Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
|
|
- Bogna Seweryna Witkowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki podwójne str. 1/46
2 Podział prostokata Podziałem prostokatap nazywamy zbiór n złożony z prostokątówp 1,P 2,...,P n, które całkowicie wypełniają prostokąt P oraz mają parami rozłączne wnętrza (tzn.(intp i ) (intp j )=, dlai j). d y P 2 P 3 P k y k c a P 1 x k b x Całki podwójne str. 2/46
3 Oznaczenia w definicji całki po prostokacie x k, y k - wymiary prostokątap k, gdzie1kn; d k = ( x k ) 2 +( y k ) 2 - długość przekątnej prostokątap k, gdzie1kn; δ( n )=max 1kn d k - średnica podziału n ; A={A 1 (x 1,y 1),A 2 (x 2,y 2),...,A n (x n,y n)}, gdzie A k (x k,y k ) P k dla1kn,a-zbiór punktów pośrednich podziału n. Całki podwójne str. 3/46
4 Suma całkowa funkcji po prostokacie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostokąciep oraz niech n będzie podziałem tego prostokąta, aazbiorem punktów pośrednich. Suma całkowa funkcjif odpowiadajac a podziałowi n oraz punktom pośrednimanazywamy liczbę n k=1 f(x k,y k) ( x k ) ( y k ). Całki podwójne str. 4/46
5 Suma całkowa funkcji po prostokacie Uwaga: Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej wykresem funkcjiz=f(x,y) 0leżącym nad prostokątemp oraz płaszczyznaxoy przez objętości prostopadłościanów o podstawachp k i wysokościachf(x k,y k ), dla1 k n. Całki podwójne str. 5/46
6 Całki podwójne po prostokacie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostokąciep. Całkę podwójna funkcjif po prostokaciep definiujemy wzorem P f(x,y)dxdy def = lim δ( n ) 0 n k=1 f(x k,y k) ( x k ) ( y k ), o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału n prostokątap ani od sposobu wyboru punktów pośrednicha. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowalna na prostokaciep. Całki podwójne str. 6/46
7 Całki podwójne po prostokacie Całkę podwójną z funkcjif po prostokąciep oznaczamy też symbolem: P f(x,y)dp. Całka podwójna po prostokącie jest uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale. Całki podwójne str. 7/46
8 Twierdzenie o całkowalności funkcji ciagłych: Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna. Twierdzenie o liniowości całki: Niech funkcjef ig będą całkowalne na prostokąciep oraz niech α,β R. Wtedy P [αf(x,y)+βg(x,y)]dxdy=α P f(x,y)dxdy+β P g(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 8/46
9 Twierdzenie o addytywności całki względem obszaru całkowania Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostokąciep, to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokątyp 1 ip 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość P f(x,y)dxdy= P 1 f(x,y)dxdy+ P 2 f(x,y)dxdy. Całki podwójne str. 9/46
10 Twierdzenia o zamianie całki podwójnej na całkę iterowana Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostokącie P= a,b c,d, to P f(x,y)dxdy= b a [ d c f(x,y)dy ] dx = d c [ b a f(x,y)dx ] dy. Całki podwójne str. 10/46
11 Całkę iterowaną b a [ d c f(x,y)dy ] dx możemy zapisywać umownie b a dx d c f(x,y)dy. Podobną umowę możemy przyjąć dla drugiej całki iterowanej, tzn. d c [ b a f(x,y)dx ] dy= d c dy b a f(x,y)dx. Całki podwójne str. 11/46
12 Przykład NiechP= Obliczyć P π 4,π 4 0, π. 4 sin(x+y)dxdy. Całki podwójne str. 12/46
13 Całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych Jeżeli funkcjaf jest funkcją postacif(x,y)=g(x) h(y), gdzieg ihsą ciągłe odpowiednio na przedziałach a,b i c,d, to P g(x) h(y)dxdy= b a g(x)dx d c h(y)dy. Całki podwójne str. 13/46
14 Przykład NiechP= 0,1 1,1. Obliczyć P e x+y dxdy. Całki podwójne str. 14/46
15 Całki podwójne po obszarach Niechf będzie funkcją określoną i ograniczoną w obszarze ograniczonymd R 2 oraz niechp będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszarp. Ponadto niechf oznacza rozszerzenie funkcjif nap określone wzorem: f (x,y) def = f(x,y), dla(x,y) D, 0, dla(x,y) P\D. Całki podwójne str. 15/46
16 Całki podwójne po obszarach Całkę podwójna funkcjif po obszarzed definiujemy wzorem: f(x,y)dxdy def = f (x,y)dxdy, D P o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowana w obszarzed. Całka P f (x,y)dxdy nie zależy od wyboru prostokątap. Całki podwójne str. 16/46
17 Obszary normalne względem osi układu 1 Obszar domkniętyd nazywamy obszarem normalnym względem osiox, jeżeli można go zapisać w postaci: D={(x,y): a xb g(x) y h(x)}, gdzie funkcjeg ihsą ciągłe na a,b, przy czymg(x)<h(x) dlax (a,b). Całki podwójne str. 17/46
