Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Transkrypt

1 Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z f(x, y)}, pole = 3.Masa M łuku gładkiego o gęstości liniowej masy λ M = λ(x, y, z)dl f(x, y)dl 4. Moment statyczny MS x łuku R 2 względem osi Ox MS x = yλ(x, y)dl 5. Moment bezwładności I x łuku R 2 względem osi Ox I x = y 2 λ(x, y)dl 6.Współrzędne środka masy łuku R 2 (x m, y m ) = ( MS y M, MS x M ) 7. Moment statyczny MS xy łuku R 3 względem płaszczyzny xoy MS xy = zλ(x, y, z)dl 8.Współrzędne środka masy łuku R 3 (x m, y m, z m ) = ( MS yz M, MS xz M, MS xy M ) 9. Moment bezwładności I x łuku R 3 względem osi Ox I x = (y 2 + z 2 )λ(x, y, z)dl 10. Moment bezwładności I x łuku R 3 wzg.punktu (0,0,0) I O = (x 2 + y 2 + z 2 )λ(x, y, z)dl 1

2 CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA efinition 1 Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec nazywamy łukiem zorientowanym. Łuk o orientacji przeciwnej do łuku oznaczamy. Jeśli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją. Twierdzenie 1 a)jeśli 1. łuk = {(x(t), y(t)), t [a, b]} jest niezamknięty i gładki; 2. orientacja jest zgodna z jego parametryzacją; 3. Pole wektorowe F = (P, Q) jest ciągłe na łuku to b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)]dt a podobnie b) Jeśli 1. łuk = {(x(t), y(t), z(t)), t [a, b]} jest niezamknięty i gładki; 2. orientacja jest zgodna z jego parametryzacją; 3. Pole wektorowe F = (P, Q, R) jest ciągłe na łuku to P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = b a [P (x(t), y(t), z(t))x (t)+q(x(t), y(t), z(t))y (t)+r(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt. W notacji wektorowej dwa ostatnie wzory mają postać: F ( )r d r = b a [ F ( r(t) ) r (t)dt] Twierdzenie 2 ( całka krzywoliniowa z pola potencjalnego) Jeśli 1. pole wektorowe F = (P, Q, R) jest ciągłe na obszarze V R 3 2. pole wektorowe F jest potencjalne na V z potencjałem U to P (x, y, z)dx+q(x, y, z)dy+r(x, y, z)dz = U(x 2, y 2, z 2 ) U(x 1, y 1, z 1 ) gdzie jest dowolnym zorientowanym, kawałkami gładkim łukiem o poczatku w punkcie (x 1, y 1, z 1 ) i końcu w punkcie (x 2, y 2, z 2 ) całkowicie zawartym w obszarze V. 2 efinition 2 (znak orientacji) Niech będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym w R 2, bez

3 samoprzecięć,tzw.krzywą Jordana. Mówimy,że orientacja łuku jest dodatnia względem wnętrza, jeśli podczas ruchu po w kierunku jego orientacji, odszar leży po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że orientacja łuku jest ujemna. Twierdzenie 3 ( wzór Greena) Jeśli 1.obszar domknięty R 2 jest normalny względem obu osi układu współrzędnych, 2.łuk zamknięty, który jest brzegiem jest zorientowany dodatnio, 3.pole wektorowe F = (P, Q) jest różniczkowalne w sposób ciagły na to P dx + Qdy = ( Q x P y )dxdy Wniosek W polu potencjalnym całka krzywoliniowa zorientowana po łuku zamkniętym kawałkami gładkim wynosi zero. 3 efinition 3 P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz nazywamy cyrkulacją pola F = (P, Q, R) po łuku zamkniętym. Zastosowania całki krzywoliniowej zorientowanej 1.o obliczania pól obszaru: 1dxdy = xdy = ydx = ( 1 2 xdy 1 2 ydx) 2.Praca wykonana w polu wektorowym F = (P, Q, R) po łuku W = P dx + Qdy + Rdz = F d r CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA efinition 1 Niech będzie zbiorem normalnym na płaszczyżnie oraz r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) będzie funkcja ciągłą i różnowartościową na R 2 to = { r(u, v), (u, v) } nazywamy płatem powierzchniowym Jeśli r(u, v) jest różniczkowalna w sposób ciągły na i r u r v 0 to

4 4 nazywamy płatem powierzchniowym gładkim Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych. 1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt (x 0, y 0, z 0 ) i rozpięta na wektorach a = [a 1, a 2, a 3 ] i b = [b 1, b 2, b 3 ] x = x 0 + ua 1 + vb 1 y = y 0 + ua 2 + vb 2, (u, v) R 2 z = z 0 + ua 3 + vb 3 2. Sfera (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2 ma przedstawienie parametryczne: x = x 0 + r cos u cos v y = y 0 + r sin u cos v z = z 0 + r sin v, u [0, 2π], v [ π, π] Powierzchnia walca x 2 + y 2 = r 2 gdzie 0 z H ma przedstawienie parametryczne: x = r cos u y = r sin u, u [0, 2π], v [0, H]. z = v 4. Powierzchnia stożka z = c x 2 + y 2 gdzie x 2 +y 2 r 2 ma przedstawienie parametryczne: x = v cos u y = v sin u, u [0, 2π], v [0, r]. z = cv

