H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

Transkrypt

1 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku tego prostokąt orz 90 Udowodnij, że I sposó rozwiązni Przedłużmy odinki i do przeięi w punkie G G Trójkąty i G są przystjąe (o są prostokątne, kąty i G są równe, gdyż są wierzhołkowe orz ), skąd G Ztem trójkąty i G są przystjąe (o są prostokątne, jest ih wspólną przyprostokątną i przyprostokątne i G mją tę smą długość) Ztem, o końzy dowód II sposó rozwiązni Przedłużmy odinki i do przeięi w punkie G G Trójkąty i G są przystjąe (o są prostokątne, kąty G i są równe, gdyż są wierzhołkowe orz ), skąd G orz G Prost jest wię symetrlną odink G Ztem G Trójkąt G jest wię równormienny, zyli G To końzy dowód

2 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony III sposó rozwiązni Przyjmijmy oznzeni, jk n rysunku x G Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię Ztem trójkąty i są podone, skąd, zyli x Stąd x Z twierdzeni Pitgors dl trójkątów i otrzymujemy Ztem Stąd otrzymujemy orz x 4 x os orz G x os Nstępnie os os 1 os, zyli, o nleżło udowodnić IV sposó rozwiązni Przyjmijmy oznzeni, jk n rysunku

3 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 3 x G Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię Ztem trójkąty i są podone, skąd, zyli x Stąd x Z trójkątów i G otrzymujemy tg orz tg x tg Zuwżmy, że tg tg, zyli 1 tg 1 To nleżło udowodnić V sposó rozwiązni Oznzmy Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię Ztem trójkąty i są podone, skąd ,

4 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 4 le, wię To oznz, że stosunki długośi przyprostokątnyh w trójkąth i są równe, o z kolei dowodzi, że trójkąty i są podone Stąd otrzymujemy równość kątów To nleżło udowodnić VI sposó rozwiązni Ten sposó jest w zsdzie niewielką modyfikją poprzedniego sposou Przyjmijmy oznzeni jk n rysunku x Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię Ztem trójkąt jest podony do trójkąt w skli k Z twierdzeni Pitgors dl trójkątów i otrzymujemy orz k Stąd wynik, że Olizmy stosunek długośi przyprostokątnej do długośi przyprostokątnej w trójkąie 4 4 Otrzymny stosunek jest równy stosunkowi długośi przyprostokątnej do długośi przyprostokątnej w trójkąie, o oznz, że te dw trójkąty są podone Stąd otrzymujemy równość kątów, o włśnie nleżło udowodnić VII sposó rozwiązni Nieh,, x,,, jk n rysunku

5 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 5 x Korzystją ztery rzy z twierdzeni Pitgors kolejno dl trójkątów,, i otrzymujemy, x, 4 x Z dwóh osttnih równośi otrzymujemy kolejno: W trójkąie prostokątnym mmy W trójkąie mmy ntomist i 4 x x, x x x, x, x tg 4 x tg Ztem skoro tg tg i kąty są ostre, to, zyli To końzy dowód VIII sposó rozwiązni Nieh,, x,,, jk n rysunku x Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię

6 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 6 W trójkąie mmy os, skąd os W trójkąie mmy sin, skąd sin W trójkąie mmy os sin tg tg os sin Ztem skoro tg tg i kąty są ostre, to, zyli To końzy dowód IX sposó rozwiązni Umieśćmy prostokąt w ukłdzie współrzędnyh jk n rysunku i nieh 0,0,,,,0, gdzie 0 y 0 x Wtedy,, prost m równnie posti y x Ztem prost prostopdł do prostej i przehodzą przez punkt m równnie posti y x Prost t przein prostą o równniu y w punkie, którego współrzędne olizymy rozwiązują ukłd równń y x i y Porównują prwe strony tyh równń, otrzymujemy x, x,

7 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 7 x, x Ztem współrzędne punktu są równe, Współzynnik kierunkowy prostej jest równy, zyli tg Zuwżmy terz, że tg, wię 3 3 tg = = = = = tg że, o nleżło udowodnić To oznz, X sposó rozwiązni Umieśćmy prostokąt w ukłdzie współrzędnyh jk n rysunku i nieh 0,0,,,,0, gdzie 0 y 0 x Wtedy punkt m współrzędne, Wyznzmy njpierw współrzędne punktu Możemy to zroić dwom sposomi Pierwszy poleg n wyznzeniu równni prostej, wyznzeniu równni prostej, nstępnie rozwiązniu ukłdu równń liniowyh Prost równnie posti y x Ztem prost prostopdł do prostej i przehodzą przez punkt m równnie posti y x Prost t przein prostą o równniu y w punkie Współrzędne tego punktu olizymy rozwiązują ukłd równń y x i y

8 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 8 Porównują prwe strony tyh równń, otrzymujemy x, Ztem współrzędne punktu są równe x, x, x, rugi sposó poleg n wykorzystniu ilozynu sklrnego wektorów Nieh x, Wówzs Poniewż, wię 0, orz x,, zyli x x 0, x 0, x,, 0 Ztem Współrzędne punktu są wię równe, Terz skorzystmy ze wzoru n osinus kąt między wektormi Mmy ługośi tyh wektorów są równe u,0, v,, w,, u 0, v, w Nstępnie olizmy orz,0, u v os u v

9 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 9 v w,, os v w Skoro os os, wię, zyli To końzy dowód XI sposó rozwiązni Zuwżmy, że punkty,, i leżą n jednym okręgu, gdyż 90 Nstępnie zuwżmy, że (są to kąty wpisne oprte n łuku ) Trójkąty i są przystjąe, gdyż, 90orz (eh K) Ztem, o końzy dowód XII sposó rozwiązni Przyjmijmy oznzeni, jk n rysunku x x Trójkąt jest prostokątny, wię 90, kąt jest prosty, wię Ztem trójkąty i są podone, skąd Stąd x Pole prostokąt jest równe, zyli x P

10 H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 10 Pol trójkątów, i są ntomist równe 1 P, P x, 3 1 P x Pole trójkąt jest ztem równe P P P P P Z drugiej strony pole trójkąt jest równe 1 P sin ługośi odinków i są równe wię Otrzymujemy ztem x 4, 1 P sin sin, sin, sin, sin Z trójkąt mmy ntomist sin Skoro sin sin, kąty i są ostre, wię, zyli To końzy dowód