3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej

Transkrypt

1 eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, x }. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej (A) {y = sin x, x π}; {y 2 = 2px, x }; { x2 a 2 + y2 b 2 = }. 5. Obliczyć pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej {y = x x, x }. 6. Obliczyć całki niewłaściwe (A) 2 dx 2 x ; ln xdx; xe x dx; (D) dx x Zbadać zbieżność szeregu n=2 8. Obliczyć sumy szeregów n ln p n w zależności od parametru p >. (A) n= ( ) n (2n + )! x2n+ ; n= ( ) n (2n)! x2n ; nx n ; n= (D) n 2 x n. n= 9. Znaleźć F (α) jeśli (A) F (α) = F (α) = b+/α a+/α α sin(αx) dx; x f(α x, x α)dx.. Korzystając ze wzoru e ix = cos x + i sin x pokazać, że dla n, m Z zachodzi { 2π e inx e imx gdy n m, dx = 2π gdy n = m.

2 eria 2. Zbadać istnienie granicy w zerze i granic iterowanych następujących funkcji f(x, y) = xy x 2 + y, g(x, y) = 2 x y, h(x, y) = x2 y x 2 + y, k(x, y) = x3 + y 3 2 x 2 + y Zbadać istnienie granic iterowanych w zerze następujących funkcji f(x, y) = x y + x2 + y 2 x + y 3. Wykazać, że lim n 4. Określić dziedzinę funkcji f(x, y) =, g(x, y) = x sin + y x, h(x, y) = x sin x + y y. lim m cosm (2πn!x) = { dla x Q, dla x Q. ax 2 + bxy + cy 2, g(x, y, z) = xy z, h(x, y, z) = x 2 + y 2 z Pokazać, że dla funkcji f(x, y) = (x + y) sin x sin y nie istnieją granice iterowane w zerze, ale istnieje granica tej funkcji w zerze. 6. Znaleźć granicę funkcji f(x, y) = x 2 e (x2 y) wzdłuż promienia l(t) = (t cos α, t sin α) przy t. Czy istnieje x lim f(x, y)? y 7. Zbadać jednostajną ciągłość na R 2 funkcji f(x, y) = ax + by, g(x, y) = x 2 + y 2, h(x, y) = (x 2 + y 2 ) α, α >. 8. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f(x, y) = sin π x 2 y 2 w kole {x 2 + y 2 < }. 9. Zbadać ciągłość funkcji f(x, y) = arcsin x y w jej dziedzinie.. Wykazać, że zbiór punktów nieciągłości funkcji { x 2 y dla (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 2 dla (x, y) = (, ) nie jest zbiorem domkniętym. 2

3 eria 3. Dla < x < policzyć całkę x α dα 2. Wykazać, że funkcja f(x) = { ln x dla < x <, dla x. jest ciągła w zerze lecz nie jest hölderowsko ciągła. 3. Wykazać, że funkcja { x 2 y dla (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 2 dla (x, y) = (, ) jest ciągła na R 2 i ma pochodne cząstkowe f x i f y, które nie są ciągłe w zerze. 4. Policzyć pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = x y, g(x, y) = arctan y x, h(x, y, z) = xy z x 2 + y 2 z Niech f(t) będzie funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Połóżmy z(x, y) = yf(x 2 y 2 ). Wykazać, że wówczas zachodzi x z x + y z y = z y Niech A = {a ij } n i,j= będzie macierzą kwadratową, a DetA jej wyznacznikiem. Policzyć DetA a ij. 7. Policzyć pochodną kierunkową funkcji f(x, y, z) = e z/x sin y w punkcie x = (3,, ) w kierunku wektora v = [2, 5, 7]. 8. Wykazać, że pochodna kierunkowa funkcji x x 2 x n f(x, x 2,..., x n ) = x 2 x 2 2 x 2 n x n x n 2 x n w dowolnym punkcie x R n w kierunku wektora v = [,,..., ] jest równa zeru. n 3

