x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
|
|
- Julian Niewiadomski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej, spełnia równanie Zad. 4. Wyznaczyć dziedzinę funkcji x z z + y x y = z, f(x, y) = ln(x3y ) y x, Zad. 5. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 6y, Zad. 6. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = 5x + 7y, Zad. 7. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x y3 xy, Zad. 8. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x + y, Zad. 9. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = y x y + 6y + 8 x, Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = +y+x y ey, Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = sin x sin y sin (x + y), w zbiorze D = (, π) (, π), Zad.. Zbadać ekstrema lokalne funkcji f(x, y, z) = x + y + z + xy 4y + z. Zad. 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji (a) f(x, y) = 3 ln x + ln y + ln( x y) 6 (b) f(x, y) = e x (x + y ) (c) f(x, y) = ln(xy) + x y + 3 (d) f(x, y) = (x y ) ln x (e) f(x, y) = e x y (x 3y ) (f) f(x, y) = (y + ) + (y x) (g) f(x, y) = x 3 + 3xy + xy (h) f(x, y) = y x y x + 6y (i) f(x, y) = x + y3 3 y xy + 6y (j) f(x, y) = sin x + cos y + cos (x y) dla (x, y) (, π) (, π). Zad. 4. Obliczyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu dla funkcji uwikłanej y określonej równaniem x + xy y = a.. Całka oznaczona i całki wielokrotne.. Całka oznaczona - zadania podstawowe. Zad.. Obliczyć całkę oznaczoną Zad.. Obliczyć całkę oznaczoną Zad. 3. Obliczyć całkę oznaczoną 9 Zad. 4. Obliczyć całkę ln 5 Zad. 5. Zbadać zbieżność całki ln 3 π ex dx. 3xe x dx. sin x dx. + dx. x dx. x +4
2 Zad. 6. Obliczyć całkę niewłaściwą Zad. 7. Obliczyć całkę niewłaściwą 9 Zad. 8. Obliczyć całkę dx. x +x+ dx. +x x dx... Pole między krzywymi. Zad.. Obliczyć pole ograniczone krzywymi y = x, y = x. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu y = oraz osią OX. +x Zad. 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =, x [, ], oraz osią OX. +x Zad. 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = a b a x, x [, a], oraz osią OX. Zad. 5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x 3 + x x, x [, ], oraz osią OX. Zad. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x x oraz osią OX. Zad. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = sin 3 x, y = cos 3 x, x [, π]. 4 Zad. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =, x [, ), oraz osią OX. +x 4 Zad. 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x ln x, x (, ] i osią OX. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = x x i prostą y = x, x [, ]. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = x 3, y = 4x. Zad.. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x, x y + 3 =. Zad. 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = ln x i y = ln x. Zad. 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 3 i y = x 5. Zad. 5. Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi y = i y =. x +x+ Zad. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y = x +4x+8 Zad. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego linią y = x +4x+5, y =, dla x [, ]. oraz jej asymptotą, dla x [, ]. Zad. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x = t y = t 3 t3, t [, 3]. Zad. 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = r sin t y(t) = r sin t tg t, t [ π, π ], r >. 6 Zad.. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą x(t) = 3r cos t y(t) = 3r cos t ctg t, t [ π, π ], r >. 6 Zad.. Obliczyć pola powierzchni ograniczonych krzywymi (a) y = cos(x), y = sin(x), x = π, x = π, 4 4 (b) xy =, y = x, y = x (x, y > ), (c) y = x, y = x, (d) x + (y ) = 4, y = x (y x), (e) (x + y ) = (x y ), (f) ( x + ) y 4 9 = x y Długość łuku krzywej. Zad.. Obliczyć długość łuku krzywej x(t) = e t sin t y(t) = e t cos t, t [, π ]. Zad.. Obliczyć długość łuku krzywej y = x, x [, ].
3 3 Zad. 3. Obliczyć długość łuku krzywej y = ln(cos x), x [, π 4 ]. Zad. 4. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x + arc sin x, x [, ]. Zad. 5. Obliczyć długość łuku krzywej Zad. 6. Obliczyć długość łuku krzywej l : Zad. 7. Obliczyć długość łuku krzywej k : x = t y = t 3 t3, t [, 3]. x(t) = e t cos t y(t) = e t ln, t [, sin t ]. x = a(cos t + t sin t) y = a(sin t t cos t), t [, π ]..4. Objętość i pole powierzchni bocznej bryły obrotowej. Zad.. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej y = 3 x3, x [, ]. Zad.. Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej y = x +, x [, ]. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX łuku asteroidy x = cos 3 t y = sin 3 t, t [, π ]. Zad. 4. Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót krzywej y = x x, x [, ], wokół osi OX. Zad. 5. Zbadaj, czy istnieje objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej danej równaniem y = e x x, x. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły, która powstała przez obrót wokół osi OX elipsy x 9 + y 4 =. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = tg x, x [, π ], wokół osi 4 OX. Zad. 8. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = e x sin x, x [, ), wokół osi OX. Zad. 9. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =, x (, ), x +x+ wokół osi OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = xe x, x [ ), wokół osi OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =, x (, x ln ], wokół osi x e OX. Zad.. Obliczyć objętość bryły nieograniczonej powstałej przez obrót krzywej y = x e x wokół osi OX. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = xe x, x, wokół osi OX. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej y =, dla x x y. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = arc tg x, x [, ], wokół osi OX.
4 4.5. Całka podwójna. Zad.. Obliczyć całkę D F (x, y) dxdy, jeżeli (a) F (x, y) = xy, D = (x, y): x, y }, (b) F (x, y) = x ye xy, D = (x, y): x, y }, (c) F (x, y) = e x+y, D = (x, y): x, y }, (d) F (x, y) = x sin(y), D = x (x, y): x, y π (e) F (x, y) =, D = (x, y): x, y }, + y (f) F (x, y) =, D = (x, y): 3 x 4, y }, (x + y + ) (g) F (x, y) = xy, D = (x, y): x a, y b}, (h) F (x, y) = x y cos(xy ), D = (x, y): x π }, y, (i) F (x, y) = x 3 y, obszar D jest kołem x + y R, (j) F (x, y) = x + y, obszar D jest ograniczony parabolami y = x, y = x, (k) F (x, y) = x, obszar D jest ograniczony krzywymi x =, x = y, xy =, y (l) F (x, y) = cos(x + y), obszar D jest trójkątem ograniczonym prostymi x =, y = π, x = y, (m) F (x, y) = x + y, obszar D jest trójkątem ograniczonym prostymi x =, y =, x + y = 6. Zad.. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć następujące całki po obszarach ograniczonych wskazanymi krzywymi (a) e (x +y ) dxdy, obszar D : x + y =, D (b) y dxdy, obszar D : x + y = 4, x + y =, x = y, y = (y ), D (c) D (x + y ) dxdy, obszar D : x + y = 4, x =, y = (x, y ), (d) x dxdy, obszar D : x + (y ) =, y = x, (x y), D (e) D x + y dxdy, obszar D : (x +y ) 4x(x +y ) = 4y, x +y = 4 (x ), (f) x x + y dxdy, obszar D : (x + y ) = x y, x = (x ). D Zad. 3. Obliczyć całkę (x + y )dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą D x + y = 6x. Zad. 4. Obliczyć (x + y)dxdy, gdzie D = (x, y) R : x + y x }. D x xy e +y Zad. 5. Obliczyć dxdy, gdzie D = (x, y) : x + y 4, y x }. D x + y Zad. 6. Obliczyć xydxdy, gdzie D = (x, y) : x + y x}. D Zad. 7. Obliczyć ln(x + y )dxdy, gdzie D = (x, y) : r x + y R }, r, R >. D Zad. 8. Obliczyć arc tg y x dxdy, gdzie D = (x, y) : 4 x + y 6, x y, y x}. D Zad. 9. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem x + y = 4 ze sfery x + y + z = Całka potrójna. Zad.. Obliczyć objętości brył ograniczonych wskazanymi powierzchniami },
5 (a) x + y + z = 9, x + y =, (b) z = x + y, z =, x + y =, x + y = 9, (c) z = 4 x y, z =, (d) z = e y x, x + y =, x =, y =, z = (x + y ), (e) z = 9 x, z =, y = 3x, (f) z = x + y, z = x + y, z =. Zad.. Obliczyć całkę (xy+x)dxdydz, gdzie obszar V jest czworościanem o wierzchołkach V A(,, ), B(,, ), C(,, 3), D(,, ). Zad. 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, x + y = 4 dla z. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 8 x y + z, z = + x + y, x + y =, x =, y =, dla x + y, x, y. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły określonej warunkami x + y + z 9, x + y 4, z. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y + 4, z = 6 x + y. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : x + y + z 4, x + y 3z}. Zad. 8. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : x + y + z 8, z x + y }. Zad. 9. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : y, x + y, z arc tg x + y }. Zad.. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : z 5 x y, z 3x + 3y, z x + y }. Zad.. Obliczyć objętość bryły określonej warunkami z 9 x y, 4x + y, z. Zad.. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = + x + y, z = 9 x y. Zad. 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, x + y = 4, dla z. Zad. 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równania x + y + z = z i x + y = z. Zad. 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach x + y + z = 4, x + y = 3z. Zad. 6. Obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) R 3 : 3x + 3y z, 9 x + y + z 5}. Zad. 7. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x + y, z = 6 x y. Zad. 8. Obliczyć całki f(x, y, z) dxdydz, gdzie: V (a) f(x, y, z) = exp(x + y + z), V : x, x y, z x (b) f(x, y, z) =, V : x, y, z x y (3x + y + z + ) 4 (c) f(x, y, z) = x + y, V : x + y 4, x z x; (d) f(x, y, z) = xyz, V : bryła ograniczona powierzchniami y = x, x = y, z = xy, z = (e) f(x, y, z) = x, V : bryła ograniczona płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną przechodzącą przez punkty (,, ), (,, ), (,, 3) Zad. 9. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki: (a) (x + y + z ) dxdydz, V : x + y 4, z, V (b) xyz dxdydz, V : x + y z x y, V (c) (x + y ) dxdydz, V : x + y + z R, x + y + z Rz, V 5