18 Obszary normalne względem osi układu 2 Obszar domkniętyd nazywamy obszarem normalnym względem osioy, jeżeli można go zapisać w postaci: D={(x,y): c y d p(y) xq(y)}, gdzie funkcjepiq są ciągłe na c,d, przy czymp(y)<q(y) dlay (c,d). Całki podwójne str. 18/46
19 Przykład ObszarDograniczony krzywymiy=0,x=2 iy=x 2 jest obszarem normalnym zarówno względem osiox jak również względem osioy. ObszarDograniczony krzywymiy= 1,y=1, x=2 1 y 2 ix= 1 y 2 1 jest obszarem normalnym względem osioy. Całki podwójne str. 19/46
20 Całki iterowane po obszarach normalnych Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze domkniętym D={(x,y): a xb g(x) y h(x)} normalnym względem osiox, to D f(x,y)dxdy= b a [ h(x) g(x) f(x,y)dy ] dx. Całki podwójne str. 20/46
21 Całki iterowane po obszarach normalnych Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze domkniętym D={(x,y): c y d p(y) xq(y)} normalnym względem osioy, to D f(x,y)dxdy= d c [ q(y) p(y) f(x,y)dx ] dy. Całki podwójne str. 21/46
22 Przykład NiechD={(x,y): y x y 3x x 2 }. ( Obliczyć x 2 xy ) dxdy. D Całki podwójne str. 22/46
23 Obszar regularny na płaszczyźnie Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem osi układu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Całki podwójne str. 23/46
24 Całka po obszarze regularnym Niech obszar regularnyd=d 1 D 2... D n i intd i intd j =, dlai j oraz niech funkcjaf będzie całkowalna nad. Wtedy D f(x,y)dxdy= D 1 f(x,y)dxdy+ + D 2 f(x,y)dxdy+...+ D n f(x,y)dxdy. Całki podwójne str. 24/46
25 Przykład NiechD={(x,y): xy 1 x y 1}. Obliczyć D xydxdy. Całki podwójne str. 25/46
26 Wartość średnia funkcjif w obszarzed Wartościa średnia funkcjif na obszarzed nazywamy liczbę def fśr = 1 D D f(x,y)dxdy, gdzie D oznacza pole obszarud. Wartość średnia funkcjif w obszarzed jest równa wysokości walca o podstawied, który ma tę samą objętość co bryłav. Całki podwójne str. 26/46
27 Wartość średnia funkcjif w obszarzed Przykład. Wysokość nad poziomem morza pewnego terenu jest opisana wzoremw(x,y)=20+sinxcos2y, gdzie (x,y) 0,π π 2,π. Oblicz średnie wzniesienie tego 2 terenu. Twierdzenie: Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze normalnym D, to w tym obszarze istnieje punkt(x 0,y 0 ), taki że fśr =f(x 0,y 0 ). Całki podwójne str. 27/46
28 Przekształcenia obszarów na płaszczyźnie Niech R 2 id R 2 będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach U OV i XOY. Przekształceniem obszaru wobszard nazywamy funkcję F: D określoną wzorem gdzie(u,v). (x,y)=f(u,v)=(ϕ(u,v),ψ(u,v)), F( ) def ={(x,y):x=ϕ(u,v) y=ψ(u,v) (u,v) }F( )- obraz zbioru. Jeżeli funkcjeϕ,ψ są ciągłe na obszarze, to przekształcenief nazywamy ciagłym. Jeżeli różnym punktom obszaru odpowiadają różne punkty jego obrazud, to przekształcenief nazywamy różnowartościowym. Całki podwójne str. 28/46
29 Przekształcenia obszarów na płaszczyźnie J F (u,v)= ϕ u (u,v) ϕ v (u,v) ψ u (u,v) ψ v (u,v) - jakobian przekształceniaf. Twierdzenie: Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym jest również obszarem. Przykład: NiechF(u,v)=(u+v,u v) i ={(u,v):0 u1 2 v 4}. Całki podwójne str. 29/46
30 Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Niech przekształcenief odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnegod, funkcjeϕ,ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar, funkcjaf będzie ciągła na obszarzed, J F (u,v) 0, dla(u,v) int. Wtedy f(x,y)dxdy= f(ϕ(u,v),ψ(u,v)) J F (u,v) dudv. D Całki podwójne str. 30/46
31 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywymi2x+y=2, 2x+y=3,x y= 1 ix y=1. Obliczyć D (x+y)dxdy. Całki podwójne str. 31/46
32 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych Położenie punktua(x,y) na płaszczyźnie można opisać parą liczb (ϕ, ), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między dodatnią częścią osiox a promieniem wodzącym punktua,0ϕ<2π lub π<ϕπ, oznacza odległość punktuaod początku układu współrzędnych,0 <. Parę liczb(ϕ, ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. Całki podwójne str. 32/46
33 Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi B: x= cosϕ y= sinϕ PrzekształcenieB, które każdemu punktowi(ϕ, ) przyporządkowuje punkt(x,y) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem biegunowym. Jakobian przekształcenia biegunowegoj B =. Całki podwójne str. 33/46
34 Twierdzenie - współrzędne biegunowe w całce podwójnej Niech obszar we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym funkcjaf będzie ciągła na obszarzed, który jest obrazem obszaru przy przekształceniu biegunowym, tzn.d=b( ). Wtedy f(x,y)dxdy= f( cosϕ, sinϕ) d dϕ. D Całki podwójne str. 34/46