4 eria 4. Zbadać różniczkowalność w zerze funkcji { x 3 +y 3 dla (x, y) (, ), (A) f(x, y) = x 2 +y 2 dla (x, y) = (, ); { xy(x+y) dla (x, y) (, ), x g(x, y) = 2 +y 2 dla (x, y) = (, ); h(x, y) = x 4 + y 4 ; (D) h(x, y) = 3 x 6 + y Znaleźć różniczki funkcji (A) f(x, y) = arctg x y ; g(x, y, z) = x x 2 + y 2 + z 2 dwoma metodami: a) licząc pochodne cząstkowe; b) korzystając z niezmienniczości różniczki. 3 Wykazać, że funkcja f klasy C (R n \ {}) spełniająca tożsamość Eulera x gradf(x) = λf(x) dla x R n \ {} jest jednorodna stopnia λ. Wsk. Rozważyć funkcję F (t) = t λ f(tx) i policzyć F (). 4. Zbadać, w jakich punktach różniczkowalna jest funkcja f oraz znaleźć df i gradf: (A) f(x) = x α dla x R n, α > ; f(x, y) = xy dla (x, y) R 2 ; f(x, y) = x y dla (x, y) R 2 ; xy (D) f(x, y) = dla (x, y) R 2 ; + x + y { x 3 +y 6 dla (x, y) (, ), x (E) f(x, y) = 2 +y 4 dla (x, y) = (, ). 5. Zbadać, czy funkcja f : R 2 R jest klasy C (A) f(x, y) = x sin x 2 + y 2 ; f(x, y) = x cos x 2 + y Znaleźć różniczki funkcji (A) f(x, y) = (e x cos y, e x sin y); g(x, y) = (e 2x y, xe y, sin(xy)); h(x, y, z) = ( x 2 + y 2 + z 2, xyz); (D) k(x, y) = ( x2 + y 2, arctg y x). 4

5 eria 5 ( ). Niech u(x, y) = x 2 + xy + y 2 gdzie x(t) = sin t, y(t) = e t. Policzyć du dt x(t), y(t). 2. Policzyć z + z jeśli x y (A) z(x, y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 )/xy ; z(x, y) = ax + by cx + dy. 3. Niech ϕ : R + R będzie funkcją klasy C oraz z(x, y) = ϕ(x 2 + y 2 ). Wykazać, że y z x x z y =. 4. W jakiej postaci można przewidzieć rozwiązania równania y z x + x z y =. 5. Wykazać, że jeśli funkcje f, g : Ω R n R są różniczkowalne, to grad(fg) = fgrad(g) + ggrad(f). 6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = x 2 + 2y 2 + 3xy 2 w punkcie (, 2). 7. Obliczyć przybliżone wartości wyrażeń oraz błąd względny (A) (2, ) 2 +3 (2, 98) 2 ; (3, )2 + (3, 98) 2 ;, 98 (4, ) 2,2. 8. Wyrazić we współrzędnych biegunowych (r, ϕ), gdzie x = r cos ϕ, y = r sin ϕ wyrażenie w = y z x x z y. 9. Niech Φ 2 : R + (, 2π) R 2, Φ 2 (r, ϕ) = ( r cos ϕ, r sin ϕ ). Wyznaczyć macierz różniczki oraz jakobian odwzorowania Φ 2.. Niech Φ 3 : R + (, 2π) ( π 2, π 2 ) R 3, Φ 3 (r, ϕ, ψ) = ( r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ ). Wyznaczyć macierz różniczki oraz jakobian odwzorowania Φ 3. 5

6 eria 6. Policzyć macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (hesjan) funkcji (A) f(x, y) = e x cos y; g(x, y) = arctg x + y xy ; h(x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz; (D) k(x, y) = x 2 + y 2 ; (E) l(x, y) = arctg y x. 2. Zbadać istnienie pochodnej mieszanej 2 u (, ) funkcji x y 2xy u(x, y) = x 2 + y 2 dla (x, y) (, ), dla (x, y) = (, ). 3. Znaleźć drugie różniczki d 2 u funkcji (A) u(x, y) = ln x 2 + y 2 ; u(x, y) = arctg x + y + xy ; u(x, y) = e xy ; (D) u(x, y) = x 2 + y 2 ; (E) u(x, y) = x 2 + y Wykazać, że jeśli f : R 2 R jest dwukrotnie różniczkowalna, to g(t) = f(cos t, sin t) dla t R jest dwukrotnie różniczkowalna i znaleźć jej drugą pochodną. 5. Wykazać, że jeśli f : R 2 R jest dwukrotnie różniczkowalna, to funkcja g(x, y) = f(ax + by, cx + dy) dla (x, y) R 2 jest dwukrotnie różniczkowalna i znaleźć jej drugie pochodne cząstkowe. 6. Znaleźć funkcje f : R 2 R dwukrotnie różniczkowalna, dla których pochodna mieszana 2 f x y (x, y) = dla każdego (x, y) R2. 7. Znaleźć funkcje f : R 2 R dwukrotnie różniczkowalna, dla których 2 f x 2 (x, y) = 2 f y 2 (x, y) dla każdego (x, y) R 2. 6

