x + y = 4, z = 1, 4.9

10 x c) e dx + z( x + y ) dy + yz dz, gdzie jest ujemnie zorientowaną krawędzią przecięcia powierzchni z = x + y płaszczyznami x =, y =, x =, y =