5 5. Powierzchnia paraboloidy z = c(x 2 + y 2 ) gdzie x 2 + y 2 r 2 ma przedstawienie parametryczne: x = v cos u y = v sin u, u [0, 2π], v [0, r]. z = cv 2 5 Twierdzenie 1 Pole płata powierzchniowego gładkiego wyraża się wzorem = r u r v dudv. Jeśli płat gładki jest wykresem funkcji z = z(x, y) to powyższy wzór ma postać: = 1 + ( z x )2 + ( z y )2 dxdy. Twierdzenie 2 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną) Jeżeli 1.obszar R 2 jest regularny; 2.płat = { r(u, v), (u, v) } jest gładki; 3.funkcja f : R jest ciągła to f(x, y, z)ds = f( r(u, v)) r u r v dudv. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcji z = z(x, y) to powyższy wzór ma postać: f(x, y, z)ds = f(x, y, z(x, y)) 1 + ( z x )2 + ( z y )2 dxdy. Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych 1. o obliczania pola płata. 2. Masa M płata powierzchniowego o gęstosci powierzchniowej masy σ(x, y, z) wyraża sie wzorem M = σ(x, y, z)ds

6 3. Moment statyczny MS xy płata o gęstości σ(x, y, z) względem płaszczyzny xoy wyraża się wzorem MS xy = zσ(x, y, z)ds 4. Wspólrzędne środka masy płata o gęstości σ(x, y, z) to x 0 = MSyz,, y M 0 = MSxz,,z M 0 = MSxy. M 5. Moment bezwładności płata o gęstości σ(x, y, z) względem prostej Ox wyraża sie wzorem I x = (y 2 + z 2 )σ(x, y, z)ds. 6. Moment bezwładności płata o gęstości σ(x, y, z) względem punktu (0,0,0) wyraża sie wzorem I O = (x 2 + y 2 + z 2 )σ(x, y, z)ds. 6 CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA efinition 1 Płat powierzchniowy dwustronny na którym wyróżniono jedną ze stron nazywamy płatem zorientowanym. Wyróżnioną stronę płata nazywamy strona dodatnią. la płatów zamkniętych za stronę dodatnią przyjmujemy jego stronę zewnętrzną. la płatów będacych wykresami funkcji z = z(x, y), y = y(x, z), x = x(y, z) za stronę dodatnią przyjmujemy górną stronę płata. Wersor normalny n do płata gładkiego = { r(u, v), (u, v) } w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) wyraża się wzorem n = ± r r u v r r u v gdzie pochodne cząstkowe obliczamy w punkcie (u 0, v 0 ), a znak przed n ustalamy na podstawie orientacji płata. Jeśli płat jest wykresem funkcji z = z(x, y) to wektor normalny w (x 0, y 0, z 0 ) ma postać i wtedy wersor nomalny n = v v. v = ( z x (x 0, y 0 ), z y (x 0, y 0 ), 1)

7 Całką powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F = (P, Q, R) po gładkim płacie zorientowanym definiujemy wzorem P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = = F (r) n(r)ds 7 Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej zorietowanej na całkę podwójną) Jeśli = { r(u, v), (u, v) } jest gładkim płatem zorientowanym, gdzie jest obszarem regularnym na R 2, i pole wektorowe F = (P, Q, R) jest ciągłe na płacie to F (r) n(r)ds = ± F (r) ( r u r v )dudv Jeśli jest wykresem funkcji z = z(x, y) to P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = ( = P (x, y, z(x, y)) z Q(x, y, z(x, y)) z + R(x, y, z(x, y))dxdy x y efinition 2 Jeśli pole wektorowe F = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze V R 3 to dywergencją pola wektorowego F nazywamy funkcję divf = P x + Q y + R z Twierdzenie 2 (twierdzenie Gaussa) Jeśli = { r(u, v), (u, v) } jest kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V R 3, pole wektorowe F = (P, Q, R) jest rózniczkowalne w sposób ciagły na obszarze V to F (r) n(r)ds = divf dv. V

8 Twierdzenie 3 (wzór Stokesa) Jeśli = { r(u, v), (u, v) } jest kawałkami gładkim płatem zorientowanym, którego brzeg jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją i pole wektorowe F = (P, Q, R) jest rózniczkowalne w sposób ciagły na to F d r = (rotf ) ds Wzór Stokesa po rozwinięciu ma postać P dx+qdy+rdz = ( R y Q z )dydz+( P z R x )dxdz+( Q x P y )dxdy Niektóre zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych 1.Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym zorientowanym na zewnątrz wynosi V = zdxdy = xdydz = ydxdz = 1 xdydz+ydxdz+zdxdy 3 8