7 eria 7. Znaleźć rozwinięcie Taylora funkcji f w punkcie A, gdzie (A) f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2, A = (, 2); f(x, y) = e ax sin by, A = (, ); f(x, y) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3, A = ( 2, 3). 2. Wykazać, że jeśli brzeg zbioru zwartego F R 2 jest sumą skończonej ilości odcinków, to funkcja f(x, y) = ax + by + c określona na F przyjmuje kresy w końcach tych odcinków. Uogólnić to stwierdzenie dla funkcji trzech zmiennych. 3. Znaleźć kresy funkcji f na zbiorze F, gdzie (A) f(x, y) = 2x + 3y, F = {(x, y) : x, y, 5x + 2y }; f(x, y) = xe xy, F = {(x, y) : x, y }; f(x, y, z) = 2x + 3y z, F = {(x, y, z) : x, y, z, x + y + z }; (D) f(x, y) = (x + y)e x 2y, F = {(x, y) : x, y }; (E) f(x, y, z) = xyz, F = {(x, y, z) : x, y, z, x + y + z }; (F) f(x, y) = sin x + sin y, F = {(x, y) : x π, y π}. 4. Znaleźć lokalne ekstrema oraz punkty siodłowe funkcji f (A) f(x, y) = (ax + by)e cx+dy ; f(x, y) = x 3 + y 3 3xy; f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey; (D) f(x, y) = x 2 + x ln y; y > (E) f(x, y) = x 2 + e y2 ; (F) f(x, y) = xy + e a(x2 +y 2). 5. Dane są punkty P i = (x i, y i ) dla i =,..., n. Znaleźć prostą y = ax + b, dla której wyrażenie E(a, b) = n i= (y i ax i b) 2 osiąga minimum. 6. Znaleźć punkt (a, b), w którym funkcji E(a, b) osiąga absolutne minimum (A) E(a, b) = (a + b 2) 2 + (2a + b 2) 2 + (3a + b 4) 2 ; E(a, b) = (b + ) 2 + (2a + b) 2 + (a + b ) 2 + (a + b + 2) Wśród trójkątów o danym obwodzie p znaleźć trójkąt o największym polu. 8. Znaleźć wymiary prostopadłościennej skrzyni bez pokrywy o objętości V, której powierzchnia ścian i dna jest najmniejsza. 7

8 eria 8. Niech T : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem T (x, x 2 ) = ( 2 sin x + 2 x 2 + 2, 3 x + 3 cos x ). Wykazać, że T jest kontrakcją w metryce ρ(x, y) = x y + x 2 + y 2. Co wynika z tezy twierdzenia Banacha? Wsk. Zachodzi nierówność sin α sin β α β. 2. Niech f : ( 2π, ) R 2 będzie określone wzorem { (cos t, sin t) dla 2π < t <, f(t) = (, t) dla t <. Narysować przeciwdziedzinę f. Wykazać że f jest klasy C, jest nieosobliwe i różnowartościowe, lecz f nie jest ciągłe. 3. Niech f(x, y) = (e x+y + e x y, e x+y e x y ) dla (x, y) R 2. Znaleźć obraz f(r 2 ) oraz zbadać czy f jest dyffeomorfizmem. 4. Znaleźć przeciwobraz koła {(x, y) : x 2 + y 2 x < } przy dyfeomorfiźmie biegunowym. 5. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego P R 2 na dany obszar Ω R 2, gdzie (A) Ω = {(x, y) : < x 2 + y 2 < 4, < x < y < 2x}; Ω = {(x, y) : y 2 < x < 2y 2, 2x 2 < y < 3x 2 }; Ω = {(x, y) : < x, < y < x 2 }; (D) Ω = {(x, y) : b 2 x 2 + a 2 y 2 < a 2 b 2 } \ {(x, ) : x }; (E) Ω = {(x, y) : a < x < b, f(x) < y < g(x)}, f, g C ( (a, b); R ). 6. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego P R 3 na obszar Ω = {(x, y, z) : a < x < b, < y < f(x), < z < g(x, y)}, gdzie f C ( ) (a, b); R +, g jest funkcją rzeczywistą dodatnią klasy C określoną na zbiorze {(x, y) : a < x < b, < y < f(x)}. 7. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału otwartego P R n na R n. 8. Wykazać, że odwzorowanie x f(x) = x + x jest dyfeomorfizmem R n na kulę {y R n : y < }. 9. Znaleźć macierz różniczki dyfeomorfizmu odwrotnego względem dyfeomorfizmu sferycznego. 8

9 eria 9. Niech F (x, y) = x 3 y 2 + 3x 2 y 3 xy + 2x y 2 +. Wykazać, że istnieją funkcje rzeczywiste g, h klasy C określone w otoczeniu I zera takie, że F ( x, g(x) ) = = F ( x, h(x) ) oraz g(x) < h(x) dla x I. Znaleźć g (), h (). 2. Niech F będzie funkcją z zadania. Wykazać, że istnieje funkcja rzeczywista g klasy C określona w otoczeniu I zera taka, że F ( g(y), y ) = dla y I. Znaleźć g (). 3. Kiedy można rozwikłać względem y równanie x 3 xy 3 =? Policzyć y (x), y (x). 4. Naszkicować zbiór {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 = x 2 + y 2 }. 5. Równanie x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy z = 9 w otoczeniu punktu (, 2, ) wyznacza z jako funkcję zmiennych (x, y) klasy C 2. Policzyć jej pochodne cząstkowe rzędu i 2 w punkcie (, 2) 6. Kiedy można rozwikłać względem y i z układ równań { x + y + z =, x 2 + y 2 + z 2 =. Wyznaczyć dy dx i dz dx. 7. Kiedy można rozwikłać względem u i v układ równań { xu yv =, yu + xv =. Wyznaczyć du dx, du dy, dv dx i dv dy. 8. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f przy warunku g =, gdzie (A) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, g(x, y, z) = x2 a + y2 2 b + z2 =, < a < b < c; 2 c2 f(x, y, z) = xyz, g (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, g 2 (x, y, z) = x + y + z; f(x, y) = 2x 2 + y 2, g(x, y) = x 4 x 2 + y 2 5; (D) f(x) = x p + x p x p n, g(x) = x + x x n = a, p = 2, 3,..., a >. 9. Znaleźć supremum i infimum funkcji f w zbiorze G, gdzie (A) f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2, G = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 }; f(x, y, z) = x + y + z, G = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 2 }; f(x, y) = x 2 + y x +, G = {(x, y) : 4x2 + y 2 }; (D) f(x, y) = x 2 xy + y 2, G = {(x, y) : x + y }; (E) f(x, y) = x 2 (y + ) 2y, G = {(x, y) : + x 2 y 2}; (F) f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+2y+3z), G = {(x, y, z) : x, y, z }. 9

10 eria. Zbadać czy odwzorowanie f : R R 2 jest dyfeomorfizmem i czy jego przeciwdziedzina jest łukiem otwartym (A) f(t) = (t 3, t 6 ); f(t) = (t, 3 t); f(t) = (t 2, t 4 ). 2. Niech f(ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ) dla ϕ R. Wykazać, że f jest dyfeomorfizmem. Jak wygląda jego przeciwdziedzina (tzw. linia śrubowa). Znaleźć przestrzeń styczną i prostą styczną w punkcie (,, ). 3. Niech f(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, ϕ) dla r >, ϕ R. Wykazać, że f jest dyfeomorfizmem. Jak wygląda jego przeciwdziedzina (tzw. powierzchnia śrubowa). Znaleźć przestrzeń styczną i płaszczyznę styczną w punkcie (,, ). 4. Wykazać, że zbiór {x R n+ : x 2 = } \ {(,...,, )} (sfera bez punktu) jest płatem n-wymiarowym. 5. Niech będzie łukiem otwartym zawartym w półpłaszczyźnie {(x, y, z) R 3 : x >, y = }. Wykazać, że zbiór powstały przez obrót powstały przez obrót zbioru wokół osi Oz jest płatem 2-wymiarowym. 6. Zbadać czy zbiór R 2 jest rozmaitością (narysować ten zbiór) (A) = {(x, y) : (x 2 + y 2 ) 2 = y 2 }; = {(x, y) : x 2 + y 2 }; = {(x, y) : (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 } (tzw. lemniscata). 7. Wykazać, że R 3 i H R 4 są 2-wymiarowymi rozmaitościami. = {(x, y, z) R 3 : exp(2x + y + z) + exp(3x y) + ln( + x + y) = 2}, H = {(x, y, u, v) R 4 : e x+y+u + e x+y+v + u = 2, e x+u + e x+y u + u v = 2}. Napisać równania płaszczyzn stycznych do i do H w początku układu O. 8. Wykazać, że torus T jest 2-wymiarową rozmaitością. T = {f(ϕ, ψ) : (ϕ, ψ) R 2 } R 3, gdzie f(x, y) = ( (R + R 2 cos ϕ) cos ψ, (R + R 2 cos ϕ) sin ψ, R 2 sin ψ ), < R 2 < R. 9. Wykazać, że otwarta wstęga Möbiusa M jest 2-wymiarową rozmaitością. M = {f(t, ϕ) : t < R, π < ϕ < π} R 3, gdzie f(t, ϕ) = ( (R + t cos ϕ/2) cos ϕ, (R + t cos ϕ/2) sin ϕ, t sin ϕ/2 ), < R < R.

11 eria. Niech f będzie funkcją ciągła na P = [a, b] [a, b]. Pokazać, że b ( x ) b ( b ) f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. a a 2. Zbadać całkowalność funkcji f na [, ] 2 oraz istnienie całek iterowanych (A) f(x, y) = 2xy x 2 + y 2 ; f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y Obliczyć całki f(x, y)dxdy, gdzie D (A) f(x, y) = (x + y) 2, D = [3, 4] [, 2]; f(x, y) = xy, D = {b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2, x, y }; f(x, y) = xy, D = {2 x 4, y x 2 }; (D) f(x, y) = x 2 y 2, D = { y x 2, xy}; (E) f(x, y) = ( x 2 y 2 ) /2, D = {x 2 + y 2 x}. a y 4. Niech p, q >. Bez liczenia całek pokazać, że p xq + q xp =, p xq = q xp. 5. Zmienić kolejność całkowania w całkach iterowanych 4 ( 2x ) 4 ( 3x (A) f(x, y)dy dx; (E) e 3x 2 ( ln x ( 3 y 2 y 2 /2 ) f(x, y)dy dx; ) f(x, y)dx dy; (D) (F) 3 2x ( x 9/x ) f(x, y)dy dx; [ x ( x+y 6. Dla jakich p, q R istnieją całki niewłaściwe (A) (x + y) p dxdy D = {x + y, < y }; D x p y q D = {xy, x }. D ) f(x, y)dy dx; ) ] f(x, y, z)dz dy dx. 7. Niech f : [, α] R będzie funkcją ciągłą i rosnącą, f() =, a [, α], b [, f(α)]. Wykazać nierówność Younga i stwierdzić kiedy w niej zachodzi równość a f(x)dx + b f (y)dy ab.

12 eria 2. Obliczyć całki podwójne (A) x2 + y 2 dxdy; sin x 2 + y 2 dxdy; {x 2 +y 2 R 2 } xydxdy; (D) {π 2 x 2 +y 2 4π 2 } x2 y 2 dxdy. {b 2 x 2 +a 2 x 2 a 2 b 2,x,y } {x 2 +y 2 x} 2. Obliczyć pole zbiorów ograniczonych krzywymi (A) xy = 4, x + y = 5; y 2 = 2px + p 2, y 2 = 2qx + q 2, p >, q > ; xy = a 2, xy = 2a 2, y = x, y = 2x; (D) xy = p, xy = q, y 2 = ax, y 2 = bx, < p < q, < a < b; (E) x 2 + y 2 = R 2, x 2 + y 2 = 4Rx; (F) (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 y 2 ), x =. 3. Obliczyć pole części powierzchni półsfery z = R 2 x 2 y 2 leżącej na zewnątrz dwóch walców x 2 + y 2 Rx = i x 2 + y 2 + Rx =. 4. Policzyć w zależności od parametrów z, z 2 R, α >, < a < b całkę x z y z2 dxdy Ω (A) Ω = (, ] 2 ; Ω = { < x, < y x α }; Ω = { < x, ax y bx}. 5. Wyznaczyć objętość zbioru V (A) V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 a 3 z}; V = {(x, y, z) : x2 a + y2 2 b z c}; 2 V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 R 2, x 2 + y 2 Rx}. 6. Obliczyć całki potrójne f(x, y, z)dxdydz w zależności od parametrów, gdzie Ω (A) Ω = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 }, f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) p/2 ; Ω = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z }, f(x, y, z) = (x 2 + y 2 ) p/2 ; Ω = {(x, y, z) : αx z βx, ay 2 z by 2, z h}, f(x, y, z) = x p ; (D) Ω = {(x, y, z) : x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2, z h}, f(x, y, z) = x p z. 7. Znaleźć środki ciężkości półokręgu l +, półkola + i półkuli B +, l + = {(x, y) : x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ϕ π}; + = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2, y }; B + = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 r 2, z }. 2

13 eria 3. Zbadać orientację przestrzeni R 2 (odpowiednio R 3 ) wyznaczoną przez układ wektorów (f, f 2 ) (odpowiednio (f, f 2, f 3 )), gdzie (A) f = [2, ], f 2 = [ 4, 3]; f = [ 3, ], f 2 = [3, 3]; f = [2,, ], f 2 = [ 2, 3, ], f 3 = [4,, ]; (D) f = [2,, ], f 2 = [ 2, 3, ], f 3 = [, 8, ]. 2. Policzyć iloczyn wektorowy u v wektorów u, v R 3, gdzie (A) u = [2,, ], v = [ 4, 3, ]; u = [ 3,, ], v = [3, 3, ]; u = [2,, ], v = [ 2, 3, ]; (D) (u, v) T ({z = x 2 + y 2 }); (E) (u, v) T ({e x+2y+z = }); (F) (u, v) T ({x 2 + y 2 + z 2 = }). 3. Policzyć całkę zorientowaną (a) xdy ydx, (b) xdy+ydx, (c) xdx+ydy, gdzie jest krzywą łączącą punkty O = (, ) i K = (, 2) będącą częścią (A) prostej {y = 2x}; paraboli {y = 2x 2 }; paraboli {4x = y 2 }. 4. Policzyć całki zorientowane (A) (x 2 + y 2 )dx + (x 2 y 2 )dy, = {y = x, x 2}; (x + y)dx + (y x)dy, = {x = r cos t, y = r sin t, t 2π}; x 2 + y 2 (2r y)dx + xdy, = {x = r(t sin t), y = r( cos t), t 2π}; (D) (x 2 z 2 )dx + 2yzdy x 2 dz, = {x = t, y = t 2, z = t 3, t }; (E) ydx + zdy + xdz, = {x = r cos t, y = r sin t, z = bt, t 2π}; (F) y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz, = {x 2 + y 2 + z 2 = r 2, x 2 + y 2 = rx, z }. 5. Policzyć całki niezorientowane (A) x2 + y 2 ds, = {x 2 + y 2 = rx}; y 2 ds, = {x = r(t sin t), y = r( cos t), t 2π}; (x 2 + y 2 + z 2 )ds, = {x = r cos t, y = r sin t, z = bt, t 2π}. 6. Znaleźć długość krzywej = {x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, t < }. 3

14 eria 4. Wyprowadzić wzór na obliczanie całki f(x, y)ds w przypadku gdy krzywa jest zadana równaniem we współrzędnych biegunowych {r = r(ϕ), ϕ ϕ ϕ 2 }. Zastosować ten wzór do obliczenia całki (x 2 + y 2 ) 3/2 ds gdzie jest łukiem spirali logarytmicznej r(ϕ) = /ϕ od ϕ = 3 do ϕ = Znaleźć masę łuku linii łańcuchowej y = a cosh x/a pomiędzy punktami x = i x = a jeśli gęstość krzywej jest odwrotnie proporcjonalne do odciętej punktu. 3. Znaleźć pole pętli liścia Kartezjusza {x 3 + y 3 = 3axy}. Wsk. Położyć t = y/x. 4. Obliczyć pracę siły ciężkości F jeśli F = k r 2, r = x 2 + y 2 + z 2, potrzebną na przesunięcie masy jednostkowej z punktu A = (x, y, z ) do punktu B = (x 2, y 2, z 2 ). 5. Wyrazić całkę po konturze Γ = D przez całkę podwójną x2 + y 2 dx + y[xy + ln(x + x 2 + y 2 )]dy. Γ 6. Jakie wartości mogą przyjmować całki xdy ydx xdx + ydy (A),, 2π x 2 + y 2 2π x 2 + y 2 (x 2 y 2 )dx + 2xydy 2π (x 2 + y 2 ) 2 jeśli jest zamkniętą krzywą płaską nie przechodzącą przez punkt O = (, ). 7. prawdzić wzór Greena dla pola F = ( (x + y) 2, (x 2 + y 2 ) ) oraz konturu Γ = {x 2 + y 2 = } z dodatnią orientacją. 8. prawdzić czy pole F = (P, Q) określone na obszarze Ω R 2 spełnia warunek całkowalności, a następnie znaleźć funkcję U(x, y) (potencjał pola F) taką, że du = P dx + Qdy, gdzie (A) P (x, y) = x 4 + 4xy 3, Q(x, y) = 6x 2 y 2 5y 4, Ω = R 2 ; P (x, y) = x2 y 2 2xy, Q(x, y) = x 3 3xy2 x 3 3xy, Ω = {x >, 2 x3 3xy 2 > }; P (x, y) = y2 x cos y 2 x, Q(x, y) = sin y x + y x cos y, Ω = {x > }. x 9. Wykazać że całka zorientowana nie zależy od drogi całkowania a następnie ją policzyć (A) (2,3, 4) (,,) (x2,y 2,z 2 ) (x,y,z ) xdx + y 2 dy z 3 dz; (6,,) (,2,3) yzdx + xzdy + xydz; xdx + ydy + zdz (x2,y 2,z 2 ) x2 + y 2 + z ; (D) sin(x + y + z)(dx + dy + dz). 2 (x,y,z ) 4

15 eria 5. Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane (A) (x 2 + y 2 )d, = {x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z }; (D) ( + x + y) 2 d, = brzeg {x, y, z, x + y + z }; zd, = {x = u cos v, y = u sin v, z = v, u a, v 2π}; (xy + yz + zx)d, = {z = k x 2 + y 2, x 2 + y 2 }. 2. Niech = {x 2 + y 2 + z 2 = }, f : R R. Wykazać wzór Poissona f(ax + by + cz)d = 2π f(u a 2 + b 2 + c 2 )du. 3. Obliczyć masę czaszy {z = k(x 2 + y 2 ), x 2 + y 2 } o gęstości ρ(x, y, z) = z. 4. Z jaką siłą przyciągany jest punkt O o masie jednostkowej przez jednorodną powierzchnię = {x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = r, < a r b ϕ 2π}. 5. Z jaką siłą przyciągany jest punkt M o masie jednostkowej przez jednorodną powierzchnię sfery = {x 2 + y 2 + z 2 = R 2 }. Rozważyć przypadki a) M leży wewnątrz sfery; b) M leży na zewnątrz sfery; c) M leży na sferze. 6. Policzyć całki powierzchniowe zorientowane ( ma orientację zewnętrzną) (A) (y z)dydz + (z x)dzdx + (x y)dxdy, gdzie = {x 2 + y 2 = z 2, z h}; x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, gdzie = {(x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2, z h}; ( dydz x + dzdx + dxdy ), y z gdzie = { x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = }. 5

16 eria 6. Przekształcić według wzoru Gaussa-Ostrogradskiego całki, a następnie obliczyć obie strony wzoru w przypadku gdy = {x 2 +y 2 +z 2 = } zorientowana na zewnątrz. (A) yzdydz + zxdzdx + xydxdy; x k dydz + y k dzdx + z k dxdy, k =, 2, 3,...; xdydz + ydzdx + zdxdy x2 + y 2 + z Obliczyć całki (A) x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy gdzie jest zewnętrzną stroną sześcianu { max(x, y, z) a}; (x y + z)dydz + (y z + x)dzdx + (z x + y)dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną sześcianu { x y +z + y z +x + z x+y = } 3. Znaleźć potok pola F = [x 2, y 2, z 2 ] przez dodatnią ćwiartkę sfery = {x 2 +y 2 +z 2 =, x, y, z }. 4. Znaleźć potok pola F = [y, z, x] przez powierzchnię stożka ograniczonego płaszczyznami x =, y =, z =, x + y + z =. 5. tosując wzór tokesa policzyć całki wzdłuż krzywej zamkniętej Γ zorientowanej dodatnio (A) ydx + zdy + xdz gdzie Γ = {x 2 + y 2 + z 2 = r 2, x + y + z = }; Γ (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz Γ gdzie Γ = {x = a sin 2 t, y = 2a sin t cos t, z = a cos 2 t, t π}. 6. Policzyć całkę Γ (x 2 yz)dx + (y 2 xz)dy + (z 2 xy)dz; wzdłuż krzywej Γ = {x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = h ϕ, ϕ 2π}. 2π 6