6 6 (d) V (x + y ) dxdydz, V : x + y z. Wprowadzając współrzędne sferyczneobliczyć całki: (a) (x + y + z ) dxdydz, V : 4 x y z, V dxdydz (b) V x + y + z, V : 4 x + y + z 9, (c) (x + y ) dxdydz, V V : x + y z x y, (d) V z dxdydz, V : x + y + (z R) R, (e) x dxdydz, V : x + y + z 4x, V (f) ( x V a + y b + z c )dxdydz, V : x a + y b + z. c Zad.. Obliczyć 4 6 x x+y dy dx. Zad.. Obliczyć Zad.. Obliczyć całki: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) a dx dx dx dx dx e dx b x dy dy dy c x (x + y + z) dz, dz + x + y + z, x y x a dy x x x a x dx e x dy dy dy xyz dz, dz, x y z x + y dz, x y x+y+e e x + y + z dz, ln(z x y) (x e)(x + y e) dz, x +y dz x + y + z dz dy dx. Zad. 3. Obliczyć objętość obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: (a) x + y = 9, x + y + z =, x + y + z = 5, (b) x =, x =, z = 4 y, z = + y, (c) z = + x + y, z =, x + y =, (d) x a + y b = z c, z = c, (e) (x + y + z ) = a 3 z, (a > ).
7 Zad. 4. Dana jest bryła wycięta walcem x +y = Rx z kuli x +y +z = R (bryła Vivianiego). Obliczyć: (a) objętość, (b) pole górnej i dolnej podstawy, (c) pole powierzchni bocznej, (d) położenie środka ciężkości (jednorodnej) bryły Vivianiego. Zad. 5. Obliczyć masę i objętość bryły ograniczonej powierzchniami x + y z = a, z = i z = a >, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej współrzędnej tego punktu i równa jest 4 na płaszczyżnie z = a. 3 Zad. 6. Obliczyć masę bryły zadanej nierównościami x + y 6 i z x + y, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi odległości tego punktu od osi OZ. Zad. 7. Obliczyć masę bryły ograniczonej powierzchniami x + y + z = z i z = x + y, jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Zad. 8. Obliczyć masę i średnią gęstość bryły ograniczonej powierzchniami x y = az, x + y = a i z = (z > ), jeżeli jej gęstość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej współrzędnej tego punktu i największa wartość gęstości równa jest 3. Zad. 9. Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchnią y + z = 4x i płaszczyzną x =. Zad. 3. Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryły ograniczonej paraboloidą z = x + y i płaszczyzną z = 4. Zad. 3. Obliczyć moment statyczny jednorodnej bryły ograniczonej powierzchnią x + y + z = i płaszczyzną z = (z > ) względem tej płaszczyzny. a b c Zad. 3. Obliczyć biegunowy moment bezwładności bryły ograniczonej powierzchnią x + y + z = względem punktu (,, ). a b c 7 Zad.. Obliczyć 3. Całka powierzchniowa i krzywoliniowa xy dydz+yz dxdz+zx dxdy, gdzie jest wewenętrzną stroną powierzchni bryły określonej nierównościami x + y + z 4, x, y, z. Zad.. Obliczyć (xz + yz)ṣ, gdzie jest częścią powierzchni stożkowej z = x + y wyciętej walcem x + y = 4x. Zad. 3. Obliczyć (x + y )dxdz, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni y = a x z odciętej płaszczyną y = a. Zad. 4. Obliczyć pola części powierzchni o równaniu z = f(x, y) odciętych wskazanymi powierzchniami: (a) f(x, y) = 8 (x + y), x =, y =, z = (b) f(x, y) = x + y, x + y = x (c) f(x, y) = 6 (x + y ), z =, z = (d) f(x, y) = (x + y ), x + y = 8 (e) f(x, y) = (x + y ), z = (f) f(x, y) = x + y, z =, z = ; (g) f(x, y) = xy, x + y = R (h) f(x, y) = x a + y b, x a + y b = c. Zad. 5. Obliczyć całkę z d, gdzie jest (a) górną częścią sfery x + y + z = R, R > ;