35 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywąx 2 +y 2 =1. Obliczyć D ln(1+x 2 +y 2 )dxdy. Całki podwójne str. 35/46
36 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywąx 2 +y 2 =2. Obliczyć D e (x2 +y 2) dxdy. Całki podwójne str. 36/46
37 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Pole obszaru Pole obszaru regularnegod R 2 wyraża się wzorem: D = D dxdy. Całki podwójne str. 37/46
38 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Objętość bryły Objętość bryłyv położonej nad obszarem regularnymd R 2 i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciągłych z = d(x, y) i z = g(x, y) wyraża się wzorem: V = D [g(x,y) d(x,y)]dxdy. Całki podwójne str. 38/46
39 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Pole płata Pole płataσ, który jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie (x, y) D wyraża się wzorem: Σ = D 1+( f x ) 2 + ( ) f 2 dxdy. y Całki podwójne str. 39/46
40 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Masa obszaru Masa obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyraża się wzorem: M= D ρ(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 40/46
41 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Momenty statyczne Momenty statyczne względem osiox ioy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: MS x = D yρ(x, y)dxdy, MS y = D xρ(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 41/46
42 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: x C = MS y M, y C = MS x M. Całki podwójne str. 42/46
43 Momenty bezwładności Momenty bezwładności względem osiox,oy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: I x = D y 2 (x,y)dxdy, I y = D x 2 (x,y)dxdy. Całki podwójne str. 43/46
44 Moment bezwładności względem punktuo(0,0) Moment bezwładności względem punktuo(0,0) obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyraża się wzorem: I O = D (x 2 +y 2 ) (x,y)dxdy. Całki podwójne str. 44/46
45 Podsumowanie Całki podwójne po prostokącie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Całki podwójne str. 45/46
46 Dziękuję za uwagę ;) Całki podwójne str. 46/46
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoCałki potrójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki potrójne Całki potrójne po prostopadłościanie. Całki potrójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych. Zastosowania całek potrójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe
Całki powierzchniowe Całki powierzchniowe niezorientowane. Całki powierzchniowe zorientowane. Elementy analizy wektorowej. Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego oraz tokesa. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki podwójne i potrójne
Rchunek cłkowy funkcji wielu zmiennych Cłki podwójne i potrójne wykłd z MATEMATYKI Automtyk i Robotyk studi stcjonrne sem. II, rok k. 2009/2010 Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki olitechnik Biłostock 1 Cłki
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej
Elementy analizy wektorowej Całki krzywoliniowe wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej
Elementy analizy wektorowej Całki powierzchniowe wykład z MATEMATKI Automatyka i robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (wykład 14; )
Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowo1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Zad.1 Całkę podwójną przez: a) y =, y =, = 1; b) y =, y =, y = 1; c) y =, y = 1, y = 5; d) y = ln, y = + 1, y = 1; e) y = ln, = e, y = 1;
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoWykład 11. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011
Wykład 11. Matematyka 2, semestr letni 21/211 Uwaga! Notatki dotyczące całki Riemanna nie będą zawierały szczegółowych rozwiązań wszystkich przykładów. Wykład11.poświęconyjestcałceRiemannana R n.jakzwyklenajczęściejpracowaćbędziemyna
Bardziej szczegółowoMatematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK205 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK203 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Matematyka II
24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-0530 Analiza Matematyczna II Calculus II
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-ZIP-0530 Analiza Matematyczna II Calculus II A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka Mathematics. Inżynieria bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Matematyka Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Poziom kształcenia
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo