ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM

Transkrypt

1 ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą. Znleźć prmeryzcję krzywej α : R R, kórej wykresem jes cykloid i wyznczyć jej punky osobliwe. b Obliczyć długość łuku cykloidy odpowidjącego pełnemu obroowi koł.. Dne są dw koncenryczne koł, z kórych jedno m promień, zś drugie b. Koło o promieniu oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox, obrcjąc się jednocześnie z kołem o promieniu b. Miejsce geomeryczne opisne przez punk leżący n obwodzie koł o promieniu b worzy krzywą, kór nzyw się cykloidą wydłużoną, jeśli b >, i skróconą, jeśli > b. Znleźć prmeryzcje obu krzywych. 3. Znleźć sprmeryzowną krzywą α, kórej wykresem jes okrąg x + y = ki, że punk α przebieg dookoł okręgu w kierunku ruchu wskzówek zegr i α0 = 0,. 4. Znleźć przedswienie prmeryczne krzywej Viviniego x + y + z =, C : x + y = x, > 0, w ooczeniu punku P =,, C. 5. Wykzć, że krzywe sprmeryzowne α, β mją en sm wykres orz że jedn z nich jes reprmeryzcją drugiej: b α: π, π R, β : R R αϕ = cos ϕ, b sin ϕ, β = +, b, + α: R R, β :, R αϕ = cosh ϕ, b sinh ϕ, β = +, b,

2 gdzie w obu przypdkch > 0 i b > Znleźć równni prosej sycznej i prosej normlnej do nsępujących krzywych płskich: y = sin x w punkcie 0, 0, b y = x 3 w punkcie,, c y = x w dowolnym punkcie krzywej, > 0, d α = 3, + w punkcie =, e α = sin, cos, w dowolnym punkcie regulrnym krzywej, cykloid f α = cos 3, sin 3 w dowolnym punkcie krzywej, seroid, g α = cos, b sin, w dowolnym punkcie krzywej, elips h α = +, b i x 3 + y 3 xy = 0 w punkcie, w dowolnym punkcie krzywej, hiperbol, liść Krezjusz, j x + y x y = 0 w punkcie,, cissoid, k x + y = x y, R, 0, w punkcie 3,, lemnisk Bernoulliego 7. Znleźć równnie prosej sycznej i płszczyzny normlnej do krzywej: α = cos, g,, w punkcie = π 4, b α = cos, sin, b, w dowolnym punkcie ej krzywej, lini śrubow, c α = sin, cos, 4 sin d e f x 4z = 0, y z = 0, w punkcie,,,, w punkcie = π, x + y =, y + z =, w punkcie,,, x + y + z =, x + y = x, w punkcie,,, > 0.

3 8. Znleźć równnie prmeryczne okręgu wielkiego sfery x + y + z = przechodzącego przez punky 0, 0,,,,. 9. Znleźć kąy, pod kórymi przecinją się nsępujące krzywe: x + y + x = 7, y = 4x, b x + y = 8x, y x = x 3, w punkcie regulrnym. 0. Niech αs = cos s +b, sin s, b s +b, s R,, b > 0. +b Pokzć, że krzyw jes sprmeryzown nurlnie. b Wyznczyć krzywiznę, skręcenie i wekory rójścinu Frene. c Npisć równnie płszczyzny ściśle sycznej w dowolnym punkcie krzywej. d Pokzć, że prose przechodzące przez dowolny punk krzywej o kierunku wekor normlnego w ym punkcie przecinją oś Oz pod słym kąem. e Sprwdzić, że prose syczne do krzywej α worzą sły ką z osią Oz.. Wyznczyć funkcję długości łuku i obliczyć długość łuku między podnymi punkmi dl nsępujących krzywych: α =,, 3 3, R, =, = b α =,, ln, > 0, =, = e. Pokzć, że krzywe αs = +s 3, s 3, s, s,, b αs = s, s 5 5 3, 4s 5, s 0, 5 są sprmeryzowne nurlnie. Wyznczyć wekory reper Frene i obliczyć ich krzywizny i skręceni orz sprwdzić poprwność wzorów Frene. 3. Niech αs = 4 5 cos s, sin s, 3 5 cos s. Pokzć, że s jes prmerem nurlnym. Znleźć krzywiznę i skręcenie i wywnioskowć sąd, że wykres krzywej α jes okręgiem. Znleźć jego środek i promień. 3

4 4. Znleźć nurlną prmeryzcję krzywej: α =, cosh, 0 = 0 b α = cos + sin, sin cos, 0 = 0, 0, c α = cosh, sinh,, 0 = 0, 0, d α = e cos, e sin, e, 0 = 0, 0, e α =, ln,, 0 =, f α = e,, e, 0 = Wykzć, że nsępujące krzywe są krzywymi płskimi x =, y = +, z = b x = + 3 +, y = + 5, z = c x = +, y =, z = + orz znleźć równni płszczyzn, w kórych leżą. 6. Wyznczyć funkcję fx ką, by krzyw x = cos, y = sin, z = fx był krzywą płską. 7. Wyznczyć wekory reper Frene, krzywiznę i skręcenie nsępujących krzywych: x = cos 3, y = sin 3, z = cos b x = sin, y = cos, z = 4 cos c x = e cos, y = e sin, z = e d x =, y = b, z = c 3, gdzie bc 0 e x = sin, y = cos, z = b f x = 3 3, y = 3, z = Sprwdzić poprwność wzorów Frene dl ych krzywych. 8. W jkich punkch krzywizn krzywej: x = cos 3, y = sin 3, z = cos osiąg wrość njmniejszą? 4

5 b x = sin, y = cos, z = 4 cos osiąg wrość njwiększą? 9. Znleźć krzywizny ze znkiem nsępujących krzywych: y = sin x, dl x = π b x = r cos, y = r sin c x = cos, y = b sin d x =, y = e x = cosh, y = b sinh f x = sin, y = cos w punkcie regulrnym g x = cos 3, y = sin 3 w punkcie regulrnym h x = cos + sin, y = sin cos, > 0, > 0 0. Znleźć krzywą α = αs sprmeryzowną nurlnie, dl kórej ks = +b, τs = b +b z wrunkmi począkowymi α0 = 0, 0, 0, 0 = 0, + b, n0 =, 0, 0,, b0 = 0, b + b, b, + b. + b 5