8 8 (b) częścią powierzchni stożka y + z x = dla x [a, b], b > a > ; a a b (c) częścią płata powierzchniowego danego równaniami parametrycznymi x(u, v) = u cos v, y(u, v) = u sin v, z(u, v) = v dla u [, a], v [, π]. Zad. 6. Obliczyć (x + y + z )d, gdzie jest częścią powierzchni bocznej walca x + y dla z i leżącą w I oktancie. Zad. 7. Obliczyć x(y + z) d, gdzie jest częścią powierzchni bocznej walca x + y dla z. Zad. 8. Obliczyć xz d, gdzie jest częścią płata powierzchniowego danego równaniami x(u, v) = v cos u, y(u, v) = v sin u, z(u, v) = v dla u [, π], v [3, 4]. Zad. 9. Obliczyć z d, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi OZ okręgu (x 3) +z = 4 i leżącą w I oktancie na zewnątrz walca x +y = 6. Zad.. Obliczyć pole części powierzchni stożka z = x + y wyciętej walcem parabolicznym z = py, p >. Zad.. Obliczyć pole części płata powierzchniowego az = x y leżącego w I oktancie między powierzchniami x + y = a i x + y = b, < a < b. Zad.. Obliczyć pole części płaszczyzny x + y + z = wyciętej powierzchniami x + y = x, x = y i y =. Zad. 3. Obliczyć pole części sfery x + y + z = 5 zawartej między płaszczyznami z = 3 i z = 4. Zad. 4. Obliczyć pole części płata powierzchniowego opisanego równaniami parametrycznymi x(u, v) = (+3 cos v) cos u, y(u, v) = (+3 cos v) sin u, z(u, v) = 3 sin v dla u [, π], v [π, π] Zad. 5. Obliczyć przybliżone pole części powierzchni Ziemi zawartej między południkami 6 i 8 W oraz równoleżnikami 45 i 6 N. W zadaniu przyjąć, że Ziemia jest kulą o promieniu R = 637 km. Zad. 6. Obliczyć masę sfery o równaniu x + y + z = 4, jeśli powierzchniowa gęstość masy w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu pierwszej współrzędnej tego punktu. Zad. 7. Wyznaczyć masę płata powierzchniowego = (x, y, z) R 3 : x = y + z 3, x }, jeżeli gęstość w każdym jego punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odległości tego punktu od osi Ox. Zad. 8. Wyznaczyć masę płata powierzchniowego = (x, y, z) R 3 : x + y + z = 4x, x }, jeżeli gęstość masy w każdym jego punkcie jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od płaszczyzny Oyz. Zad. 9. Obliczyć masę części płata powierzchniowego z = 9 y odciętego płaszczyznami x = i x =, jeżeli powierzchniowa gęstość masy w każdym jej punkcie dana jest wzorem ρ(x, y, z) = z(x + y). Zad.. Obliczyć masę części płata powierzchniowego wyciętego walcem x +y = 4 z powierzchni danej równaniem z = xy, jeżeli gęstość w każdym punkcie tej powierzchni jest równa odległości tego punktu od osi Oz. Zad.. Obliczyć masę, moment statyczny M xy oraz moment bezwładności względem osi OZ górnej półsfery x +y +z = R, jeżeli powierzchniowa gęstość masy w każdym punkcie równa jest kwadratowi odległości tego punktu od wertykalnej średnicy sfery. Zad.. Dane jest pole sił F = (P, Q, R), P (x, y, z) = yz, Q(x, y, z) = xz + z, R(x, y, z) = xy + y + z. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać pokonując siły pola wzdłuż łuku AB od punktu A = (,, ) do punktu B = (,, ). Zad. 3. Obliczyć następujące całki:
9 (a) xy dydz + yz dzdx + xz dxdy, gdzie jest trójkątem o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(,, ) zorientowanym tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; (b) x y z dxdy, gdzie jest górną półsferą x + y + z = R zorientowaną tak, że (c) wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; xz dydz + x y dzdx + y z dxdy, gdzie jest częścią powierzchni opisanej równaniami x(u, v) = v cos u, y(u, v) = v sin u, z(u, v) = v dla u ( ), π i v (, ) oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz; (d) xz dydz + x y dzdx + y z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną części walca (e) x + y = położoną w pierwszym oktancie i odciętą płaszczyznami z =, z = ; z dydz x dzdx + y dxdy, gdzie jest częścią płaszczyzny 3x + 6y z = 6 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych i zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 4. Obliczyć całkę xz dxdy, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi Oz okręgu (x ) + z =, leżącą w obszarze x, y, z, x + y 4 oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 5. Obliczyć całkę yz dxdy, gdzie jest częścią powierzchni torusa powstałego w wyniku obrotu wokół osi Oz okręgu (y ) + z =, leżącą w obszarze x, y, z, x + y 4 oraz zorientowaną tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz. Zad. 6. Obliczyć następujące całki: (a) x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną sfery x + y + z = (b) (c) R ; xz dydz+x y dzdx+y z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y =, x =, y =, z =, gdzie x, y ; dydz + dzdx+z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y = 4z 4, x =, y =, z =, gdzie x, y ; (d) 3x dydz dzdx + dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej przez z = x + y, x + y + z = ; (e) (tg z + xyz) dydz + y dzdx + (z + xy) dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną (f) (g) (h) (i) powierzchni bryły ograniczonej przez x + z = 4, y =, y = 8; x y dydz xy dzdx+(x +y )z dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x + y 4, z 5; (x + yz) dydz + (xz + y ) dzdx + xy dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x + y, z ; x y dydz + xy dzdx + xyz dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną części sfery x + y + z = R położoną w pierwszym oktancie; xy dydz +yz dzdx+xz dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną czworościanu ograniczonego płaszczyznami x =, y =, z =, x + y + z = 3. Zad. 7. Korzystając ze wzoru Greena obliczyć e x ( cos y)dx e x (y sin y)dy, gdzie K jest K krzywą ograniczającą obszar D: π < x < π, < y < cos x, zorientowaną dodatnio. 9
10 Zad. 8. Obliczyć Zad. 9. Obliczyć Zad. 3. Obliczyć K xy dy + x ydx, gdzie krzywa K jest okręgiem o równaniu x + y = dodatnio zorientowanym. K (x 3 y)dx + (4x + sin y)dy, gdzie K jest dodatnio zorientowanym okręgiem o równaniu x + y = 6. K xydx + (y + )dy, gdzie krzywa K jest dodatnio skierowanym brzegiem zbioru D = (x, y) R : y x, x }. Zad. 3. Obliczyć e x ( cos y)dx e x ( sin y)dy, gdzie krzywa K jest krzywą zamkniętą K składającą się z y = sin x, x [, π], y =, skierowaną dodatnio. (,4) Zad. 3. Obliczyć całkę krzywoliniową xydx + x dy wzdłuż drogi y = x. (,) Zad. 33. Korzystając z wzoru Greena obliczyć ( x )dx + x( + y )dy, gdzie L jest krzywą L zamkniętą zorientowaną dodatnio składającą się z linii y = x + 4, y =, x =. Zad. 34. Obliczyć x(y + z)dl, gdzie L x = cos t L : y = sin t, t [, π]. z = 3t 4 Zad. 35. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć xydx xdy, gdzie L jest krzywą zamkniętą L zorientowaną dodatnio składającą się z linii y = x, y =, dla x [, ]. Zad. 36. Obliczyć xdx x dy, gdzie K jest okręgiem x + y = 8x zorientowanym dodatnio. K Zad. 37. Obliczyć y(x y)dx + xdy, gdzie K jest częścią krzywej y = 4x skierowanej od K A(, ) do B(, ). Zad. 38. Obliczyć y(x y)dx + xdy, gdzie K jest dodatnio zorienotwanym brzegiem trójkąta K o wierzchołkach A(, ), B(, ), C(, ). Zad. 39. Obliczyć x + y dl, gdzie L x = cos t + t sin t L : y = sin t t cos t, t [, π]. z = ln 5 ( ) ( ) arc tg y y arc tg x x Zad. 4. Obliczyć K + x + dx + x + y + y + y dy, gdzie krzywa K jest linią y = x od punktu A(, ) do B(, ). Zad. 4. Obliczyć ln( + y)dx xy dy, gdzie krzywa C jest dodatnio zorientowanym trójkątem o wierzchołkach A(, ), B(, ), C(, 4). C + y Zad. 4. Obliczyć x ydy x dx, gdzie krzywa C jest dodatnio zorientowanym kwadratem o C wierzchołkach A(, ), B(, ), C(3, ), D(3, ). Zad. 43. Obliczyć yzdx + zxdy + xydz, gdzie L jest fragmentem krzywej L x = r cos t y = r sin t z = at π zawartym między płaszczynami z = i z = a, a, r >.
11 Zad. 44. Obliczyć K (y + y)dx (e y + x)dy, gdzie krzywa K jest okręgiem (x ) + y = skierowanym dodatnio. Zad. 45. Obliczyć masę krzywej C : x + y = 4x, gdzie gęstość w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. Zad. 46. Obliczyć masę łuku krzywej K : y = ln x, x, gdzie gęstość krzywej w każdym jej punkcie równa jest kwadratowi odciętej tego punktu. Zad. 47. Obliczyć masę części krzywej y = ln( x ) dla x [, ], jeżeli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie równa jest ρ(x, y) = + x. Zad. 48. Obliczyć masę odcinka AB, gdzie A = (, ) i B = (3, ), o liniowej gęstości masy σ(x, y) = x + y. Zad. 49. Obliczyć masę łuku cykloidy x(t) = a(t sin t), y(t) = a( cos t), t (, π), a >, jeśli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie równa jest rzędnej tego punktu. Zad. 5. Obliczyć masę części krzywej r(t) = [a(cos t + t sin t), a(sin t t cos t)] dla t [, π], a >, jeżeli gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie jest równa kwadratowi promienia wodzącego. x(t) = t z dz +z Zad. 5. Obliczyć masę części krzywej y(t) = t dla t [, ], jeżeli gęstość liniowa z dz +z. e x krzywej w każdym punkcie równa jest ρ(x, y) = y Zad. 5. Obliczyć masę części elipsy x + y =, < b < a leżącej w pierwszej ćwiartce, jeżeli a b gęstość liniowa krzywej w każdym punkcie jest równa rzędnej tego punktu. Zad. 53. Obliczyć masę łuku krzywej x(t) = ae t cos t, y(t) = ae t sin t, z(t) = ae t od punktu O = (,, ) do punktu A = (a,, a), a >, jeśli gęstość krzywej wyraża się wzorem γ(t) = e t. Zad. 54. Obliczyć masę łuku OA, gdzie O = (, ) i A = (4, 6), krzywej 3y = x x, jeżeli 3 gęstość liniowa w punkcie M łuku jest wprost proporcjonalna do długości łuku OM. Zad. 55. Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny Oxz jednorodnego łuku krzywej r(t) = [e t cos t, e t sin t, e t ] dla t [, π]. Zad. 56. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku linii łańcuchowej y = a cosh x, a gdzie a x a dla pewnego a >. Zad. 57. Wyznaczyć położenie środka ciężkości tej części jednorodnego okręgu x +y = 4, która jest położona powyżej prostej y = x. Zad. 58. Oblicz pracę L, jaką wykona siła F [x + y, xy] przesuwając punkt materialny o jednostkowej masie po krzywej K skierowanej ujemnie, której fragmenty są odcinkami prostych y =, y =, x =, x = Zad. 59. Oblicz całkę krzywoliniową L (x + y )dl, gdzie L jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), t π. 4. Równania różniczkowe 4.. Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Zad.. Rozwiązać równania (a) dy dx = y x + tg y x, (b) x dy dx y = x e x x, (c) dy dt ln t + y t = y cos t,
12 (d) y + y = cos x, x (e) y + yctgx = 8 cos4 x, y (f) 3xy y = 3x y 4 ln x, (g) dy dx ex = y, (h) x( + e y ) e y dy dx =, (i) yy y x =, (j) y + y x = x, (k) y + y = x y, (l) y + y x = y x, (m) y y x = x x +, (n) yx y dx + x y ln xdy =, (o) yy + y = e x. Zad.. Znaleźć całkę szczególną równania sin x cos ydx + cos x sin ydy = spełniającą warunek początkowy y() = π. 6 Zad. 3. Rozwiązać następujące zagadnienie: xy + y e x =, x. y() = Zad. 4. Rozwiązać następujące zagadnienie: y y tg x = y3, x π + kπ, k Z cos x. y() = Zad. 5. Rozwiązać następujące zagadnienie: y 9x y = (x 5 + x ) 3 y y() = 8 Zad. 6. Rozwiązać następujące zagadnienie: y + y = 3x ln x, x > x. y(e) = Zad. 7. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania xy y = x e x przy warunku y() =. Zad. 8. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y = y cos t przy warunku y() =. Zad. 9. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = x przy warunku y() =. y Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = xy 6 przy warunku y() =. Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania y + y = x przy warunku y() =. y Zad.. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla równania (x + y )dx + xydy = przy warunku początkowym y() =. Zad. 3. Rozwiązać równanie y + y ln x = y z warunkiem początkowym y() = 4. x x Zad. 4. Rozwiązać równanie xy 4y = x y z warunkiem początkowym y() =. Zad. 5. Rozwiązać równanie y + xy = x przy warunku y() =. y 3 Zad. 6. Rozwązać równanie liniowe niejednorodne dy y = t cos t, t. dt t Zad. 7. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania zupełnego ( t + sin x ) dt + (t +) cos(x) dx =. cos x Zad. 8. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania Bernoullego x + x = x e t..
13 4.. Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Zad.. Rozwiązać równania (a) y + y = x e x, (b) y + y = sin x, (c) y 4y = x + x, (d) y y y = sin x, (e) y 6y + 3y = 5 sin(t), (f) y 3y + y = x, (g) y + 9y = x + 3, (h) y + 4y = cos 3x, (i) y + 4y = + x, (j) y 4y + 4y = xe x, (k) y + y + y = e x +, (l) y + 5y + 6y = e x, (m) y + 3y = e 3x, (n) y 6y + y = cos x, (o) y + 4y + 5y = sin x, (p) y + 3y = 3 3x, (q) y 5y 7y = sin x, (r) y 4y + 3y = x +, (s) y + 6y + 9y = e 3x, (t) y + 4y + 4y = e x, (u) x 5x = 3t, (v) xy y =. Zad.. tosując transformatę Laplace a rozwiązać równanie y (t) y (t) y(t) = z warunkami y() =, y () = Równania różniczkowe cząstkowe. Zad.. Rozwiązać w Ω = R równanie u xx c u yy = z warunkami początkowymi u(x, ) = x, u y (x, ) = x. Zad.. Określić typ i rozwiązać w Ω = R równanie u xy u x = z warunkiem początkowym u(x, ) = sin x. Zad. 3. Określić typ i sprowadzić równanie u 3 u 4 u x x y y = do postaci kanonicznej. Zad. 4. Rozwiązać równanie cząstkowe 3 u x + = z warunkiem początkowym u(, y) = e y. 5. Liczby zespolone, macierze i układy równań liniowych 5.. Liczby zespolone. Zad.. Wykonaj działania: ( 4i) + (4 + 7i), ( 5 3i) ( 5 + 3i), +5i. i Zad.. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających warunki (a) Re (iz + 3), (b) 9 = z, z (c) z z + (5 + i)z + (5 i) z + =, (d) z i = z. Zad. 3. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej (a) 9 + 9i, (b) 3 + i, (c) i, (d) sin α i cos α, < α < π. Zad. 4. Oblicz wartość wyrażeń, wynik podaj w postaci algebraicznej (a) ( + i), (b) ( 3i) 8, 3
14 4 (c) ( cos π 4 + i sin π 4 ), (d) ( i) (+i 3) 6. Zad. 5. Obliczyć 3 i. Zad. 6. Obliczyć 3. Zad. 7. Obliczyć 3. Zad. 8. Obliczyć 4 6. Zad. 9. Obliczyć 5 + i. Zad.. Rozwiązać równanie z 6z + =. Zad.. Rozwiązać równanie z ( + i)z + + 7i =. Zad.. Obliczyć i doprowadzić do postaci algebraicznej ( 3i i Zad. 3. Rozwiązać równanie z 3z i =. dz Zad. 4. Obliczyć, gdzie obraz krzywej γ jest dodatnio skierowanym okręgiem z C : + z γ z = }. Zad. 5. Obliczyć metodą residuów całkę + x + x + x 4 + 5x + 4 dx. oraz g(z) = e /z w punkcie z =. Odpo- Zad. 6. Określić typy osobliwości funkcji f(z) = sin z z wiedź uzasadnić. Zad. 7. Obliczyć całkę z 3 dz z +, Γ ) 8. gdzie Γ jest okręgiem z i = zorientowanym dodatnio. Zad. 8. Znaleźć funkcję holomorficzną w C, której część rzeczywista jest równa u(x, y) = x y. Zad. 9. Obliczyć metodą residuów całkę Zad.. Rozwinąć funkcję f(z) = Zad.. Obliczyć całkę + x + x + x 4 + 5x + 4 dx. z w szereg Laurenta w pierścieniu < z <. (+z)z Γ e z dz (z + ) (z i) gdzie Γ : [, π] t e it. Zad.. Wykazać, że jeżeli f jest funkcją holomorficzną na obszarze Ω C taką, że Re f = (Im f), to f const na Ω. 5.. Macierze i układy równań liniowych. Zad.. Obliczyć B T + 4A, gdzie 4 A = oraz B = Zad.. Obliczyć rząd macierzy 3 3
15 3 Zad. 3. Obliczyć wyznacznik Zad. 4. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy Zad. 5. Obliczyć rząd macierzy Zad. 6. Rozwiązać układ równań 6x + 4y + 5z + t + 3u = 3x + y + 4z + t + u = 3 3x + y z + t = 7 9x + 6y + z + 3t + u = Zad. 7. Rozwiązać układ równań x + y z + 3t + w = 4x y + z t + w = 6x + 3y z + 4t + 3w = 5 x + 5y 3z + 8t + w = 3 Zad. 8. Czy poniższy układ równań posiada jakiekolwiek rozwiązanie? x + y + z = x + y + 3z = x + y + 3z = x + y + z = 5 Zad. 9. Rozwiązać układ równań x + y + z = x y z =. Zad.. Zbadać warunki rozwiązalności układu w zależności od parametru a x + (a + )y = 5 3x + (a + )y =. (a + )x + 4y = Zad.. Rozwiązać układ równań x y + z = x + y z = 3. 4x + y z = 8 Zad.. Rozwiązać układ równań 3x + y = x y = (a) metodą Cramera; (b) metodą macierzy odwrotnej. Zad. 3. Zbadać warunki rozwiązalności poniższego układu równań w zależności od parametru a ax + (a + 3)y + az = 3a + 9 (a )x + (3a + )y + (4a 4)z = 7a +.
16 6 6.. zeregi liczbowe. Zad.. Zbadać zbieżność szeregów: (a) ( ) n sin π 4 n (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) n 3 n + 4 n (n)! n! n n tg 3 n n tg π n+ n+ n ( ) n! n (n + 3)n+3 ( ) n + 3 ( ) n sin 3 n ( ) n n n tg 6 n tg n n ( ) n sin n n! ( ) n sin n n n 4 n ( arc tg n ( ) n 3 sin 4 n tg 5 n n ) n 6. Zadania różne 6.. zeregi funkcyjne. Zad.. Rozwinąć w szereg potęgowy o środku w x = funkcję f(x) = x arc tg x ln + x. Zad.. Zbadać zbieżność szeregu potęgowego Zad. 3. Zbadać zbieżność szeregu n (x 5)n+ ( ). n + 3 Zad. 4. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu n(x ) n n + 3n. sin nx 3 n4 + x 4, x R.
17 7 Zad. 5. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu cos nx n! n. Zad. 6. Zbadać zbieżność szeregu [ (3n ) + 3n ( ) n arc tg ] x n. 3n e Zad. 7. Korzystając z wzorów na całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych wyraz po wyrazie obliczyć sumę szeregu n=. (n+)3 n Zad. 8. Za pomocą rozwinięcia funkcji f(x) = x, x [ π, π] w szereg Fouriera obliczyć sumę szeregu. (n ) Zad. 9. Wyznaczyć rozwinięcie funkcji f(x) = dla x ( π, ) dla x [, π]. w szereg Fouriera. Wyznaczyć sumę otrzymanego szeregu dla x =. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x dla x [ π, π]. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x dla x [ π, π]. Zad.. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x ( π, ) f(x) = dla x (, π dla x ( π, π) oraz narysować wykres sumy szeregu. Zad. 3. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x ( π, ) f(x) = dla x [, π). Zad. 4. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = x w przedziale [ π, π]. Zad. 5. Rozwinąć w szereg Fouriera według sinusów funkcję dla x (, π f(x) = ) 4 dla x ( π, π) 4 i naszkicować wykres sumy szeregu. Zad. 6. Rozwinąć w szereg Fouriera według cosinusów funkcję dla x (, π f(x) = ) dla x ( π, π) i naszkicować wykres sumy szeregu. Zad. 7. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x [ π, ) f(x) = x dla x [, π). Zad. 8. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję dla x [ π, ) f(x) = x dla x [, π).
18 Geometria analityczna i elementy algebry liniowej. x = + 3t Zad.. Obliczyć kąt przecięcia się prostych l : y = t i k : z = t x = + t y = t z = + 4t Zad.. Wiedząc, że a b =, korzystając z własności iloczynu wektorowego obliczyć (4 a) ( a + b). Zad. 3. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (,, ) i prostopadłej do prostej l danej równaniem krawędziowym: x y + z 3 = x + y z + =. Zad. 4. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(,, ), B(, 3, ), C(,, 6), D(, 3, 8). Zad. 5. Wyznaczyć prostą równoległą do wektora u = [,, ], przechodzącą przez punkt P (,, ). Zad. 6. Czy prosta zawierająca punkt P (,, ) może leżeć w płaszczyźnie x y + z =? Zad. 7. Czy istnieją proste l u i k v takie, że l k, ale u v? Odpowiedź uzasadnić. Zad. 8. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(,, ), D(,, ). (a) Obliczyć długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D na podstawę ABC. (b) Obliczyć odległość wierzchołka D od prostej zawierającej bok AC. (c) Obliczyć cosinus kąta między ścianą DAB a podstawą ABC. Zad. 9. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(,, ), B(,, ), C(, 4, 6) oraz D(,, ). (a) obliczyć objętość tego czworościanu, (b) napisać równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka D. Zad.. Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(,, ) względem prostej x = y 3 = z 4. Zad.. Dane są: punkt A(,, ), płaszczyzna Π: x + y + z = i prosta x + z = l : y + =. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającą prostą l i przechodzącą przez punkt B, symetryczny do punktu A względem płaszczyzny Π. Zad.. Znaleźć rzut prostej x + y = na płaszczyznę, w której leży prosta binormalna do krzywej x(t) = t K : y(t) = t z(t) = t dla t = oraz prosta x(t) = + t l : y(t) = + t. z(t) = t Zad. 3. Naszkicować krzywą daną równaniem x + 4xy + 4y y + =. Zad. 4. Dane są współrzędne wektora x = [5,, 4] w bazie kanonicznej. Znaleźć współrzędne wektora x w bazie e = [,, ], e = [,, ], e 3 = [,, ]. Zad. 5. Wykazać, że przyporządkowanie każdemu wektorowi (x, y) przestrzeni R wektora (u, v, w) przestrzeni R 3 określone wzorami u = x + y, v = x, w = x + y jest przekształceniem liniowym R w R 3..
19 Granice funkcji. Zad.. Obliczyć granice: ( ) arc sin x x (a) lim x x x (b) lim (sin x)tg x + (c) lim ( + sin x) x x ( (d) lim x + x ) tg x (e) lim(cos 4x) x x (f) lim( x) x (g) lim (tg x) x π 4 tg πx tg x 6.5. Granice ciągów. Zad.. Obliczyć granice: n( n (a) lim + n n) n ( n + ) (b) lim n ln(5 + n) ln n n n (c) lim n n Zad.. Niech a n = ( n 3 +6n +5n 8 n 3 +6n 4n Badanie przebiegu zmienności funkcji. ) 6n +5 oraz bn = n 3 n n n n. Obliczyć lim n (a n + b n ). Zad.. Wyznaczyć asymptoty ukośne funkcji f(x) = (x + 5)e x. Zad.. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = x3 + i naszkicować jej wykres. (x+) Zad. 3. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = x + arc tg i naszkicować jej wykres. x Zad. 4. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = (x + 6)e x i naszkicować jej wykres. Zad. 5. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f(x) = (x + 3)e x x+3.
x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoKIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA
1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowo